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Stefan Kebekus
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vendored
@@ -25,3 +25,4 @@
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QBehauptung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist wieder \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QId.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QInsbesondere gibt es offene Umgebung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass auf \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzelfunktion existiert, also eine Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sodass für jedes \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWegen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gibt es eine offene Umgebung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q auf der eine \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzelfunktion existiert, also eine Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sodass für jedes \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"}
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@@ -18,14 +18,15 @@ abgeschlossene Teilmenge von $U$ ist. Aber was können wir sonst noch sagen?
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\section{Zwei Typen von Nullstellen}
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\label{sec:7-1}
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In Situation~\ref{set:7-0-1} sei $ρ ∈ Z$ eine Nullstelle von $f$ und sei
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\begin{equation}\label{eq:7-2-0-1}
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\sum_{i=0}^∞ a_i(z-ρ)ⁱ
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\end{equation}
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die Potenzreihenentwicklung von $f$ im Punkt $ρ$. Der Konvergenzradius sei
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$r$. Dann gibt es zwei Möglichkeiten:
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\begin{description}
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In Situation~\ref{set:7-0-1} sei $ρ ∈ Z$ eine Nullstelle von $f$ und sei
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\begin{equation}\label{eq:7-2-0-1}
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\sum_{i=0}^∞ a_i(z-ρ)ⁱ
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\end{equation}
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die Potenzreihenentwicklung von $f$ im Punkt $ρ$. Der Konvergenzradius sei $r$.
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Dann gibt es zwei Möglichkeiten.
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\begin{description}
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\item[Nullstelle vom Typ 1] Alle Koeffizienten $a_i$ der
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Potenzreihe~\eqref{eq:7-2-0-1} sind gleich 0. Dann ist $f$ bereits in einer
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ganzen Umgebung von $f$ konstant Null.
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@@ -55,8 +56,7 @@ abgeschlossene Teilmenge von $U$ ist. Aber was können wir sonst noch sagen?
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\]
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und es gibt ein $ε > 0$, sodass $Z ∩ B_ε(ρ) = \{ρ\}$ ist. Man sagt: $ρ$ ist
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eine isolierte Nullstelle von $f$.
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\end{description}
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\end{description}
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Zusammenfassung: Ich kann die Nullstellenmenge $Z$ aufteilen
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\[
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Z = \text{Typ 1} \: ∪ \text{Typ 2}
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@@ -79,8 +79,8 @@ In der Summe sehen wir: Die Menge Nullstellen vom Typ 1 ist offen \emph{und}
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abgeschlossen, also eine ganze Zusammenhangskomponente von $U$!
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\begin{notation}[Nullestellenordnung]
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ O(U)$. Weiter sei $ρ ∈ U$ gegeben. Schreibe $f$ in
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der Nähe von $ρ$ als Potenzreihe
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$. Weiter sei $ρ ∈ U$ gegeben. Schreibe $f$
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in der Nähe von $ρ$ als Potenzreihe
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\[
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f = \sum_{i=0}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ.
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\]
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@@ -3,16 +3,18 @@
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\chapter{Lokale Struktur holomorpher Funktionen}
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\section{Wurzeln holomorpher Funktionen}
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Ich beginne mit einer Erinnerung.
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\begin{lem}\label{lem:8-0-1}%
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$. Weiter sei ein Punkt $ρ ∈ U$ gegeben,
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sodass $f'(ρ) ≠ 0$ ist. Dann gibt es eine offene Umgebung $V = V(ρ) ⊂ U$,
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sodass Folgendes gilt.
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sodass folgendes gilt.
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\begin{enumerate}
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\item Das Bild $W := f(V) ⊂ ℂ$ ist offen.
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\item Die eingeschränkte Abbildung $f|_V: V → W$ ist bijektiv und die
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Umkehrfunktion ist holomorph.
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\item Die eingeschränkte Abbildung $f|_V: V → W$ ist biholomorph.
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\end{enumerate}
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\end{lem}
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\begin{proof}
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@@ -32,7 +34,7 @@ existiert.
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\begin{satz}[Wurzeln holomorpher Funktionen]\label{satz:8-0-2}%
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$. Angenommen, $f$ hat bei $ρ ∈ U$ eine
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Nullstelle von Ordnung $n$, mit $1 ≤ n < ∞$. Dann gibt es eine Umgebung $V =
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V(ρ) ⊂ U$ und eine Funktion $b ∈ 𝒪(V)$ sodass folgendes gilt:
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V(ρ) ⊂ U$ und eine Funktion $b ∈ 𝒪(V)$, sodass folgendes gilt.
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\begin{enumerate}
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\item Für jedes $z ∈ V$ gilt $f(z) = b(z)^n$.
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@@ -40,39 +42,43 @@ existiert.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Wir betrachten nur den Fall, dass $ρ ∈ ℂ$ der Nullpunkt ist. Falls $n = 1$,
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dann zeigt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass wir $b := f$ setzen können.
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Wir betrachten aus Faulheit nur den Fall, dass $ρ ∈ ℂ$ der Nullpunkt ist.
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Falls $n = 1$ ist, dann zeigt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass wir $b := f$ setzen
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können.
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Sei also $n > 1$. Wir haben schon gesehen: auf einer geeigneten Kreisscheibe
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$D$ um $ρ = 0$ gibt es eine Funktion $g$ mit $g(0) ≠ 0$, sodass auf ganz $D$
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die folgende Gleichung gilt:
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Sei also $n > 1$. Wir haben im Abschnitt~\ref{sec:7-1} aber schon gesehen:
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auf einer geeigneten Kreisscheibe $D$ um $ρ = 0$ gibt es eine Funktion $g$ mit
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$g(0) ≠ 0$, sodass auf ganz $D$ die folgende Gleichung gilt:
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\[
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f(z) = z^n·g(z).
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\]
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Insbesondere gibt es offene Umgebung $Ω = Ω(g(0)) ⊂ ℂ$, sodass auf $Ω$ eine
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Wegen $g(0) ≠ 0$ gibt es eine offene Umgebung $Ω = Ω(g(0)) ⊂ ℂ$ auf der eine
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$n$-te Wurzelfunktion existiert, also eine Funktion $r: Ω → ℂ^*$ sodass für
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jedes $ω ∈ Ω$ die Gleichung $r(ω)^n = ω$ gilt. Setze dann $V := D ∩ g^{-1}(Ω)$
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und definiere die Funktion
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jedes $ω ∈ Ω$ die Gleichung $r(ω)^n = ω$ gilt. Setze dann $V := D ∩
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g^{-1}(Ω)$ und definiere die Funktion
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\[
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b : V → ℂ, \quad z ↦ z·r(g(z)).
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\]
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Rechne nach, dass $b$ die gewünschten Eigenschaften hat.
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\end{proof}
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\section{Lokale Struktur}
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Als Konsequenz von Satz~\ref{satz:8-0-2} können wir sagen, dass lokal jede
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holomorphe Funktion aussieht wie $z ↦ z^n$. Die folgende Notation und der
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folgende Satz machen diese Aussage präzise.
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\begin{definition}[Einbettungen]\label{def:8-0-2}%
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Es sei $U \subseteq \bC$ offen und $f \in \mathcal{O}(U)$. Nenne $f$ eine
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\emph{Einbettung von $U$ in $\bC$}\index{Einbettung}, wenn $f(U) \subseteq
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\bC$ offen und die eingeschränkte Abbildung $f: U \to f(U)$ biholomorph ist.
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Es sei $U ⊆ ℂ$ offen und $f ∈ \mathcal{O}(U)$. Nenne $f$ eine
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\emph{Einbettung von $U$ in $ℂ$}\index{Einbettung}, wenn $f(U) ⊆ ℂ$ offen und
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die eingeschränkte Abbildung $f: U → f(U)$ biholomorph ist.
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\end{definition}
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\begin{notation}[Einbettungen]
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In der Situation von Definition~\ref{def:8-0-2} schreibt man anstelle der
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üblichen Notation $f: U \to \bC$ oft $f: U \hookrightarrow \bC$, um darauf
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hinzuweisen, dass $f$ eine Einbettung ist,
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üblichen Notation $f: U → ℂ$ oft $f: U ↪ ℂ$, um darauf hinzuweisen, dass $f$
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eine Einbettung ist,
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\end{notation}
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\begin{satz}[Lokale Struktur holomorpher Funktionen]\label{satz:8-0-3}%
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@@ -80,66 +86,96 @@ folgende Satz machen diese Aussage präzise.
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$f$ in der Nähe von $ρ$ nicht konstant ist. Dann gibt es eine Zahl $n ∈ ℕ$
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und Einbettungen der Einheitskreisscheibe,
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\[
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u, v: Δ \hookrightarrow ℂ,
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u, v: Δ ↪ ℂ,
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\]
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sodass die folgenden Eigenschaften gelten
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\[
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\begin{equation}\label{eq:8-0-1}
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u(Δ) ⊆ U, \quad u(0) = ρ, \quad v(0) = f(ρ)
|
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\]
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||||
\end{equation}
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und das folgende Diagramm kommutiert
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\[
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\begin{equation}\label{eq:8-0-2}
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\begin{tikzcd}
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Δ \ar[r, hook, "u"] \ar[d, "z ↦ z^n"'] & U \ar[d, "f"] \\
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||||
Δ \ar[r, hook, "v"'] & ℂ.
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||||
\end{tikzcd}
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\]
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\end{equation}
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Wir betrachten die Funktion $z ↦ f(z) - ρ$, die am Punkt $ρ$ eine Nullstelle
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hat. Sei $1 ≤ n < ∞$ die Nullstellenordnung dieser Funktion bei $p$. Nach
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Wir nehme ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass $f$ bei $ρ$ eine
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Nullstelle hat, ansonsten betrachte die Funktion $z ↦ f(z) - f(ρ)$. Sei $1 ≤
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n < ∞$ dann die Nullstellenordnung von $f$ bei $p$. Nach
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Satz~\ref{satz:8-0-2} über die Wurzeln holomorpher Funktionen gibt es eine
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Umgebung $V = V(ρ)$ und eine Einbettung
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Umgebung $V = V(ρ) ⊆ U$ und eine Einbettung
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\[
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b: V → ℂ
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b: V ↪ ℂ,
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\]
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mit Bildmenge $W$, sodass für jedes $z ∈ V$ gilt: $f(z) - ρ = b(z)^n$.
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sodass für jedes $z ∈ V$ die Gleichung $f(z) = b(z)^n$ gilt. Insbesondere ist
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$b(0) = 0$.
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Die Menge $W$ ist eine offene Umgebung der $0$. Wir können daher ein Skalar
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$λ ∈ ℝ⁺$ wählen, sodass die skalierte Menge $λ·W = \{λ·w \::\: w ∈ W\}$ den
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Einheitskreis $Δ$ enthält. Betrachte die Abbildung
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\paragraph{Schritt 1: Konstruktion der Einbettung $u$}
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Die Bildmenge $b(V)$ der Einbettung $b$ ist eine offene Umgebung der $0$. Wir
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können daher ein Skalar $λ ∈ ℝ⁺$ wählen, sodass die Bildmenge der skalierten
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Einbettung
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\[
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u : Δ → ℂ, \quad z ↦ \bigl(λ·b(z)\bigr)^{-1}
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λ·b : V → ℂ, \quad z ↦ λ·b(z)
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\]
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und setze
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die Einheitskreisscheibe $Δ$ enthält. Betrachte die Umkehrabbildung
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\[
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U := (λ·b)^{-1}(Δ).
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(λ·b)^{-1} : (λ·b)(V) → V
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\]
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Dann ist $u: Δ → U$ eine biholomorphe Abbildung und für jedes $z ∈ U$ gilt:
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und definiere die Abbildung $u$ als Einschränkung
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\[
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u := (λ·b)^{-1}|_Δ : Δ → V ⊆ U.
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\]
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Dann ist $u(Δ) = (λ·b)^{-1}(Δ)$ offen und $u: Δ → u(Δ)$ ist biholomorph. Also
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ist $u$ schon einmal eine Einbettung und es gilt
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\[
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u(0) = (λ·b)^{-1}(0) = b^{-1}(λ^{-1}·0) = b^{-1}(0) = ρ.
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\]
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Damit erfüllt $u$ die in \eqref{eq:8-0-1} genannten Eigenschaften. Zusätzlich
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gilt für jedes $z$ aus dem Bild der Abbildung $u$ die Gleichung
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\begin{equation}\label{eq:xx}
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\left(u^{-1}(z)\right)^n = \left(λ·b(z)\right)^n = λ^n·b(z)^n = λ^n·f(z).
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\end{equation}
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\paragraph{Schritt 2: Konstruktion der Einbettung $v$}
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Betrachte als Nächstes die Abbildung
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\[
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v: Δ → ℂ, \quad z ↦ \frac{1}{λ^n}·z.
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\]
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Es ist klar, dass $v$ eine Einbettung ist. Ebenso ist klar, dass die
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Gleichung $v(0) = 0 = f(ρ)$ gilt. Also erfüllt auch $v$ die in
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\eqref{eq:8-0-1} genannten Eigenschaften.
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\paragraph{Schritt 3: Kommutativität des Diagramms}
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Wir müssen zeigen, dass abschließend zeigen, Diagramm~\eqref{eq:8-0-2}
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kommutiert. Äquivalent: wir müssen zeigen, dass jedes $δ ∈ Δ$ die Gleichung
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\[
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f(u(δ)) = v(δ^n)
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\]
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erfüllt. Sei also ein Element $δ ∈ Δ$ gegeben. Dann ist aber
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\begin{align*}
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\left(u^{-1}(z)\right)^n & = \left(λ·b(z)\right)^n \\
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& = λ^n·b(z)^n \\
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||||
& = λ^n·(f(z) - ρ)^n \\
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& = \left(\sqrt[n]{λ}·(f(z) - ρ)\right)^n.
|
||||
f(u(δ)) & = \frac{1}{λ^n}·λ^n·f(u(δ)) \\
|
||||
& = \frac{1}{λ^n}·(u^{-1}(u(δ)))^n && \text{Gleichung \eqref{eq:xx}} \\
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& = \frac{1}{λ^n}·δ^n && \text{Umkehrabbildung} \\
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& = v(δ^n) && \text{Definition von } v.
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\end{align*}
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Betrachte dann die Abbildung
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\[
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v: Δ → ℂ, \quad z ↦ \frac{z}{\sqrt[n]{λ}} + ρ.
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\]
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Nachdem wir die Kreisscheibe $D$ um $0$ gegebenenfalls verkleinern, können wir
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annehmen, dass $g(D) ⊂ \widetilde{W}$ ist. Dann gilt für jedes $z ∈ D$:
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||||
\[
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f(z) = z^n·r(g(z))^n = \left[z·r(g(z))\right]^n.
|
||||
\]
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||||
Jetzt ist klar: $\left[z·r(g(z))\right](ρ)$ ist eine Wurzel von $g(ρ) ≠ 0$,
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also selbst ungleich 0. Deshalb sagt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass es eine
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Umgebung $V ⊂ Δ$ gibt, sodass $b = z·r(g(z))$ biholomorph auf die Bildmenge
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ist.
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Damit ist der Satz bewiesen.
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\end{proof}
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\section{Anwendungen}
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Satz~\ref{satz:8-0-3} erlaubt, jede (nicht-konstante) holomorphe Funktion lokal
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mit der holomorphen Funktion $z ↦ z^n$ zu vergleichen. Zum Beispiel ist die
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Abbildung $z ↦ z^n$ offen (= Bilder offener Mengen sind offen). Also erhalten
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wir:
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Abbildung $z ↦ z^n$ offen\index{offene Abbildung} (= Bilder offener Mengen sind
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offen). Also erhalten wir:
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\begin{satz}[Satz von der Gebietstreue]\label{satz:gebietstreue}%
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend, und sei $f ∈ 𝒪(U)$ nicht konstant.
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@@ -6,7 +6,7 @@
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\section{Isolierte Singularitäten}
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Wir interessieren uns für die folgende Situation: Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet, sei $ρ
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∈ U$ ein Punkt. Gegeben eine holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(U ∖ ρ)$. Was kann ich
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∈ U$ ein Punkt. Gegeben eine holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(U ∖ ρ)$. Was kann ich
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über das Verhalten von $f$ bei $ρ$ sagen?
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\begin{bsp}
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