kebekus/Funktionentheorie
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Stefan Kebekus
2025-11-10 09:36:39 +01:00
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4
07-nullstelle.tex
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@@ -165,12 +165,12 @@ $ℂ$.
\begin{proof}
Wenn $f \equiv 0$ ist, dann ist alles klar. Also nehmen wir im Folgenden an,
dass $f$ \emph{nicht} die Nullfunktion ist. Die Zahl $0 ∈ ℂ$ ist also eine
isolierte Nullstelle. Schreibe dann $f(z) = z · g(z)$, wo $g ∈ 𝒪(Δ)$. Wir
isolierte Nullstelle. Schreibe dann $f(z) = z · g(z)$, wo $g ∈ 𝒪(Δ)$. Wir
halten folgende Eigenschaften der Funktion $g$ fest.
\begin{enumerate}
\item\label{il:7-2-1-5} Für alle $z ∈ Δ$ gilt die Ungleichung $|g(z)| ≤ 1$.
Dazu argumentieren wir mit Widerspruch und nehmen an, dass es ein $z_m ∈
Δ$ gibt mit $|f(z_m)| > |z_m|$. Dann ist auch $|g(z_m)| > 1$. Wähle ein
Δ$ gibt mit $|f(z_m)| > |z_m|$. Dann ist auch $|g(z_m)| > 1$. Wähle ein
$ε > 0$ so klein, dass $|g(z)| > 1 + ε$ gilt und beachte aber, dass für
jede Zahl $z$ mit $|z| > \frac{1}{1+ε}$ die folgende Ungleichung gilt:
\[

120
08-lokaleStruktur.tex
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@@ -6,8 +6,8 @@
Ich beginne mit einer Erinnerung.
\begin{lem}\label{lem:8-0-1}%
Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ \sO(U)$. Weiter sei ein Punkt $ρ ∈ U$ gegeben,
sodass $f'(ρ) ≠ 0$ ist. Dann gibt es eine offene Umgebung $V = V(ρ) ⊂ U$,
Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$. Weiter sei ein Punkt $ρ ∈ U$ gegeben,
sodass $f'(ρ) ≠ 0$ ist. Dann gibt es eine offene Umgebung $V = V(ρ) ⊂ U$,
sodass Folgendes gilt.
\begin{enumerate}
\item Das Bild $W := f(V) ⊂ ℂ$ ist offen.
@@ -16,12 +16,12 @@ Ich beginne mit einer Erinnerung.
\end{enumerate}
\end{lem}
\begin{proof}
Das haben wir schon oft gemacht. Wir wissen, dass $f$ unendlich oft komplex
differenzierbar ist. Insbesondere ist $f'$ stetig und es gibt Umgebung von $ρ$
wo $f' ≠ 0$ ist. Aus der Vorlesung „Analysis II“ kennen wir den Satz über die
lokale Umkehrbarkeit: es gibt eine offene Umgebung $V = V(ρ) \subseteq U$,
sodass $W := f(V)$ offen und $f|_V: V → W$ bijektiv ist. Außerdem gilt: für
jedes $z ∈ V$ ist $f'(z) ≠ 0$. Nach Proposition~\vref{prop:2-4-4} ist die
Das haben wir schon oft gemacht. Wir wissen, dass $f$ unendlich oft komplex
differenzierbar ist. Insbesondere ist $f'$ stetig und es gibt Umgebung von $ρ$
wo $f' ≠ 0$ ist. Aus der Vorlesung „Analysis II“ kennen wir den Satz über die
lokale Umkehrbarkeit: es gibt eine offene Umgebung $V = V(ρ) ⊆ U$,
sodass $W := f(V)$ offen und $f|_V: V → W$ bijektiv ist. Außerdem gilt: für
jedes $z ∈ V$ ist $f'(z) ≠ 0$. Nach Proposition~\vref{prop:2-4-4} ist die
Umkehrfunktion $(f|_V)^{-1}$ wieder holomorph.
\end{proof}
@@ -30,74 +30,85 @@ dass jeder Punkt aus $ℂ^*$ eine Umgebung hat, auf der eine Wurzelfunktion
existiert.
\begin{satz}[Wurzeln holomorpher Funktionen]\label{satz:8-0-2}%
Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ \sO(U)$. Angenommen, $f$ hat bei $ρ ∈ U$ eine
Nullstelle von Ordnung $n$, mit $1 ≤ n < ∞$. Dann gibt es eine Umgebung $V =
V(ρ) ⊂ U$ und eine Funktion $b ∈ \sO(V)$ sodass folgendes gilt:
Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$. Angenommen, $f$ hat bei $ρ ∈ U$ eine
Nullstelle von Ordnung $n$, mit $1 ≤ n < ∞$. Dann gibt es eine Umgebung $V =
V(ρ) ⊂ U$ und eine Funktion $b ∈ 𝒪(V)$ sodass folgendes gilt:
\begin{enumerate}
\item Für jedes $z ∈ V$ gilt $f(z) = b(z)^n$, und
\item die Bildmenge $W := b(V) ⊂ ℂ$ ist offen und $b: V → W$ ist biholomorph.
\item Für jedes $z ∈ V$ gilt $f(z) = b(z)^n$.
\item Die Bildmenge $W := b(V) ⊂ ℂ$ ist offen und $b: V → W$ ist biholomorph.
\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
Wir betrachten nur den Fall, dass $ρ ∈ ℂ$ der Nullpunkt ist. Falls $n = 1$,
Wir betrachten nur den Fall, dass $ρ ∈ ℂ$ der Nullpunkt ist. Falls $n = 1$,
dann zeigt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass wir $b := f$ setzen können.
Sei also $n > 1$. Wir haben schon gesehen: auf einer geeigneten Kreisscheibe
Sei also $n > 1$. Wir haben schon gesehen: auf einer geeigneten Kreisscheibe
$D$ um $ρ = 0$ gibt es eine Funktion $g$ mit $g(0) ≠ 0$, sodass auf ganz $D$
die folgende Gleichung gilt:
\[
f(z) = z^n·g(z).
\]
Insbesondere gibt es offene Umgebung $\Omega = \Omega(g(0)) ⊂ ℂ$, sodass auf
$\Omega$ eine $n$-te Wurzelfunktion existiert, also eine Funktion $r: \Omega →
ℂ^*$ sodass für jedes $\omega \in \Omega$ die Gleichung $r(\omega)^n = \omega$
gilt.
Setze dann $V := D \cap g^{-1}(\Omega)$ und definiere die Funktion
Insbesondere gibt es offene Umgebung $Ω = Ω(g(0)) ⊂ ℂ$, sodass auf $Ω$ eine
$n$-te Wurzelfunktion existiert, also eine Funktion $r: Ω → ℂ^*$ sodass für
jedes $ω ∈ Ω$ die Gleichung $r(ω)^n = ω$ gilt. Setze dann $V := D ∩ g^{-1}(Ω)$
und definiere die Funktion
\[
b : V \to \bC, \quad z \mapsto z·r(g(z)).
b : V → ℂ, \quad z ↦ z·r(g(z)).
\]
Rechne nach, dass $b$ die gewünschten Eigenschaften hat.
\end{proof}
Als Konsequenz von Satz~\ref{satz:8-0-2} können wir sagen, dass lokal jede
holomorphe Funktion aussieht wie $z ↦ z^n$. Der folgende Satz macht diese
Aussage präzise.
Als Konsequenz von Satz~\ref{satz:8-0-2} können wir sagen, dass lokal jede
holomorphe Funktion aussieht wie $z ↦ z^n$. Die folgende Notation und der
folgende Satz machen diese Aussage präzise.
\begin{definition}[Einbettungen]\label{def:8-0-2}%
Es sei $U \subseteq \bC$ offen und $f \in \mathcal{O}(U)$. Nenne $f$ eine
\emph{Einbettung von $U$ in $\bC$}\index{Einbettung}, wenn $f(U) \subseteq
\bC$ offen und die eingeschränkte Abbildung $f: U \to f(U)$ biholomorph ist.
\end{definition}
\begin{notation}[Einbettungen]
In der Situation von Definition~\ref{def:8-0-2} schreibt man anstelle der
üblichen Notation $f: U \to \bC$ oft $f: U \hookrightarrow \bC$, um darauf
hinzuweisen, dass $f$ eine Einbettung ist,
\end{notation}
\begin{satz}[Lokale Struktur holomorpher Funktionen]\label{satz:8-0-3}%
Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ \sO(U)$. Weiter sei $ρ ∈ U$ ein Punkt, sodass
$f$ in der Nähe von $ρ$ nicht konstant ist. Dann gibt es Einbettungen der
Einheitskreisscheibe,
Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$. Weiter sei $ρ ∈ U$ ein Punkt, sodass
$f$ in der Nähe von $ρ$ nicht konstant ist. Dann gibt es eine Zahl $n ∈ ℕ$
und Einbettungen der Einheitskreisscheibe,
\[
u, v: Δ → ℂ,
u, v: Δ \hookrightarrow ℂ,
\]
sodass die folgenden Eigenschaften gelten
\[
u(\Delta) \subseteq U, \quad u(0) = ρ, \quad v(0) = f(ρ).
u(Δ) ⊆ U, \quad u(0) = ρ, \quad v(0) = f(ρ)
\]
Zusätzlich gilt: Es gibt eine Zahl $n ∈ ℕ$, sodass das folgende Diagramm
kommutiert
und das folgende Diagramm kommutiert
\[
\begin{tikzcd}
Δ \ar[r, "u"] \ar[d, "z \mapsto z^n"'] & U \ar[d, "f"] \\
Δ \ar[r, "v"'] & ℂ.
Δ \ar[r, hook, "u"] \ar[d, "z ↦ z^n"'] & U \ar[d, "f"] \\
Δ \ar[r, hook, "v"'] & ℂ.
\end{tikzcd}
\]
\end{satz}
\begin{proof}
Wir betrachten die Funktion $z \mapsto f(z) - ρ$, die am Punkt $ρ$ eine
Nullstelle hat. Sei $1 \leq n < ∞$ die Nullstellenordnung dieser Funktion bei
$p$. Nach Satz~\ref{satz:8-0-2} über die Wurzeln holomorpher Funktionen gibt
es eine Umgebung $V = V(ρ)$ und eine Einbettung
Wir betrachten die Funktion $z ↦ f(z) - ρ$, die am Punkt $ρ$ eine Nullstelle
hat. Sei $1 ≤ n < ∞$ die Nullstellenordnung dieser Funktion bei $p$. Nach
Satz~\ref{satz:8-0-2} über die Wurzeln holomorpher Funktionen gibt es eine
Umgebung $V = V(ρ)$ und eine Einbettung
\[
b: V → ℂ
\]
mit Bildmenge $W$, sodass für jedes $z ∈ V$ gilt: $f(z) - ρ = b(z)^n$.
Die Menge $W$ ist eine offene Umgebung der $0$. Wir können daher ein Skalar
$λ ∈ ℝ^+$ wählen, sodass die skalierte Menge $λ·W = \{λ·w \::\: w ∈ W\}$ den
Einheitskreis $Δ$ enthält. Betrachte die Abbildung
$λ ∈ ℝ⁺$ wählen, sodass die skalierte Menge $λ·W = \{λ·w \::\: w ∈ W\}$ den
Einheitskreis $Δ$ enthält. Betrachte die Abbildung
\[
u : \Delta \to \bC, \quad z \mapsto \bigl(λ·b(z)\bigr)^{-1}
u : Δ → ℂ, \quad z ↦ \bigl(λ·b(z)\bigr)^{-1}
\]
und setze
\[
@@ -115,28 +126,28 @@ Aussage präzise.
v: Δ → ℂ, \quad z ↦ \frac{z}{\sqrt[n]{λ}} + ρ.
\]
Nachdem wir die Kreisscheibe $D$ um $0$ gegebenenfalls verkleinern, können wir
annehmen, dass $g(D) ⊂ \widetilde{W}$ ist. Dann gilt für jedes $z ∈ D$:
annehmen, dass $g(D) ⊂ \widetilde{W}$ ist. Dann gilt für jedes $z ∈ D$:
\[
f(z) = z^n·r(g(z))^n = \left[z·r(g(z))\right]^n.
\]
Jetzt ist klar: $\left[z·r(g(z))\right](ρ)$ ist eine Wurzel von $g(ρ) ≠ 0$,
also selbst ungleich 0. Deshalb sagt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass es eine
also selbst ungleich 0. Deshalb sagt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass es eine
Umgebung $V ⊂ Δ$ gibt, sodass $b = z·r(g(z))$ biholomorph auf die Bildmenge
ist.
\end{proof}
Satz~\ref{satz:8-0-3} erlaubt, jede (nicht-konstante) holomorphe Funktion lokal
mit der holomorphen Funktion $z ↦ z^n$ zu vergleichen. Zum Beispiel ist die
Abbildung $z ↦ z^n$ offen (= Bilder offener Mengen sind offen). Also erhalten
mit der holomorphen Funktion $z ↦ z^n$ zu vergleichen. Zum Beispiel ist die
Abbildung $z ↦ z^n$ offen (= Bilder offener Mengen sind offen). Also erhalten
wir:
\begin{satz}[Satz von der Gebietstreue]\label{satz:gebietstreue}%
Sei $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend, und sei $f ∈ \sO(U)$ nicht konstant.
Sei $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend, und sei $f ∈ 𝒪(U)$ nicht konstant.
Dann ist $f(U) ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend.
\end{satz}
\begin{proof}
Nach dem Satz über die lokale Struktur ist $f(U)$ offen, weil die Abbildung
$f$ offen ist. Aus der Vorlesung „Analysis II“ wissen wir: Bilder
$f$ offen ist. Aus der Vorlesung „Analysis II“ wissen wir: Bilder
zusammenhängender Mengen unter stetigen Abbildungen sind zusammenhängend.
\end{proof}
@@ -149,17 +160,18 @@ wir:
Als Beispielanwendung erhalten wir einen neuen Beweis des Maximumsprinzips.
\begin{satz}[Maximumsprinzip]
Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet und $f ∈ \sO(U)$ sei eine nicht-konstante, holomorphe
Funktion. Dann hat $|f|$ kein lokales Maximum in $U$.
\begin{satz}[Maximumprinzip]
\index{Maximumprinzip}Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet und $f ∈ 𝒪(U)$ sei eine
nicht-konstante, holomorphe Funktion. Dann hat $|f|$ kein lokales Maximum in
$U$.
\end{satz}
\begin{proof}
Wir argumentieren mit Widerspruch und nehmen an, es gebe ein $ρ ∈ U$ sodass
$|f|$ bei $ρ$ ein lokales Maximum annimmt. Nach Verkleinern von $U$ können wir
ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $|f|$ bei $ρ$ ein globales
Maximum annimmt. Aber: $f(U)$ ist offen, also existiert ein $ε > 0$, sodass
$B_ε(f(ρ)) ⊂ f(U)$ ist. Also liegen in $f(U)$ neben $f(ρ)$ noch Punkten mit
größerem Betrag.
$|f|$ bei $ρ$ ein lokales Maximum annimmt. Nach Verkleinern von $U$ können
wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $|f|$ bei $ρ$ ein
globales Maximum annimmt. Aber: $f(U)$ ist offen, also existiert ein $ε > 0$,
sodass $B_ε(f(ρ)) ⊂ f(U)$ ist. Also liegen in $f(U)$ neben $f(ρ)$ noch
Punkten mit größerem Betrag.
\end{proof}
% !TEX root = Funktionentheorie

41
09-singularities.tex
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@@ -5,54 +5,53 @@
\section{Isolierte Singularitäten}
Wir interessieren uns für die folgende Situation: Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet, sei
$ρ ∈ U$ ein Punkt. Gegeben eine holomorphe Funktion $f ∈ \sO(U \setminus ρ)$.
Was kann ich über das Verhalten von $f$ bei $ρ$ sagen?
Wir interessieren uns für die folgende Situation: Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet, sei $ρ
∈ U$ ein Punkt. Gegeben eine holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(U ∖ ρ)$. Was kann ich
über das Verhalten von $f$ bei $ρ$ sagen?
\begin{bsp}
In diesen Beispielen ist $U = ℂ$ und $ρ = 0$.
\begin{enumerate}
\item Die Funktion $f(z) = z$ ist die Einschränkung einer holomorphe Funktion,
die bereits auf ganz $U$ definiert ist. Man sagt in diesem Fall, die
\emph{Singularität von $f$ bei $ρ$ ist hebbar}.
die bereits auf ganz $U$ definiert ist. Man sagt in diesem Fall, die
\emph{Singularität von $f$ bei $ρ$ ist hebbar}.
\item Die Funktion $f(z) = 1/z$ ist keinesfalls die Einschränkung einer
holomorphe Funktion, die bereits auf ganz $U$ definiert. Tatsächlich ist $f$
ist nicht einmal Einschränkung einer stetigen Funktion, die auf ganz $ℂ$
definiert ist (denn für jedes $ε ∈ ℝ^+$ ist die Funktion $|1/z|$ auf $B_ε(0)
\setminus 0$ unbeschränkt). Aber: ganz schlimm ist $f$ auch nicht, denn
$z·f(z)$ ist holomorph. Man sagt, die \emph{Funktion $f$ hat bei $0$ eine
holomorphe Funktion, die bereits auf ganz $U$ definiert. Tatsächlich ist
$f$ ist nicht einmal Einschränkung einer stetigen Funktion, die auf ganz $ℂ$
definiert ist (denn für jedes $ε ∈ ℝ⁺$ ist die Funktion $|1/z|$ auf $B_ε(0)
∖ 0$ unbeschränkt). Aber: ganz schlimm ist $f$ auch nicht, denn $z·f(z)$
ist holomorph. Man sagt, die \emph{Funktion $f$ hat bei $0$ eine
Polstelle}.
\item Im Vergleich zu den vorhergehenden Funktionen ist $f(z) = \exp(1/z)$
echt übel. Man rechne nach: für jedes $n ∈ ℕ$ ist $z^n·\exp(1/z)$ in der
echt übel. Man rechne nach: für jedes $n ∈ ℕ$ ist $z^n·\exp(1/z)$ in der
Nähe von $0$ betragsmäßig unbeschränkt (dazu reicht es, reelle $z$ zu
betrachten). So etwas nennen wir eine \emph{wesentliche Singularität}.
betrachten). So etwas nennen wir eine \emph{wesentliche Singularität}.
\end{enumerate}
\end{bsp}
\begin{definition}[Funktionen mit isolierten Singularitäten]\label{def:9-1-1}%
Sei $U ⊂ ℂ$ offen. Eine \emph{holomorphe Funktion mit isolierten
Sei $U ⊂ ℂ$ offen. Eine \emph{holomorphe Funktion mit isolierten
Singularitäten}\index{holomorph!mit isolieren Singularitäten} ist eine
holomorphe Funktion $f ∈ \sO(U \setminus T)$ wobei $T ⊂ U$ eine diskrete Menge
ist.
holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(U ∖ T)$ wobei $T ⊂ U$ eine diskrete Menge ist.
\end{definition}
\begin{definition}[Typen mit isolierten Singularitäten]
In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-1} sei ein Punkt $ρ ∈ T$.
\begin{enumerate}
\item Wenn es eine Funktion $F ∈ \sO( (U \setminus T) \cup \{ρ\})$, die auch
$U \setminus T$ mit $f$ übereinstimmt, dann sagt man, dass $f$ bei
$ρ$ eine \emph{hebbare Singularität}\index{hebbare Singularität} hat.
\item Wenn es eine Funktion $F ∈ 𝒪( (U ∖ T) ∪ \{ρ\})$, die auch $U ∖ T$ mit
$f$ übereinstimmt, dann sagt man, dass $f$ bei $ρ$ eine \emph{hebbare
Singularität}\index{hebbare Singularität} hat.
\item Wenn $f$ hat bei $ρ$ keine hebbare Singularität, es aber eine Zahl $n ∈
ℕ$ gibt, sodass die Funktion $(z - ρ)^n·f(z)$ eine hebbare Singularität hat,
dann sagt man, dass $f$ bei $\rho$ eine \emph{Polstelle}\index{Polstelle}
hat. Die kleinste Zahl $n$ heisst
dann sagt man, dass $f$ bei $ρ$ eine \emph{Polstelle}\index{Polstelle} hat.
Die kleinste Zahl $n$ heißt
\emph{Polstellenordnung}\index{Polstellenordnung} von $f$ am Punkt $ρ$.
\item Wenn die Funktion $f$ bei $ρ$ weder eine hebbare Singularität noch eine
Polstelle hat, dann sagt man, dass $f$ bei $\rho$ eine \emph{wesentliche
Polstelle hat, dann sagt man, dass $f$ bei $ρ$ eine \emph{wesentliche
Singularität}\index{wesentliche Singularität} hat.
\end{enumerate}
\end{definition}