From 4e22f94a5f64f72908becf4390c5f5fb4a596584 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Mon, 10 Nov 2025 09:36:39 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Working=E2=80=A6?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 07-nullstelle.tex | 4 +- 08-lokaleStruktur.tex | 120 +++++++++++++++++++++++------------------- 09-singularities.tex | 41 +++++++-------- 3 files changed, 88 insertions(+), 77 deletions(-) diff --git a/07-nullstelle.tex b/07-nullstelle.tex index cc039e1..eaa6f6b 100644 --- a/07-nullstelle.tex +++ b/07-nullstelle.tex @@ -165,12 +165,12 @@ $ℂ$. \begin{proof} Wenn $f \equiv 0$ ist, dann ist alles klar. Also nehmen wir im Folgenden an, dass $f$ \emph{nicht} die Nullfunktion ist. Die Zahl $0 ∈ ℂ$ ist also eine - isolierte Nullstelle. Schreibe dann $f(z) = z · g(z)$, wo $g ∈ 𝒪(Δ)$. Wir + isolierte Nullstelle. Schreibe dann $f(z) = z · g(z)$, wo $g ∈ 𝒪(Δ)$. Wir halten folgende Eigenschaften der Funktion $g$ fest. \begin{enumerate} \item\label{il:7-2-1-5} Für alle $z ∈ Δ$ gilt die Ungleichung $|g(z)| ≤ 1$. Dazu argumentieren wir mit Widerspruch und nehmen an, dass es ein $z_m ∈ - Δ$ gibt mit $|f(z_m)| > |z_m|$. Dann ist auch $|g(z_m)| > 1$. Wähle ein + Δ$ gibt mit $|f(z_m)| > |z_m|$. Dann ist auch $|g(z_m)| > 1$. Wähle ein $ε > 0$ so klein, dass $|g(z)| > 1 + ε$ gilt und beachte aber, dass für jede Zahl $z$ mit $|z| > \frac{1}{1+ε}$ die folgende Ungleichung gilt: \[ diff --git a/08-lokaleStruktur.tex b/08-lokaleStruktur.tex index 9dacaa0..13eee66 100644 --- a/08-lokaleStruktur.tex +++ b/08-lokaleStruktur.tex @@ -6,8 +6,8 @@ Ich beginne mit einer Erinnerung. \begin{lem}\label{lem:8-0-1}% - Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ \sO(U)$. Weiter sei ein Punkt $ρ ∈ U$ gegeben, - sodass $f'(ρ) ≠ 0$ ist. Dann gibt es eine offene Umgebung $V = V(ρ) ⊂ U$, + Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$. Weiter sei ein Punkt $ρ ∈ U$ gegeben, + sodass $f'(ρ) ≠ 0$ ist. Dann gibt es eine offene Umgebung $V = V(ρ) ⊂ U$, sodass Folgendes gilt. \begin{enumerate} \item Das Bild $W := f(V) ⊂ ℂ$ ist offen. @@ -16,12 +16,12 @@ Ich beginne mit einer Erinnerung. \end{enumerate} \end{lem} \begin{proof} - Das haben wir schon oft gemacht. Wir wissen, dass $f$ unendlich oft komplex - differenzierbar ist. Insbesondere ist $f'$ stetig und es gibt Umgebung von $ρ$ - wo $f' ≠ 0$ ist. Aus der Vorlesung „Analysis II“ kennen wir den Satz über die - lokale Umkehrbarkeit: es gibt eine offene Umgebung $V = V(ρ) \subseteq U$, - sodass $W := f(V)$ offen und $f|_V: V → W$ bijektiv ist. Außerdem gilt: für - jedes $z ∈ V$ ist $f'(z) ≠ 0$. Nach Proposition~\vref{prop:2-4-4} ist die + Das haben wir schon oft gemacht. Wir wissen, dass $f$ unendlich oft komplex + differenzierbar ist. Insbesondere ist $f'$ stetig und es gibt Umgebung von $ρ$ + wo $f' ≠ 0$ ist. Aus der Vorlesung „Analysis II“ kennen wir den Satz über die + lokale Umkehrbarkeit: es gibt eine offene Umgebung $V = V(ρ) ⊆ U$, + sodass $W := f(V)$ offen und $f|_V: V → W$ bijektiv ist. Außerdem gilt: für + jedes $z ∈ V$ ist $f'(z) ≠ 0$. Nach Proposition~\vref{prop:2-4-4} ist die Umkehrfunktion $(f|_V)^{-1}$ wieder holomorph. \end{proof} @@ -30,74 +30,85 @@ dass jeder Punkt aus $ℂ^*$ eine Umgebung hat, auf der eine Wurzelfunktion existiert. \begin{satz}[Wurzeln holomorpher Funktionen]\label{satz:8-0-2}% - Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ \sO(U)$. Angenommen, $f$ hat bei $ρ ∈ U$ eine - Nullstelle von Ordnung $n$, mit $1 ≤ n < ∞$. Dann gibt es eine Umgebung $V = - V(ρ) ⊂ U$ und eine Funktion $b ∈ \sO(V)$ sodass folgendes gilt: + Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$. Angenommen, $f$ hat bei $ρ ∈ U$ eine + Nullstelle von Ordnung $n$, mit $1 ≤ n < ∞$. Dann gibt es eine Umgebung $V = + V(ρ) ⊂ U$ und eine Funktion $b ∈ 𝒪(V)$ sodass folgendes gilt: \begin{enumerate} - \item Für jedes $z ∈ V$ gilt $f(z) = b(z)^n$, und - \item die Bildmenge $W := b(V) ⊂ ℂ$ ist offen und $b: V → W$ ist biholomorph. + \item Für jedes $z ∈ V$ gilt $f(z) = b(z)^n$. + + \item Die Bildmenge $W := b(V) ⊂ ℂ$ ist offen und $b: V → W$ ist biholomorph. \end{enumerate} \end{satz} \begin{proof} - Wir betrachten nur den Fall, dass $ρ ∈ ℂ$ der Nullpunkt ist. Falls $n = 1$, + Wir betrachten nur den Fall, dass $ρ ∈ ℂ$ der Nullpunkt ist. Falls $n = 1$, dann zeigt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass wir $b := f$ setzen können. - Sei also $n > 1$. Wir haben schon gesehen: auf einer geeigneten Kreisscheibe + Sei also $n > 1$. Wir haben schon gesehen: auf einer geeigneten Kreisscheibe $D$ um $ρ = 0$ gibt es eine Funktion $g$ mit $g(0) ≠ 0$, sodass auf ganz $D$ die folgende Gleichung gilt: \[ f(z) = z^n·g(z). \] - Insbesondere gibt es offene Umgebung $\Omega = \Omega(g(0)) ⊂ ℂ$, sodass auf - $\Omega$ eine $n$-te Wurzelfunktion existiert, also eine Funktion $r: \Omega → - ℂ^*$ sodass für jedes $\omega \in \Omega$ die Gleichung $r(\omega)^n = \omega$ - gilt. - Setze dann $V := D \cap g^{-1}(\Omega)$ und definiere die Funktion + Insbesondere gibt es offene Umgebung $Ω = Ω(g(0)) ⊂ ℂ$, sodass auf $Ω$ eine + $n$-te Wurzelfunktion existiert, also eine Funktion $r: Ω → ℂ^*$ sodass für + jedes $ω ∈ Ω$ die Gleichung $r(ω)^n = ω$ gilt. Setze dann $V := D ∩ g^{-1}(Ω)$ + und definiere die Funktion \[ - b : V \to \bC, \quad z \mapsto z·r(g(z)). + b : V → ℂ, \quad z ↦ z·r(g(z)). \] Rechne nach, dass $b$ die gewünschten Eigenschaften hat. \end{proof} -Als Konsequenz von Satz~\ref{satz:8-0-2} können wir sagen, dass lokal jede -holomorphe Funktion aussieht wie $z ↦ z^n$. Der folgende Satz macht diese -Aussage präzise. +Als Konsequenz von Satz~\ref{satz:8-0-2} können wir sagen, dass lokal jede +holomorphe Funktion aussieht wie $z ↦ z^n$. Die folgende Notation und der +folgende Satz machen diese Aussage präzise. + +\begin{definition}[Einbettungen]\label{def:8-0-2}% + Es sei $U \subseteq \bC$ offen und $f \in \mathcal{O}(U)$. Nenne $f$ eine + \emph{Einbettung von $U$ in $\bC$}\index{Einbettung}, wenn $f(U) \subseteq + \bC$ offen und die eingeschränkte Abbildung $f: U \to f(U)$ biholomorph ist. +\end{definition} + +\begin{notation}[Einbettungen] + In der Situation von Definition~\ref{def:8-0-2} schreibt man anstelle der + üblichen Notation $f: U \to \bC$ oft $f: U \hookrightarrow \bC$, um darauf + hinzuweisen, dass $f$ eine Einbettung ist, +\end{notation} \begin{satz}[Lokale Struktur holomorpher Funktionen]\label{satz:8-0-3}% - Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ \sO(U)$. Weiter sei $ρ ∈ U$ ein Punkt, sodass - $f$ in der Nähe von $ρ$ nicht konstant ist. Dann gibt es Einbettungen der - Einheitskreisscheibe, + Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$. Weiter sei $ρ ∈ U$ ein Punkt, sodass + $f$ in der Nähe von $ρ$ nicht konstant ist. Dann gibt es eine Zahl $n ∈ ℕ$ + und Einbettungen der Einheitskreisscheibe, \[ - u, v: Δ → ℂ, + u, v: Δ \hookrightarrow ℂ, \] sodass die folgenden Eigenschaften gelten \[ - u(\Delta) \subseteq U, \quad u(0) = ρ, \quad v(0) = f(ρ). + u(Δ) ⊆ U, \quad u(0) = ρ, \quad v(0) = f(ρ) \] - Zusätzlich gilt: Es gibt eine Zahl $n ∈ ℕ$, sodass das folgende Diagramm - kommutiert + und das folgende Diagramm kommutiert \[ \begin{tikzcd} - Δ \ar[r, "u"] \ar[d, "z \mapsto z^n"'] & U \ar[d, "f"] \\ - Δ \ar[r, "v"'] & ℂ. + Δ \ar[r, hook, "u"] \ar[d, "z ↦ z^n"'] & U \ar[d, "f"] \\ + Δ \ar[r, hook, "v"'] & ℂ. \end{tikzcd} \] \end{satz} \begin{proof} - Wir betrachten die Funktion $z \mapsto f(z) - ρ$, die am Punkt $ρ$ eine - Nullstelle hat. Sei $1 \leq n < ∞$ die Nullstellenordnung dieser Funktion bei - $p$. Nach Satz~\ref{satz:8-0-2} über die Wurzeln holomorpher Funktionen gibt - es eine Umgebung $V = V(ρ)$ und eine Einbettung + Wir betrachten die Funktion $z ↦ f(z) - ρ$, die am Punkt $ρ$ eine Nullstelle + hat. Sei $1 ≤ n < ∞$ die Nullstellenordnung dieser Funktion bei $p$. Nach + Satz~\ref{satz:8-0-2} über die Wurzeln holomorpher Funktionen gibt es eine + Umgebung $V = V(ρ)$ und eine Einbettung \[ b: V → ℂ \] mit Bildmenge $W$, sodass für jedes $z ∈ V$ gilt: $f(z) - ρ = b(z)^n$. Die Menge $W$ ist eine offene Umgebung der $0$. Wir können daher ein Skalar - $λ ∈ ℝ^+$ wählen, sodass die skalierte Menge $λ·W = \{λ·w \::\: w ∈ W\}$ den - Einheitskreis $Δ$ enthält. Betrachte die Abbildung + $λ ∈ ℝ⁺$ wählen, sodass die skalierte Menge $λ·W = \{λ·w \::\: w ∈ W\}$ den + Einheitskreis $Δ$ enthält. Betrachte die Abbildung \[ - u : \Delta \to \bC, \quad z \mapsto \bigl(λ·b(z)\bigr)^{-1} + u : Δ → ℂ, \quad z ↦ \bigl(λ·b(z)\bigr)^{-1} \] und setze \[ @@ -115,28 +126,28 @@ Aussage präzise. v: Δ → ℂ, \quad z ↦ \frac{z}{\sqrt[n]{λ}} + ρ. \] Nachdem wir die Kreisscheibe $D$ um $0$ gegebenenfalls verkleinern, können wir - annehmen, dass $g(D) ⊂ \widetilde{W}$ ist. Dann gilt für jedes $z ∈ D$: + annehmen, dass $g(D) ⊂ \widetilde{W}$ ist. Dann gilt für jedes $z ∈ D$: \[ f(z) = z^n·r(g(z))^n = \left[z·r(g(z))\right]^n. \] Jetzt ist klar: $\left[z·r(g(z))\right](ρ)$ ist eine Wurzel von $g(ρ) ≠ 0$, - also selbst ungleich 0. Deshalb sagt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass es eine + also selbst ungleich 0. Deshalb sagt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass es eine Umgebung $V ⊂ Δ$ gibt, sodass $b = z·r(g(z))$ biholomorph auf die Bildmenge ist. \end{proof} Satz~\ref{satz:8-0-3} erlaubt, jede (nicht-konstante) holomorphe Funktion lokal -mit der holomorphen Funktion $z ↦ z^n$ zu vergleichen. Zum Beispiel ist die -Abbildung $z ↦ z^n$ offen (= Bilder offener Mengen sind offen). Also erhalten +mit der holomorphen Funktion $z ↦ z^n$ zu vergleichen. Zum Beispiel ist die +Abbildung $z ↦ z^n$ offen (= Bilder offener Mengen sind offen). Also erhalten wir: \begin{satz}[Satz von der Gebietstreue]\label{satz:gebietstreue}% - Sei $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend, und sei $f ∈ \sO(U)$ nicht konstant. + Sei $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend, und sei $f ∈ 𝒪(U)$ nicht konstant. Dann ist $f(U) ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend. \end{satz} \begin{proof} Nach dem Satz über die lokale Struktur ist $f(U)$ offen, weil die Abbildung - $f$ offen ist. Aus der Vorlesung „Analysis II“ wissen wir: Bilder + $f$ offen ist. Aus der Vorlesung „Analysis II“ wissen wir: Bilder zusammenhängender Mengen unter stetigen Abbildungen sind zusammenhängend. \end{proof} @@ -149,17 +160,18 @@ wir: Als Beispielanwendung erhalten wir einen neuen Beweis des Maximumsprinzips. -\begin{satz}[Maximumsprinzip] - Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet und $f ∈ \sO(U)$ sei eine nicht-konstante, holomorphe - Funktion. Dann hat $|f|$ kein lokales Maximum in $U$. +\begin{satz}[Maximumprinzip] + \index{Maximumprinzip}Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet und $f ∈ 𝒪(U)$ sei eine + nicht-konstante, holomorphe Funktion. Dann hat $|f|$ kein lokales Maximum in + $U$. \end{satz} \begin{proof} Wir argumentieren mit Widerspruch und nehmen an, es gebe ein $ρ ∈ U$ sodass - $|f|$ bei $ρ$ ein lokales Maximum annimmt. Nach Verkleinern von $U$ können wir - ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $|f|$ bei $ρ$ ein globales - Maximum annimmt. Aber: $f(U)$ ist offen, also existiert ein $ε > 0$, sodass - $B_ε(f(ρ)) ⊂ f(U)$ ist. Also liegen in $f(U)$ neben $f(ρ)$ noch Punkten mit - größerem Betrag. + $|f|$ bei $ρ$ ein lokales Maximum annimmt. Nach Verkleinern von $U$ können + wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $|f|$ bei $ρ$ ein + globales Maximum annimmt. Aber: $f(U)$ ist offen, also existiert ein $ε > 0$, + sodass $B_ε(f(ρ)) ⊂ f(U)$ ist. Also liegen in $f(U)$ neben $f(ρ)$ noch + Punkten mit größerem Betrag. \end{proof} % !TEX root = Funktionentheorie diff --git a/09-singularities.tex b/09-singularities.tex index c5e86fd..bb01cce 100644 --- a/09-singularities.tex +++ b/09-singularities.tex @@ -5,54 +5,53 @@ \section{Isolierte Singularitäten} -Wir interessieren uns für die folgende Situation: Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet, sei -$ρ ∈ U$ ein Punkt. Gegeben eine holomorphe Funktion $f ∈ \sO(U \setminus ρ)$. -Was kann ich über das Verhalten von $f$ bei $ρ$ sagen? +Wir interessieren uns für die folgende Situation: Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet, sei $ρ +∈ U$ ein Punkt. Gegeben eine holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(U ∖ ρ)$. Was kann ich +über das Verhalten von $f$ bei $ρ$ sagen? \begin{bsp} In diesen Beispielen ist $U = ℂ$ und $ρ = 0$. \begin{enumerate} \item Die Funktion $f(z) = z$ ist die Einschränkung einer holomorphe Funktion, - die bereits auf ganz $U$ definiert ist. Man sagt in diesem Fall, die - \emph{Singularität von $f$ bei $ρ$ ist hebbar}. + die bereits auf ganz $U$ definiert ist. Man sagt in diesem Fall, die + \emph{Singularität von $f$ bei $ρ$ ist hebbar}. \item Die Funktion $f(z) = 1/z$ ist keinesfalls die Einschränkung einer - holomorphe Funktion, die bereits auf ganz $U$ definiert. Tatsächlich ist $f$ - ist nicht einmal Einschränkung einer stetigen Funktion, die auf ganz $ℂ$ - definiert ist (denn für jedes $ε ∈ ℝ^+$ ist die Funktion $|1/z|$ auf $B_ε(0) - \setminus 0$ unbeschränkt). Aber: ganz schlimm ist $f$ auch nicht, denn - $z·f(z)$ ist holomorph. Man sagt, die \emph{Funktion $f$ hat bei $0$ eine + holomorphe Funktion, die bereits auf ganz $U$ definiert. Tatsächlich ist + $f$ ist nicht einmal Einschränkung einer stetigen Funktion, die auf ganz $ℂ$ + definiert ist (denn für jedes $ε ∈ ℝ⁺$ ist die Funktion $|1/z|$ auf $B_ε(0) + ∖ 0$ unbeschränkt). Aber: ganz schlimm ist $f$ auch nicht, denn $z·f(z)$ + ist holomorph. Man sagt, die \emph{Funktion $f$ hat bei $0$ eine Polstelle}. \item Im Vergleich zu den vorhergehenden Funktionen ist $f(z) = \exp(1/z)$ - echt übel. Man rechne nach: für jedes $n ∈ ℕ$ ist $z^n·\exp(1/z)$ in der + echt übel. Man rechne nach: für jedes $n ∈ ℕ$ ist $z^n·\exp(1/z)$ in der Nähe von $0$ betragsmäßig unbeschränkt (dazu reicht es, reelle $z$ zu - betrachten). So etwas nennen wir eine \emph{wesentliche Singularität}. + betrachten). So etwas nennen wir eine \emph{wesentliche Singularität}. \end{enumerate} \end{bsp} \begin{definition}[Funktionen mit isolierten Singularitäten]\label{def:9-1-1}% - Sei $U ⊂ ℂ$ offen. Eine \emph{holomorphe Funktion mit isolierten + Sei $U ⊂ ℂ$ offen. Eine \emph{holomorphe Funktion mit isolierten Singularitäten}\index{holomorph!mit isolieren Singularitäten} ist eine - holomorphe Funktion $f ∈ \sO(U \setminus T)$ wobei $T ⊂ U$ eine diskrete Menge - ist. + holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(U ∖ T)$ wobei $T ⊂ U$ eine diskrete Menge ist. \end{definition} \begin{definition}[Typen mit isolierten Singularitäten] In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-1} sei ein Punkt $ρ ∈ T$. \begin{enumerate} - \item Wenn es eine Funktion $F ∈ \sO( (U \setminus T) \cup \{ρ\})$, die auch - $U \setminus T$ mit $f$ übereinstimmt, dann sagt man, dass $f$ bei - $ρ$ eine \emph{hebbare Singularität}\index{hebbare Singularität} hat. + \item Wenn es eine Funktion $F ∈ 𝒪( (U ∖ T) ∪ \{ρ\})$, die auch $U ∖ T$ mit + $f$ übereinstimmt, dann sagt man, dass $f$ bei $ρ$ eine \emph{hebbare + Singularität}\index{hebbare Singularität} hat. \item Wenn $f$ hat bei $ρ$ keine hebbare Singularität, es aber eine Zahl $n ∈ ℕ$ gibt, sodass die Funktion $(z - ρ)^n·f(z)$ eine hebbare Singularität hat, - dann sagt man, dass $f$ bei $\rho$ eine \emph{Polstelle}\index{Polstelle} - hat. Die kleinste Zahl $n$ heisst + dann sagt man, dass $f$ bei $ρ$ eine \emph{Polstelle}\index{Polstelle} hat. + Die kleinste Zahl $n$ heißt \emph{Polstellenordnung}\index{Polstellenordnung} von $f$ am Punkt $ρ$. \item Wenn die Funktion $f$ bei $ρ$ weder eine hebbare Singularität noch eine - Polstelle hat, dann sagt man, dass $f$ bei $\rho$ eine \emph{wesentliche + Polstelle hat, dann sagt man, dass $f$ bei $ρ$ eine \emph{wesentliche Singularität}\index{wesentliche Singularität} hat. \end{enumerate} \end{definition}