From 345e43875ccc894d49a45de8bde5c2b7f1c4a10b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Mon, 10 Nov 2025 11:11:50 +0100 Subject: [PATCH] Working --- .vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt | 1 + 07-nullstelle.tex | 22 +-- 08-lokaleStruktur.tex | 142 ++++++++++++-------- 09-singularities.tex | 2 +- 4 files changed, 102 insertions(+), 65 deletions(-) diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index 126e025..3e3598b 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -25,3 +25,4 @@ {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QBehauptung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist wieder \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QId.\\E$"} {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QInsbesondere gibt es offene Umgebung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass auf \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzelfunktion existiert, also eine Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sodass für jedes \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWegen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gibt es eine offene Umgebung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q auf der eine \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzelfunktion existiert, also eine Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sodass für jedes \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"} diff --git a/07-nullstelle.tex b/07-nullstelle.tex index eaa6f6b..6bf9b5c 100644 --- a/07-nullstelle.tex +++ b/07-nullstelle.tex @@ -18,14 +18,15 @@ abgeschlossene Teilmenge von $U$ ist. Aber was können wir sonst noch sagen? \section{Zwei Typen von Nullstellen} +\label{sec:7-1} - In Situation~\ref{set:7-0-1} sei $ρ ∈ Z$ eine Nullstelle von $f$ und sei - \begin{equation}\label{eq:7-2-0-1} - \sum_{i=0}^∞ a_i(z-ρ)ⁱ - \end{equation} - die Potenzreihenentwicklung von $f$ im Punkt $ρ$. Der Konvergenzradius sei - $r$. Dann gibt es zwei Möglichkeiten: - \begin{description} +In Situation~\ref{set:7-0-1} sei $ρ ∈ Z$ eine Nullstelle von $f$ und sei +\begin{equation}\label{eq:7-2-0-1} + \sum_{i=0}^∞ a_i(z-ρ)ⁱ +\end{equation} +die Potenzreihenentwicklung von $f$ im Punkt $ρ$. Der Konvergenzradius sei $r$. +Dann gibt es zwei Möglichkeiten. +\begin{description} \item[Nullstelle vom Typ 1] Alle Koeffizienten $a_i$ der Potenzreihe~\eqref{eq:7-2-0-1} sind gleich 0. Dann ist $f$ bereits in einer ganzen Umgebung von $f$ konstant Null. @@ -55,8 +56,7 @@ abgeschlossene Teilmenge von $U$ ist. Aber was können wir sonst noch sagen? \] und es gibt ein $ε > 0$, sodass $Z ∩ B_ε(ρ) = \{ρ\}$ ist. Man sagt: $ρ$ ist eine isolierte Nullstelle von $f$. - \end{description} - +\end{description} Zusammenfassung: Ich kann die Nullstellenmenge $Z$ aufteilen \[ Z = \text{Typ 1} \: ∪ \text{Typ 2} @@ -79,8 +79,8 @@ In der Summe sehen wir: Die Menge Nullstellen vom Typ 1 ist offen \emph{und} abgeschlossen, also eine ganze Zusammenhangskomponente von $U$! \begin{notation}[Nullestellenordnung] - Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ O(U)$. Weiter sei $ρ ∈ U$ gegeben. Schreibe $f$ in - der Nähe von $ρ$ als Potenzreihe + Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$. Weiter sei $ρ ∈ U$ gegeben. Schreibe $f$ + in der Nähe von $ρ$ als Potenzreihe \[ f = \sum_{i=0}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ. \] diff --git a/08-lokaleStruktur.tex b/08-lokaleStruktur.tex index 13eee66..9329728 100644 --- a/08-lokaleStruktur.tex +++ b/08-lokaleStruktur.tex @@ -3,16 +3,18 @@ \chapter{Lokale Struktur holomorpher Funktionen} +\section{Wurzeln holomorpher Funktionen} + Ich beginne mit einer Erinnerung. \begin{lem}\label{lem:8-0-1}% Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$. Weiter sei ein Punkt $ρ ∈ U$ gegeben, sodass $f'(ρ) ≠ 0$ ist. Dann gibt es eine offene Umgebung $V = V(ρ) ⊂ U$, - sodass Folgendes gilt. + sodass folgendes gilt. \begin{enumerate} \item Das Bild $W := f(V) ⊂ ℂ$ ist offen. - \item Die eingeschränkte Abbildung $f|_V: V → W$ ist bijektiv und die - Umkehrfunktion ist holomorph. + + \item Die eingeschränkte Abbildung $f|_V: V → W$ ist biholomorph. \end{enumerate} \end{lem} \begin{proof} @@ -32,7 +34,7 @@ existiert. \begin{satz}[Wurzeln holomorpher Funktionen]\label{satz:8-0-2}% Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$. Angenommen, $f$ hat bei $ρ ∈ U$ eine Nullstelle von Ordnung $n$, mit $1 ≤ n < ∞$. Dann gibt es eine Umgebung $V = - V(ρ) ⊂ U$ und eine Funktion $b ∈ 𝒪(V)$ sodass folgendes gilt: + V(ρ) ⊂ U$ und eine Funktion $b ∈ 𝒪(V)$, sodass folgendes gilt. \begin{enumerate} \item Für jedes $z ∈ V$ gilt $f(z) = b(z)^n$. @@ -40,39 +42,43 @@ existiert. \end{enumerate} \end{satz} \begin{proof} - Wir betrachten nur den Fall, dass $ρ ∈ ℂ$ der Nullpunkt ist. Falls $n = 1$, - dann zeigt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass wir $b := f$ setzen können. + Wir betrachten aus Faulheit nur den Fall, dass $ρ ∈ ℂ$ der Nullpunkt ist. + Falls $n = 1$ ist, dann zeigt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass wir $b := f$ setzen + können. - Sei also $n > 1$. Wir haben schon gesehen: auf einer geeigneten Kreisscheibe - $D$ um $ρ = 0$ gibt es eine Funktion $g$ mit $g(0) ≠ 0$, sodass auf ganz $D$ - die folgende Gleichung gilt: + Sei also $n > 1$. Wir haben im Abschnitt~\ref{sec:7-1} aber schon gesehen: + auf einer geeigneten Kreisscheibe $D$ um $ρ = 0$ gibt es eine Funktion $g$ mit + $g(0) ≠ 0$, sodass auf ganz $D$ die folgende Gleichung gilt: \[ f(z) = z^n·g(z). \] - Insbesondere gibt es offene Umgebung $Ω = Ω(g(0)) ⊂ ℂ$, sodass auf $Ω$ eine + Wegen $g(0) ≠ 0$ gibt es eine offene Umgebung $Ω = Ω(g(0)) ⊂ ℂ$ auf der eine $n$-te Wurzelfunktion existiert, also eine Funktion $r: Ω → ℂ^*$ sodass für - jedes $ω ∈ Ω$ die Gleichung $r(ω)^n = ω$ gilt. Setze dann $V := D ∩ g^{-1}(Ω)$ - und definiere die Funktion + jedes $ω ∈ Ω$ die Gleichung $r(ω)^n = ω$ gilt. Setze dann $V := D ∩ + g^{-1}(Ω)$ und definiere die Funktion \[ b : V → ℂ, \quad z ↦ z·r(g(z)). \] Rechne nach, dass $b$ die gewünschten Eigenschaften hat. \end{proof} + +\section{Lokale Struktur} + Als Konsequenz von Satz~\ref{satz:8-0-2} können wir sagen, dass lokal jede holomorphe Funktion aussieht wie $z ↦ z^n$. Die folgende Notation und der folgende Satz machen diese Aussage präzise. \begin{definition}[Einbettungen]\label{def:8-0-2}% - Es sei $U \subseteq \bC$ offen und $f \in \mathcal{O}(U)$. Nenne $f$ eine - \emph{Einbettung von $U$ in $\bC$}\index{Einbettung}, wenn $f(U) \subseteq - \bC$ offen und die eingeschränkte Abbildung $f: U \to f(U)$ biholomorph ist. + Es sei $U ⊆ ℂ$ offen und $f ∈ \mathcal{O}(U)$. Nenne $f$ eine + \emph{Einbettung von $U$ in $ℂ$}\index{Einbettung}, wenn $f(U) ⊆ ℂ$ offen und + die eingeschränkte Abbildung $f: U → f(U)$ biholomorph ist. \end{definition} \begin{notation}[Einbettungen] In der Situation von Definition~\ref{def:8-0-2} schreibt man anstelle der - üblichen Notation $f: U \to \bC$ oft $f: U \hookrightarrow \bC$, um darauf - hinzuweisen, dass $f$ eine Einbettung ist, + üblichen Notation $f: U → ℂ$ oft $f: U ↪ ℂ$, um darauf hinzuweisen, dass $f$ + eine Einbettung ist, \end{notation} \begin{satz}[Lokale Struktur holomorpher Funktionen]\label{satz:8-0-3}% @@ -80,66 +86,96 @@ folgende Satz machen diese Aussage präzise. $f$ in der Nähe von $ρ$ nicht konstant ist. Dann gibt es eine Zahl $n ∈ ℕ$ und Einbettungen der Einheitskreisscheibe, \[ - u, v: Δ \hookrightarrow ℂ, + u, v: Δ ↪ ℂ, \] sodass die folgenden Eigenschaften gelten - \[ + \begin{equation}\label{eq:8-0-1} u(Δ) ⊆ U, \quad u(0) = ρ, \quad v(0) = f(ρ) - \] + \end{equation} und das folgende Diagramm kommutiert - \[ + \begin{equation}\label{eq:8-0-2} \begin{tikzcd} Δ \ar[r, hook, "u"] \ar[d, "z ↦ z^n"'] & U \ar[d, "f"] \\ Δ \ar[r, hook, "v"'] & ℂ. \end{tikzcd} - \] + \end{equation} \end{satz} \begin{proof} - Wir betrachten die Funktion $z ↦ f(z) - ρ$, die am Punkt $ρ$ eine Nullstelle - hat. Sei $1 ≤ n < ∞$ die Nullstellenordnung dieser Funktion bei $p$. Nach + Wir nehme ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass $f$ bei $ρ$ eine + Nullstelle hat, ansonsten betrachte die Funktion $z ↦ f(z) - f(ρ)$. Sei $1 ≤ + n < ∞$ dann die Nullstellenordnung von $f$ bei $p$. Nach Satz~\ref{satz:8-0-2} über die Wurzeln holomorpher Funktionen gibt es eine - Umgebung $V = V(ρ)$ und eine Einbettung + Umgebung $V = V(ρ) ⊆ U$ und eine Einbettung \[ - b: V → ℂ + b: V ↪ ℂ, \] - mit Bildmenge $W$, sodass für jedes $z ∈ V$ gilt: $f(z) - ρ = b(z)^n$. + sodass für jedes $z ∈ V$ die Gleichung $f(z) = b(z)^n$ gilt. Insbesondere ist + $b(0) = 0$. + - Die Menge $W$ ist eine offene Umgebung der $0$. Wir können daher ein Skalar - $λ ∈ ℝ⁺$ wählen, sodass die skalierte Menge $λ·W = \{λ·w \::\: w ∈ W\}$ den - Einheitskreis $Δ$ enthält. Betrachte die Abbildung + \paragraph{Schritt 1: Konstruktion der Einbettung $u$} + + Die Bildmenge $b(V)$ der Einbettung $b$ ist eine offene Umgebung der $0$. Wir + können daher ein Skalar $λ ∈ ℝ⁺$ wählen, sodass die Bildmenge der skalierten + Einbettung \[ - u : Δ → ℂ, \quad z ↦ \bigl(λ·b(z)\bigr)^{-1} + λ·b : V → ℂ, \quad z ↦ λ·b(z) \] - und setze + die Einheitskreisscheibe $Δ$ enthält. Betrachte die Umkehrabbildung \[ - U := (λ·b)^{-1}(Δ). + (λ·b)^{-1} : (λ·b)(V) → V \] - Dann ist $u: Δ → U$ eine biholomorphe Abbildung und für jedes $z ∈ U$ gilt: + und definiere die Abbildung $u$ als Einschränkung + \[ + u := (λ·b)^{-1}|_Δ : Δ → V ⊆ U. + \] + Dann ist $u(Δ) = (λ·b)^{-1}(Δ)$ offen und $u: Δ → u(Δ)$ ist biholomorph. Also + ist $u$ schon einmal eine Einbettung und es gilt + \[ + u(0) = (λ·b)^{-1}(0) = b^{-1}(λ^{-1}·0) = b^{-1}(0) = ρ. + \] + Damit erfüllt $u$ die in \eqref{eq:8-0-1} genannten Eigenschaften. Zusätzlich + gilt für jedes $z$ aus dem Bild der Abbildung $u$ die Gleichung + \begin{equation}\label{eq:xx} + \left(u^{-1}(z)\right)^n = \left(λ·b(z)\right)^n = λ^n·b(z)^n = λ^n·f(z). + \end{equation} + + + \paragraph{Schritt 2: Konstruktion der Einbettung $v$} + + Betrachte als Nächstes die Abbildung + \[ + v: Δ → ℂ, \quad z ↦ \frac{1}{λ^n}·z. + \] + Es ist klar, dass $v$ eine Einbettung ist. Ebenso ist klar, dass die + Gleichung $v(0) = 0 = f(ρ)$ gilt. Also erfüllt auch $v$ die in + \eqref{eq:8-0-1} genannten Eigenschaften. + + + \paragraph{Schritt 3: Kommutativität des Diagramms} + + Wir müssen zeigen, dass abschließend zeigen, Diagramm~\eqref{eq:8-0-2} + kommutiert. Äquivalent: wir müssen zeigen, dass jedes $δ ∈ Δ$ die Gleichung + \[ + f(u(δ)) = v(δ^n) + \] + erfüllt. Sei also ein Element $δ ∈ Δ$ gegeben. Dann ist aber \begin{align*} - \left(u^{-1}(z)\right)^n & = \left(λ·b(z)\right)^n \\ - & = λ^n·b(z)^n \\ - & = λ^n·(f(z) - ρ)^n \\ - & = \left(\sqrt[n]{λ}·(f(z) - ρ)\right)^n. + f(u(δ)) & = \frac{1}{λ^n}·λ^n·f(u(δ)) \\ + & = \frac{1}{λ^n}·(u^{-1}(u(δ)))^n && \text{Gleichung \eqref{eq:xx}} \\ + & = \frac{1}{λ^n}·δ^n && \text{Umkehrabbildung} \\ + & = v(δ^n) && \text{Definition von } v. \end{align*} - Betrachte dann die Abbildung - \[ - v: Δ → ℂ, \quad z ↦ \frac{z}{\sqrt[n]{λ}} + ρ. - \] - Nachdem wir die Kreisscheibe $D$ um $0$ gegebenenfalls verkleinern, können wir - annehmen, dass $g(D) ⊂ \widetilde{W}$ ist. Dann gilt für jedes $z ∈ D$: - \[ - f(z) = z^n·r(g(z))^n = \left[z·r(g(z))\right]^n. - \] - Jetzt ist klar: $\left[z·r(g(z))\right](ρ)$ ist eine Wurzel von $g(ρ) ≠ 0$, - also selbst ungleich 0. Deshalb sagt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass es eine - Umgebung $V ⊂ Δ$ gibt, sodass $b = z·r(g(z))$ biholomorph auf die Bildmenge - ist. + Damit ist der Satz bewiesen. \end{proof} + +\section{Anwendungen} + Satz~\ref{satz:8-0-3} erlaubt, jede (nicht-konstante) holomorphe Funktion lokal mit der holomorphen Funktion $z ↦ z^n$ zu vergleichen. Zum Beispiel ist die -Abbildung $z ↦ z^n$ offen (= Bilder offener Mengen sind offen). Also erhalten -wir: +Abbildung $z ↦ z^n$ offen\index{offene Abbildung} (= Bilder offener Mengen sind +offen). Also erhalten wir: \begin{satz}[Satz von der Gebietstreue]\label{satz:gebietstreue}% Sei $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend, und sei $f ∈ 𝒪(U)$ nicht konstant. diff --git a/09-singularities.tex b/09-singularities.tex index bb01cce..3898db3 100644 --- a/09-singularities.tex +++ b/09-singularities.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \section{Isolierte Singularitäten} Wir interessieren uns für die folgende Situation: Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet, sei $ρ -∈ U$ ein Punkt. Gegeben eine holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(U ∖ ρ)$. Was kann ich +∈ U$ ein Punkt. Gegeben eine holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(U ∖ ρ)$. Was kann ich über das Verhalten von $f$ bei $ρ$ sagen? \begin{bsp}