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08-lokaleStruktur.tex

@@ -3,16 +3,18 @@
 
 \chapter{Lokale Struktur holomorpher Funktionen}
 
+\section{Wurzeln holomorpher Funktionen}
+
 Ich beginne mit einer Erinnerung.
 
 \begin{lem}\label{lem:8-0-1}%
   Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$.  Weiter sei ein Punkt $ρ ∈ U$ gegeben,
   sodass $f'(ρ) ≠ 0$ ist.  Dann gibt es eine offene Umgebung $V = V(ρ) ⊂ U$,
-  sodass Folgendes gilt.
+  sodass folgendes gilt.
   \begin{enumerate}
   \item Das Bild $W := f(V) ⊂ ℂ$ ist offen.
-  \item Die eingeschränkte Abbildung $f|_V: V → W$ ist bijektiv und die
-    Umkehrfunktion ist holomorph.
+
+  \item Die eingeschränkte Abbildung $f|_V: V → W$ ist biholomorph.
   \end{enumerate}
 \end{lem}
 \begin{proof}
@@ -32,7 +34,7 @@ existiert.
 \begin{satz}[Wurzeln holomorpher Funktionen]\label{satz:8-0-2}%
   Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$.  Angenommen, $f$ hat bei $ρ ∈ U$ eine
   Nullstelle von Ordnung $n$, mit $1 ≤ n < ∞$.  Dann gibt es eine Umgebung $V =
-  V(ρ) ⊂ U$ und eine Funktion $b ∈ 𝒪(V)$ sodass folgendes gilt:
+  V(ρ) ⊂ U$ und eine Funktion $b ∈ 𝒪(V)$, sodass folgendes gilt.
   \begin{enumerate}
   \item Für jedes $z ∈ V$ gilt $f(z) = b(z)^n$.
 
@@ -40,39 +42,43 @@ existiert.
   \end{enumerate}
 \end{satz}
 \begin{proof}
-  Wir betrachten nur den Fall, dass $ρ ∈ ℂ$ der Nullpunkt ist.  Falls $n = 1$,
-  dann zeigt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass wir $b := f$ setzen können.
+  Wir betrachten aus Faulheit nur den Fall, dass $ρ ∈ ℂ$ der Nullpunkt ist.
+  Falls $n = 1$ ist, dann zeigt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass wir $b := f$ setzen
+  können.
 
-  Sei also $n > 1$.  Wir haben schon gesehen: auf einer geeigneten Kreisscheibe
-  $D$ um $ρ = 0$ gibt es eine Funktion $g$ mit $g(0) ≠ 0$, sodass auf ganz $D$
-  die folgende Gleichung gilt:
+  Sei also $n > 1$.  Wir haben im Abschnitt~\ref{sec:7-1} aber schon gesehen:
+  auf einer geeigneten Kreisscheibe $D$ um $ρ = 0$ gibt es eine Funktion $g$ mit
+  $g(0) ≠ 0$, sodass auf ganz $D$ die folgende Gleichung gilt:
   \[
     f(z) = z^n·g(z).
   \]
-  Insbesondere gibt es offene Umgebung $Ω = Ω(g(0)) ⊂ ℂ$, sodass auf $Ω$ eine
+  Wegen $g(0) ≠ 0$ gibt es eine offene Umgebung $Ω = Ω(g(0)) ⊂ ℂ$ auf der eine
   $n$-te Wurzelfunktion existiert, also eine Funktion $r: Ω → ℂ^*$ sodass für
-  jedes $ω ∈ Ω$ die Gleichung $r(ω)^n = ω$ gilt. Setze dann $V := D ∩ g^{-1}(Ω)$
-  und definiere die Funktion
+  jedes $ω ∈ Ω$ die Gleichung $r(ω)^n = ω$ gilt.  Setze dann $V := D ∩
+  g^{-1}(Ω)$ und definiere die Funktion
   \[
     b : V → ℂ, \quad z ↦ z·r(g(z)).
   \]
   Rechne nach, dass $b$ die gewünschten Eigenschaften hat.
 \end{proof}
 
+
+\section{Lokale Struktur}
+
 Als Konsequenz von Satz~\ref{satz:8-0-2} können wir sagen, dass lokal jede
 holomorphe Funktion aussieht wie $z ↦ z^n$.  Die folgende Notation und der
 folgende Satz machen diese Aussage präzise.
 
 \begin{definition}[Einbettungen]\label{def:8-0-2}%
-  Es sei $U \subseteq \bC$ offen und $f \in \mathcal{O}(U)$. Nenne $f$ eine
-  \emph{Einbettung von $U$ in $\bC$}\index{Einbettung}, wenn $f(U) \subseteq
-  \bC$ offen und die eingeschränkte Abbildung $f: U \to f(U)$ biholomorph ist.  
+  Es sei $U ⊆ ℂ$ offen und $f ∈ \mathcal{O}(U)$.  Nenne $f$ eine
+  \emph{Einbettung von $U$ in $ℂ$}\index{Einbettung}, wenn $f(U) ⊆ ℂ$ offen und
+  die eingeschränkte Abbildung $f: U → f(U)$ biholomorph ist.
 \end{definition}
 
 \begin{notation}[Einbettungen]
   In der Situation von Definition~\ref{def:8-0-2} schreibt man anstelle der
-  üblichen Notation $f: U \to \bC$ oft $f: U \hookrightarrow \bC$, um darauf
-  hinzuweisen, dass $f$ eine Einbettung ist, 
+  üblichen Notation $f: U → ℂ$ oft $f: U ↪ ℂ$, um darauf hinzuweisen, dass $f$
+  eine Einbettung ist,
 \end{notation}
 
 \begin{satz}[Lokale Struktur holomorpher Funktionen]\label{satz:8-0-3}%
@@ -80,66 +86,96 @@ folgende Satz machen diese Aussage präzise.
   $f$ in der Nähe von $ρ$ nicht konstant ist.  Dann gibt es eine Zahl $n ∈ ℕ$
   und Einbettungen der Einheitskreisscheibe,
   \[
-    u, v: Δ \hookrightarrow ℂ,
+    u, v: Δ ↪ ℂ,
   \]
   sodass die folgenden Eigenschaften gelten
-  \[
+  \begin{equation}\label{eq:8-0-1}
     u(Δ) ⊆ U, \quad u(0) = ρ, \quad v(0) = f(ρ)
-  \]
+  \end{equation}
   und das folgende Diagramm kommutiert
-  \[
+  \begin{equation}\label{eq:8-0-2}
     \begin{tikzcd}
       Δ \ar[r, hook, "u"] \ar[d, "z ↦ z^n"'] & U \ar[d, "f"] \\
       Δ \ar[r, hook, "v"'] & ℂ.
     \end{tikzcd}
-  \]
+  \end{equation}
 \end{satz}
 \begin{proof}
-  Wir betrachten die Funktion $z ↦ f(z) - ρ$, die am Punkt $ρ$ eine Nullstelle
-  hat.  Sei $1 ≤ n < ∞$ die Nullstellenordnung dieser Funktion bei $p$.  Nach
+  Wir nehme ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass $f$ bei $ρ$ eine
+  Nullstelle hat, ansonsten betrachte die Funktion $z ↦ f(z) - f(ρ)$.  Sei $1 ≤
+  n < ∞$ dann die Nullstellenordnung von $f$ bei $p$.  Nach
   Satz~\ref{satz:8-0-2} über die Wurzeln holomorpher Funktionen gibt es eine
-  Umgebung $V = V(ρ)$ und eine Einbettung
+  Umgebung $V = V(ρ) ⊆ U$ und eine Einbettung
   \[
-    b: V → ℂ
+    b: V ↪ ℂ,
   \]
-  mit Bildmenge $W$, sodass für jedes $z ∈ V$ gilt: $f(z) - ρ = b(z)^n$.
+  sodass für jedes $z ∈ V$ die Gleichung $f(z) = b(z)^n$ gilt.  Insbesondere ist
+  $b(0) = 0$.
+  
 
-  Die Menge $W$ ist eine offene Umgebung der $0$.  Wir können daher ein Skalar
-  $λ ∈ ℝ⁺$ wählen, sodass die skalierte Menge $λ·W = \{λ·w \::\: w ∈ W\}$ den
-  Einheitskreis $Δ$ enthält.  Betrachte die Abbildung
+  \paragraph{Schritt 1: Konstruktion der Einbettung $u$}
+
+  Die Bildmenge $b(V)$ der Einbettung $b$ ist eine offene Umgebung der $0$.  Wir
+  können daher ein Skalar $λ ∈ ℝ⁺$ wählen, sodass die Bildmenge der skalierten
+  Einbettung
   \[
-    u : Δ → ℂ, \quad z ↦ \bigl(λ·b(z)\bigr)^{-1}
+    λ·b : V → ℂ, \quad z ↦ λ·b(z)
   \]
-  und setze
+  die Einheitskreisscheibe $Δ$ enthält.  Betrachte die Umkehrabbildung
   \[
-    U := (λ·b)^{-1}(Δ).
+    (λ·b)^{-1} : (λ·b)(V) → V
   \]
-  Dann ist $u: Δ → U$ eine biholomorphe Abbildung und für jedes $z ∈ U$ gilt:
+  und definiere die Abbildung $u$ als Einschränkung
+  \[
+    u := (λ·b)^{-1}|_Δ : Δ → V ⊆ U.
+  \]
+  Dann ist $u(Δ) = (λ·b)^{-1}(Δ)$ offen und $u: Δ → u(Δ)$ ist biholomorph.  Also
+  ist $u$ schon einmal eine Einbettung und es gilt
+  \[
+    u(0) = (λ·b)^{-1}(0) = b^{-1}(λ^{-1}·0) = b^{-1}(0) = ρ.
+  \]
+  Damit erfüllt $u$ die in \eqref{eq:8-0-1} genannten Eigenschaften.  Zusätzlich
+  gilt für jedes $z$ aus dem Bild der Abbildung $u$ die Gleichung
+  \begin{equation}\label{eq:xx}
+    \left(u^{-1}(z)\right)^n = \left(λ·b(z)\right)^n = λ^n·b(z)^n = λ^n·f(z).
+  \end{equation}
+
+  
+  \paragraph{Schritt 2: Konstruktion der Einbettung $v$}
+
+  Betrachte als Nächstes die Abbildung
+  \[
+    v: Δ → ℂ, \quad z ↦ \frac{1}{λ^n}·z.
+  \]
+  Es ist klar, dass $v$ eine Einbettung ist.  Ebenso ist klar, dass die
+  Gleichung $v(0) = 0 = f(ρ)$ gilt.  Also erfüllt auch $v$ die in
+  \eqref{eq:8-0-1} genannten Eigenschaften.
+
+  
+  \paragraph{Schritt 3: Kommutativität des Diagramms}
+
+  Wir müssen zeigen, dass abschließend zeigen, Diagramm~\eqref{eq:8-0-2}
+  kommutiert.  Äquivalent: wir müssen zeigen, dass jedes $δ ∈ Δ$ die Gleichung
+  \[
+    f(u(δ)) = v(δ^n)
+  \]
+  erfüllt.  Sei also ein Element $δ ∈ Δ$ gegeben.  Dann ist aber
   \begin{align*}
-    \left(u^{-1}(z)\right)^n & = \left(λ·b(z)\right)^n \\
-    & = λ^n·b(z)^n \\
-    & = λ^n·(f(z) - ρ)^n \\
-    & = \left(\sqrt[n]{λ}·(f(z) - ρ)\right)^n.
+    f(u(δ)) & = \frac{1}{λ^n}·λ^n·f(u(δ)) \\
+    & = \frac{1}{λ^n}·(u^{-1}(u(δ)))^n && \text{Gleichung \eqref{eq:xx}} \\
+    & = \frac{1}{λ^n}·δ^n && \text{Umkehrabbildung} \\
+    & = v(δ^n) && \text{Definition von } v.
   \end{align*}
-  Betrachte dann die Abbildung
-  \[
-    v: Δ → ℂ, \quad z ↦ \frac{z}{\sqrt[n]{λ}} + ρ.
-  \]
-  Nachdem wir die Kreisscheibe $D$ um $0$ gegebenenfalls verkleinern, können wir
-  annehmen, dass $g(D) ⊂ \widetilde{W}$ ist.  Dann gilt für jedes $z ∈ D$:
-  \[
-    f(z) = z^n·r(g(z))^n = \left[z·r(g(z))\right]^n.
-  \]
-  Jetzt ist klar: $\left[z·r(g(z))\right](ρ)$ ist eine Wurzel von $g(ρ) ≠ 0$,
-  also selbst ungleich 0.  Deshalb sagt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass es eine
-  Umgebung $V ⊂ Δ$ gibt, sodass $b = z·r(g(z))$ biholomorph auf die Bildmenge
-  ist.
+  Damit ist der Satz bewiesen.
 \end{proof}
 
+
+\section{Anwendungen}
+
 Satz~\ref{satz:8-0-3} erlaubt, jede (nicht-konstante) holomorphe Funktion lokal
 mit der holomorphen Funktion $z ↦ z^n$ zu vergleichen.  Zum Beispiel ist die
-Abbildung $z ↦ z^n$ offen (= Bilder offener Mengen sind offen).  Also erhalten
-wir:
+Abbildung $z ↦ z^n$ offen\index{offene Abbildung} (= Bilder offener Mengen sind
+offen).  Also erhalten wir:
 
 \begin{satz}[Satz von der Gebietstreue]\label{satz:gebietstreue}%
   Sei $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend, und sei $f ∈ 𝒪(U)$ nicht konstant.