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 Baptiste
 Auxerre
 Beaumont-en-Auge
+Funktionenfolgen

15-RiemannMapping.tex

@@ -0,0 +1,158 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Der Riemannsche Abbildungssatz}
+
+\begin{satz}[Riemannscher Abbildungssatz]\label{satz:14-5-1}%
+  \index{Riemannscher Abbildungssatz}%
+  Es sei $U \subsetneq \bC$ offen, zusammenhängend und einfach zusammenhängend.
+  Dann ist $U$ biholomorph zur Kreisscheibe $B_1(0)$.
+\end{satz}
+
+\begin{bem}
+  Die Annahme $U \subsetneq \mathbb{C}$ ist wichtig, denn $U = \mathbb{C}$ ist
+  nicht biholomorph zu $B_1(0)$.
+\end{bem}
+
+
+\section{Der Satz von Montel}
+
+Ein wesentlicher technisches Hilfsmittel im Beweis ist der folgende Satz über
+gleichmäßig beschränkte Funktionenfolgen. In der Literatur findet man statt
+„gleichmäßig beschränkt“ manchmal auch den Begriff „betragsmäßig simultan
+beschränkt“.
+
+\begin{defn}[Gleichmäßig beschränkte Funktionenfolgen]\label{def:15-0-3}%
+  Sei $U \subset \bC$ offen. Eine Funktionenfolge $f_n : U \to \bC$ ist
+  \emph{gleichmäßig beschränkt}\index{gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge},
+  wenn eine Zahl $R \in \bR$ existiert, sodass für jedes $p \in U$ und jedes $n
+  \in \bN$ die Ungleichung $|f_n(p)| < R$ gilt.  Die Funktionenfolge ist
+  \emph{lokal gleichmäßig beschränkt}\index{local gleichmäßig beschränkte
+  Funktionenfolge}, wenn jeder Punkt $p \in U$ eine Umgebung $V = V(p) \subset
+  U$ hat, sodass $f_n|_V : V \to \bC$ gleichmäßig beschränkt ist.
+\end{defn}
+
+\begin{satz}[Satz von Montel\footnote{Paul Antoine Aristide Montel (* 29.~April 
+    1876 in Nizza; † 22.~Januar 1975 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}]\label{satz:15-0-4}%
+  Es sei $U \subset \bC$ offen und $f_n \in \sO(U)$ eine lokal gleichmäßig
+  beschränkte Folge von holomorphen Funktionen.  Dann gibt es eine Teilfolge,
+  die lokal gleichmäßig konvergiert.
+\end{satz}
+
+\begin{erinnerung}[Satz von Heine\footnote{Heinrich Eduard Heine (* 18.~März
+    1821 in Berlin; † 21.~Oktober 1881 in Halle (Saale)) war ein deutscher
+    Mathematiker und Hochschullehrer.}--Borel\footnote{Félix Édouard Justin
+    Émile Borel (* 7.~Januar 1871 in Saint-Affrique, Département Aveyron, Region
+    Midi-Pyrénées; † 3.~Februar 1956 in Paris) war ein französischer
+    Mathematiker und Politiker. }]%
+  Es sei $a_n$ eine beschränkte Folge von komplexen Zahlen.  Dann gibt es eine
+  konvergente Teilfolge.  Im Kontext von Satz~\ref{satz:15-0-4} bedeutet das:
+  wenn ein Punkt $p \in U$ gegeben ist, dann gibt es eine Teilfolge $f_{n_1},
+  f_{n_2}, \ldots$, sodass $f_{n_k}(p)$ konvergiert.
+\end{erinnerung}
+
+\begin{vorueberlegung}[Vorbereitung 1 zum Satz von Montel]\label{vor:15-0-4}%
+  Wir wissen, dass es eine abzählbare Basis der Topologie gibt.  Insbesondere
+  gibt es eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, p_3, \ldots$ von $U$.
+  \begin{itemize}
+    \item Es gibt Teilfolgen $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, \ldots$, die bei
+      $p_1$ konvergiert.
+
+    \item Davon gibt es Teilfolgen $f_{n_1''}, f_{n_2''}, f_{n_3''}, \ldots$,
+      die bei $p_1$ und $p_2$ konvergiert.
+
+    \item …
+  \end{itemize}
+  Am Ende gilt: Die Teilfolge $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, \ldots$ konvergiert bei
+  allen $p_k$!
+\end{vorueberlegung}
+
+\begin{vorueberlegung}[Vorbereitung 2 zum Satz von Montel]\label{vor:15-0-5}%
+  Wenn eine Kreisscheibe $\overline{B_r(p)} \subset U$ gegeben ist, dann gilt
+  für jede Zahl $n \in \bN$ und jeden Punkt $w \in B_r(p)$ nach der
+  Integralformel für Ableitungen die Gleichung
+  \[
+    f_n'(w) = \frac{1}{2\pi} \int_{\partial B_r(p)} \frac{f_n(z)}{(z-w)^2}\,dz.
+  \]
+  Beachte:
+  \begin{itemize}
+    \item Die Funktionswerte $f_n(z)$ ist per Annahme betragsmäßig beschränkt.
+
+    \item Auf $B_{r/2}(p)$ ist die Funktion $\frac{1}{(z-w)^2}$ ebenfalls
+      betragsmäßig beschränkt.
+  \end{itemize}
+  Wir erhalten: Die Funktion $f_n'(w)$ ist lokal beschränkt.  Genauer:  es
+  existiert $M \in \bR$, sodass für jede Zahl $n \in \bN$ und jeden Punkt $w \in
+  B_{r/2}(p)$ die Ungleichung
+  \[
+    |f_n'(w)| < M
+  \]
+  gilt.
+\end{vorueberlegung}
+
+Der folgenden Mittelwert- und Beschränktheitssätz sing nun eine direkte
+Konsequenz der Vorüberlegung~\ref{vor:15-0-5}.
+
+\begin{konsequenz}[Mittelwertsatz]
+  In der Situation von Satz~\ref{satz:15-0-4} sei eine Kreisscheibe
+  $\overline{B_r(p)} \subset U$ gegeben. Dann existiert eine Zahl $M \in \bR$,
+  sodass für jede Zahl $n \in \bN$ und jeden Punkt $w \in B_{r/2}(p)$ die
+  Ungleichung
+  \[
+    |f_n(p) - f_n(w)| < M \cdot |p-w|
+  \]
+  gilt. \qed
+\end{konsequenz}
+
+\begin{konsequenz}[Beschränktheitssatz]\label{kon:15-0-6}%
+  In der Situation von Satz~\ref{satz:15-0-4} sei ein Punkt $p \in U$ und eine
+  Zahl $\varepsilon > 0$ gegeben. Dann existiert eine positive Zahl $\delta_{p,
+  \varepsilon} > 0$, sodass die Kreisscheibe $B_{\delta_{p, \varepsilon}}(p)$
+  ganz in $U$ liegt und  
+  für jede Zahl $n \in \bN$ und jeden Punkt $w \in B_{\delta_{p,
+  \varepsilon}}(p)$ die Ungleichung
+  \[
+    |f_n(p) - f_n(w)| < \varepsilon/3
+  \]
+  gilt. \qed
+\end{konsequenz}
+
+\begin{proof}[Beweis des Satzes~\ref{satz:15-0-4} von Montel]
+  Nach Vorüberlegung~\ref{vor:15-0-4} können wir die Folge $f_n$ (falls nötig)
+  durch eine Teilfolge ersetzen und ohne Beschränkung der Allgemeinheit
+  annehmen, dass eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, \ldots \in U$
+  existiert, sodass $f_n(p_k)$ konvergiert.
+
+  Wir werden zeigen, dass die Folge $f_n$ dann bereits lokal gleichmäßig
+  konvergiert: gegeben ein Kompaktum $K \subset U$, so gibt es für jedes
+  $\varepsilon > 0$ einen Index $N$, sodass für alle $n, m > N$ und jedes $p \in
+  K$ die Ungleichung
+  \[
+    |f_n(p) - f_m(p)| < \varepsilon
+  \]
+  gilt. Seien also $K$ und $\varepsilon$ gegeben.
+
+  Man beachte: Die Kreisscheiben $B_{\delta(p_i, \varepsilon/3)}(p_i)$ aus
+  Konsequenz~\ref{kon:15-0-6} (``Beschränktheitssatz'') bilden eine offene
+  Überdeckung von $U$.   Weil $K$ kompakt ist, überdecken endlich viele dieser
+  Kreisscheiben die Menge $K$.  Nach Umnummerierung seien dies
+  \[
+    B_{\delta_{p_1, \varepsilon/3}}(p_1), \ldots, B_{\delta_{p_\ell,
+      \varepsilon/3}}(p_\ell).
+  \]
+  Jetzt kann ich nach Annahme $N \in \bN$ wählen, sodass alle $n, m > N$ und jeden Index $1 \leq i \leq \ell$ die Ungleichung
+  \[
+    |f_n(p_i) - f_m(p_i)| < \varepsilon/3.
+  \]
+  gilt.  Gegeben irgendeinen $p \in K$, so gibt es nun ein $p_i$, mit $1 \leq i \leq
+  \ell$, sodass $p \in B_{\delta_{p_i, \varepsilon/3}}(p_i)$ ist und für alls $n, m >
+  N$ gilt:
+  \begin{align*}
+    |f_n(p_i) - f_m(p)| & = |f_n(p) - f_n(p_i) + f_n(p_i) - f_m(p_i) + f_m(p_i) - f_m(p)| \\
+    & \leq |f_n(p) - f_n(p_i)| + |f_n(p_i) - f_m(p_i)| + |f_m(p_i) - f_m(p)| \\
+    & \leq \varepsilon.
+  \end{align*}
+  Damit ist der Satz bewiesen.
+\end{proof}
+
+% !TEX root = Funktionentheorie

Funktionentheorie.tex

@@ -12,6 +12,7 @@
 \usepackage{amstext}
 \usepackage{amsmath}
 \usepackage{amsthm}
+\usepackage{amssymb}
 \usepackage{amsfonts}
 \usepackage[mark]{gitinfo2}
 \usepackage{tikz}
@@ -52,6 +53,7 @@
 \newtheorem{situation}[thm]{Situation}
 \newtheorem{lemma}[thm]{Lemma}
 \newtheorem{kons}[thm]{Konsequenz}
+\newtheorem{konsequenz}[thm]{Konsequenz}
 \newtheorem{kor}[thm]{Korollar}
 \newtheorem{definition}[thm]{Definition}
 \newtheorem{fakt}[thm]{Fakt}
@@ -59,6 +61,8 @@
 \newtheorem{prov}[thm]{Provokation}
 \theoremstyle{remark}
 \newtheorem{erg}[thm]{Ergänzung}
+\newtheorem{bem}[thm]{Bemerkung}
+\newtheorem{vorueberlegung}[thm]{Vorüberlegung}
 \newtheorem{bemerkung}[thm]{Bemerkung}
 \newtheorem{beobachtung}[thm]{Beobachtung}
 \newtheorem{konstruktion}[thm]{Konstruktion}
@@ -164,6 +168,7 @@ Link in den Text ein.
 \part{Weiterführende Themen}
 
 \input{14-harmonic}
+\input{15-RiemannMapping}
 
 \addchap{Lizenz}