From 1833ecaadf1312fea03141bab545333de9fb7526 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Tue, 2 Dec 2025 14:22:12 +0100 Subject: [PATCH] Working --- .vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt | 1 + 15-RiemannMapping.tex | 158 ++++++++++++++++++++++++++++++ Funktionentheorie.tex | 5 + 3 files changed, 164 insertions(+) create mode 100644 15-RiemannMapping.tex diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index e98e708..19d996e 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -77,3 +77,4 @@ Loiret Baptiste Auxerre Beaumont-en-Auge +Funktionenfolgen diff --git a/15-RiemannMapping.tex b/15-RiemannMapping.tex new file mode 100644 index 0000000..183cd19 --- /dev/null +++ b/15-RiemannMapping.tex @@ -0,0 +1,158 @@ +% spell checker language +\selectlanguage{german} + +\chapter{Der Riemannsche Abbildungssatz} + +\begin{satz}[Riemannscher Abbildungssatz]\label{satz:14-5-1}% + \index{Riemannscher Abbildungssatz}% + Es sei $U \subsetneq \bC$ offen, zusammenhängend und einfach zusammenhängend. + Dann ist $U$ biholomorph zur Kreisscheibe $B_1(0)$. +\end{satz} + +\begin{bem} + Die Annahme $U \subsetneq \mathbb{C}$ ist wichtig, denn $U = \mathbb{C}$ ist + nicht biholomorph zu $B_1(0)$. +\end{bem} + + +\section{Der Satz von Montel} + +Ein wesentlicher technisches Hilfsmittel im Beweis ist der folgende Satz über +gleichmäßig beschränkte Funktionenfolgen. In der Literatur findet man statt +„gleichmäßig beschränkt“ manchmal auch den Begriff „betragsmäßig simultan +beschränkt“. + +\begin{defn}[Gleichmäßig beschränkte Funktionenfolgen]\label{def:15-0-3}% + Sei $U \subset \bC$ offen. Eine Funktionenfolge $f_n : U \to \bC$ ist + \emph{gleichmäßig beschränkt}\index{gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge}, + wenn eine Zahl $R \in \bR$ existiert, sodass für jedes $p \in U$ und jedes $n + \in \bN$ die Ungleichung $|f_n(p)| < R$ gilt. Die Funktionenfolge ist + \emph{lokal gleichmäßig beschränkt}\index{local gleichmäßig beschränkte + Funktionenfolge}, wenn jeder Punkt $p \in U$ eine Umgebung $V = V(p) \subset + U$ hat, sodass $f_n|_V : V \to \bC$ gleichmäßig beschränkt ist. +\end{defn} + +\begin{satz}[Satz von Montel\footnote{Paul Antoine Aristide Montel (* 29.~April + 1876 in Nizza; † 22.~Januar 1975 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}]\label{satz:15-0-4}% + Es sei $U \subset \bC$ offen und $f_n \in \sO(U)$ eine lokal gleichmäßig + beschränkte Folge von holomorphen Funktionen. Dann gibt es eine Teilfolge, + die lokal gleichmäßig konvergiert. +\end{satz} + +\begin{erinnerung}[Satz von Heine\footnote{Heinrich Eduard Heine (* 18.~März + 1821 in Berlin; † 21.~Oktober 1881 in Halle (Saale)) war ein deutscher + Mathematiker und Hochschullehrer.}--Borel\footnote{Félix Édouard Justin + Émile Borel (* 7.~Januar 1871 in Saint-Affrique, Département Aveyron, Region + Midi-Pyrénées; † 3.~Februar 1956 in Paris) war ein französischer + Mathematiker und Politiker. }]% + Es sei $a_n$ eine beschränkte Folge von komplexen Zahlen. Dann gibt es eine + konvergente Teilfolge. Im Kontext von Satz~\ref{satz:15-0-4} bedeutet das: + wenn ein Punkt $p \in U$ gegeben ist, dann gibt es eine Teilfolge $f_{n_1}, + f_{n_2}, \ldots$, sodass $f_{n_k}(p)$ konvergiert. +\end{erinnerung} + +\begin{vorueberlegung}[Vorbereitung 1 zum Satz von Montel]\label{vor:15-0-4}% + Wir wissen, dass es eine abzählbare Basis der Topologie gibt. Insbesondere + gibt es eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, p_3, \ldots$ von $U$. + \begin{itemize} + \item Es gibt Teilfolgen $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, \ldots$, die bei + $p_1$ konvergiert. + + \item Davon gibt es Teilfolgen $f_{n_1''}, f_{n_2''}, f_{n_3''}, \ldots$, + die bei $p_1$ und $p_2$ konvergiert. + + \item … + \end{itemize} + Am Ende gilt: Die Teilfolge $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, \ldots$ konvergiert bei + allen $p_k$! +\end{vorueberlegung} + +\begin{vorueberlegung}[Vorbereitung 2 zum Satz von Montel]\label{vor:15-0-5}% + Wenn eine Kreisscheibe $\overline{B_r(p)} \subset U$ gegeben ist, dann gilt + für jede Zahl $n \in \bN$ und jeden Punkt $w \in B_r(p)$ nach der + Integralformel für Ableitungen die Gleichung + \[ + f_n'(w) = \frac{1}{2\pi} \int_{\partial B_r(p)} \frac{f_n(z)}{(z-w)^2}\,dz. + \] + Beachte: + \begin{itemize} + \item Die Funktionswerte $f_n(z)$ ist per Annahme betragsmäßig beschränkt. + + \item Auf $B_{r/2}(p)$ ist die Funktion $\frac{1}{(z-w)^2}$ ebenfalls + betragsmäßig beschränkt. + \end{itemize} + Wir erhalten: Die Funktion $f_n'(w)$ ist lokal beschränkt. Genauer: es + existiert $M \in \bR$, sodass für jede Zahl $n \in \bN$ und jeden Punkt $w \in + B_{r/2}(p)$ die Ungleichung + \[ + |f_n'(w)| < M + \] + gilt. +\end{vorueberlegung} + +Der folgenden Mittelwert- und Beschränktheitssätz sing nun eine direkte +Konsequenz der Vorüberlegung~\ref{vor:15-0-5}. + +\begin{konsequenz}[Mittelwertsatz] + In der Situation von Satz~\ref{satz:15-0-4} sei eine Kreisscheibe + $\overline{B_r(p)} \subset U$ gegeben. Dann existiert eine Zahl $M \in \bR$, + sodass für jede Zahl $n \in \bN$ und jeden Punkt $w \in B_{r/2}(p)$ die + Ungleichung + \[ + |f_n(p) - f_n(w)| < M \cdot |p-w| + \] + gilt. \qed +\end{konsequenz} + +\begin{konsequenz}[Beschränktheitssatz]\label{kon:15-0-6}% + In der Situation von Satz~\ref{satz:15-0-4} sei ein Punkt $p \in U$ und eine + Zahl $\varepsilon > 0$ gegeben. Dann existiert eine positive Zahl $\delta_{p, + \varepsilon} > 0$, sodass die Kreisscheibe $B_{\delta_{p, \varepsilon}}(p)$ + ganz in $U$ liegt und + für jede Zahl $n \in \bN$ und jeden Punkt $w \in B_{\delta_{p, + \varepsilon}}(p)$ die Ungleichung + \[ + |f_n(p) - f_n(w)| < \varepsilon/3 + \] + gilt. \qed +\end{konsequenz} + +\begin{proof}[Beweis des Satzes~\ref{satz:15-0-4} von Montel] + Nach Vorüberlegung~\ref{vor:15-0-4} können wir die Folge $f_n$ (falls nötig) + durch eine Teilfolge ersetzen und ohne Beschränkung der Allgemeinheit + annehmen, dass eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, \ldots \in U$ + existiert, sodass $f_n(p_k)$ konvergiert. + + Wir werden zeigen, dass die Folge $f_n$ dann bereits lokal gleichmäßig + konvergiert: gegeben ein Kompaktum $K \subset U$, so gibt es für jedes + $\varepsilon > 0$ einen Index $N$, sodass für alle $n, m > N$ und jedes $p \in + K$ die Ungleichung + \[ + |f_n(p) - f_m(p)| < \varepsilon + \] + gilt. Seien also $K$ und $\varepsilon$ gegeben. + + Man beachte: Die Kreisscheiben $B_{\delta(p_i, \varepsilon/3)}(p_i)$ aus + Konsequenz~\ref{kon:15-0-6} (``Beschränktheitssatz'') bilden eine offene + Überdeckung von $U$. Weil $K$ kompakt ist, überdecken endlich viele dieser + Kreisscheiben die Menge $K$. Nach Umnummerierung seien dies + \[ + B_{\delta_{p_1, \varepsilon/3}}(p_1), \ldots, B_{\delta_{p_\ell, + \varepsilon/3}}(p_\ell). + \] + Jetzt kann ich nach Annahme $N \in \bN$ wählen, sodass alle $n, m > N$ und jeden Index $1 \leq i \leq \ell$ die Ungleichung + \[ + |f_n(p_i) - f_m(p_i)| < \varepsilon/3. + \] + gilt. Gegeben irgendeinen $p \in K$, so gibt es nun ein $p_i$, mit $1 \leq i \leq + \ell$, sodass $p \in B_{\delta_{p_i, \varepsilon/3}}(p_i)$ ist und für alls $n, m > + N$ gilt: + \begin{align*} + |f_n(p_i) - f_m(p)| & = |f_n(p) - f_n(p_i) + f_n(p_i) - f_m(p_i) + f_m(p_i) - f_m(p)| \\ + & \leq |f_n(p) - f_n(p_i)| + |f_n(p_i) - f_m(p_i)| + |f_m(p_i) - f_m(p)| \\ + & \leq \varepsilon. + \end{align*} + Damit ist der Satz bewiesen. +\end{proof} + +% !TEX root = Funktionentheorie diff --git a/Funktionentheorie.tex b/Funktionentheorie.tex index 2b1a773..d554107 100644 --- a/Funktionentheorie.tex +++ b/Funktionentheorie.tex @@ -12,6 +12,7 @@ \usepackage{amstext} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsthm} +\usepackage{amssymb} \usepackage{amsfonts} \usepackage[mark]{gitinfo2} \usepackage{tikz} @@ -52,6 +53,7 @@ \newtheorem{situation}[thm]{Situation} \newtheorem{lemma}[thm]{Lemma} \newtheorem{kons}[thm]{Konsequenz} +\newtheorem{konsequenz}[thm]{Konsequenz} \newtheorem{kor}[thm]{Korollar} \newtheorem{definition}[thm]{Definition} \newtheorem{fakt}[thm]{Fakt} @@ -59,6 +61,8 @@ \newtheorem{prov}[thm]{Provokation} \theoremstyle{remark} \newtheorem{erg}[thm]{Ergänzung} +\newtheorem{bem}[thm]{Bemerkung} +\newtheorem{vorueberlegung}[thm]{Vorüberlegung} \newtheorem{bemerkung}[thm]{Bemerkung} \newtheorem{beobachtung}[thm]{Beobachtung} \newtheorem{konstruktion}[thm]{Konstruktion} @@ -164,6 +168,7 @@ Link in den Text ein. \part{Weiterführende Themen} \input{14-harmonic} +\input{15-RiemannMapping} \addchap{Lizenz}