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Stefan Kebekus
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.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt
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.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt
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@@ -69,3 +69,11 @@ Sommières
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Hérault
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Lunel
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Vielfachheit
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Leffler
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Harmonizität
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Siméon
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Pithiviers
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Loiret
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Baptiste
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Auxerre
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Beaumont-en-Auge
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4
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
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4
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
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@@ -39,3 +39,7 @@
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||||
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWähle eine reelle Zahl \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und schreibe \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Korollar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Annahme \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q lokal glm.\\E$"}
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||||
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QAlso ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, weil Stammfkt.\\E$"}
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{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qexistiert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hat auf \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q keine Nullstelle, weil die Exponentialfunktion keine Nullstelle hat.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QGenauer: Wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine Stammfunktion von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist, dann sind alle Lösungen der Differenzialgleichung auf \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gegeben durch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qconst \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWir beweisen Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q auf Seite pf:14-3-2.\\E$"}
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{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\QWir beweisen Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q auf Seite pf:14-3-2.\\E$"}
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@@ -265,7 +265,7 @@ dies präzise dar.
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\sideremark{Vorlesung 7}
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\begin{kor}[Existenz von Stammfunktionen in einfach zusammenhängenden Mengen]%
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\begin{kor}[Existenz von Stammfunktionen in einfach zusammenhängenden Mengen]\label{kor:4-3-4}%
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und wegweise einfach zusammenhängend, und es sei $f : U →
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ℂ$ holomorph. Dann gibt es eine Stammfunktion $F: U → ℂ$ von $f$.
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\end{kor}
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@@ -155,6 +155,7 @@ In der Summe haben wir folgenden Satz bewiesen.
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\section{Funktionen mit vorgeschriebenen Singularitäten}
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\sideremark{Vorlesung 15}
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\begin{frage}[Funktionen mit vorgeschriebenen Singularitäten, vereinfachte Fragestellung]\label{fr:11-3-1}%
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Sei $P ⊂ ℂ$ eine abgeschlossene und diskrete Teilmenge. Gibt es eine Funktion
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@@ -187,7 +187,7 @@ Wir bewiesen Satz~\ref{satz:12-2-1} in mehreren Schritten.
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\item Falls $\Bild(γ)$ ganz in $-S ⊆ ℂ$ liegt, können wir analog vorgehen.
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||||
\end{itemize}
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||||
Im Allgemeinen wird das Bild von $γ$ weder in $S$ noch in $-S$ liegen. Dann
|
||||
Im Allgemeinen wird das Bild von $γ$ weder in $S$ noch in $-S$ liegen. Dann
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||||
zerlegen wir das Intervall $[0,1]$ durch Zwischenpunkte, $0 = t_0 < t_1 < … <
|
||||
t_r = 1$ so, dass $γ([t_{i-1}, t_i])$ jeweils in einem $S$ oder in $-S$
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enthalten ist. Wähle dann induktiv Logarithmus-Wege
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@@ -38,7 +38,7 @@
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\end{bemerkung}
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\begin{satz}[Zählen von Null- und Polstellen]\label{satz:12-5-1}%
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||||
In Situation~\ref{sit:12-5-1} betrachte den Weg $f ◦ γ : [a,b] → ℂ$. Dann gilt
|
||||
In Situation~\ref{sit:12-5-1} betrachte den Weg $f ◦ γ : [a,b] → ℂ$. Dann gilt
|
||||
\[
|
||||
\Um(f ◦ γ, 0) = \sum_{p ∈ U} \Um(γ, p) · ν_p(f).
|
||||
\]
|
||||
@@ -59,8 +59,8 @@
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||||
Sommières, Département Hérault; † 19.~August 1910 in Lunel) war ein
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||||
französischer Mathematiker. }]\label{kor:12-5-2}%
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||||
\index{Satz von Rouché}Sei $U ⊂ ℂ$ offen, $f ∈ 𝒪(U)$ und $K ⊂ U$ eine
|
||||
abgeschlossene Kreisscheibe. Sei außerdem eine holomorphe Funktion $g ∈ 𝒪(U)$
|
||||
gegeben, sodass für jedes $z ∈ δ K$ die Ungleichung
|
||||
abgeschlossene Kreisscheibe. Sei außerdem eine holomorphe Funktion $g ∈
|
||||
𝒪(U)$ gegeben, sodass für jedes $z ∈ δ K$ die Ungleichung
|
||||
\begin{equation}\label{eq:12-5-5}%
|
||||
|f(z)| > |g(z)|
|
||||
\end{equation}
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@@ -112,13 +112,13 @@
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\section{Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen}
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||||
\begin{satz}[Weierstraß]
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||||
\index{Satz von Weierstraß}Sei $P \subset \bC$ eine diskrete und
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abgeschlossene Menge und $n : P \to \bN$ eine beliebige Abbildung. Dann
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||||
existiert eine Funktion $f \in \sO(\bC)$, sodass folgendes gilt.
|
||||
\index{Satz von Weierstraß}Sei $P ⊂ ℂ$ eine diskrete und abgeschlossene Menge
|
||||
und $n : P → ℕ$ eine beliebige Abbildung. Dann existiert eine Funktion $f ∈
|
||||
𝒪(ℂ)$, sodass folgendes gilt.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Die Nullstellenmenge von $f$ ist exakt $P$.
|
||||
|
||||
\item Für jedes $p \in P$ gilt: Die Funktion $f$ hat bei $p$ eine Nullstelle
|
||||
\item Für jedes $p ∈ P$ gilt: Die Funktion $f$ hat bei $p$ eine Nullstelle
|
||||
der Ordnung $n(p)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
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||||
@@ -126,162 +126,142 @@
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||||
\subsection{Vorüberlegung zum Beweis des Satzes von Weierstraß}
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||||
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||||
Es sei $f \in \sO(\bC)$ eine holomorphe Funktion, die am Punkt $p \in \bC$ eine
|
||||
Es sei $f ∈ 𝒪(ℂ)$ eine holomorphe Funktion, die am Punkt $p ∈ ℂ$ eine
|
||||
Nullstelle der Ordnung $n$ besitzt. Entwickle $f$ bei $p$ in eine Potenzreihe,
|
||||
sodass für $z$ in einer Umgebung von $p$ folgendes gilt.
|
||||
\begin{align}
|
||||
f(z) & = \sum_{i = n}^{\infty} a_i (z-p)^i \\
|
||||
f'(z) & = \sum_{i = n}^{\infty} a_i·i·(z-p)^{i-1} \\
|
||||
f^{-1}(z) & = a^{-1}_n·(z-p)^{-n} + \sum_{i = -n+1}^{\infty} \cdots \\
|
||||
f(z) & = \sum_{i = n}^{∞} a_i (z-p)ⁱ \\
|
||||
f'(z) & = \sum_{i = n}^{∞} a_i·i·(z-p)^{i-1} \\
|
||||
f^{-1}(z) & = a^{-1}_n·(z-p)^{-n} + \sum_{i = -n+1}^{∞} ⋯ \\
|
||||
\label{il:13-2-1-6} (f'/f)(z) & = \underbrace{n·(z-p)^{-1}}_{\text{Hauptteil}} + \underbrace{(\text{Potenzreihe})}_{\text{Nebenteil}}.
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
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||||
\subsection{Beweis des Satzes von Weierstraß}
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||||
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||||
Die Vorüberlegung legt nahe, den Satz von Mittag–Leffler zu verwenden. Sei also
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||||
$g \in \sO(\bC \setminus P)$ eine Funktion, deren Hauptteil an jeder Stelle $p
|
||||
\in P$ exakt gleich $\frac{n(p)}{z-p}$ ist. Das Ziel ist jetzt, aus der
|
||||
Funktion $g$ die gesuchte Funktion $f$ zu konstruieren.
|
||||
Die Vorüberlegung legt nahe, den Satz von Mittag–Leffler zu verwenden. Sei also
|
||||
$g ∈ 𝒪(ℂ ∖ P)$ eine Funktion, deren Hauptteil an jeder Stelle $p ∈ P$ exakt
|
||||
gleich $\frac{n(p)}{z-p}$ ist. Das Ziel ist jetzt, aus der Funktion $g$ die
|
||||
gesuchte Funktion $f$ zu konstruieren.
|
||||
|
||||
\begin{erinnerung}
|
||||
Der Residuensatz besagt, dass für jede geschlossene Kurve $\gamma$ in $\bC
|
||||
\setminus P$ gilt:
|
||||
Der Residuensatz besagt, dass für jede geschlossene Kurve $γ$ in $ℂ ∖ P$ gilt:
|
||||
\[
|
||||
\int_\gamma g(z) \, dz = 2\pi i \sum_{p \in P} \Um(\gamma, p) · n(p).
|
||||
\int_{γ} g(z) \, dz = 2π i \sum_{p ∈ P} \Um(γ, p) · n(p).
|
||||
\]
|
||||
Da $n(p) \in \bZ$ für alle $p \in P$ gilt, ist das Integral auf der linken
|
||||
Seite also stets ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi i$, liegt also im Kern
|
||||
der Exponentialfunktion $\exp : \bC \to \bC^*$.
|
||||
Da $n(p) ∈ ℤ$ für alle $p ∈ P$ gilt, ist das Integral auf der linken Seite
|
||||
also stets ein ganzzahliges Vielfaches von $2π i$, liegt also im Kern der
|
||||
Exponentialfunktion $\exp : ℂ → ℂ^*$.
|
||||
\end{erinnerung}
|
||||
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||||
Die Erinnerung erlaubt folgende Konstruktion: Wähle einen Punkt $q \in \bC
|
||||
\setminus P$ und wähle für jedes $w \in \bC \setminus P$ einen Weg $\gamma_w$
|
||||
von $q$ nach $w$. Dann definiere die Funktion
|
||||
Die Erinnerung erlaubt folgende Konstruktion: Wähle einen Punkt $q ∈ ℂ ∖ P$ und
|
||||
wähle für jedes $w ∈ ℂ ∖ P$ einen Weg $γ_w$ von $q$ nach $w$. Dann definiere
|
||||
die Funktion
|
||||
\[
|
||||
f : \bC \setminus P \to \bC^*, \quad w \mapsto \exp \left(\int_{\gamma_w} g(z) \, dz\right).
|
||||
f : ℂ ∖ P → ℂ^*, \quad w ↦ \exp \left(\int_{γ_w} g(z) \, dz\right).
|
||||
\]
|
||||
Die Erinnerung zeigt, dass die Funktion $f$ unabhängig von der Wahl der Wege
|
||||
$\gamma_w$ ist.
|
||||
$γ_w$ ist.
|
||||
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\begin{beobachtung}
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||||
Die Funktion $f$ ist auf $\bC \setminus P$ holomorph, weil $g$ holomorph ist.
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||||
\qed
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||||
Die Funktion $f$ ist auf $ℂ ∖ P$ holomorph, weil $g$ holomorph ist. \qed
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}
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||||
Die Funktion $f$ hat auf $\bC \setminus P$ keine Nullstelle, weil die
|
||||
Exponentialfunktion keine Nullstelle hat. \qed
|
||||
Die Funktion $f$ hat auf $ℂ ∖ P$ keine Nullstelle, weil die
|
||||
Exponentialfunktion keine Nullstelle hat. \qed
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}\label{beo:13-2-1}%
|
||||
Auf $\bC \setminus P$ gilt die Gleichung $f'/f = g$. \qed
|
||||
Auf $ℂ ∖ P$ gilt die Gleichung $f'/f = g$. \qed
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
Jetzt fehlt nur noch zu zeigen, dass $f$ an jedem Punkt $p \in P$ eine hebbare
|
||||
Jetzt fehlt nur noch zu zeigen, dass $f$ an jedem Punkt $p ∈ P$ eine hebbare
|
||||
Singularität hat und dass die fortgesetzte Funktion eine Nullstelle der Ordnung
|
||||
$n(p)$ besitzt. Sei also ein Punkt $p \in P$ gegeben. Wähle eine kleine
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||||
Kreisscheibe $B_\varepsilon(p)$ um $p$, die keine weiteren Punkte aus $P$
|
||||
enthält. Nach Beobachtung~\ref{beo:13-2-1} und der Wahl von $g$ gilt auf
|
||||
$B_\varepsilon(p) \setminus \{p\}$ die Gleichung
|
||||
$n(p)$ besitzt. Sei also ein Punkt $p ∈ P$ gegeben. Wähle eine kleine
|
||||
Kreisscheibe $B_{ε}(p)$ um $p$, die keine weiteren Punkte aus $P$ enthält. Nach
|
||||
Beobachtung~\ref{beo:13-2-1} und der Wahl von $g$ gilt auf $B_{ε}(p) ∖ \{p\}$
|
||||
die Gleichung
|
||||
\[
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||||
\frac{f'(z)}{f(z)} = g(z) = \frac{n(p)}{z-p} + h(z),
|
||||
\]
|
||||
wobei $h \in \sO(B_\varepsilon(p))$ eine holomorphe Funktion ist. Äquivalent:
|
||||
Die Funktion $f$ erfüllt auf $B_\varepsilon(p) \setminus \{p\}$ die
|
||||
Differentialgleichung
|
||||
wobei $h ∈ 𝒪(B_{ε}(p))$ eine holomorphe Funktion ist. Äquivalent: Die Funktion
|
||||
$f$ erfüllt auf $B_{ε}(p) ∖ \{p\}$ die Differenzialgleichung
|
||||
\[
|
||||
f'(z) = \left[\frac{n(p)}{z-p} + h(z) \right]·f(z).
|
||||
\]
|
||||
Diese Differentialgleichung lässt sich durch Trennung der Variablen lösen.
|
||||
Genauer: Wenn $H \in \sO(B_\varepsilon(p))$ eine Stammfunktion von $h$ ist, dann
|
||||
sind alle Lösungen der Differentialgleichung auf $B_\varepsilon(p) \setminus \{p\}$
|
||||
gegeben durch
|
||||
Diese Differenzialgleichung lässt sich durch Trennung der Variablen lösen.
|
||||
Genauer: Wenn $H ∈ 𝒪(B_{ε}(p))$ eine Stammfunktion von $h$ ist, dann sind alle
|
||||
Lösungen der Differenzialgleichung auf $B_{ε}(p) ∖ \{p\}$ gegeben durch
|
||||
\[
|
||||
\text{const}^{\ne 0} · \exp\left( H(z) \right)·(z-p)^{n(p)}.
|
||||
\]
|
||||
Die Funktion $f|_{B_\varepsilon(p)}$ ist aber eine dieser Lösungen, hat also bei
|
||||
$p$ eine hebbare Singularität und eine Nullstelle der Ordnung $n(p)$. Damit ist
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||||
der Satz von Weierstraß bewiesen. \qed
|
||||
Die Funktion $f|_{B_{ε}(p)}$ ist aber eine dieser Lösungen, hat also bei $p$
|
||||
eine hebbare Singularität und eine Nullstelle der Ordnung $n(p)$. Damit ist der
|
||||
Satz von Weierstraß bewiesen. \qed
|
||||
|
||||
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||||
\section{Integration}
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||||
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||||
\subsection{Uneigentliche Integrale rationaler Funktionen}
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||||
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||||
Der Residuensatz erlaubt die Berechnung gewisser uneigentlichen Integrale. Ich
|
||||
skizziere das Vorgehen am Beispiel rationaler Funktionen.
|
||||
Sei $f(z) = \frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale Funktion, wobei folgendes gilt.
|
||||
Der Residuensatz erlaubt die Berechnung gewisser uneigentlichen Integrale. Ich
|
||||
skizziere das Vorgehen am Beispiel rationaler Funktionen. Sei $f(z) =
|
||||
\frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale Funktion, wobei folgendes gilt.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Die Funktion $f$ habe auf der reellen Achse keine Polstellen.
|
||||
|
||||
\item Die Grade der Polynome $a(z)$ und $b(z)$ erfüllen die Ungleichung $\deg
|
||||
b \ge \deg a + 2$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
und $f$ habe auf der reellen Achse keine Pole. Dann kann man den Residuensatz
|
||||
anwenden, um das uneigentliche Integral
|
||||
\[
|
||||
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx
|
||||
\int_{-∞}^{∞} f(x) \, dx
|
||||
\]
|
||||
zu berechnen. Beachte dazu folgendes: Wenn $r \in \bR⁺$ hinreichend groß ist,
|
||||
dann liegen alle Polstellen von $f$ im Inneren der Kreisscheibe $B_r(0)$. Sei
|
||||
$\gamma_r$ der folgende geschlossene Weg:
|
||||
zu berechnen. Beachte dazu folgendes: Wenn $r ∈ ℝ⁺$ hinreichend groß ist, dann
|
||||
liegen alle Polstellen von $f$ im Inneren der Kreisscheibe $B_r(0)$. Sei $γ_r$
|
||||
der folgende geschlossene Weg:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Gehe entlang der reellen Achse von $-r$ nach $r$.
|
||||
\item Gehe entlang des Halbkreises $\{r·exp(i·t) \::\: 0 \leq t \leq \pi\}$ von
|
||||
$r$ nach $-r$ zurück.
|
||||
|
||||
\item Gehe entlang des Halbkreises $\{r·exp(i·t) \::\: 0 ≤ t ≤ π\}$ von $r$
|
||||
nach $-r$ zurück.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Dann hängt das Integral über $\gamma_r$ nicht von $r$ ab, und es gilt nach dem Residuensatz
|
||||
Dann hängt das Integral über $γ_r$ nicht von $r$ ab, und es gilt nach dem
|
||||
Residuensatz
|
||||
\[
|
||||
\int_{-r}^{r} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{\Im z > 0} \Res(f,z),
|
||||
\int_{-r}^{r} f(z) \, dz = 2π i \sum_{\Im z > 0} \Res(f,z),
|
||||
\]
|
||||
da das Integral über den oberen Halbkreis für $r \to \infty$ verschwindet.
|
||||
da das Integral über den oberen Halbkreis für $r → ∞$ verschwindet.
|
||||
|
||||
\begin{rem}[Variante]
|
||||
Sei $f(z) = \dfrac{a(z)}{b(z)}$ rational ohne Pole auf der reellen Achse und mit $\deg b > \deg a$.
|
||||
Dann existieren die Grenzwerte
|
||||
\[
|
||||
\lim_{r \to \infty} \int_0^r f(x)e^{ix}\,dx, \qquad
|
||||
\lim_{r \to \infty} \int_{-r}^0 f(x)e^{ix}\,dx,
|
||||
\]
|
||||
und
|
||||
\[
|
||||
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{ix}\,dx = 2\pi i \sum_{\Im z > 0} \Res(f(z)e^{iz},z).
|
||||
\]
|
||||
Sei $f(z) = \dfrac{a(z)}{b(z)}$ rational ohne Pole auf der reellen Achse und
|
||||
mit $\deg b > \deg a$. Dann existieren die Grenzwerte
|
||||
\[
|
||||
\lim_{r → ∞} \int_0^r f(x)e^{ix}\,dx, \qquad
|
||||
\lim_{r → ∞} \int_{-r}⁰ f(x)e^{ix}\,dx,
|
||||
\]
|
||||
und
|
||||
\[
|
||||
\int_{-∞}^{∞} f(x)e^{ix}\,dx = 2π i \sum_{\Im z > 0} \Res(f(z)e^{iz},z).
|
||||
\]
|
||||
\end{rem}
|
||||
|
||||
\begin{rem}[Fourier-Transformierte]
|
||||
Sei $f(z) = \frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale reelle Funktion ohne Pole auf der reellen Achse und $\deg b \ge 2 + \deg a$.
|
||||
Dann existiert für alle $y \in \bR$ das Integral
|
||||
\[
|
||||
\widehat{f}(y) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ixy}\,dx,
|
||||
\]
|
||||
die \emph{Fourier-Transformierte} von $f$.
|
||||
Mit der Substitution $u = x y$ ergibt sich
|
||||
\[
|
||||
\widehat{f}(y) = \frac{1}{y}\int_{-\infty}^{\infty} f\!\left(\frac{u}{y}\right)e^{-iu}\,du.
|
||||
\]
|
||||
Dieses Integral lässt sich mit Hilfe des Residuensatzes berechnen, sofern die Partialbruchzerlegung von $f$ bekannt ist.
|
||||
Sei $f(z) = \frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale reelle Funktion ohne Pole auf
|
||||
der reellen Achse und $\deg b \ge 2 + \deg a$. Dann existiert für alle $y ∈ ℝ$
|
||||
das Integral
|
||||
\[
|
||||
\widehat{f}(y) := \int_{-∞}^{∞} f(x)e^{-ixy}\,dx,
|
||||
\]
|
||||
die \emph{Fourier-Transformierte} von $f$. Mit der Substitution $u = x y$
|
||||
ergibt sich
|
||||
\[
|
||||
\widehat{f}(y) = \frac{1}{y}\int_{-∞}^{∞} f\!\left(\frac{u}{y}\right)e^{-iu}\,du.
|
||||
\]
|
||||
Dieses Integral lässt sich mithilfe des Residuensatzes berechnen, sofern die
|
||||
Partialbruchzerlegung von $f$ bekannt ist.
|
||||
\end{rem}
|
||||
|
||||
|
||||
\part{Weiterführende Themen}
|
||||
|
||||
\chapter{Harmonische Funktionen}
|
||||
|
||||
In der angewandten Mathematik, Physik und Stochastik treten häufig \emph{harmonische Funktionen} auf.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sei $U \subset \bR^2$ offen.
|
||||
Eine stetige Funktion $f : U \to \bR$ heißt \emph{harmonisch}, wenn für jede Kreisscheibe $B_r(p) \subset U$ gilt:
|
||||
\[
|
||||
f(p) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(p + e^{it})\,dt.
|
||||
\]
|
||||
Der Funktionswert im Mittelpunkt $p$ ist also das Mittel der Funktionswerte am Rand der Kreisscheibe.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen sind harmonisch
|
||||
\emph{(vgl. Mittelwertsatz der Funktionentheorie)}.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
% !TEX root = Funktionentheorie
|
||||
|
||||
532
14-harmonic.tex
532
14-harmonic.tex
@@ -1,287 +1,269 @@
|
||||
% spell checker language
|
||||
\selectlanguage{german}
|
||||
|
||||
\chapter{Anwendungen des Residuensatzes}
|
||||
|
||||
\section{Zählen von Null- und Polstellen}
|
||||
|
||||
\begin{situation}\label{sit:12-5-1}%
|
||||
---
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Es sei $U ⊂ ℂ$ Gebiet und es sei $P ⊂ U$ eine abgeschlossene und
|
||||
diskrete Teilmenge.
|
||||
|
||||
\item Es sei $f ∈ 𝒪(U ∖ P)$ eine holomorphe Funktion mit isolierten
|
||||
Singularitäten. Wir nehmen an, dass $f$ nicht die Nullfunktion ist und
|
||||
keine essenziellen Singularitäten hat. Für jeden Punkt $z ∈ U$ sei
|
||||
$ν_z(f)$ die Polstellenordnung von $f$ in $z$; diese ist positiv, wenn $f$
|
||||
bei $z$ eine Polstelle hat und negativ bei Nullstellen.
|
||||
|
||||
\item Es sei $N = \{z ∈ U \mid f(z) = 0\}$ die Menge der Nullstellen von
|
||||
$f$.
|
||||
|
||||
\item Es sei $γ: [a,b] → U ∖ (N ∪ P)$ sei ein in $U$ zusammenziehbarer Weg.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{situation}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
In Situation~\ref{sit:12-5-1} sind die Zahlen $ν_z(f)$ für fast alle $z ∈ U$
|
||||
gleich null, und höchstens für $z ∈ P$ positiv.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}\label{bem:12-5-3}%
|
||||
In Situation~\ref{sit:12-5-1} sagt die „Goldene Regel 2“, dass die
|
||||
Umlaufzahlen $\Um(γ, p)$ höchstens auf einer kompakten Teilmenge von $U$
|
||||
ungleich null sind. Da der Schnitt einer diskreten Menge mit einer kompakten
|
||||
Menge endlich ist, gibt es nur endlich viele Punkte $z ∈ U$, für die das
|
||||
Produkt $\Um(γ, p) · ν_p(f)$ ungleich null ist.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Zählen von Null- und Polstellen]\label{satz:12-5-1}%
|
||||
In Situation~\ref{sit:12-5-1} betrachte den Weg $f ◦ γ : [a,b] → ℂ$. Dann gilt
|
||||
\[
|
||||
\Um(f ◦ γ, 0) = \sum_{p ∈ U} \Um(γ, p) · ν_p(f).
|
||||
\]
|
||||
Beachte, dass nach Bemerkung~\ref{bem:12-5-3} nur endlich viele der Summanden
|
||||
auf der rechten Seite ungleich null sind.
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Es gilt
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Um(f ◦ γ, 0) & = \frac{1}{2π i} \int_{f◦ γ} \frac{1}{z} \, dz && \text{Definition Umlaufzahl} \\
|
||||
& = \frac{1}{2π i} \int_γ \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz && \text{Definition Wegintegral, Kettenregel} \\
|
||||
& = \sum_{p ∈ U} \Um(γ, p) · ν_p(f) && \text{Residuensatz, Bemerkung~\ref{bem:12-4-2}.}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Damit ist Satz~\ref{satz:12-5-1} bewiesen.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{kor}[Satz von Rouché\footnote{Eugène Rouché (* 18.~August 1832 in
|
||||
Sommières, Département Hérault; † 19.~August 1910 in Lunel) war ein
|
||||
französischer Mathematiker. }]\label{kor:12-5-2}%
|
||||
\index{Satz von Rouché}Sei $U ⊂ ℂ$ offen, $f ∈ 𝒪(U)$ und $K ⊂ U$ eine
|
||||
abgeschlossene Kreisscheibe. Sei außerdem eine holomorphe Funktion $g ∈ 𝒪(U)$
|
||||
gegeben, sodass für jedes $z ∈ δ K$ die Ungleichung
|
||||
\begin{equation}\label{eq:12-5-5}%
|
||||
|f(z)| > |g(z)|
|
||||
\end{equation}
|
||||
gilt. Dann gilt Folgendes.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{il:12-5-5-1} Alle Nullstellen von $f$ und $f+g$ auf $K$ liegen
|
||||
im Inneren von $K$.
|
||||
|
||||
\item\label{il:12-5-5-2} Mit Vielfachheit gezählt haben $f$ und $f+g$ die
|
||||
gleiche Anzahl an Nullstellen auf $K$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{kor}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Für $t ∈ [0,1]$ betrachte die Familie von Funktionen $h_t(z) := f(z) +
|
||||
t·g(z)$. Ungleichung~\eqref{eq:12-5-5} zeigt sofort, dass für jedes $t ∈
|
||||
[0,1]$ und jedes $z ∈ ∂K$ die Ungleichung
|
||||
\[
|
||||
h_t(z)
|
||||
\]
|
||||
gilt. Damit ist~\ref{il:12-5-5-1} bewiesen. Als Nächstes betrachte
|
||||
\[
|
||||
N : [0,1] → ℂ, \quad t ↦ \frac{1}{2π i} \int_{∂K} \frac{h_t'(z)}{h_t(z)} \, dz.
|
||||
\]
|
||||
Auf der einen Seite sagt der Satz über parameterabhängige Integrale, dass $N$
|
||||
stetig ist. Auf der anderen Seite gilt nach Satz~\ref{satz:12-5-1} für jedes
|
||||
$t ∈ [0,1]$ die Gleichung
|
||||
\[
|
||||
N(t) = \text{Anzahl der Nullstellen von $h_t$ in $K$}.
|
||||
\]
|
||||
Da $N(t)$ also ganzzahlig ist, ist $N$ konstant. Somit gilt insbesondere
|
||||
$N(0) = N(1)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}\label{bsp:12-5-3}%
|
||||
Wir behaupten, dass die Funktion
|
||||
\[
|
||||
\frac{1}{10} z⁷ + 1 + 5 z²
|
||||
\]
|
||||
in $B_1(0)$ genau $2$ Nullstellen hat. Schreibe dazu $f(z) = 5z²$, $g(z) =
|
||||
\frac{1}{10} z⁷ + 1$ und beobachte, dass für jedes $z$ mit $|z| = 1$ die
|
||||
Ungleichung
|
||||
\[
|
||||
|f(z)| = 5 > 1 + \frac{1}{10} ≥ |g(z)|
|
||||
\]
|
||||
gilt. Der Satz von Rouché zeigt nun die Behauptung.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Weierstraß]
|
||||
\index{Satz von Weierstraß}Sei $P \subset \bC$ eine diskrete und
|
||||
abgeschlossene Menge und $n : P \to \bN$ eine beliebige Abbildung. Dann
|
||||
existiert eine Funktion $f \in \sO(\bC)$, sodass folgendes gilt.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Die Nullstellenmenge von $f$ ist exakt $P$.
|
||||
|
||||
\item Für jedes $p \in P$ gilt: Die Funktion $f$ hat bei $p$ eine Nullstelle
|
||||
der Ordnung $n(p)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Vorüberlegung zum Beweis des Satzes von Weierstraß}
|
||||
|
||||
Es sei $f \in \sO(\bC)$ eine holomorphe Funktion, die am Punkt $p \in \bC$ eine
|
||||
Nullstelle der Ordnung $n$ besitzt. Entwickle $f$ bei $p$ in eine Potenzreihe,
|
||||
sodass für $z$ in einer Umgebung von $p$ folgendes gilt.
|
||||
\begin{align}
|
||||
f(z) & = \sum_{i = n}^{\infty} a_i (z-p)^i \\
|
||||
f'(z) & = \sum_{i = n}^{\infty} a_i·i·(z-p)^{i-1} \\
|
||||
f^{-1}(z) & = a^{-1}_n·(z-p)^{-n} + \sum_{i = -n+1}^{\infty} \cdots \\
|
||||
\label{il:13-2-1-6} (f'/f)(z) & = \underbrace{n·(z-p)^{-1}}_{\text{Hauptteil}} + \underbrace{(\text{Potenzreihe})}_{\text{Nebenteil}}.
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Beweis des Satzes von Weierstraß}
|
||||
|
||||
Die Vorüberlegung legt nahe, den Satz von Mittag–Leffler zu verwenden. Sei also
|
||||
$g \in \sO(\bC \setminus P)$ eine Funktion, deren Hauptteil an jeder Stelle $p
|
||||
\in P$ exakt gleich $\frac{n(p)}{z-p}$ ist. Das Ziel ist jetzt, aus der
|
||||
Funktion $g$ die gesuchte Funktion $f$ zu konstruieren.
|
||||
|
||||
\begin{erinnerung}
|
||||
Der Residuensatz besagt, dass für jede geschlossene Kurve $\gamma$ in $\bC
|
||||
\setminus P$ gilt:
|
||||
\[
|
||||
\int_\gamma g(z) \, dz = 2\pi i \sum_{p \in P} \Um(\gamma, p) · n(p).
|
||||
\]
|
||||
Da $n(p) \in \bZ$ für alle $p \in P$ gilt, ist das Integral auf der linken
|
||||
Seite also stets ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi i$, liegt also im Kern
|
||||
der Exponentialfunktion $\exp : \bC \to \bC^*$.
|
||||
\end{erinnerung}
|
||||
|
||||
Die Erinnerung erlaubt folgende Konstruktion: Wähle einen Punkt $q \in \bC
|
||||
\setminus P$ und wähle für jedes $w \in \bC \setminus P$ einen Weg $\gamma_w$
|
||||
von $q$ nach $w$. Dann definiere die Funktion
|
||||
\[
|
||||
f : \bC \setminus P \to \bC^*, \quad w \mapsto \exp \left(\int_{\gamma_w} g(z) \, dz\right).
|
||||
\]
|
||||
Die Erinnerung zeigt, dass die Funktion $f$ unabhängig von der Wahl der Wege
|
||||
$\gamma_w$ ist.
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}
|
||||
Die Funktion $f$ ist auf $\bC \setminus P$ holomorph, weil $g$ holomorph ist.
|
||||
\qed
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}
|
||||
Die Funktion $f$ hat auf $\bC \setminus P$ keine Nullstelle, weil die
|
||||
Exponentialfunktion keine Nullstelle hat. \qed
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}\label{beo:13-2-1}%
|
||||
Auf $\bC \setminus P$ gilt die Gleichung $f'/f = g$. \qed
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
Jetzt fehlt nur noch zu zeigen, dass $f$ an jedem Punkt $p \in P$ eine hebbare
|
||||
Singularität hat und dass die fortgesetzte Funktion eine Nullstelle der Ordnung
|
||||
$n(p)$ besitzt. Sei also ein Punkt $p \in P$ gegeben. Wähle eine kleine
|
||||
Kreisscheibe $B_\varepsilon(p)$ um $p$, die keine weiteren Punkte aus $P$
|
||||
enthält. Nach Beobachtung~\ref{beo:13-2-1} und der Wahl von $g$ gilt auf
|
||||
$B_\varepsilon(p) \setminus \{p\}$ die Gleichung
|
||||
\[
|
||||
\frac{f'(z)}{f(z)} = g(z) = \frac{n(p)}{z-p} + h(z),
|
||||
\]
|
||||
wobei $h \in \sO(B_\varepsilon(p))$ eine holomorphe Funktion ist. Äquivalent:
|
||||
Die Funktion $f$ erfüllt auf $B_\varepsilon(p) \setminus \{p\}$ die
|
||||
Differentialgleichung
|
||||
\[
|
||||
f'(z) = \left[\frac{n(p)}{z-p} + h(z) \right]·f(z).
|
||||
\]
|
||||
Diese Differentialgleichung lässt sich durch Trennung der Variablen lösen.
|
||||
Genauer: Wenn $H \in \sO(B_\varepsilon(p))$ eine Stammfunktion von $h$ ist, dann
|
||||
sind alle Lösungen der Differentialgleichung auf $B_\varepsilon(p) \setminus \{p\}$
|
||||
gegeben durch
|
||||
\[
|
||||
\text{const}^{\ne 0} · \exp\left( H(z) \right)·(z-p)^{n(p)}.
|
||||
\]
|
||||
Die Funktion $f|_{B_\varepsilon(p)}$ ist aber eine dieser Lösungen, hat also bei
|
||||
$p$ eine hebbare Singularität und eine Nullstelle der Ordnung $n(p)$. Damit ist
|
||||
der Satz von Weierstraß bewiesen. \qed
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Integration}
|
||||
|
||||
\subsection{Uneigentliche Integrale rationaler Funktionen}
|
||||
|
||||
Der Residuensatz erlaubt die Berechnung gewisser uneigentlichen Integrale. Ich
|
||||
skizziere das Vorgehen am Beispiel rationaler Funktionen.
|
||||
Sei $f(z) = \frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale Funktion, wobei folgendes gilt.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Die Funktion $f$ habe auf der reellen Achse keine Polstellen.
|
||||
\item Die Grade der Polynome $a(z)$ und $b(z)$ erfüllen die Ungleichung $\deg
|
||||
b \ge \deg a + 2$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
und $f$ habe auf der reellen Achse keine Pole. Dann kann man den Residuensatz
|
||||
anwenden, um das uneigentliche Integral
|
||||
\[
|
||||
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx
|
||||
\]
|
||||
zu berechnen. Beachte dazu folgendes: Wenn $r \in \bR⁺$ hinreichend groß ist,
|
||||
dann liegen alle Polstellen von $f$ im Inneren der Kreisscheibe $B_r(0)$. Sei
|
||||
$\gamma_r$ der folgende geschlossene Weg:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Gehe entlang der reellen Achse von $-r$ nach $r$.
|
||||
\item Gehe entlang des Halbkreises $\{r·exp(i·t) \::\: 0 \leq t \leq \pi\}$ von
|
||||
$r$ nach $-r$ zurück.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Dann hängt das Integral über $\gamma_r$ nicht von $r$ ab, und es gilt nach dem Residuensatz
|
||||
\[
|
||||
\int_{-r}^{r} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{\Im z > 0} \Res(f,z),
|
||||
\]
|
||||
da das Integral über den oberen Halbkreis für $r \to \infty$ verschwindet.
|
||||
|
||||
\begin{rem}[Variante]
|
||||
Sei $f(z) = \dfrac{a(z)}{b(z)}$ rational ohne Pole auf der reellen Achse und mit $\deg b > \deg a$.
|
||||
Dann existieren die Grenzwerte
|
||||
\[
|
||||
\lim_{r \to \infty} \int_0^r f(x)e^{ix}\,dx, \qquad
|
||||
\lim_{r \to \infty} \int_{-r}^0 f(x)e^{ix}\,dx,
|
||||
\]
|
||||
und
|
||||
\[
|
||||
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{ix}\,dx = 2\pi i \sum_{\Im z > 0} \Res(f(z)e^{iz},z).
|
||||
\]
|
||||
\end{rem}
|
||||
|
||||
\begin{rem}[Fourier-Transformierte]
|
||||
Sei $f(z) = \frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale reelle Funktion ohne Pole auf der reellen Achse und $\deg b \ge 2 + \deg a$.
|
||||
Dann existiert für alle $y \in \bR$ das Integral
|
||||
\[
|
||||
\widehat{f}(y) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ixy}\,dx,
|
||||
\]
|
||||
die \emph{Fourier-Transformierte} von $f$.
|
||||
Mit der Substitution $u = x y$ ergibt sich
|
||||
\[
|
||||
\widehat{f}(y) = \frac{1}{y}\int_{-\infty}^{\infty} f\!\left(\frac{u}{y}\right)e^{-iu}\,du.
|
||||
\]
|
||||
Dieses Integral lässt sich mit Hilfe des Residuensatzes berechnen, sofern die Partialbruchzerlegung von $f$ bekannt ist.
|
||||
\end{rem}
|
||||
|
||||
|
||||
\part{Weiterführende Themen}
|
||||
|
||||
\chapter{Harmonische Funktionen}
|
||||
|
||||
In der angewandten Mathematik, Physik und Stochastik treten häufig \emph{harmonische Funktionen} auf.
|
||||
In der angewandten Mathematik, Physik und Stochastik treten häufig
|
||||
\emph{harmonische Funktionen} auf. Das sind Funktionen, die die
|
||||
Mittelwert-Eigenschaft per Definition erfüllen.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sei $U \subset \bR^2$ offen.
|
||||
Eine stetige Funktion $f : U \to \bR$ heißt \emph{harmonisch}, wenn für jede Kreisscheibe $B_r(p) \subset U$ gilt:
|
||||
\[
|
||||
f(p) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(p + e^{it})\,dt.
|
||||
\]
|
||||
Der Funktionswert im Mittelpunkt $p$ ist also das Mittel der Funktionswerte am Rand der Kreisscheibe.
|
||||
Sei $U ⊂ ℝ²$ offen. Eine stetige Funktion $f : U → ℝ$ heißt
|
||||
\emph{harmonisch}\index{harmonische Funktion}, wenn für jede Kreisscheibe
|
||||
$B_r(p) ⊂ U$ gilt:
|
||||
\[
|
||||
f(p) = \frac{1}{2π} \int_0^{2π} f(p + e^{it})\,dt.
|
||||
\]
|
||||
Der Funktionswert im Mittelpunkt $p$ ist also das Mittel der Funktionswerte am
|
||||
Rand der Kreisscheibe.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen sind harmonisch
|
||||
\emph{(vgl. Mittelwertsatz der Funktionentheorie)}.
|
||||
\begin{bsp}[Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen]
|
||||
Proposition~\ref{satz:5-2-1} („Mittelwertsatz“) besagt unter anderem, dass
|
||||
Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen harmonisch sind.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Konsequenzen von Harmonizität}
|
||||
|
||||
\begin{prop}[Maximumprinzip für harmonische Funktionen]\label{prop:14-1-1}%
|
||||
\index{Maximumprinzip für harmonische Funktionen}Es sei $U ⊂ ℝ²$
|
||||
zusammenhängend und offen und es sei $f : U → ℝ$ harmonisch. Wenn $f$ auf $U$
|
||||
ein Maximum oder Minimum erreicht, dann ist $f$ konstant.
|
||||
\end{prop}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Angenommen, ein Maximum
|
||||
\[
|
||||
M := \max\{ f(z) \mid z ∈ U \}
|
||||
\]
|
||||
existiert und es sei $p$ ein Punkt aus $U$ mit $f(p) = M$. Wenn $ε ≪ 1$
|
||||
ausreichend klein ist, dann ist $B_ε(p) ⊂ U$ und es gilt für jeden Punkt $z ∈
|
||||
∂B_ε(p)$ die Ungleichung $f(z) ≤ f(p)$. Die Gleichung
|
||||
\[
|
||||
f(p) = \frac{1}{2π} \int_0^{2π} f(p + ε · e^{it})\,dt
|
||||
\]
|
||||
zeigt dann, dass für jeden Punkt $z ∈ ∂B_ε(p)$ bereits die Gleichung $f(z) =
|
||||
f(p)$ gelten muss. Es folgt, dass $f$ auf $B_ε(p)$ konstant ist. In der
|
||||
Summe sehen wir, dass die Menge
|
||||
\[
|
||||
\{z ∈ U \::\: f(z) = M\} ⊆ U
|
||||
\]
|
||||
offen ist. Da diese Menge offensichtlich auch abgeschlossen ist, folgt die
|
||||
Behauptung.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{prop}
|
||||
Es sei $p ∈ ℝ²$ und $r > 0$. Weiter seien $f_1, f_2 : \overline{\bar{B}_r(p)}
|
||||
→ ℝ$ zwei stetige Funktionen, die auf $B_r(p)$ harmonisch sind und auf dem
|
||||
Rand $∂\bar{B}_r(p)$ übereinstimmen. Dann ist $f_1 = f_2$.
|
||||
\end{prop}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Die Funktion $f := f_1 - f_2$ ist stetig auf $B_r(p)$ harmonisch und auf dem
|
||||
Rand $∂\bar{B}_r(p)$ gleich null. Als stetige Funktion auf der kompakten
|
||||
Menge $\overline{\bar{B}_r(p)}$ nimmt $f_1 - f_2$ ein Maximum und Minimum an.
|
||||
Sollten diese ungleich Null sein, so würden diese an einem Punkt im Innern von
|
||||
$B_r(p)$ angenommen. Dann ist $f_1 - f_2$ aber nach Satz~\ref{prop:14-1-1}
|
||||
konstant.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Konstruktion von harmonischen Funktionen}
|
||||
|
||||
\begin{konstruktion}[Funktionen vom Rand der Kreisscheibe in das Innere Fortsetzen]\label{konst:14-2-1}%
|
||||
Es sei $S¹ ⊂ ℂ$ der Einheitskreis und $h : S¹ → ℝ$ sei stetig. Dann betrachte
|
||||
\[
|
||||
\bar{h} : \overline{B_1(0)} → ℝ,
|
||||
\quad
|
||||
z ↦
|
||||
\begin{cases}
|
||||
h(z) & \text{falls } |z| = 1 \\
|
||||
\frac{1}{2π} \int_0^{2π} h(e^{it}) · \operatorname{Realteil}\left(\frac{e^{it} + z}{e^{it} - z}\right)\,dt & \text{sonst}.
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
Eine mühsame Rechnung, die ich mir spare, zeigt Folgendes.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Die Funktion $\bar{h}$ ist auf der abgeschlossenen
|
||||
Einheitskreisscheibe stetig.
|
||||
|
||||
\item Die Funktion $\bar{h}$ ist auf der offenen Einheitskreisscheibe
|
||||
harmonisch.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{konstruktion}
|
||||
|
||||
\begin{rem}[Poisson\footnote{Siméon Denis Poisson (* 21.~Juni 1781 in Pithiviers
|
||||
(Département Loiret); † 25.~April 1840 in Paris) war ein französischer
|
||||
Physiker und Mathematiker.}-Transformation und Fourier\footnote{Baron Jean
|
||||
Baptiste Joseph Fourier (* 21. März 1768 bei Auxerre; † 16. Mai 1830 in
|
||||
Paris) war ein französischer Mathematiker und Physiker.}-Transformation]%
|
||||
Der Integralausdruck aus Konstruktion~\ref{konst:14-2-1} ist in der Analysis
|
||||
wichtig und wird als „Poisson-Transformation“\index{Poisson-Transformation}
|
||||
der Funktion $h$ bezeichnet. Die Poisson-Transformation ist eng mit der
|
||||
Fourier-Transformation von $h$ verwandt! Um den Zusammenhang zu sehen,
|
||||
betrachte die Fourier-Entwicklung der periodischen Funktion
|
||||
\[
|
||||
h' : ℝ → ℝ, \quad t ↦ h(\exp(it)),
|
||||
\quad
|
||||
t ↦ \sum_{k ∈ ℤ} a_k \exp(ikt).
|
||||
\]
|
||||
Setze jeden Term ein in die Formel aus Konstruktion~\ref{konst:14-2-1} ein
|
||||
schaue, was passiert.
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\end{rem}
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\begin{kons}[Holographieprinzip für harmonische Funktionen]
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Gegeben eine Kreisscheibe $B_r(p) ⊂ ℂ$ und eine stetige Funktion $h : ∂B_r(p)
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→ ℝ$, so gibt es genau eine stetige Funktion $\bar{h} : \overline{B_r(p)} →
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ℝ$, die auf dem Rand mit $h$ übereinstimmt und im Innern harmonisch ist. \qed
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\end{kons}
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\begin{kons}[Harmonische Funktionen als Realteile holomorpher Funktionen]
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Gegeben eine Kreisscheibe $B_r(p) ⊂ ℂ$ und eine harmonische Funktion $h :
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B_r(p) → ℝ$. Dann ist $h$ der Realteil einer holomorphen Funktion.
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\end{kons}
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\begin{proof}
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Wir wissen aus Satz~\vref{satz:3-1-12} („Ableiten unter dem Integral“), dass
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die Abbildung
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\[
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B_r(ρ) → ℂ, \qquad z ↦ \frac{1}{2π} \int_0^{2π} h(e^{it}) ·
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\frac{e^{it} + z}{e^{it} - z}\,dt
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\]
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holomorph ist.
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\end{proof}
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\section{Harmonische Funktionen als Realteile holomorpher Funktionen}
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\begin{bsp}[Harmonische Funktionen sind nicht immer Realteile holomorpher Funktionen]
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Im Allgemeinen sind harmonische Funktionen nicht unbedingt Realteile von
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holomorphen Funktionen. Betrachte zum Beispiel den Hauptzweig des Logarithmus
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\[
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\log : ℂ^* → ℂ, \quad z ↦ \log|z| + i · \arg(z).
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\]
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Wir wissen schon: diese Funktion ist nicht stetig, weil $\arg$ nicht stetig
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ist. Der Realteil, die Funktion $h : z ↦ \log|z|$, ist aber auf ganz $ℂ^*$
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harmonisch. Die Funktion $h$ ist aber nicht der Realteil einer holomorphen
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Funktion auf $ℂ^*$. Falls $h$ nämlich der Realteil einer holomorphen Funktion
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$φ ∈ 𝒪(ℂ^*)$ wäre, dann wäre
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\[
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\operatorname{Realteil}(φ ◦ \exp - \Id) = 0.
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\]
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Nach dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen, Korollar~\vref{kor:7-2-2},
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ist dann auch $φ ◦ \exp - \Id = 0$. Also wäre $φ$ eine Logarithmus-Funktion.
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Eine solche Funktion existiert aber nicht einmal als stetige Funktion, wie wir
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spätestens seit Lemma~\ref{lem:1-2-15} wissen.
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\end{bsp}
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\begin{satz}[Harmonische Funktionen als Realteile holomorpher Funktionen]\label{satz:14-3-2}%
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Sei $U ⊂ ℂ$ einfach zusammenhängend, $f : U → ℝ$. Dann sind folgende Aussagen
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äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\item Die Funktion $f$ ist harmonisch.
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\item\label{il:14-3-2-2} Die Funktion $f$ ist Realteil einer holomorphen
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Funktion.
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\end{enumerate}
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Insbesondere gilt: Die holomorphe Funktion $f$ aus \ref{il:14-3-2-2} ist
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eindeutig bis auf Addition mit einer rein imaginären Zahl.
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\end{satz}
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Wir beweisen Satz~\ref{satz:14-3-2} auf Seite~\vpageref{pf:14-3-2}.
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\section{Infinitesimale Beschreibung harmonischer Funktionen}
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\begin{satz}[Infinitesimale Beschreibung harmonischer Funktionen]\label{satz:14-4-1}%
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||||
Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f : U → ℝ$ harmonisch. Dann sind folgende Aussagen
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||||
äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:14-4-1-1} Die Funktion $f$ ist harmonisch.
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||||
\item\label{il:14-4-1-2} Die Funktion $f$ ist zweimal stetig differenzierbar
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und es ist
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\[
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||||
Δf = \left(\frac{∂²}{∂x²} + \frac{∂²}{∂y²}\right) f = 0.
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||||
\]
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||||
\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{notation}[Laplace\footnote{Pierre-Simon Laplace, seit 1817 Marquis de
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Laplace (* 23.~März 1749 in Beaumont-en-Auge in der Normandie; † 5.~März
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||||
1827 in Paris) war ein französischer Mathematiker, Physiker und Astronom. Er
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||||
beschäftigte sich unter anderem mit der Wahrscheinlichkeitstheorie und mit
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||||
Differenzialgleichungen.}-Operator]%
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||||
Statt $\left(\frac{∂²}{∂x²} + \frac{∂²}{∂y²}\right) f$ schreibt man oft $Δf$.
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||||
Der Differenzialoperator $Δ = \frac{∂²}{∂x²} + \frac{∂²}{∂y²}$ wird auch als
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||||
\emph{Laplace-Operator}\index{Laplace-Operator} bezeichnet.
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\end{notation}
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\begin{rem}[Differenzialoperatoren, Vorüberlegung zum Beweis von Satz~\ref{satz:14-4-1}]
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Wenn eine Funktion $g : U → ℝ$ oder $g : U → ℂ$ zweimal differenzierbar ist,
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dann ist
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\begin{align*}
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||||
\frac{∂}{∂\bar{z}} \frac{∂}{∂z} g & = \frac{∂}{∂\bar{z}} \left(\frac{1}{2}\left(\frac{∂g}{∂x} + i\frac{∂g}{∂y}\right)\right) \\
|
||||
& = \frac{1}{4} \left(\frac{∂²g}{∂x²} - i\frac{∂²g}{∂x∂y} + i\left(\frac{∂²g}{∂y∂y} - i\frac{∂²g}{∂y²}\right)\right) \\
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||||
& = \frac{1}{4} \, Δg.
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||||
\end{align*}
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||||
\end{rem}
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:14-4-1}, Implikation \ref{il:14-4-1-1} $⇒$ \ref{il:14-4-1-2}]
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Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $U$ eine
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Kreisscheibe ist. Dort kann ich $f$ mithilfe der Poisson-Transformation als
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Realteil einer holomorphen Funktion $f' ∈ 𝒪(U)$ schreiben. Dann ist
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$\frac{∂f'}{∂z}$ holomorph. Also gilt
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\[
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||||
Δ(\text{Realteil} f') + iΔ(\text{Imaginärteil} f') = Δf' = \const⁺·\frac{∂}{∂\bar{z}} \frac{∂}{∂z} f' = 0.
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\]
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||||
Also ist $Δf = 0$.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:14-4-1}, Implikation \ref{il:14-4-1-2} $⇒$ \ref{il:14-4-1-1}]
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||||
Per Annahme ist
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\[
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0 = Δf = \frac{∂}{∂\bar{z}} \frac{∂}{∂z} f.
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\]
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||||
Also ist die Funktion
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||||
\[
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||||
\frac{∂f}{∂z} = \frac{∂f}{∂x} - i\frac{∂f}{∂y}
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||||
\]
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||||
bereits holomorph! Jetzt müssen wir testen, ob $f$ harmonisch ist. Sei also
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||||
eine beliebige Kreisscheibe $B_r(p) ⊂ U$ gegeben. Dann ist für $ε ≪ 1$ auch
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||||
$B_{r+ε}(p) ⊂ U$ und dort hat die holomorphe Funktion $\frac{∂f}{∂z}$ eine
|
||||
Stammfunktion $F ∈ 𝒪(B_{r+ε}(p))$. Es ist aber
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||||
\[
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||||
\begin{matrix}
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||||
\frac{∂F}{∂x} & = \frac{∂f}{∂z} & = \frac{∂f}{∂x} - i\frac{∂f}{∂y} \\
|
||||
\frac{∂F}{∂y} & = i\frac{∂F}{∂x} & = \frac{∂f}{∂y} + i\frac{∂f}{∂x}.
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\]
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||||
Also ist
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||||
\[
|
||||
\operatorname{grad} \operatorname{Realteil}(F) = \operatorname{grad} f.
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||||
\]
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||||
Die Funktionen $\operatorname{Realteil}(F)$ und $f$ unterscheiden sich also
|
||||
nur um eine additive Konstante. Daher ist $f = \operatorname{Realteil}(F) +
|
||||
\const$ auf $B_{r+ε}(p)$ Realteil einer holomorphen Funktion, also harmonisch!
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||||
\end{proof}
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Der gerade geführte Beweis liefert fast wörtlich auch einen Beweis von
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Satz~\ref{satz:14-3-2}.
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:14-3-2}]\label{pf:14-3-2}%
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||||
Per Annahme ist $0 = Δf = \frac{∂}{∂\bar{z}} \frac{∂}{∂z} f$. Also ist die
|
||||
Funktion
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||||
\[
|
||||
\frac{∂f}{∂z} = \frac{∂f}{∂x} - i\frac{∂f}{∂y}
|
||||
\]
|
||||
bereits holomorph! Jetzt müssen wir testen, ob $f$ harmonisch ist. Weil $U$
|
||||
per Annahme einfach zusammenhängend ist, gibt es nach Korollar~\ref{kor:4-3-4}
|
||||
eine Stammfunktion $F ∈ 𝒪(B_{r+ε}(p))$. Es ist aber
|
||||
\[
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
\frac{∂F}{∂x} & = \frac{∂f}{∂z} & = \frac{∂f}{∂x} - i\frac{∂f}{∂y} \\
|
||||
\frac{∂F}{∂y} & = i\frac{∂F}{∂x} & = \frac{∂f}{∂y} + i\frac{∂f}{∂x}.
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\]
|
||||
Die Funktionen $\operatorname{Realteil}(F)$ und $f$ unterscheiden sich also
|
||||
nur um eine additive Konstante. Daher ist $f = \operatorname{Realteil}(F) +
|
||||
\const$ auf $B_{r+ε}(p)$ Realteil einer holomorphen Funktion, also harmonisch!
|
||||
\end{proof}
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% !TEX root = Funktionentheorie
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@@ -160,6 +160,11 @@ Link in den Text ein.
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\input{12-residuum}
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\input{13-applResiduum}
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\part{Weiterführende Themen}
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\input{14-harmonic}
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\addchap{Lizenz}
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Dieser Text ist unter der Lizenz
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