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@@ -8,3 +8,5 @@ Cosinusfunktion
 Funktionalgleichung
 Exponentialabbildung
 Quotientengruppe
+homotop
+zusammenziehbar

03-wegintegrale.tex

@@ -307,6 +307,8 @@ Fakten der Analysis und Topologie.
 
 \subsection{Konstruktion von Stammfunktionen durch Wegintegrale}
 
+\sideremark{Vorlesung 5}
+
 Wir erinnern uns an die Ergebnisse des letzten Abschnitts: Es sei $U \subset
 \bC$ offen und es sei $f: U \to \bC$ stetig. Wenn $f$ eine Stammfunktion $F: U
 \to \bC$ besitzt, dann gilt für jeden (stückweise) stetig differenzierbaren Weg 
@@ -520,58 +522,98 @@ folgenden Art.
     F}{\partial x} + i \frac{\partial F}{\partial y} = 0$. Also erfüllen die
     partiellen Ableitungen von $F$ die Cauchy-Riemann-Differenzialgleichungen.
   \end{itemize}
-  In der sehen wir, dass $F$ komplex differenzierbar ist und dass $F' = f$ gilt.
+  In der Summe sehen wir, dass $F$ komplex differenzierbar ist und dass $F' = f$
+  gilt.
 \end{proof}
 
 
 \section{Homotopie von Wegen}
 
-Gegeben eine offene Menge $U \subset \mathbb{C}$, und Punkte $z_0, z_1 \in U$, so betrachten wir Wege, die $z_0$ und $z_1$ verbinden.
+Gegeben eine offene Menge $U \subset \bC$ und Punkte $z_0, z_1 \in U$, so
+betrachten wir Wege, die $z_0$ und $z_1$ verbinden.  Anschaulich ist klar, dass
+manche dieser Wege stetig ineinander übergeführt werden können und andere nicht.
 
-Anschaulich ist klar, dass manche dieser Wege ineinander übergeführt werden können und andere nicht.
+\begin{definition}[Homotopie von Wegen]\label{def:3-4-1}%
+  Es sei $U$ ein topologischer Raum, und $[a, b] \subset \bR$ ein kompaktes
+  Intervall. Zwei stetige Wege
+  \[
+    \gamma_0: [a, b] \to U, \quad \gamma_1: [a, b] \to U 
+    \quad\text{mit}\quad 
+    \gamma_0(a) = \gamma_1(a), \quad \gamma_0(b) = \gamma_1(b)
+  \]
+  heißen \emph{homotop}\index{homotop}, wenn es stetige Abbildung
+  \[
+    \Gamma: [a, b] \times [0, 1] \longrightarrow U
+  \]
+  gibt, sodass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
+  \begin{itemize}
+    \item $\forall s \in [0, 1] : \Gamma(a, s) = \gamma_0(a) \text{ und } \Gamma(b, s) = \gamma_0(b)$
+    \item $\forall t \in [a, b] : \Gamma(t, 0) = \gamma_0(t) \text{ und } \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t)$.
+  \end{itemize}
+  Eine Abbildung $\Gamma$ mit diesen Eigenschaften heißt \emph{Homotopie}\index{Homotopie}
+  zwischen den Wegen $\gamma_0$ und $\gamma_1$.
+\end{definition}
 
-\begin{center}
-\begin{tikzpicture}
-\draw (0,0) ellipse (2cm and 1.5cm);
-\draw (0.5,0) circle (0.3cm);
-\node at (-1.5,0.5) [circle,fill,inner sep=1.5pt,label=left:$z_0$] {};
-\node at (1.5,0.5) [circle,fill,inner sep=1.5pt,label=right:$z_1$] {};
-\draw[thick] (-1.5,0.5) .. controls (-0.5,1) and (0.5,1) .. (1.5,0.5);
-\end{tikzpicture}
-\end{center}
+In der Situation von Definition~\ref{def:3-4-1} kann man die Homotopie als
+Familie von Wegen auffassen, $\gamma_s := \Gamma(\bullet, s)$, die stetig
+zwischen den Wegen $\gamma_0$ und $\gamma_1$ interpoliert.
 
-\textbf{Def} Es sei $U$ ein topologischer Raum, und $[a, b] \subset \mathbb{R}$ ein kompaktes Intervall. Zwei stetige Wege
-\[
-\gamma_0: [a, b] \to U, \quad \gamma_1: [a, b] \to U \quad \text{mit } \gamma_0(a) = \gamma_1(a), \quad \gamma_0(b) = \gamma_1(b)
-\]
-heißen homotop, wenn es stetig, Abb
-\[
-\Gamma: [a, b] \times [0, 1] \longrightarrow U
-\]
-gibt sodass
-\begin{itemize}
-\item $\forall s \in [0, 1]$ $\Gamma(a, s) = \gamma_0(a)$. $\Gamma(b, s) = \gamma_0(b)$
-\item $\forall t \in [a, b]$ $\Gamma(t, 0) = \gamma_0(t)$, $\Gamma(t, 1) = \gamma_1(t)$
-\end{itemize}
+\begin{definition}[Zusammenziehbare Wege und einfach zusammenhängende Räume]\label{def:3-4-2}%
+  Es sei $U$ ein topologischer Raum, und $[a, b] \subset \bR$ ein kompaktes
+  Intervall. Ein \emph{geschlossener Weg}\index{geschlossener Weg} in $U$ ist
+  ein stetiger Weg
+  \[
+    \gamma: [a, b] \to U \quad\text{mit}\quad \gamma(a) = \gamma(b).
+  \]
+  Ein geschlossener Weg heißt \emph{zusammenziehbar}\index{zusammenziehbar} oder
+  \emph{kontrahierbar}\index{kontrahierbar}, wenn er homotop zu einem konstanten
+  Weg ist. Der Raum $U$ heißt \emph{wegweise einfach
+  zusammenhängend}\index{wegweise einfach zusammenhängend}, wenn jeder
+  geschlossener Weg zusammenziehbar ist.
+\end{definition}
 
-Man kann dann $\Gamma_s(t) := \Gamma(t, s)$ als Familie von Wegen auffassen, die stetig zwischen $\gamma_0$ und $\gamma_1$ interpoliert.
+\begin{bsp}[Zentrierte geschlossene Wege in der Kreisscheibe]
+  Es sei $U \subset \bC$ die Einheits-Kreisscheibe und es sei $\gamma_0: [a, b]
+  \to U$ ein Weg mit $\gamma_0(a) = \gamma_0(b) = 0$. Dann ist
+  \[
+    \Gamma: [a, b] \times [0, 1] \to U, \quad (t, s) \mapsto (1 - t) \cdot \gamma_0(t)
+  \]
+  eine Homotopie zwischen dem Weg $\gamma_0$ und dem konstanten Weg $\gamma_1
+  \equiv 0$. Also ist $\gamma_0$ zusammenziehbar.
+\end{bsp}
 
-\textbf{Def} Situation wie oben. Ein geschlossener Weg heißt zusammenziehbar, wenn er homotop zu einem konstanten Weg ist. Der Raum $U$ heißt ``wegweise einfach zusammenhängend'', wenn jeder geschlossener Weg zusammenziehbar ist.
+\begin{bsp}[Allgemeine geschlossene Wege in der Kreisscheibe]\label{bsp:3-4-4}%
+  Es sei $U \subset \bC$ die Einheits-Kreisscheibe und es sei $\gamma_0: [a, b]
+  \to U$ irgendein geschlossener Weg mit $\gamma_0(a) = \gamma_0(b) =: z$. Dann
+  ist
+  \[
+    \Gamma: [a, b] \times [0, 1] \to U, \quad (t, s) \mapsto (1 - s) \cdot (\gamma_0(t) - z) + z
+  \]
+  eine Homotopie zwischen $\gamma_0$ und dem konstanten Weg $\gamma_1 \equiv z$.
+  Also ist die Kreisscheibe einfach zusammenhängend.
+\end{bsp}
 
-\textbf{Beispiel 1} $U =$ Kreisscheibe, $\gamma_0: [a, b] \to U$ ein Weg mit $\gamma_0(a) = \gamma_0(b) = 0$. Dann ist
-\[
-\Gamma: [a, b] \times [0, 1] \to U, \quad (t, s) \mapsto (1 - t) \cdot \gamma_0(t)
-\]
-eine Homotopie zwischen $\gamma_0$ und dem konstanten Weg $\gamma_1 \equiv 0$.
+\begin{bemerkung}[Konvexe Mengen sind einfach zusammenhängend]
+  Der wesentliche Punkt in Beispiel~\ref{bsp:3-4-4} ist, dass die Bildmenge von
+  $\Gamma$ ganz in der Kreisscheibe enthalten ist. Die zum Beweis notwendige
+  Rechnung verwendet allerdings nur, dass die Kreisscheibe konvex ist.
+  Tatsächlich sind alle konvexen Mengen wegweise einfach zusammenhängend.  
+  In nicht-konvexen Mengen können geschlossene Wege durchaus nicht
+  zusammenziehbar sein.
+\end{bemerkung}
 
-Also ist $\gamma_0$ zusammenziehbar.
+\begin{bemerkung}
+  Homotopie ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Wege mit festen
+  Anfangs- und Endpunkten. Insbesondere ist Homotopie reflexiv, symmetrisch und
+  transitiv.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bemerkung}
+  Wir haben noch kein Kriterium dafür, dass eine Menge \emph{nicht} einfach
+  zusammenhängend ist.  Der Integralsatz von Cauchy wird uns aber bald ein solches
+  Kriterium liefern.
+\end{bemerkung}
 
-\textbf{Beispiel 2} $U =$ Kreisscheibe $\gamma_0: [a, b] \to U$ irgendein geschl. Weg mit $\gamma_0(a) = \gamma_0(b) = 2$. Dann ist
-\[
-\Gamma: [a, b] \times [0, 1] \to U, \quad (t, s) \mapsto (1 - s) \cdot (\gamma_0(t) - 2) + 2
-\]
-eine Homotopie zwischen $\gamma_0$ und dem konstanten Weg $\gamma_1 \equiv 2$.
 
-Also ist der Kreisscheibe 1-zusammenhängend.
 % !TEX root = Funktionentheorie