Update 03-wegintegrale.tex
This commit is contained in:
Stefan Kebekus
@@ -222,7 +222,7 @@ Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein.
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\end{beobachtung}
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\subsection{Wegintegrale und Stammfunktionen}
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\section{Wegintegrale und Stammfunktionen}
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\begin{definition}[Stammfunktion]
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f: U → ℂ$ stetig. Eine holomorphe Funktion $F: U → ℂ$
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@@ -246,6 +246,9 @@ von $ℂ$. Die Begriffe hängen offenbar zusammen.
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\]
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\end{beobachtung}
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\subsection{Berechnung von Wegintegralen mithilfe von Stammfunktionen}
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\begin{kons}[Wegintegrale bei Existenz von Stammfunktionen]
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Wenn in der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} eine Stammfunktion von
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$f$ existiert, dann hängt das Wegintegral $\int_γ f(z) \, dz$ nur vom Start-
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@@ -295,9 +298,280 @@ Fakten der Analysis und Topologie.
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stetig differenzierbaren Weg $γ: [0,1] → U$ mit $γ(0) = z_1$ und $γ'(0) =
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z_2$. Dann ist aber
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\[
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f(z_2) - f(z_1) = \int_γ f'(z) \, dz = \int_{γ} 0 \, dz = 0. \qed
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f(z_2) - f(z_1) = \int_γ f'(z) \, dz = \int_{γ} 0 \, dz = 0.
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\]
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Da dies für alle Punkte $z_1, z_2 ∈ U$ gilt, ist die Konstanz der Funktion
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$f$ gezeigt.
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\end{proof}
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\subsection{Konstruktion von Stammfunktionen durch Wegintegrale}
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Wir erinnern uns an die Ergebnisse des letzten Abschnitts: Es sei $U \subset
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\bC$ offen und es sei $f: U \to \bC$ stetig. Wenn $f$ eine Stammfunktion $F: U
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\to \bC$ besitzt, dann gilt für jeden (stückweise) stetig differenzierbaren Weg
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$\gamma: [a,b] \to U$ die Gleichung
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\[
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\int_\gamma f(z)\, dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)).
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\]
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Das Wegintegral hängt also nur von Start- und Endpunkt ab. Insbesondere gilt:
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Wenn der Weg $\gamma$ geschlossen ist (das bedeutet: $\gamma(a) = \gamma(b)$),
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dann ist
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\[
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\int_\gamma f(z)\, dz = 0.
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\]
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Ziel dieses Kapitels ist die Umkehrung dieser Aussage: Wir wollen zeigen, dass
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die Existenz einer Stammfunktion bereits aus der Tatsache folgt, dass das
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Wegintegral nur von Start- und Endpunkt abhängt. Die folgende Beobachtung wird
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beim Beweis helfen.
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\begin{beobachtung}
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Es sei $U \subseteq \bC$ offen und es sei $f: U \to \bC$ eine Funktion, sodass
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für jeden geschlossenen Weg $\gamma$ stets $\int_\gamma f(z)\, dz = 0$ ist.
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Gegeben seien zwei (stückweise) stetig differenzierbare Wege
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\[
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\gamma_1: [a_1, b_1] \to U \qquad \gamma_2: [a_2, b_2] \to U
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\]
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mit identischem Start- und Endpunkt,
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\[
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\gamma_1(a_1) = \gamma_2(a_2) =: z_a \quad\text{und}\quad \gamma_1(b_1) = \gamma_2(b_2) =: z_b.
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\]
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Wir wollen zeigen, dass die Wegintegrale über $\gamma_1$ und $\gamma_2$ gleich
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sind. Dazu betrachten wir den Weg, der zuerst $\gamma_1$ hin und dann
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$\gamma_2$ zurück durchläuft. Genauer: Betrachte den folgenden, stückweise
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stetig differenzierbaren Weg
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\[
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\delta: [a_1, (b_1 - a_1), (b_2 - a_2)] \to U, \quad t \mapsto
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\begin{cases}
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\gamma_1(t + a_1) & \text{falls } t < b_1 - a_1 \\
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\gamma_2(b_2 + b_2 - a_1 - t) & \text{sonst}.
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\end{cases}
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\]
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Dann gilt:
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\begin{align*}
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0 & = \int_\delta f(z)\, dz && \text{weil $\delta$ geschlossen} \\
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& = \int_{\gamma_1} f(z)\, dz - \int_{\gamma_2} f(z)\, dz.
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||||
\end{align*}
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Also folgt:
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\[
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\int_{\gamma_1} f(z)\, dz = \int_{\gamma_2} f(z)\, dz.
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\]
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Zusammenfassung: Wenn das Wegintegral über jeden geschlossenen Weg
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verschwindet, dann hängen die Wegintegral $\int_{\bullet} f(d)\, dz$ nur von
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Start- und Endpunkt ab.
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\end{beobachtung}
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\begin{satz}[Existenz von Stammfunktionen]\label{satz:3-3-9}%
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Sei $U \subset \mathbb{C}$ offen, und sei $f: U \to \bC$ stetig. Falls die
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Wegintegral $\int_{\bullet} f(d)\, dz$ nur von Start- und Endpunkt abhängen,
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dann existiert eine Stammfunktion.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die offene Menge
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$U$ zusammenhängend ist -- ansonsten betrachte die Zusammenhangskomponenten
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einzeln. Wähle einen Punkt $z_0 \in U$. Die Annahme, dass Wegintegrale nur von
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Start- und Endpunkt abhängen, erlaubt die Definition der folgenden Funktion:
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\[
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F: U \to \bC, \quad z \mapsto \int_\gamma f(z)\, dz, \text{ wobei $\gamma$ ein Weg ist, der $z_0$ und $z$ verbindet.}
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\]
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Ich behaupte, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Dazu müssen wir
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zeigen, dass $F$ an jedem Punkt von $U$ komplex differenzierbar ist und dass
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$F' = f$ gilt. Sei also ein Punkt $p \in U$ gegeben. Wir müssen zeigen, dass
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\begin{equation}\label{eq:3-3-9-1}
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\lim_{h \to 0} \frac{F(p+h) - F(p)}{h} = f(p)
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\end{equation}
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ist. Dazu wähle irgendeinen Weg $\delta: [0, 1] \to U$ mit $\delta(0) = z_0$,
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und $\delta(1) = p$. Für komplexe Zahlen $h$ von hinreichend kleinem Betrag
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ist die Kreisscheibe um $p$ mit Radius $|h|$ komplett in $U$ enthalten.
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Gegeben ein solches $h$, betrachten wir den Weg
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\[
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\gamma_h: [0, 1] \to U, \quad t \mapsto p + t \cdot h.
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\]
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Dann ist
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\[
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||||
F(p) = \int_\delta f(z)\, dz \quad\text{und}\quad F(p+h) = \int_\delta f(z)\, dz + \int_{\gamma_h} f(z)\, dz.
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\]
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Also gilt für jede komplexe Zahl $h$ mit ausreichend kleinem Betrag die Gleichung
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\begin{align*}
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\frac{F(p+h) - F(h)}{h} & = \frac{\int_{\gamma_h} f(z)\, dz}{h} \\
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& = \frac{1}{h} \int_0^1 f(\gamma_h(t)) \cdot \gamma_h'(t)\, dt \\
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||||
& = \frac{1}{h} \int_0^1 f(p + t \cdot h) \cdot h\, dt \\
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||||
& = \int_0^1 f(p + th)\, dt.
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||||
\end{align*}
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Gleichung~\eqref{eq:3-3-9-1} folgt sofort, weil $f$ bei $p$ stetig ist!
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\end{proof}
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\subsection{Rechteckwege}
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Satz~\ref{satz:3-3-9} gibt es sehr allgemein. Die Voraussetzung ist aber sehr
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stark: Das Wegintegral muss über jeden geschlossenen Weg verschwinden. Das ist
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in der Praxis schwer zu überprüfen. Wir wollen daher eine Variante des Satzes
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beweisen, die eine schwächere Voraussetzung hat. Dazu betrachten statt
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beliebigen nur noch achsenparallele Wege der folgenden Art.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$\gamma_1$};
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||||
\draw[->] (2,0) -- (2,1.5) node[midway,right] {$\gamma_2$};
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||||
\end{tikzpicture}
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\end{center}
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Statt beliebiger geschlossener Wege betrachtet man nur „Rechteckwege“ der
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folgenden Art.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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||||
\draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$\gamma_1$};
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||||
\draw[->] (2,0) -- (2,1.5) node[midway,right] {$\gamma_2$};
|
||||
\draw[->] (2,1.5) -- (0,1.5) node[midway,above] {$\gamma_3$};
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||||
\draw[->] (0,1.5) -- (0,0) node[midway,left] {$\gamma_4$};
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\end{center}
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||||
\begin{notation}
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Gegeben eine offene Menge $U \subseteq \bC$, ein achsenparalleles Rechteck
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$\mathcal{R} \subset U$ und eine stetige Funktion $f : U \to \bC$, dann nennt
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man
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\[
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\int_{\gamma_1} f(z)\, dz + \int_{\gamma_2} f(z)\, dz + \int_{\gamma_3} f(z)\, dz + \int_{\gamma_4} f(z)\, dz
|
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\]
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das \emph{Randintegral}\index{Randintegral} über das Rechteck $\mathcal{R}$.
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\end{notation}
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\begin{satz}[Stammfunktionen auf der Kreisscheibe]\label{satz:3-3-11}%
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Es sei $U = \{z \in \bC \mid |z| < 1\}$ die Kreisscheibe und es sei $f: U \to
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\bC$ eine stetige Funktion, sodass das Randintegral über achsenparallele
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Rechtecke stets verschwindet. Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.
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\end{satz}
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\begin{bemerkung}
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Die Aussage „Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.“ ist nicht optimal. Es gilt:
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„Die Funktion $f$ besitzt genau dann eine Stammfunktion, wenn \ldots“. Die
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Umkehrrichtung ist ja schon aus dem letzten Kapitel bekannt.
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\end{bemerkung}
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\begin{bemerkung}
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Satz~\ref{satz:3-3-11} zeigt dieselbe Folgerung wie Satz~\ref{satz:3-3-9},
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aber unter schwächeren Voraussetzungen. Also ist der Beweis aufwändiger. Die
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Grundidee ist aber dieselbe.
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\end{bemerkung}
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-3-11} als Bildgeschichte]
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Gegeben irgendeinen Punkt $p \in U$, dann kann ich den $0$-Punkt wie folgt
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durch zwei achsenparallele Wege mit $p$ verbinden, die ganz innerhalb von $U$
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verlaufen. Hier benutze ich natürlich, dass $U$ eine Kreisscheibe ist.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\draw (0,0) circle (2cm);
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||||
\draw[->] (0,0) -- (1.5,0) node[midway,below] {$\gamma_1$};
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||||
\draw[->] (1.5,0) -- (1.5,1) node[midway,left] {$\gamma_2$};
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||||
\node at (1.5,1) [circle,fill,inner sep=1.5pt,label=left:$p$] {};
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||||
\node at (0,0) [circle,fill,inner sep=1.5pt,label=below:$0$] {};
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\end{center}
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Definiere damit eine Funktion
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\[
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F : U \to \bC, \quad p \mapsto \int_{\gamma_1} f(z)\, dz + \int_{\gamma_2} f(z)\, dz.
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\]
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Ich behaupte, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Dazu müssen wir zeigen,
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dass $F$ an jedem Punkt von $U$ komplex differenzierbar ist und dass $F' = f$
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gilt. Sei also ein Punkt $p \in U$ gegeben.
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Ich diskutiere erst einmal die partielle Ableitung von $F$ nach $x$. Gegeben
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eine hinreichend kleine reelle Zahl $h$, betrachte die folgenden Wege, die
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wieder vollständig innerhalb von $U$ verlaufen.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
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||||
\draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$\gamma_1$};
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||||
\draw[->] (2,0) -- (3,0) node[midway,below] {$\delta_1$};
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||||
\draw[->] (2,0) -- (2,2) node[midway,left] {$\gamma_2$};
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||||
\draw[->] (3,0) -- (3,2) node[midway,right] {$\delta_2$};
|
||||
\draw[->] (3,2) -- (2,2) node[midway,above] {$\delta_3$};
|
||||
\node at (2,2) [circle,fill,inner sep=1pt,label=left:$p$] {};
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||||
\node at (3,2) [circle,fill,inner sep=1pt,label=right:$p+h$] {};
|
||||
\node at (0,0) [circle,fill,inner sep=1pt,label=below:$0$] {};
|
||||
\end{tikzpicture}
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||||
\end{center}
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Weil das Randintegral über das Rechteck verschwindet, ist
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\begin{align*}
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||||
F(p + h) & = \int_{\gamma_1} f(z)\, dz + \int_{\delta_1} f(z)\, dz + \int_{\delta_2} f(z)\, dz \\
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||||
& = \int_{\gamma_1} f(z)\, dz + \int_{\delta_1} f(z)\, dz + \int_{\delta_2} f(z)\, dz \\
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||||
& \qquad - \bigl(\int_{\delta_1} f(z)\, dz + \int_{\delta_2} f(z)\, dz + \int_{\delta_3} f(z)\, dz - \int_{\gamma_2} f(z)\, dz\bigr) \\
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||||
& = \int_{\gamma_1} f(z)\, dz - \bigl(\int_{\delta_3} f(z)\, dz - \int_{\gamma_2} f(z)\, dz\bigr) \\
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||||
& = F(p) - \int_{\delta_3} f(z)\, dz.
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\intertext{Also ist}
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F(p+h) - F(p) & = -\int_{\delta_3} f(z)\, dz = \int_0^1 f(p + t \cdot h) \cdot h\, dt \\
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||||
\end{align*}
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und damit
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\[
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\lim_{h \to 0} \frac{F(p+h) - F(p)}{h} = f(p).
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\]
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Zusammenfassung: Die Funktion $F$ ist am Punkt $p$ partiell nach $x$
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differenzierbar und es ist $\frac{\partial F}{\partial x}(p) = f(p)$. Analog
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beweist man: Die Funktion $F$ ist am Punkt $p$ partiell nach $y$
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differenzierbar und es ist $\frac{\partial F}{\partial y}(p) = i \cdot f(p)$.
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Das hat zwei Konsequenzen.
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\begin{itemize}
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\item Weil $f$ stetig ist, haben wir gezeigt, dass $F$ stetig partiell
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differenzierbar ist, also total differenzierbar.
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\item Es ist $\frac{\partial F}{\partial \overline{z}} = \frac{\partial
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F}{\partial x} + i \frac{\partial F}{\partial y} = 0$. Also erfüllen die
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partiellen Ableitungen von $F$ die Cauchy-Riemann-Differenzialgleichungen.
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\end{itemize}
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In der sehen wir, dass $F$ komplex differenzierbar ist und dass $F' = f$ gilt.
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\end{proof}
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\section{Homotopie von Wegen}
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Gegeben eine offene Menge $U \subset \mathbb{C}$, und Punkte $z_0, z_1 \in U$, so betrachten wir Wege, die $z_0$ und $z_1$ verbinden.
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Anschaulich ist klar, dass manche dieser Wege ineinander übergeführt werden können und andere nicht.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\draw (0,0) ellipse (2cm and 1.5cm);
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||||
\draw (0.5,0) circle (0.3cm);
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||||
\node at (-1.5,0.5) [circle,fill,inner sep=1.5pt,label=left:$z_0$] {};
|
||||
\node at (1.5,0.5) [circle,fill,inner sep=1.5pt,label=right:$z_1$] {};
|
||||
\draw[thick] (-1.5,0.5) .. controls (-0.5,1) and (0.5,1) .. (1.5,0.5);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
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||||
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||||
\textbf{Def} Es sei $U$ ein topologischer Raum, und $[a, b] \subset \mathbb{R}$ ein kompaktes Intervall. Zwei stetige Wege
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\[
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\gamma_0: [a, b] \to U, \quad \gamma_1: [a, b] \to U \quad \text{mit } \gamma_0(a) = \gamma_1(a), \quad \gamma_0(b) = \gamma_1(b)
|
||||
\]
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||||
heißen homotop, wenn es stetig, Abb
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||||
\[
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||||
\Gamma: [a, b] \times [0, 1] \longrightarrow U
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\]
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||||
gibt sodass
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\begin{itemize}
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\item $\forall s \in [0, 1]$ $\Gamma(a, s) = \gamma_0(a)$. $\Gamma(b, s) = \gamma_0(b)$
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||||
\item $\forall t \in [a, b]$ $\Gamma(t, 0) = \gamma_0(t)$, $\Gamma(t, 1) = \gamma_1(t)$
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||||
\end{itemize}
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Man kann dann $\Gamma_s(t) := \Gamma(t, s)$ als Familie von Wegen auffassen, die stetig zwischen $\gamma_0$ und $\gamma_1$ interpoliert.
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\textbf{Def} Situation wie oben. Ein geschlossener Weg heißt zusammenziehbar, wenn er homotop zu einem konstanten Weg ist. Der Raum $U$ heißt ``wegweise einfach zusammenhängend'', wenn jeder geschlossener Weg zusammenziehbar ist.
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||||
\textbf{Beispiel 1} $U =$ Kreisscheibe, $\gamma_0: [a, b] \to U$ ein Weg mit $\gamma_0(a) = \gamma_0(b) = 0$. Dann ist
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||||
\[
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||||
\Gamma: [a, b] \times [0, 1] \to U, \quad (t, s) \mapsto (1 - t) \cdot \gamma_0(t)
|
||||
\]
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||||
eine Homotopie zwischen $\gamma_0$ und dem konstanten Weg $\gamma_1 \equiv 0$.
|
||||
|
||||
Also ist $\gamma_0$ zusammenziehbar.
|
||||
|
||||
\textbf{Beispiel 2} $U =$ Kreisscheibe $\gamma_0: [a, b] \to U$ irgendein geschl. Weg mit $\gamma_0(a) = \gamma_0(b) = 2$. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
\Gamma: [a, b] \times [0, 1] \to U, \quad (t, s) \mapsto (1 - s) \cdot (\gamma_0(t) - 2) + 2
|
||||
\]
|
||||
eine Homotopie zwischen $\gamma_0$ und dem konstanten Weg $\gamma_1 \equiv 2$.
|
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|
||||
Also ist der Kreisscheibe 1-zusammenhängend.
|
||||
% !TEX root = Funktionentheorie
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