Cleanup

.gitmodules

@@ -0,0 +1,6 @@
+[submodule "bibliography"]
+	path = bibliography
+	url = git@git.cplx.vm.uni-freiburg.de:kebekus/bibliography.git
+[submodule "tex"]
+	path = tex
+	url = git@git.cplx.vm.uni-freiburg.de:kebekus/tex.git

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -29,3 +29,101 @@ Beutelspacher
 Erlärvideo
 nullteilerfrei
 nullteilerfreien
+Transzendenzbeweis
+Lorettoberg
+Normiertheit
+hinzuadjungieren
+Algebraizität
+Gerolamo
+Cardano
+Girolamo
+Cardanus
+Mediolanensis
+Cardan
+Nicolo
+Tartaglia
+Scipione
+del
+Ferro
+Radikalerweiterung
+Teilbarkeitsfragen
+Polynom-
+Teilbarkeitsüberlegungen
+schrecklicherweise
+Teilerkette
+Teilerkettensatz
+Bryn
+Mawr
+prim
+faktoriell
+UFD
+faktorieller
+Repräsentantensystem
+Teilbarkeitseigenschaften
+kgV
+faktoriellen
+Geodät
+Quotientenkörper
+Quotientenkörpers
+Irreduzibilitätskriterien
+Irreduzibilitätskriterium
+Teilbarkeitsbetrachtungen
+Teilerpolynome
+Lodovico
+Lagrangia
+Interpolationsformel
+Schönemann
+Driesen
+Friedebergischer
+reduzibel
+Einsetzungskomposition
+Substitutionsmorphismus
+Konstruierbarkeitsfragen
+konjungierte
+konstruierbare
+Konstruierbarkeitsfrage
+transzendent
+Rechtsideale
+Sorau
+Dedekind
+nicht-faktoriellen
+Hauptideale
+Erzeugendensysteme
+Gödelschen
+Erzeugendensystems
+Erzeugendensystem
+Teiler-
+Hauptidealen
+Faktorialität
+Quotientenvektoraumes
+Quotientenvektorräumen
+Quotientenvektorräume
+Quotientenring
+Repräsentantensystems
+Homomorphiesatzes
+Homomorphiesatz
+Quotientenabbildung
+Urbildmenge
+Primideale
+Primideals
+Primideal
+Summenideal
+Teilerfremdheit
+Funktionenkörper
+Kodierungstheorie
+Substitutionsabbildung
+Steinitz
+Laurahütte
+nicht-Kanonizität
+Zerfällungskörpern
+inseparable
+Teilbarkeitsrelationen
+Frobenius-Morphismus
+Frobenius-Endomorphismus
+Einselements
+separabel
+inseparabel
+Separabilität
+Substitutionsmorphismen
+Separabilitätsgrad
+inseparablen

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -13,3 +13,43 @@
 {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Neutrales Element der Multiplikation] Es gibt genau ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
 {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QVorlesung 2 Ein Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q heißt Schiefkörper, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nicht der Nullring ist und alle Elemente außer der \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q invertierbar sind, wenn also \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ein Unterring, aber kein Unterkörper von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Minimaler Grad] Zuerst betrachten wir nur solche Polynome, deren Grad minimal ist unter allen nicht-konstanten Polynomen, die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q als Nullstelle haben.\\E$"}
+{"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QVorlesung 3 3-1 und 3-2.\\E$"}
+{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QDann bildet die Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist algebraisch über \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q einen Unterkörper von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, genannt der algebraische Abschluss von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q im Oberkörper \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 3-6\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QErklärung: die Definition der Radikalerweiterung sagt also, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzel eines Elements aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzel eines Elements aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, etc. Nach Korollar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q können wir schreiben \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QAus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q folgt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs sei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein kommutativer Ring und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q seien Elemente.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QIn der Literatur findet man statt „faktoriell“ manchmal auch die Adjektive ZPE (= Zerlegung in Primelemente ist Eindeutig) oder UFD (= Unique Factorization Domain).\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QIn der Literatur findet man statt „faktoriell“ manchmal auch die Adjektive ZPE (= Zerlegung in Primelemente ist Eindeutig) oder UFD (= Unique Factorization Domain).\\E$"}
+{"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QVorlesung 6\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\QggT und kgV.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q genau dann, wenn für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QWenn Sie bei mir die Vorlesung „Lineare Algebra“ gehört haben, dann wird Ihnen die folgende Definition sehr vertraut vorkommen.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten:] Ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringhomomorphismus, dann ist auch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringmorphismus.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QSetze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q [Substitutionsmorphismus] Es sei ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gegeben.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten] Ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringhomomorphismus, dann ist auch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringmorphismus.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIch verzichte deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass „alles genau so geht, wie in der Linearen Algebra“.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QStellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die Vorlesung „Lineare Algebra“ erinnern.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QGenau wie die Quotientenvektorräume der Linearen Algebra sind Restklassenringe durch folgende universelle Eigenschaft definiert.\\E$"}
+{"rule":"DE_SUBJECT_VERB_AGREEMENT","sentence":"^\\QEin Restklassenring oder Quotientenring ist ein kommutativer Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q mit Eins zusammen mit einem Ringmorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist und so, dass die folgende universelle Eigenschaft gilt: ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein weiterer Ringmorphismus mit \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dann gibt es genau einen Ringmorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass das folgende Diagramm kommutiert, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QErinnerung an die Lineare Algebra: Quotient nach Äquivalenzrelation = \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q = Menge der Äquivalenzklassen\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDer folgende Satz folgt wie in der Linearen Algebra aus der universellen Eigenschaft.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Wie sieht der Kern von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus?] Ein Polynom \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist offenbar genau dann im von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Kern, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QFür den Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q haben wir die Antwort in der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennengelernt.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDer Chinesische Restsatz.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDer Chinesische Restsatz ist langweilig, darf aber in keiner Vorlesung fehlen und kommt auch in den allermeisten Klausuren und Prüfungen vor.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind, dann ist diese notwendige Bedingung automatisch erfüllt, und der Chinesische Restsatz sagt, dass das Gleichungssystem dann auch lösbar ist.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann ist der kanonische Ringhomomorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QAdd.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Qund Mult.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDer Körper der algebraischen Zahlen, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ein algebraischer Abschluss \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"PLURAL_APOSTROPH","sentence":"^\\QIn einem normalen Jahr würde mithilfe von Zorn's Lemma zeigen, dass diese naive Idee tatsächlich trägt.\\E$"}
+{"rule":"PLURAL_APOSTROPH","sentence":"^\\QZorn's Lemma = eine Variante des Auswahlaxioms\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWorum geht es in diesem Teil der Vorlesung?.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEin wichtiges Problem der Algebra(klausur/prüfung) ist es, zu einem gegebenen Körper \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und zu einem gegebenen Polynom \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q den Zerfällungskörper zu bestimmen.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWir erhalten also einen Gruppenmorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-isomorphismen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QPermutationen der Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWenn alles 100%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser könnte den Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWenn alles 100%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser Stelle den Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDie Sätze klären auch noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q adjungiert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q“ mit QQ[sqrt(5)] bezeichnet.\\E$"}
+{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QFür beliebige Körpererweiterungen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und beliebige Teilmengen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist die Äquivalenz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind algebraisch ganz falsch.\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTES_AUSRUFEZEICHEN","sentence":"^\\QFalsch!!\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDann ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Ist mir zu langweilig.\\E$"}

03.tex

@@ -20,32 +20,32 @@ nicht alle Elemente des größeren Körpers gleich sind.
   \begin{itemize}
   \item Zahlen wie $\sqrt{2}$ oder $\sqrt[3]{5}+\sqrt{2}$, die irgendwie
     \emph{algebraisch} sind, weil sie mit Polynomen zu tun haben deren
-    Koeffizienten rationale Zahlen sind --- diese Zahlen heißen ``algebraisch''.
+    Koeffizienten rationale Zahlen sind --- diese Zahlen heißen „algebraisch“.
     
-  \item Zahlen wie $e$ oder $π$, die von Potenzreihen, und nicht von
+  \item Zahlen wie $e$ oder $π$, die von Potenzreihen, und nicht von Polynomen
-    Polynomen kommen --- diese Zahlen heißen ``transzendent''.
+    kommen --- diese Zahlen heißen „transzendent“.
   \end{itemize}
 \end{beobachtung}
 
 Um diese Beobachtung für beliebige Körper zu formulieren, ist leider wieder erst
 einmal ein wenig Sprache fällig.
 
-\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2}
+\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2}%
   Es sei $K$ ein Körper.  Dann bezeichne $K[x]$ den Ring der Polynome mit
   Variable $x$ und Koeffizienten aus $K$.\index{Polynomring}
 \end{definition}
 
 \begin{warnung}[Polynome und Funktionen]
   In der Situation von Definition~\ref{def:3-0-2} kann ich jedem Polynom eine
-  Funktion $K → K$ zuweisen, Polynome sind aber etwas anderes als Funktionen!
+  Funktion $K → K$ zuweisen, Polynome sind aber etwas anderes als Funktionen! Im
-  Im Falle wo $K = 𝔽_p$ ein endlicher Körper ist, gibt es zwar unendlich viele
+  Falle wo $K = 𝔽_p$ ein endlicher Körper ist, gibt es zwar unendlich viele
-  Polynome (zum Beispiel $x$, $x²$, $x³$, …) aber nur endlich viele
+  Polynome (zum Beispiel $x$, $x²$, $x³$, …) aber nur endlich viele Abbildungen
-  Abbildungen von $K$ nach $K$!
+  von $K$ nach $K$!
 \end{warnung}
 
 \begin{bsp}[Polynomring]
-  Das Polynom $\frac{2}{7}· x²+8$ liegt in $ℚ[x]$.  Das Polynom
+  Das Polynom $\frac{2}{7}· x²+8$ liegt in $ℚ[x]$.  Das Polynom $π·x + e$ liegt
-  $π·x + e$ liegt in $ℝ[x]$.
+  in $ℝ[x]$.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Polynomring]
@@ -57,7 +57,7 @@ einmal ein wenig Sprache fällig.
   ein typisches Polynom aus $K[x]$.
 \end{bsp}
 
-Die korrekte Definition von ``algebraisch'' und ``transzendent'' ist jetzt die
+Die korrekte Definition von „algebraisch“ und „transzendent“ ist jetzt die
 Folgende.
 
 \begin{defn}[Algebraische und transzendente Elemente]
@@ -81,11 +81,11 @@ Folgende.
   algebraisch, weil sie Nullstelle des Polynoms $x³-2 ∈ ℚ[x]$ ist.  Der
   Freiburger Mathematiker Ferdinand
   Lindemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_von_Lindemann}{Carl
-      Louis Ferdinand Lindemann}, ab 1918 Ritter von Lindemann (* 12.  April
+  Louis Ferdinand Lindemann}, ab 1918 Ritter von Lindemann (* 12.~April 1852 in
-    1852 in Hannover; † 6.  März 1939 in München) war ein deutscher
+  Hannover; † 6.~März 1939 in München) war ein deutscher Mathematiker. Lindemann
-    Mathematiker.  Lindemann hatte die Idee für den Transzendenzbeweis bei einem
+  hatte die Idee für den Transzendenzbeweis bei einem Spaziergang auf dem
-    Spaziergang auf dem Lorettoberg.} bewies im Jahr 1882 in der berühmten
+  Lorettoberg.} bewies im Jahr 1882 in der berühmten Arbeit \cite{MR1510165},
-  Arbeit \cite{MR1510165}, dass die Zahl $π$ transzendent ist.
+  dass die Zahl $π$ transzendent ist.
 \end{bsp}
 
 
@@ -95,22 +95,22 @@ Der Zahlentheoretiker interessiert sich natürlich besonders für die
 Körpererweiterung $ℂ/ℚ$.  Hier hat sich eine eigene Sprache etabliert.
 
 \begin{defn}[Algebraische und transzendente Zahlen]
-  Elemente $z ∈ ℂ$, die algebraisch über $ℚ$ sind, nennt man
+  Elemente $z ∈ ℂ$, die algebraisch über $ℚ$ sind, nennt man \emph{algebraische
-  \emph{algebraische Zahlen}\index{algebraisch!Zahlen}.  Die anderen Elemente
+  Zahlen}\index{algebraisch!Zahlen}.  Die anderen Elemente heißen
-  heißen \emph{transzendente Zahlen}\index{transzendent!Zahlen}.
+  \emph{transzendente Zahlen}\index{transzendent!Zahlen}.
 \end{defn}
 
 Leider gibt es fast keine algebraischen Zahlen.  Der folgende Satz zeigt, dass
 jedes nicht-leere, offene Intervall in $ℝ$ jede Menge transzendente Zahlen
 enthält.
 
-\begin{satz}\label{satz:3-2-2}
+\begin{satz}\label{satz:3-2-2}%
   Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   Bekanntlich ist $ℚ$ abzählbar, also ist der Ring $ℚ[x]$ der Polynome mit
-  Koeffizienten in $ℚ$ ebenfalls abzählbar.  Jedes Polynom hat aber nur
+  Koeffizienten in $ℚ$ ebenfalls abzählbar.  Jedes Polynom hat aber nur endlich
-  endlich viele Nullstellen.
+  viele Nullstellen.
 \end{proof}
 
 
@@ -142,9 +142,9 @@ enthält.
 
 \section{Das Minimalpolynom}
 
-Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$.
+Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$. Per
-Per Definition gibt es dann ein Polynom $f ∈ K[x]$ welches $a$ als Nullstelle
+Definition gibt es dann ein Polynom $f ∈ K[x]$ welches $a$ als Nullstelle hat.
-hat.  Natürlich ist $f$ kein bisschen eindeutig -- man multipliziere $f$ mit
+Natürlich ist $f$ kein bisschen eindeutig -- man multipliziere $f$ mit
 irgendeinem anderen Polynom und erhalte ein neues Polynom (größeren Grades), das
 ebenfalls $a$ als Nullstelle hat.  Man kann aber unter allen Polynomen, die $a$
 als Nullstelle haben, ein eindeutiges Element finden, wenn man ein paar
@@ -160,7 +160,7 @@ Zusatzbedingungen stellt.
     f = a_n·x^n+a_{n-1}·x^{n-1}+ ⋯ + a_0∈ K[x]
   \end{equation*}
   ein solches Polynom ist, dann hat das normierte Polynom\footnote{Erinnerung:
-    ``normiert'' bedeutet, dass der Leitkoeffizient gleich 1 ist.}
+    „normiert“ bedeutet, dass der Leitkoeffizient gleich 1 ist.}
   \begin{equation*}
     \frac{1}{a_n}f = x^n+\frac{a_{n-1}}{a_n}·x^{n-1} + ⋯ + \frac{a_0}{a_n}∈ K[x]
   \end{equation*}
@@ -194,9 +194,9 @@ Grad von $f_1$!
 \end{defn}
 
 \begin{bsp}
-  Betrachte die Erweiterung $ℂ/ℚ$ und $a = \sqrt[3]{2}$.  Dann ist
+  Betrachte die Erweiterung $ℂ/ℚ$ und $a = \sqrt[3]{2}$.  Dann ist $[a:ℚ] ≤ 3$,
-  $[a:ℚ] ≤ 3$, denn $a$ ist Nullstelle des Polynoms
+  denn $a$ ist Nullstelle des Polynoms $f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$.  Aber ist $f$ auch
-  $f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$.  Aber ist $f$ auch das Minimalpolynom?
+  das Minimalpolynom?
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}
@@ -209,9 +209,9 @@ Grad von $f_1$!
 \end{beobachtung}
 
 \begin{bsp}[Adjunktion einer Quadratwurzel]
-  Es sei $L = ℂ$ und es sei $K$ ein Unterkörper (zum Beispiel $ℚ$).  Weiter
+  Es sei $L = ℂ$ und es sei $K$ ein Unterkörper (zum Beispiel $ℚ$).  Weiter sei
-  sei $b ∈ K$ und $a$ sei eine Quadratwurzel von $b$ (also: es gilt die
+  $b ∈ K$ und $a$ sei eine Quadratwurzel von $b$ (also: Es gilt die Gleichung
-  Gleichung $a² = b$).  Dann gilt
+  $a² = b$).  Dann gilt
   \[
     [a:K] =
     \left\{
@@ -247,11 +247,11 @@ Definition.
 \end{defn}
 
 \begin{bsp}
-  Es ist $[ℂ:ℝ] = 2$ und $[ℝ:ℚ] = ∞$, denn jeder
+  Es ist $[ℂ:ℝ] = 2$ und $[ℝ:ℚ] = ∞$, denn jeder endlich-dimensionale
-  endlich-dimensionale $ℚ$-Vektorraum wäre abzählbar.
+  $ℚ$-Vektorraum wäre abzählbar.
 \end{bsp}
 
-\begin{satz}[Grad von Körpererweiterungen und Grad von Elementen]\label{satz:3-5-4}
+\begin{satz}[Grad von Körpererweiterungen und Grad von Elementen]\label{satz:3-5-4}%
   Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$.  Dann gilt die
   Gleichheit $[a: K] = [K(a):K]$.\sideremark{Vorlesung 3}
 \end{satz}
@@ -264,11 +264,11 @@ Beweis von Satz~\ref{satz:3-5-4}; wir wiederholen die Argumentation deshalb an
 dieser Stelle nicht.
 
 \begin{kor}
-  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$.  Falls $[a:K] < ∞$
+  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$.  Falls $[a:K] < ∞$ ist,
-  ist, dann ist $K(a)$ algebraisch über $K$.  \qed
+  dann ist $K(a)$ algebraisch über $K$.  \qed
 \end{kor}
 
-\begin{kor}\label{kro:eord}
+\begin{kor}\label{kro:eord}%
   Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈L$ algebraisch über $K$, vom
   Grad $n$.  Dann kann jedes Element $b ∈ K(a)$ geschrieben werden als
   \[
@@ -278,10 +278,10 @@ dieser Stelle nicht.
 \end{kor}
 
 Korollar~\ref{kro:eord} ist Ihnen im Spezialfall der Körpererweiterung $ℂ/ℝ$
-schon bekannt: Jede komplexe Zahl $b$ kann geschrieben werden als
+schon bekannt: Jede komplexe Zahl $b$ kann geschrieben werden als $b = c_0 +
-$b = c_0 + c_1·i$, wobei $c_0$ und $c_1$ reelle Zahlen sind.  Das ist ziemlich
+c_1·i$, wobei $c_0$ und $c_1$ reelle Zahlen sind.  Das ist ziemlich nützlich!
-nützlich!  Korollar~\ref{kro:eord} erlaubt eine ganz ähnliche Beschreibung für
+Korollar~\ref{kro:eord} erlaubt eine ganz ähnliche Beschreibung für beliebige
-beliebige einfache Körpererweiterungen.
+einfache Körpererweiterungen.
 
 
 \section{Ketten von Körpererweiterungen}
@@ -291,11 +291,10 @@ haben, und dann nach und nach einige Elemente eines Oberkörpers
 hinzuadjungieren.  Wir erhalten so eine Kette von immer größer werdenden
 Oberkörpern.  Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
 
-\begin{satz}[Gradformel]\label{satz:3-6-1}
+\begin{satz}[Gradformel]\label{satz:3-6-1}%
   \index{Gradformel für Körpererweiterungen}Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von
-  Körpererweiterungen.  Dann gilt\footnote{Wir verwenden die Konvention
+  Körpererweiterungen. Dann gilt\footnote{Wir verwenden die Konvention $∞·∞ = ∞$
-    $∞·∞ = ∞$ und $∞ ·n = ∞$ falls $n$ eine positive ganze Zahl ist.} die
+  und $∞·n = ∞$, falls $n$ eine positive ganze Zahl ist.} die Gleichung
-  Gleichung
   \[
     [M:K] = [M:L]·[L:K].
   \]
@@ -305,10 +304,9 @@ Oberkörpern.  Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
 \end{proof}
 
 \begin{kor}
-  Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen.  Wenn
+  Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen.  Wenn $[M:K]$ endlich
-  $[M:K]$ endlich ist, dann ist $[L:K]$ endlich, und sogar ein Teiler von
+  ist, dann ist $[L:K]$ endlich, und sogar ein Teiler von $[M:K]$.  Insbesondere
-  $[M:K]$.  Insbesondere gilt für jedes Element $a∈ L$, dass $[a:K]$ ein
+  gilt für jedes Element $a∈ L$, dass $[a:K]$ ein Teiler von $[M:K]$ ist.  \qed
-  Teiler von $[M:K]$ ist.  \qed
 \end{kor}
 
 \begin{kor}
@@ -316,7 +314,7 @@ Oberkörpern.  Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
   ist.  Dann existiert ein Element $a ∈ L$, sodass $L = K(a)$ ist.  \qed
 \end{kor}
 
-\begin{kor}[Adjunktion von Quadratwurzeln]\label{kor:ajQ}
+\begin{kor}[Adjunktion von Quadratwurzeln]\label{kor:ajQ}%
   Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung von Grad zwei.  Dann entsteht $L$ aus $K$
   durch Adjunktion einer Quadratwurzel.  Genauer: es gibt Elemente $a ∈ L$ und
   $b ∈ K$, sodass Folgendes gilt.
@@ -327,7 +325,8 @@ Oberkörpern.  Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
   \end{itemize}
 \end{kor}
 \begin{proof}
-  \video{3-4} -- beachten Sie die mit einer PDF-Annotation angebrachte Verbesserung im Skript des Beweises.
+  \video{3-4} -- beachten Sie die mit einer PDF-Annotation angebrachte
+  Verbesserung im Skript des Beweises.
 \end{proof}
 
 Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
@@ -338,18 +337,18 @@ Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
   \item\label{Satz_1_1_19_1} Es ist $[L:K] < ∞$.
     
   \item\label{Satz_1_1_19_2} Die Körpererweiterung $L$ ist algebraisch über $K$
-    und es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n∈ L$, sodass
+    und es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n∈ L$, sodass $L = K(a_1, …,
-    $L = K(a_1, …, a_n)$ ist.
+    a_n)$ ist.
     
   \item\label{Satz_1_1_19_3} Es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n ∈ L$,
-    die algebraisch über $K$ sind und die Körpererweiterung $L$ erzeugen:
+    die algebraisch über $K$ sind und die Körpererweiterung $L$ erzeugen: $L =
-    $L = K(a_1, …, a_n)$.
+    K(a_1, …, a_n)$.
   \end{enumerate}
 \end{satz}
 \begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_1}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_2}]
-  Aus $[L:K] < ∞$ folgt für alle $a ∈ L$ sofort $[a:K] < ∞$, also
+  Aus $[L:K] < ∞$ folgt für alle $a ∈ L$ sofort $[a:K] < ∞$, also sind alle
-  sind alle diese Elemente algebraisch.  Um $a_1, …, a_n$ zu finden, kann man
+  diese Elemente algebraisch.  Um $a_1, …, a_n$ zu finden, kann man zum Beispiel
-  zum Beispiel einfach eine Basis von $L$ als $K$-Vektorraum wählen.
+  einfach eine Basis von $L$ als $K$-Vektorraum wählen.
 \end{proof}
 
 \begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_2}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_3}]
@@ -357,15 +356,15 @@ Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
 \end{proof}
 
 \begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_3}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_1}]
-  Sei $L = K(a_1, …, a_n)$.  Betrachte die Körper $K_i := K(a_1, …, a_i)$ und die
+  Sei $L = K(a_1, …, a_n)$.  Betrachte die Körper $K_i := K(a_1, …, a_i)$ und
-  Kette von Erweiterungen
+  die Kette von Erweiterungen
   \[
     K = K_0 ⊆ K_1 ⊆ ⋯ ⊆ K_n = L.
   \]
   Dann gilt für jeden Index $i < n$ die Gleichung $K_{i+1} = K_i(a_{i+1})$;
-  insbesondere ist per Annahme (``$a_{i+1}$ ist algebraisch über $K$'') und
+  insbesondere ist per Annahme („$a_{i+1}$ ist algebraisch über $K$“) und
-  Satz~\ref{satz:3-5-4} die Erweiterung $K_{i+1}/K_i$ stets endlich.  Wiederholte
+  Satz~\ref{satz:3-5-4} die Erweiterung $K_{i+1}/K_i$ stets endlich.
-  Anwendung von Satz~\ref{satz:3-6-1} liefert dann
+  Wiederholte Anwendung von Satz~\ref{satz:3-6-1} liefert dann
   \[
     [L:K] = \prod_{i=0}^{n-1} [K_{i+1}:K_i],
   \]
@@ -378,9 +377,9 @@ Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
 Wir nennen zwei unmittelbare Folgerungen aus
 Satz~\ref{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen}, die so fundamental wichtig
 sind, dass sie einen eigenen Abschnitt verdienen.  Der erste ist der Satz über
-die ``Transitivität der Algebraizität''.
+die „Transitivität der Algebraizität“.
 
-\begin{kor}[Transitivität der Algebraizität]\label{kor:TdA}
+\begin{kor}[Transitivität der Algebraizität]\label{kor:TdA}%
   Es seien $L/K$ und $M/L$ zwei algebraische Körpererweiterungen.  Dann ist auch
   $M/K$ algebraisch.
 \end{kor}
@@ -413,9 +412,9 @@ die ``Transitivität der Algebraizität''.
   von $ℂ$.  \qed
 \end{kor}
 
-\begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper'']\label{war:ababio}
+\begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper'']\label{war:ababio}%
   Gegeben einen Körper $K$, werden wir später noch einen weiteren Begriff von
-  ``algebraischem Abschluss'' diskutieren, der nicht von der Wahl eines
+  „algebraischem Abschluss“ diskutieren, der nicht von der Wahl eines
   Oberkörpers abhängt.  Ganz wichtig: diese Begriffe bitte nicht verwechseln!
 \end{warnung}
 

04.tex

@@ -15,18 +15,18 @@ Renaissance komplizierte Formeln gefunden.  In der westlichen Welt wurden diese
 Formeln erstmals 1545 von Gerolamo
 Cardano\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano}{Gerolamo
 Cardano}, auch Geronimo oder Girolamo Cardano (von Mailand) sowie Cardan,
-  lateinisch Hieronymus Cardanus (Mediolanensis) (* 24.  September 1501 in Pavia;
+lateinisch Hieronymus Cardanus (Mediolanensis) (* 24.~September 1501 in Pavia; †
-  † 21.  September 1576 in Rom), war ein italienischer Arzt, Philosoph und
+21.~September 1576 in Rom), war ein italienischer Arzt, Philosoph und
 Mathematiker und zählt zu den Renaissance-Humanisten.} in seinem Buch
 \cite{Cardano45} veröffentlicht.  Die Lösungsformeln für reduzierte kubischen
 Gleichungen wurden wohl von Nicolo
 Tartaglia\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Niccolo_Tartaglia}{Niccolò
-    Tartaglia} (* 1499 oder 1500 in Brescia, Italien; † 13.  Dezember 1557 in
+Tartaglia} (* 1499 oder 1500 in Brescia, Italien; † 13.~Dezember 1557 in
 Venedig) war ein venezianischer Mathematiker der Renaissance, der für seine
 Beiträge zur Lösung der kubischen Gleichung bekannt ist.  } entdeckt; laut
 Cardano sogar noch früher durch Scipione del
 Ferro\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferro}{Scipione
-    del Ferro} (* 6.  Februar 1465 in Bologna; † 5.  November 1526 ebenda) war ein
+del Ferro} (* 6.~Februar 1465 in Bologna; † 5.~November 1526 ebenda) war ein
 italienischer Mathematiker.  Seit 1496 war er Professor für Arithmetik und
 Geometrie an der Universität von Bologna.}.
 
@@ -52,54 +52,53 @@ Ferro\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferro}{Scipione
 \end{bsp}
 
 Für Polynome vom Grad 5 wurde keine solche Formel gefunden.  Das wirft Fragen
-auf.  Waren die italienischen Mathematiker der Renaissance zu dumm?  Gibt es eine
+auf.  Waren die italienischen Mathematiker der Renaissance zu dumm?  Gibt es
-solche Formel überhaupt?  Die Frage war etliche Jahrhunderte offen.  Tatsächlich
+eine solche Formel überhaupt?  Die Frage war etliche Jahrhunderte offen.
-ist die Frage ein wenig mit dem Konstruktionsproblem verwandt und durch die
+Tatsächlich ist die Frage ein wenig mit dem Konstruktionsproblem verwandt und
-Theorie der Körpererweiterungen beantwortbar.  Wir präzisieren die Fragestellung
+durch die Theorie der Körpererweiterungen beantwortbar.  Wir präzisieren die
-hier nur.
+Fragestellung hier nur.
 
-\begin{defn}[Radikalerweiterung]\label{def:radikal}
+\begin{defn}[Radikalerweiterung]\label{def:radikal}%
   Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt
-  Radikalerweiterung\index{Radikalerweiterung} von $K$, wenn es Elemente
+  Radikalerweiterung\index{Radikalerweiterung} von $K$, wenn es Elemente $a_1,
-  $a_1, …, a_n∈ L$ und $r_1, …, r_n ∈ ℕ$ gibt, sodass Folgendes gilt.
+  …, a_n∈ L$ und $r_1, …, r_n ∈ ℕ$ gibt, sodass Folgendes gilt.
   \begin{itemize}
   \item Es ist $L = K(a_1, …, a_n)$.
     
-  \item Es ist $a_1^{r_1} ∈ K$, und für alle Indizes $1 < i ≤ n$ ist
+  \item Es ist $a_1^{r_1} ∈ K$, und für alle Indizes $1 < i ≤ n$ ist $a_i^{r_i}
-    $a_i^{r_i} ∈ K(a_1, …, a_{i-1})$.
+    ∈ K(a_1, …, a_{i-1})$.
   \end{itemize}
 \end{defn}
 
 Erklärung: die Definition der Radikalerweiterung sagt also, dass $a_1$ die
 $r_1$-te Wurzel eines Elements aus $K$, dass $a_2$ die $r_2$-te Wurzel eines
-Elements aus $K(a_1)$, etc.  Nach Korollar~\ref{kro:eord} können wir
+Elements aus $K(a_1)$, etc.  Nach Korollar~\ref{kro:eord} können wir schreiben
-schreiben
 \begin{align*}
   K(a_1) & = K+ K· a_1+K· a_1²+\dots+ K· a_1^{r_1-1}\\
   K(a_1, a_2)&= K(a_1)+K(a_1)· a_2+ \dots + K(a_1)· a_2^{r_2-1}\\
          &\:\:\: \vdots \\
   K(a_1, …, a_n)&= K(a_1, …, a_{n-1})+K(a_1, …, a_{n-1})· a_n + \dots + K(a_1, …, a_{n-1})· a_n^{r_n-1}.
 \end{align*}
-Jedes Element von $L$ lässt sich also durch einen Ausdruck darstellen, in dem nur
+Jedes Element von $L$ lässt sich also durch einen Ausdruck darstellen, in dem
-(höhere) Wurzeln und Elemente aus $K$ vorkommen.
+nur (höhere) Wurzeln und Elemente aus $K$ vorkommen.
 
-\begin{defn}[Gleichung ist durch Radikale auflösbar]\label{def:gidra}
+\begin{defn}[Gleichung ist durch Radikale auflösbar]\label{def:gidra}%
-  Gegeben sei ein Körper $K$ und ein Polynom $f∈ K[x]$.  Man sagt, die
+  Gegeben sei ein Körper $K$ und ein Polynom $f∈ K[x]$.  Man sagt, die Gleichung
-  Gleichung $f(x) = 0$ ist \emph{durch Radikale Auflösbar}\index{Auflösbarkeit
+  $f(x) = 0$ ist \emph{durch Radikale Auflösbar}\index{Auflösbarkeit durch
-    durch Radikale}, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt, in der $f$ eine
+  Radikale}, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt, in der $f$ eine
   Nullstelle hat\footnote{Genauer: …, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt
   und ein Element $a ∈ L$, sodass $f(a)=0$ ist.}.
 \end{defn}
 
 Bei der klassischen Frage nach den Lösungen von Polynomen interessiert uns unter
-anderem ob ein Polynom
+anderem, ob ein Polynom
 \begin{equation*}
   f(x) = x^n+b_1·x^{n-1} + \dots + b_{n-1}·x + b_n ∈ ℂ[x]
 \end{equation*}
-über dem Körper $ℚ(b_1, …, b_n) ⊂ ℂ$ eine Lösung durch Radikale hat,
+über dem Körper $ℚ(b_1, …, b_n) ⊂ ℂ$ eine Lösung durch Radikale hat, das heißt,
-das heißt, ob sich zumindest eine Nullstelle von $f$ durch Kombinationen von
+ob sich zumindest eine Nullstelle von $f$ durch Kombinationen von rationalen
-rationalen Zahlen, den Koeffizienten $b_i$ und (höheren) Wurzeln ausdrücken
+Zahlen, den Koeffizienten $b_i$ und (höheren) Wurzeln ausdrücken lässt -- falls
-lässt -- falls nicht, braucht man auf eine Lösungsformel gar nicht zu hoffen.
+nicht, braucht man auf eine Lösungsformel gar nicht zu hoffen.
 
 
 %%% Local Variables:

05.tex

@@ -3,21 +3,16 @@
 
 \chapter{Teilbarkeit}
 
-Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
-\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
-bereitgestellt.
-
-
 \section{Wohin geht die Reise… ?}
 
 In den letzten Vorlesungen ist hoffentlich klar geworden, dass der Begriff
-``Minimalpolynom'' schrecklich wichtig ist.  Wir haben aber noch nie darüber
+„Minimalpolynom“ schrecklich wichtig ist.  Wir haben aber noch nie darüber
 gesprochen, wie man ein Minimalpolynom überhaupt findet.
 
 \begin{problem}
   Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$, ein Element $a ∈ L$ und ein normiertes
   Polynom $f∈ K[x]$ mit $f(a)=0$.  Wie kann ich entscheiden, ob $f$ das
-  Minimalpolynom ist oder nicht.
+  Minimalpolynom ist oder nicht?
 \end{problem}
 
 Um solche Probleme anzugehen, untersuchen wir Polynomdivision und
@@ -26,15 +21,15 @@ welche Richtung die Argumentation geht.
 
 \begin{beobachtung}
   Sei $L/K$ eine Körpererweiterung, sei $a ∈ L$ ein Element, das algebraisch
-  über $K$ ist und sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$.  Wenn jetzt
+  über $K$ ist und sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$.  Wenn jetzt $g(x) ∈
-  $g(x) ∈ K[x]$ irgend ein anderes Polynom ist, dann haben wir in der Schule
+  K[x]$ irgendein anderes Polynom ist, dann haben wir in der Schule gelernt,
-  gelernt, dass wir das Polynom $g$ mit Rest durch $f$ teilen können.  Am Ende
+  dass wir das Polynom $g$ mit Rest durch $f$ teilen können.  Am Ende schreibt
-  schreibt man
+  man
   \begin{equation*}
-    g(x) = q(x)·f(x)+ r(x)
+    g(x) = q(x)·f(x)+ r(x),
   \end{equation*}
-  wobei $q, r ∈ K[x]$ sind und $\deg r < \deg f$ ist.  Angenommen $g$ hat $a$ als
+  wobei $q, r ∈ K[x]$ sind und $\deg r < \deg f$ ist.  Angenommen $g$ hat $a$
-  Nullstelle.  Dann gilt:
+  als Nullstelle.  Dann gilt:
   \begin{equation*}
     0 = \underbrace{g(a)}_{=0}=\underbrace{q(a)· f(a)}_{=0}-r(a).
   \end{equation*}
@@ -50,11 +45,11 @@ welche Richtung die Argumentation geht.
 \section{Polynome mit Koeffizienten in Ringen}
 
 Wieder müssen wir erst etwas Sprache einführen, bevor wir echte Mathematik
-machen können.  Wir hatten in Definition~\vref{def:3-0-2} den ``Ring $K[x]$ der
+machen können.  Wir hatten in Definition~\vref{def:3-0-2} den „Ring $K[x]$ der
-Polynome mit Koeffizienten im Körper $K$'' eingeführt.  Das geht auch mit Ringen
+Polynome mit Koeffizienten im Körper $K$“ eingeführt.  Das geht auch mit Ringen
 statt Körpern.
 
-\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2r}
+\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2r}%
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring.  Dann bezeichne mit $R[x]$ den Ring der
   Polynome mit Variable $x$ und Koeffizienten aus $R$.\index{Polynomring!mit
   Koeffizienten aus Ring} Ebenso bezeichnen wir mit $R[x_1, …, x_n]$ den Ring
@@ -62,8 +57,8 @@ statt Körpern.
 \end{definition}
 
 \begin{bsp}
-  Betrachte den Ring $R = ℤ$.  Dann ist $3·x²-5·x+17 ∈ ℤ[x]$ und
+  Betrachte den Ring $R = ℤ$.  Dann ist $3·x²-5·x+17 ∈ ℤ[x]$ und $4x²+3xy+y⁷ ∈
-  $4x²+3xy+y⁷ ∈ ℤ[x,y]$.
+  ℤ[x,y]$.
 \end{bsp}
 
 \begin{beobachtung}
@@ -79,11 +74,11 @@ Der Grad von Polynomen ist definiert wie üblich: Das Polynom
 $3xy+y+4x ∈ ℤ[x,y] $ hat beispielsweise den Grad $2$.  In Integritätsringen
 verhält sich der Grad gut.
 
-\begin{satz}\label{Satz_Polynom_Grad}
+\begin{satz}\label{Satz_Polynom_Grad}%
   Sei $R$ ein kommutativer Integritätsring.  Dann gilt für alle
   Polynome\footnote{Das Nullpolynom hat per Definition den Grad $-∞$.  Wir
-    verwenden die Konvention $- ∞ + (- ∞) = -∞$ und $-∞ + n = - ∞$ für alle
+  verwenden die Konvention $- ∞ + (- ∞) = -∞$ und $-∞ + n = - ∞$ für alle $n ≥
-    $n ≥ 0$.} $p$ und $q ∈ R[x]$:
+  0$.} $p$ und $q ∈ R[x]$:
   \begin{equation*}
     \deg (p·q) = (\deg p)+(\deg q).
   \end{equation*}
@@ -95,7 +90,7 @@ verhält sich der Grad gut.
   $R$ mit $r_n ≠ 0$ und $s_m≠ 0$, sodass wir schreiben können:
   \begin{align*}
     p(x) & = r_0 + r_1·x + \dots + r_n·x^n \\
-    q(x) & = s_0+ s_1· x + \dots + s_m· x^m
+    q(x) & = s_0+ s_1· x + \dots + s_m· x^m.
   \end{align*}
   Dann ist weiter
   \begin{equation*}
@@ -137,7 +132,7 @@ verhält sich der Grad gut.
 
 \section{Teilbarkeit in Ringen}
 
-In der (Grund-)schule haben wir den Begriff ``Teiler'' kennen gelernt.  In
+In der (Grund-)Schule haben wir den Begriff „Teiler“ kennengelernt.  In
 allgemeinen Ringen geht das nicht anders.
 
 \begin{defn}[Teiler]
@@ -171,7 +166,7 @@ allgemeinen Ringen geht das nicht anders.
 
 Wenn wir in der Schule Teilbarkeitsüberlegungen in $ℤ$ angestellt hatten, war
 das Vorzeichnen meist nicht wichtig.  Die folgende Definition formalisiert in
-bombastischer Sprache die Phrase ``unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen''.
+bombastischer Sprache die Phrase „unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen“.
 
 \begin{satzdef}[Zueinander assoziierte Elemente]
   Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und es seien $r$, $s$ zwei
@@ -186,12 +181,11 @@ bombastischer Sprache die Phrase ``unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen''.
     assoziiert}\index{assoziierte Ringelemente} und schreibt $r \sim s$.
 \end{satzdef}
 \begin{proof}
-  Wir beweisen die Richtung
+  Wir beweisen die Richtung \ref{Satz_assoziiert_2}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_1}.
-  \ref{Satz_assoziiert_2}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_1}.  Wegen
+  Wegen $ε· r = s$ gilt $r|s$.  Multiplikation mit $ε^{-1}$ liefert $r =
-  $ε· r = s$ gilt $r|s$.  Multiplikation mit $ε^{-1}$
+  ε^{-1}·s$, also gilt $s|r$.  Wir beweisen als Nächstes die Richtung
-  liefert $r = ε^{-1}·s$, also gilt $s|r$.  Wir beweisen als nächstes
+  \ref{Satz_assoziiert_1}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_2}. Nach Annahme existieren
-  die Richtung \ref{Satz_assoziiert_1}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_2}.
+  $u,v∈ R$ mit
-  Nach Annahme existieren $u,v∈ R$ mit
   \begin{equation*}
     u· r=s \quad\text{und}\quad v· s=r.
   \end{equation*}
@@ -209,7 +203,7 @@ Teiler.
 \begin{definition}[Echte Teiler, irreduzible Elemente]
   Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und $r$, $s ∈ R$ seien zwei
   Elemente.  Dann ist $r$ ein \emph{echter Teiler von $s$}\index{echter
-    Teiler}\index{Teiler!echter}, wenn alle der folgenden Bedingungen gelten
+    Teiler}\index{Teiler!echter}, wenn alle der folgenden Bedingungen gelten.
   \begin{itemize}
   \item Es gilt $r|s$.
     
@@ -233,26 +227,26 @@ Teiler.
 
 \begin{warnung}
   Beispiel~\ref{bsp:iZ} ist ein bisschen gefährlich.  Wir werden später für
-  beliebige Ringe Ringe auch noch einen Begriff von ``Primelement'' definieren.
+  beliebige Ringe auch noch einen Begriff von „Primelement“ definieren.
 \end{warnung}
 
 
 \section{Zerlegbarkeit von Elementen}
 
 In der Schule wurde die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen hoffentlich
-ausführlich diskutiert: jede ganze Zahl $m ∈ ℤ$ lässt sich als Produkt von
+ausführlich diskutiert: Jede ganze Zahl $m ∈ ℤ$ lässt sich als Produkt von
-irreduziblen Elementen (=so genannte ``Primzahlen'') schreiben,
+irreduziblen Elementen (=sogenannte „Primzahlen“) schreiben,
 \begin{equation*}
   m= (± p_1)·(± p_2)⋯(± p_n),
 \end{equation*}
 wobei das Produkt bis auf die Reihenfolge der Faktoren und die Vorzeichen
 eindeutig festgelegt ist.  So etwas hätten wir gern auch für beliebige Ringe!
 
-\begin{warning}\label{war:nufd}
+\begin{warning}\label{war:nufd}%
   Zu früh gefreut.  Geht nicht.  Ich behaupte, dass die folgende Menge von
   komplexen Zahlen,
   \[
-    R := \{ a+b·\sqrt{5}i ∈ ℂ \:|\: a,b ∈ ℤ\}.
+    R := \{ a+b·\sqrt{5}i ∈ ℂ \:|\: a,b ∈ ℤ\},
   \]
   einen Unterring des Körpers $ℂ$ bildet; dieser wird in der Literatur oft mit
   $ℤ[\sqrt{-5}]$ bezeichnet.  Ich behaupte auch, dass die Elemente
@@ -274,35 +268,35 @@ eindeutig festgelegt ist.  So etwas hätten wir gern auch für beliebige Ringe!
 eine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt.  Dazu sind folgende Definitionen
 relevant.
 
-\begin{defn}[Teilerkette für Elemente]\label{def:TK}
+\begin{defn}[Teilerkette für Elemente]\label{def:TK}%
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring.  Eine \emph{Teilerkette}\index{Teilerkette}
-  in $R$ ist eine Folge von Elementen $(r_n)_{n∈ℕ}$ aus $R$, so dass für alle
+  in $R$ ist eine Folge von Elementen $(r_n)_{n∈ℕ}$ aus $R$, sodass für alle $n
-  $n ∈ ℕ$ gilt: $r_{n+1}|r_n$.
+  ∈ ℕ$ gilt: $r_{n+1}|r_n$.
 \end{defn}
 
-\begin{defn}[Teilerkettensatz für Elemente]\label{def:TKSE}
+\begin{defn}[Teilerkettensatz für Elemente]\label{def:TKSE}%
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring.  Man sagt \emph{in $R$ gilt der
-    Teilerkettensatz für Elemente}\index{Teilerkettensatz!für Elemente}, wenn
+  Teilerkettensatz für Elemente}\index{Teilerkettensatz!für Elemente}, wenn für
-  für jede Teilerkette $(r_n)_{n ∈ ℕ}$ ein $n_0∈ℕ$ existiert, so dass für alle
+  jede Teilerkette $(r_n)_{n ∈ ℕ}$ ein $n_0∈ℕ$ existiert, sodass für alle $k ≥
-  $k ≥ n_0$ gilt: die Elemente $r_{k+1}$ und $r_k$ sind assoziiert.
+  n_0$ gilt: Die Elemente $r_{k+1}$ und $r_k$ sind assoziiert.
 \end{defn}
 
 \begin{rem}
-  Die Forderung ``für alle $k ≥ n_0$ gilt $r_{k+1} \sim r_k$ sind
+  Die Forderung „für alle $k ≥ n_0$ gilt $r_{k+1} \sim r_k$ sind assoziiert“
-  assoziiert'' lässt sich auch so ausdrücken: es gibt nur endlich viele
+  lässt sich auch so ausdrücken: Es gibt nur endlich viele $n ∈ ℕ$, sodass
-  $n ∈ ℕ$, so dass $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist.
+  $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist.
 \end{rem}
 
 \begin{bsp}
   In $ℤ$ gilt der Teilerkettensatz, denn wenn $r_n$ eine Teilerkette ist, dann
-  gilt $|r_1| ≥ |r_2| ≥ ⋯$ und wenn $r_{n+1}$ ein echter Teiler von
+  gilt $|r_1| ≥ |r_2| ≥ ⋯$ und wenn $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist,
-  $r_{n}$ ist, dann ist $|r_n| > |r_{n+1}|$.
+  dann ist $|r_n| > |r_{n+1}|$.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}
   Analog zur Situation in $ℤ$ kann man im Polynomring $K[x]$ über einem Körper
-  $K$ schließen, dass der Teilerkettensatz gilt.  Dazu betrachte man den Grad von
+  $K$ schließen, dass der Teilerkettensatz gilt.  Dazu betrachte man den Grad
-  Polynomen anstelle des Betrages.
+  von Polynomen anstelle des Betrages.
 \end{bsp}
 
 \begin{warnung}
@@ -312,17 +306,17 @@ relevant.
 
 Der folgende Satz ist wirklich klassisch, er geht auf
 Euklid\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Euklid}{Euklid von
-    Alexandria} war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im 3.\
+Alexandria} war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im
-  Jahrhundert v.\ Chr.\ in Alexandria gelebt hat.} zurück.  Der Beweis, den wir
+3.~Jahrhundert v.~Chr.~in Alexandria gelebt hat.} zurück.  Der Beweis, den wir
 hier vorstellen, ist genial-elegant-modern und von Emmy
 Noether\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether}{Amalie Emmy
-    Noether} (Emmy war der Rufname; geb.  am 23.  März 1882 in Erlangen; gest.  am
+Noether} (Emmy war der Rufname; geb.~am 23.~März 1882 in Erlangen; gest.~am
-  14.  April 1935 in Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin,
+14.~April 1935 in Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin, die
-  die grundlegende Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik
+grundlegende Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik
 lieferte.  Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren
 revolutioniert.  Das nach ihr benannte Noether-Theorem gibt die Verbindung
-  zwischen Symmetrien von physikalischen Naturgesetzen und Erhaltungsgrößen
+zwischen Symmetrien von physikalischen Naturgesetzen und Erhaltungsgrößen an.}.
-  an.}.  Die Beweismethode ist heute als ``Noethersche Induktion'' bekannt.
+Die Beweismethode ist heute als „Noethersche Induktion“ bekannt.
 
 \begin{satz}\label{satz:tksgz}
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring in dem der Teilerkettensatz für Elemente
@@ -341,7 +335,7 @@ Nach dem Kriterium für die Existenz einer Zerlegung kommen wir jetzt zur Frage
 der Eindeutigkeit.  Die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen ist eindeutig bis
 auf Vorzeichen (=Multiplikation mit Einheiten) und Reihenfolge.  Zwei
 Darstellungen, die sich nur in Reihenfolge und Einheiten unterscheiden, nenne
-wir ``äquivalent''.
+wir „äquivalent“.
 
 \begin{defn}[Äquivalente Zerlegungen]
   Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring, es sei $r ∈ R$ ein Element und es
@@ -407,21 +401,20 @@ wichtig.
     a· b = p(q_1· q_2· p+ q_1· b_1+ q_2· a_1)+a_1· b_1,
   \end{equation*}
   also $p|(a_1· b_1)$.  Betrachte jetzt die kleinste natürliche Zahl, die als
-  Produkt $a· b$ geschrieben werden kann mit $p|(a· b)$ aber $p \nmid a$
+  Produkt $a·b$ geschrieben werden kann, mit $p|(a· b)$ aber $p \nmid a$ und $p
-  und $p \nmid b$.  Nach der Untersuchung oben gilt: $1<a<p$ und $1<b<p$ also
+  \nmid b$.  Nach der Untersuchung oben gilt: $1<a<p$ und $1<b<p$ also $1 < a· b
-  $1 < a· b < p²$.  Sei $h=\frac{a· b}{p}∈ℤ$, also
+  < p²$.  Sei $h=\frac{a· b}{p}∈ℤ$, also $p· h = a· b$.  Dann gilt $1<h$, weil
-  $p· h = a· b$.  Dann gilt $1<h$, weil $p$ irreduzibel ist und $h<p$,
+  $p$ irreduzibel ist und $h<p$, weil $a· b <p²$.  Sei nun $p^\prime$ ein
-  weil $a· b <p²$.  Sei nun $p^\prime$ ein positiver irreduzibler Faktor von
+  positiver irreduzibler Faktor von $h$ (möglicherweise sogar $h$ selbst, wenn
-  $h$ (möglicherweise sogar $h$ selbst, wenn $h$ irreduzibel ist).  Dann gilt
+  $h$ irreduzibel ist).  Dann gilt natürlich auch $p^\prime< p$.  Nach Wahl von
-  natürlich auch $p^\prime< p$.  Nach Wahl von $p$ (kleinste Zahl, die
+  $p$ (kleinste Zahl, die irreduzibel ist und nicht prim) ist $p^\prime$ prim.
-  irreduzibel ist und nicht prim) ist $p^\prime$ prim.  Da $p^\prime|h$,
+  Da $p^\prime|h$, $h|(a· b)$ folgt $p^\prime|(a· b)$ und daraus folgt
-  $h|(a· b)$ folgt $p^\prime|(a· b)$ und daraus folgt $p^\prime|a$ oder
+  $p^\prime|a$ oder $p^\prime|b$.
-  $p^\prime|b$.
   
   Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass $p^\prime|a$ gilt.  Dann ist
   $a=p^\prime· a^\prime$ und $h=p^\prime· h^\prime$ und somit
   \begin{equation*}
-    p^\prime· h^\prime· p=p^\prime· a^\prime· b\quad⇒\quad h^\prime· p= a^\prime· b
+    p^\prime· h^\prime· p=p^\prime· a^\prime· b\quad⇒\quad h^\prime· p= a^\prime·b.
   \end{equation*}
   Weil $a^\prime· b< a· b$ ist, folgt $p|a^\prime$ oder $p|b$ nach Wahl
   von $a· b$.  Es folgt $p|a$ oder $p|b$, Widerspruch!
@@ -467,7 +460,7 @@ wichtig.
 \end{definition}
 
 \begin{rem}
-  In der Literatur findet man statt ``faktoriell'' manchmal auch die Adjektive
+  In der Literatur findet man statt „faktoriell“ manchmal auch die Adjektive
   \emph{ZPE}\index{ZPE} (= \textbf{Z}erlegung in \textbf{P}rimelemente ist
   \textbf{E}indeutig) oder \emph{UFD}\index{UFD} (= \textbf{U}nique
   \textbf{F}actorization \textbf{D}omain).
@@ -484,7 +477,7 @@ wichtig.
 
 Weitere Beispiele lassen sich mit dem folgenden Satz finden.
  
-\begin{satz}[Satz von Gauß\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss}{Johann Carl Friedrich Gauß} (* 30.  April 1777 in Braunschweig; † 23.  Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Statistiker, Astronom, Geodät und Physiker.}]\label{Satz_Satz_von_Gauss}
+\begin{satz}[Satz von Gauß\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss}{Johann Carl Friedrich Gauß} (* 30.~April 1777 in Braunschweig; † 23.~Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Statistiker, Astronom, Geodät und Physiker.}]\label{Satz_Satz_von_Gauss}
   Es sei $R$ ein faktorieller Ring.  Dann ist auch der Polynomring
   $R[x_1, …, x_n]$ faktoriell.
 \end{satz}
@@ -496,7 +489,7 @@ Weitere Beispiele lassen sich mit dem folgenden Satz finden.
 Der Beweis des Satzes von Gauß verwendet folgendes Lemma.\sideremark{Vorlesung
   6}
 
-\begin{lem}\label{Lemma_Hilfslemma}
+\begin{lem}\label{Lemma_Hilfslemma}%
   Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring.  Ist $p ∈ R$ ein Primelement,
   dann ist $p$ auch im Polynomring $R[x]$ prim.
 \end{lem}
@@ -512,26 +505,26 @@ Der Beweis des Satzes von Gauß verwendet folgendes Lemma.\sideremark{Vorlesung
 \section{Primfaktorzerlegung}
 
 Wenn $R$ ein faktorieller Ring ist, dann haben wir schon gesehen, dass ich jedes
-Element auf ``nahezu eindeutige Weise'' als Produkt von Primelementen schreiben
+Element auf „nahezu eindeutige Weise“ als Produkt von Primelementen schreiben
-kann.  So ist die Zahl $6 ∈ ℤ$ als $6 = 3·2$ oder $6 = (-3)·(-2)$
+kann.  So ist die Zahl $6 ∈ ℤ$ als $6 = 3·2$ oder $6 = (-3)·(-2)$ darstellbar.
-darstellbar.  Natürlich würde aber niemand freiwillig negative Zahlen verwenden,
+Natürlich würde aber niemand freiwillig negative Zahlen verwenden, denn wir
-denn wir finden positive Zahlen wesentlich angenehmer als negative.  Eine
+finden positive Zahlen wesentlich angenehmer als negative.  Eine derartige
-derartige Konvention kann man auch in beliebigen Ringen verwenden.
+Konvention kann man auch in beliebigen Ringen verwenden.
 
-Gegeben ein Ring $R$, dann ist die Relation ``äquivalent'' eine
+Gegeben ein Ring $R$, dann ist die Relation „äquivalent“ eine Äquivalenzrelation
-Äquivalenzrelation auf der Menge der Primelemente und zerlegt diese Menge
+auf der Menge der Primelemente und zerlegt diese Menge deshalb in
-deshalb in Äquivalenzklassen.  Um die Produktdarstellung noch etwas einfacher zu
+Äquivalenzklassen.  Um die Produktdarstellung noch etwas einfacher zu machen,
-machen, müssen wir aus jeder Äquivalenzklasse einen Vertreter auswählen.  Dann
+müssen wir aus jeder Äquivalenzklasse einen Vertreter auswählen.  Dann sind wir
-sind wir in der folgenden Situation.
+in der folgenden Situation.
 
-\begin{situation}\label{sit:5-5-1}
+\begin{situation}\label{sit:5-5-1}%
   Es sei $R$ ein faktorieller Ring und $(p_i)_{i ∈ I}$ sei ein
   Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen (das bedeutet:
-  für jedes Primelement $p ∈ R$ gibt es genau einen Index $i$, so dass
+  für jedes Primelement $p ∈ R$ gibt es genau einen Index $i$, sodass $p \sim
-  $p \sim p_i$ ist).
+  p_i$ ist).
 \end{situation}
 
-Ein ``Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen'' existiert
+Ein „Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen“ existiert
 wegen des Auswahlaxioms natürlich immer, aber manchmal gibt es besonders
 einleuchtende Wahlen.
 
@@ -551,7 +544,7 @@ einleuchtende Wahlen.
     r = ε·\prod_{i∈I} (p_i)^{ν_i}
   \end{equation*}
   wobei $ε ∈ R^*$ und $ν_i ∈ ℕ$ sind; außerdem sind alle bis auf endlich viele
-  Exponenten gleich $0$.  Dies Darstellung heißt \emph{normierte
+  Exponenten gleich $0$.  Diese Darstellung heißt \emph{normierte
     Primfaktorzerlegung}\index{normierte
     Primfaktorzerlegung}\index{Primfaktorzerlegung!normiert} von $r$ zum
   Repräsentantensystem $(p_i)_{i ∈ I}$.
@@ -593,14 +586,14 @@ sofort ablesen.
 \section{ggT und kgV}
 
 Je nach Geburtsjahrgang haben Sie in Kindergarten, Vorschule, Grundschule,
-Gymnasium oder Studium den Begriff ``größter gemeinsamer Teiler'' und
+Gymnasium oder Studium den Begriff „größter gemeinsamer Teiler“ und „kleinstes
-``kleinstes gemeinsames Vielfaches'' kennen gelernt.  Auch diese Begriffe
+gemeinsames Vielfaches“ kennengelernt.  Auch diese Begriffe übertragen sich ohne
-übertragen sich ohne weiteres auf Ringe.
+weiteres auf Ringe.
 
 \begin{defn}[Größter gemeinsamer Teiler]
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und es seien $r,s∈ R$ zwei Elemente.
   Ein Element $g ∈ R$ heißt \emph{größter gemeinsamer Teiler\index{größter
-      gemeinsamer Teiler} von $r$ und $s$} wenn Folgendes gilt.
+      gemeinsamer Teiler} von $r$ und $s$}, wenn Folgendes gilt.
   \begin{itemize}
   \item Es ist $g|r$ und $g|s$.
     
@@ -612,7 +605,7 @@ Gymnasium oder Studium den Begriff ``größter gemeinsamer Teiler'' und
 \begin{defn}[Kleinstes gemeinsames Vielfaches]
   Sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und es seien $r,s∈ R$ zwei Elemente.  Ein
   Element $v ∈ R$ heißt \emph{kleines gemeinsames Vielfaches}\index{kleinstes
-    gemeinsames Vielfaches} von $r$ und $s$ wenn Folgendes gilt.
+    gemeinsames Vielfaches} von $r$ und $s$, wenn Folgendes gilt.
   \begin{itemize}
   \item Es ist $r|v$ und $s|v$.
     
@@ -665,7 +658,7 @@ keine Gedanken machen.
 \subsection{Der Euklidische Algorithmus}
 
 Die Primfaktorzerlegung eines Elementes in einem faktoriellen Ring zu bestimmen,
-ist fast immer sehr schwer.  In manchen Ringen kann man aber das kgV bestimmen
+ist fast immer sehr schwer.  In manchen Ringen kann man aber das kgV bestimmen,
 ohne die Primfaktorzerlegung explizit zu kennen.
 
 \begin{bsp}\label{bsp:5-6-7}

06.tex

@@ -30,20 +30,20 @@ Quotientenkörper.
   Integritätsring an.
 \end{obs}
 
-Die folgende Definition klärt ganz präzise, was wir mit einem ``möglichst
+Die folgende Definition klärt ganz präzise, was wir mit einem „möglichst kleinen
-kleinen Körper, der $R$ enthält'' eigentlich genau meinen.  Wenn Sie bei mir die
+Körper, der $R$ enthält“ eigentlich genau meinen.  Wenn Sie bei mir die
-Vorlesung ``Lineare Algebra'' gehört haben, dann wird Ihnen die folgende
+Vorlesung „Lineare Algebra“ gehört haben, dann wird Ihnen die folgende
 Definition sehr vertraut vorkommen.  Falls nicht, ist jetzt die perfekte
-Gelegenheit, alles über ``universelle Eigenschaften'' zu lernen.
+Gelegenheit, alles über „universelle Eigenschaften“ zu lernen.
 
 \begin{definition}[Quotientenkörper]
   Sei $R$ ein Integritätsring.  Ein \emph{Quotientenkörper von
-    $R$}\index{Quotientenkörper} ist ein Körper $K$ zusammen mit einem
+  $R$}\index{Quotientenkörper} ist ein Körper $K$ zusammen mit einem injektiven
-  injektiven Ringhomomorphismus $ι : R → K$, sodass folgende universelle
+  Ringhomomorphismus $ι : R → K$, sodass folgende universelle Eigenschaft gilt:
-  Eigenschaft gilt: Ist $j : R → L$ ein weiterer injektiver Ringhomomorphismus
+  Ist $j : R → L$ ein weiterer injektiver Ringhomomorphismus von $R$ in einem
-  von $R$ in einem Körper $L$, dann existiert genau ein Ringhomomorphismus
+  Körper $L$, dann existiert genau ein Ringhomomorphismus $h:K→ L$, sodass $j=h◦
-  $h:K→ L$, sodass $j=h◦ i$ ist.  Mit anderen Worten, es existiert genau ein
+  i$ ist.  Mit anderen Worten, es existiert genau ein Ringhomomorphismus, sodass
-  Ringhomomorphismus, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
+  das folgende Diagramm kommutiert,
   \[
     \begin{tikzcd}
       R \ar[r, hook, "ι"] \ar[d, equals] & K \ar[d, "∃ !  h"] \\
@@ -93,15 +93,15 @@ Quotientenkörpers.  Den folgenden Beweis sollten Sie genau verstehen!
 \end{proof}
 
 Der Witz ist, dass die Abbildung $h$ aus Satz~\ref{satz:edvq} eindeutig gegeben
-ist.  Die Aussage ``es existiert eine eindeutiger Morphismus'' ist eine viel
+ist.  Die Aussage „es existiert eine eindeutiger Morphismus“ ist eine viel
-bessere Aussage als ``es existiert irgendein Morphismus (dessen Konstruktion
+bessere Aussage als „es existiert irgendein Morphismus (dessen Konstruktion
-vielleicht von irgendwelchen Wahlen abhängt, die ich treffen muss)''.  Das ist
+vielleicht von irgendwelchen Wahlen abhängt, die ich treffen muss)“.  Das ist
-super-wichtig!  Man sagt, ``Quotientenkörper sind eindeutig bis auf kanonische
+super-wichtig!  Man sagt, „Quotientenkörper sind eindeutig bis auf kanonische
-Isomorphie''.
+Isomorphie“.
 
 \begin{notation}
   Obwohl Quotientenkörper nur bis auf kanonische Isomorphie eindeutig sind,
-  spricht man oft von ``dem'' Quotientenkörper.  Die Notation $Q(R)$ ist üblich.
+  spricht man oft von „dem“ Quotientenkörper.  Die Notation $Q(R)$ ist üblich.
 \end{notation}
 
 \begin{satz}[Existenz von Quotientenkörpern]

07.tex

@@ -12,8 +12,8 @@ ist.
 
 Für Polynome $f ∈ ℚ[x]$ werden wir die Frage nach der Irreduzibilität
 vollständig beantworten.  Wir erinnern uns daran, wie die Frage nach der
-Konstruierbarkeit der ``Verdoppelung des Würfels'' mit der Frage zusammenhing,
+Konstruierbarkeit der „Verdoppelung des Würfels“ mit der Frage zusammenhing, ob
-ob das Polynom $x³-2 ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
+das Polynom $x³-2 ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
 
 \begin{beobachtung}
   Im Ring $ℤ[x]$ sind Teilbarkeitsfragen oft durch Teilbarkeitsbetrachtungen der
@@ -40,7 +40,7 @@ ob das Polynom $x³-2 ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
 Das folgende Irreduzibilitätskriterium von Gauß\index{Irreduzibilitätskriterium
   von Gauß} zeigt, dass $x³-2$ dann auch irreduzibel in $ℚ[x]$ ist!
 
-\begin{satz}[Irreduzibilitätskriterium von Gauß]\label{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus}
+\begin{satz}[Irreduzibilitätskriterium von Gauß]\label{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus}%
   Es sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K=Q(R)$ sein Quotientenkörper und es
   sei ein Polynom $f ∈ R[x]$ von positivem Grad gegeben.  Wenn $f$ in $R[x]$
   irreduzibel ist, dann ist $f$ auch in $K[x]$ irreduzibel.
@@ -49,18 +49,18 @@ Das folgende Irreduzibilitätskriterium von Gauß\index{Irreduzibilitätskriteri
 Als Vorbereitung zum Beweis zeigen wir erst einmal das folgende Lemma.  Das
 Lemma zeigt auch, wie natürlich das Kriterium von Gauß ist.
 
-\begin{lemma}\label{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}
+\begin{lemma}\label{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}%
-  Sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K = Q(R)$ der Quotientenkörper und
+  Sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K = Q(R)$ der Quotientenkörper und $g ∈
-  $g ∈ K[x] ∖ \{0\}$ sei ein Polynom.  Dann existiert ein $a∈ K∖ \{0\}$, sodass
+  K[x] ∖ \{0\}$ sei ein Polynom.  Dann existiert ein $a∈ K∖ \{0\}$, sodass $a·
-  $a· g$ in $R[x]$ ist und sodass der $\ggT$ der Koeffizienten von $a· g$ gleich
+  g$ in $R[x]$ ist und sodass der $\ggT$ der Koeffizienten von $a· g$ gleich $1$
-  $1$ ist.
+  ist.
 \end{lemma}
 
 \begin{bemerkung}
   Wir hatten nur den $\ggT$ für zwei Elemente definiert, die Definition geht
-  genau so für mehr als zwei Elemente.  Für Polynome
+  genau so für mehr als zwei Elemente.  Für Polynome $a_0 + a_1·x + ⋯ + a_m·x^m
-  $a_0 + a_1·x + ⋯ + a_m·x^m ∈ R[x]$ ist die Bedingung $\ggT(a_0, …, a_m) = 1$
+  ∈ R[x]$ ist die Bedingung $\ggT(a_0, …, a_m) = 1$ notwendig, aber nicht
-  notwendig, aber nicht hinreichend für die Irreduzibilität.
+  hinreichend für die Irreduzibilität.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}]
@@ -81,7 +81,7 @@ in endlich vielen Rechenschritten entscheiden ($→$Klausur).  Ein Verfahren sol
 jetzt ganz kurz skizziert werden.  Den folgenden Satz kennen Sie vielleicht aus
 den Anfängervorlesungen.
 
-\begin{erinnerung}[Lagrangesche Interpolationsformel\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange}{Joseph-Louis de Lagrange} (* 25.  Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; † 10.  April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.}\index{Lagrangesche Interpolationsformel}]
+\begin{erinnerung}[Lagrangesche Interpolationsformel\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange}{Joseph-Louis de Lagrange} (* 25.~Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; † 10.~April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.}\index{Lagrangesche Interpolationsformel}]%
   Es sei $K$ ein Körper\footnote{Wir denken an $K = ℚ$.}, es sei $f(x) ∈ K[x]$
   ein Polynom vom Grad $≤ n$ und es seien $a_1, …, a_{n+1}∈ K$ paarweise
   verschiedene Elemente.  Dann ist $f$ durch seine Werte $f(a_1), …, f(a_{n+1})$
@@ -137,14 +137,14 @@ Frage nach der Irreduzibilität zwar beantworten, allerdings sind die nötigen
 Rechnungen ziemlich aufwändig (besonders bei Zeitdruck in einer Klausur!).  Das
 folgende Kriterium von Theodor
 Schönemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Theodor_Sch\%C3\%B6nemann}{Theodor
-    Schönemann} (* 4.  April 1812 in Driesen, Friedebergischer Kreis; †
+Schönemann} (* 4.~April 1812 in Driesen, Friedebergischer Kreis; † 16.~Januar
-  16.  Januar 1868 in Brandenburg an der Havel) war ein deutscher Mathematiker.},
+1868 in Brandenburg an der Havel) war ein deutscher Mathematiker.}, das in der
-das in der Literatur durchgehend falsch mit ``Eisenstein-Kriterium''
+Literatur durchgehend falsch mit „Eisenstein-Kriterium“
 bezeichnet\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gotthold_Eisenstein}{Ferdinand
-    Gotthold Max Eisenstein} (* 16.  April 1823 in Berlin; † 11.  Oktober 1852
+Gotthold Max Eisenstein} (* 16.~April 1823 in Berlin; † 11.~Oktober 1852 ebenda)
-  ebenda) war ein deutscher Mathematiker, der hauptsächlich in der Zahlentheorie
+war ein deutscher Mathematiker, der hauptsächlich in der Zahlentheorie und über
-  und über elliptische Funktionen arbeitete.} wird, ist oft viel schneller.  Es
+elliptische Funktionen arbeitete.} wird, ist oft viel schneller.  Es ist so
-ist so wichtig, dass es dazu sogar
+wichtig, dass es dazu sogar
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium}{eine eigene Seite auf
 Wikipedia} gibt\index{Eisenstein-Kriterium}.
 
@@ -182,8 +182,8 @@ ist so wichtig, dass es dazu sogar
   \begin{equation*}
     x_1^m+g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_1, …, x_n]
   \end{equation*}
-  über einem faktoriellen Ring $R$ ist sicher dann irreduzibel, wenn $g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_2, …, x_n]$
+  über einem faktoriellen Ring $R$ ist sicher dann irreduzibel, wenn $g(x_2, …,
-  irreduzibel ist.
+  x_n) ∈ R[x_2, …, x_n]$ irreduzibel ist.
 \end{bsp}
 
 
@@ -201,10 +201,10 @@ einen Ringmorphismus zu betrachten und folgendes Lemma anzuwenden.
   jetzt $\varphi(f) ∈ S$ irreduzibel ist, dann ist auch $f∈ R[x]$ irreduzibel.
 \end{lem}
 \begin{proof}
-  Angenommen, $f$ wäre reduzibel.  Dann können wir schreiben $f = g·h$, wobei $g$
+  Angenommen, $f$ wäre reduzibel.  Dann können wir schreiben $f = g·h$, wobei
-  und $h$ jeweils keine Einheiten in $R[x]$ sind.  Weil der größte gemeinsame
+  $g$ und $h$ jeweils keine Einheiten in $R[x]$ sind.  Weil der größte
-  Teiler der Koeffizienten gleich $1$ ist, müssen $g$ und $h$ jeweils positiven
+  gemeinsame Teiler der Koeffizienten gleich $1$ ist, müssen $g$ und $h$ jeweils
-  Grad haben.  Die Gleichung
+  positiven Grad haben.  Die Gleichung
   \begin{equation*}
     \varphi(f) = \varphi(g)·\varphi(h)
   \end{equation*}
@@ -214,20 +214,20 @@ einen Ringmorphismus zu betrachten und folgendes Lemma anzuwenden.
 Ringmorphismen, die man in der Praxis brauchen kann, entstehen oft auf die
 folgenden Weisen.
 \begin{description}
-\item[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten:] Ist
+\item[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten] Ist
   $\varphi : R → S$ ein Ringhomomorphismus, dann ist auch
   \begin{equation*}
     Φ: R[x] → S[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})x^ν
   \end{equation*}
   ein Ringmorphismus.
   
-\item[Einsetzungskomposition:]\index{Einsetzungskomposition} Es sei eine
+\item[Einsetzungskomposition]\index{Einsetzungskomposition} Es sei eine
   Abbildung $\varphi : R → S$ und es sei ein Element $t ∈ S$ gegeben.  Setze
   \begin{equation*}
     Φ : R[x] → S, \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})t^ν
   \end{equation*}
   
-\item[Substitutionsmorphismus:]\index{Substitutionsmorphismus} Es sei ein
+\item[Substitutionsmorphismus]\index{Substitutionsmorphismus} Es sei ein
   Element $a∈ R$ gegeben.  Dann betrachte die Abbildung
   \begin{equation*}
     Φ : R[x] → R[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum a_{ν}(x-a)^ν.

08.tex

@@ -17,8 +17,8 @@ Debatte war.
 
 Der nächste Satz stellt die Verbindung zwischen Körpertheorie und
 Konstruierbarkeit her.  Die Formulierung des Satzes verwendet den Begriff
-``konjugierte Menge''.  Dabei ist ``konjugiert'' wie immer nur eine bombastische
+„konjugierte Menge“.  Dabei ist „konjugiert“ wie immer nur eine bombastische
-Formulierung für ``an der reellen Achse gespiegelt''.
+Formulierung für „an der reellen Achse gespiegelt“.
 
 \begin{notation}[Konjungierte Menge]
   Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Menge.  Dann betrachte die Menge
@@ -29,14 +29,13 @@ Formulierung für ``an der reellen Achse gespiegelt''.
 \begin{rem}
   Im Fall, wo die Menge $M$ die Elemente $0$ und $1$ enthält, kann man die
   Spiegelung an der reellen Achse mit Zirkel und Lineal konstruieren.  Damit ist
-  klar, dass $\overline{M} ⊂ \Kons(M)$ ist.  Es ist in diesem Fall auch
+  klar, dass $\overline{M} ⊂ \Kons(M)$ ist.  Es ist in diesem Fall auch klar,
-  klar, dass $i ∈ \Kons(M)$ ist.
+  dass $i ∈ \Kons(M)$ ist.
 \end{rem}
 
-\begin{satz}[Hausaufgabe Blatt 2, Aufgabe 3]\label{Satz_von_Seite_69}
+\begin{satz}[Hausaufgabe Blatt 2, Aufgabe 3]\label{Satz_von_Seite_69}%
-  Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ und es sei $z ∈ \Kons(M)$.  Sei weiter
+  Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ und es sei $z ∈ \Kons(M)$.  Sei weiter $K = ℚ(M ∪
-  $K = ℚ(M ∪ \overline{M})$.  Dann existiert eine Zahl $k ∈ ℕ$, sodass die
+  \overline{M})$.  Dann existiert eine Zahl $k ∈ ℕ$, sodass die Gleichheit
-  Gleichheit
   \begin{equation*}
     [K(z) : K] = 2^k
   \end{equation*}
@@ -47,9 +46,8 @@ Formulierung für ``an der reellen Achse gespiegelt''.
 
 \section{Verdopplung des Würfels}
 
-Das klassische Konstruktionsproblem ``Verdopplung des Würfels'' ist mit Zirkel
+Das klassische Konstruktionsproblem „Verdopplung des Würfels“ ist mit Zirkel und
-und Lineal nicht möglich, denn mit $M := \{0,1\}$ ist
+Lineal nicht möglich, denn mit $M := \{0,1\}$ ist $ℚ = ℚ(M ∪ \overline{M})$ und
-$ℚ = ℚ(M ∪ \overline{M})$ und
 \[
   [ℚ(\sqrt[3]{2}): ℚ ] = 3,
 \]
@@ -62,7 +60,7 @@ $\sqrt[3]{2}$ ist.
 Bevor wir die Frage nach der Dreiteilung des Winkel abschließend beantworten,
 beweise ich zuerst ein Satz, der auch später noch von Interesse sein wird.
 
-\begin{satz}\label{Satz_Vor_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}
+\begin{satz}\label{Satz_Vor_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}%
   Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ ein über $K$
   transzendentes Element.  Dann ist $K(a)$ isomorph zum Körper der
   gebrochen-rationalen Funktionen\footnote{Siehe Beispiel~\ref{bsp:2-3-3} im
@@ -77,11 +75,11 @@ beweise ich zuerst ein Satz, der auch später noch von Interesse sein wird.
 
 Damit lässt sich die Konstruierbarkeitsfrage ganz gut beantworten.
 
-\begin{satz}\label{Satz_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}
+\begin{satz}\label{Satz_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}%
   Gegeben sei eine reelle Zahl $\varphi ∈ (0, 2·π)$.  Falls $e^{i\varphi}$
-  transzendent ist, dann ist
+  transzendent ist, dann ist $e^{(\varphi i)/3} \not ∈ \Kons(\{0,1, e^{\varphi
-  $e^{(\varphi i)/3} \not ∈ \Kons(\{0,1, e^{\varphi i}\})$.  Die Dreiteilung des
+  i}\})$.  Die Dreiteilung des Winkels $\varphi$ ist also mit Zirkel und Lineal
-  Winkels $\varphi$ ist also mit Zirkel und Lineal nicht möglich.
+  nicht möglich.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   \video{9-3}
@@ -93,14 +91,14 @@ Damit lässt sich die Konstruierbarkeitsfrage ganz gut beantworten.
   Konstruktionsverfahren für die Dreiteilung des Winkels.
 \end{bemerkung}
 \begin{proof}
-  Wenn $z=e^{i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$ ist, dann ist auch
+  Wenn $z=e^{i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$ ist, dann ist auch $\overline{z} =
-  $\overline{z} = e^{-i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$, denn $z$ und
+  e^{-i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$, denn $z$ und $\overline{z}$ haben beide
-  $\overline{z}$ haben beide dasselbe Minimalpolynom.  Also ist auch der Realteil
+  dasselbe Minimalpolynom.  Also ist auch der Realteil
   \begin{equation*}
     \operatorname{Re}(z) =\frac12(z+\overline{z})
   \end{equation*}
-  algebraisch über $ℚ$.  Das zeigt, dass die Menge $\varphi∈ (0,2π)$, für
+  algebraisch über $ℚ$.  Das zeigt, dass die Menge $\varphi∈ (0,2π)$, für die
-  die $e^{i\varphi}$ transzendent ist, in $(0,2π)$ dicht ist.
+  $e^{i\varphi}$ transzendent ist, in $(0,2π)$ dicht ist.
 \end{proof}
 
 

09.tex

@@ -4,25 +4,20 @@
 \chapter{Ideale}
 \label{chapt:09}
 
-Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
-\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
-bereitgestellt.
-
-
 \section{Wohin geht die Reise}
 
 Ich hatte schon am Ende des letzten Abschnittes geschrieben: um die Frage nach
 der Konstruierbarkeit des regelmäßigen $n$-Ecks vollständig entscheiden zu
 können, müssen wir die Symmetrien von Körpererweiterungen verstehen … und
-vielleicht irgendwann auch definieren, was mit ``Symmetrie einer
+vielleicht irgendwann auch definieren, was mit „Symmetrie einer
-Körpererweiterung'' gemeint sein soll.  All das wird voraussetzen, dass wir
+Körpererweiterung“ gemeint sein soll.  All das wird voraussetzen, dass wir
 Körpererweiterungen besser beschreiben.  Die Idee ist die: gegeben eine
 einfache, algebraische Erweiterung $K(α)/K$ vom Grad $n$, dann wissen wir schon,
 dass wir alle Elemente des Oberkörpers $K(α)$ als Linearkombinationen der Form
 \[
   k_0 + k_1·α + k_2·α² + ⋯ k_{n-1}·α^{n-1}
 \]
-schreiben könne, wobei die $k_{•}$ geeignete Elemente des kleineren Körpers $K$
+schreiben könne, wobei die $k_•$ geeignete Elemente des kleineren Körpers $K$
 sind.  Diese Einsicht ist natürlich extrem hilfreich --- wir kennen das von den
 komplexen Zahlen, die sich alle in der Form $k_0 + k_1·\sqrt{-1}$ schreiben
 lassen.  Der Sachverhalt lässt sich auch anders formulieren: Der
@@ -36,16 +31,16 @@ liegt es dann nahe, den Körper $K(α)$ als Quotient zu beschreiben,
   K(α) = \factor{K[x]}{\ker φ}.
 \end{equation}
 Diese Beschreibung\footnote{\label{foot:sage}Hatten Sie sich gewundert, warum
-  SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper ``$ℚ$ adjungiert $\sqrt{5}$''
+SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „$ℚ$ adjungiert $\sqrt{5}$“ mit
-  mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet?  Der Grund ist, das runde Klammern in der
+\texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet?  Der Grund ist, das runde Klammern in der
 Programmiersprache Python schon eine andere Bedeutung haben.
-  Gleichung~\eqref{eq:xx} zeigt aber, dass eckige Klammer in dieser Situation
+Gleichung~\eqref{eq:xx} zeigt aber, dass eckige Klammer in dieser Situation ganz
-  ganz sinnvoll sind.} wird sehr hilfreich sein, denn wir kommen mit dem
+sinnvoll sind.} wird sehr hilfreich sein, denn wir kommen mit dem vertrauten
-vertrauten Polynomring $K[X]$ besser klar als mit dem etwas unheimlichen Körper
+Polynomring $K[X]$ besser klar als mit dem etwas unheimlichen Körper $K(α)$.  Um
-$K(α)$.  Um alles korrekt zu definieren, müssen wir uns aber erst noch einmal
+alles korrekt zu definieren, müssen wir uns aber erst noch einmal überlegen, was
-überlegen, was für eine Art von Objekt $\ker φ$ nun tatsächlich ist, und was
+für eine Art von Objekt $\ker φ$ nun tatsächlich ist, und was „Quotient“ genau
-``Quotient'' genau bedeuten soll.  Ich nehme die Antwort gleich vorweg: Die
+bedeuten soll.  Ich nehme die Antwort gleich vorweg: Die Menge $\ker φ$ ist das
-Menge $\ker φ$ ist das typische Beispiel eines ``Ideals im Ring $K[x]$''.
+typische Beispiel eines „Ideals im Ring $K[x]$“.
 
 
 \section{Elementare Definitionen}
@@ -75,23 +70,23 @@ Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende.
 \begin{bemerkung}
   Der Name \emph{Ideal} geht auf
   Kummer\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Eduard_Kummer}{Ernst
-      Eduard Kummer} (* 29.  Januar 1810 in Sorau, Niederlausitz; † 14.  Mai 1893
+  Eduard Kummer} (* 29.~Januar 1810 in Sorau, Niederlausitz; † 14.~Mai 1893 in
-    in Berlin) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer, der sich vor
+  Berlin) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer, der sich vor allem
-    allem mit Zahlentheorie, Analysis und Geometrie befasste.} und
+  mit Zahlentheorie, Analysis und Geometrie befasste.} und
   Dedekind\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind}{Julius
-      Wilhelm Richard Dedekind} (* 6.  Oktober 1831 in Braunschweig; †
+  Wilhelm Richard Dedekind} (* 6.~Oktober 1831 in Braunschweig; † 12.~Februar
-    12.  Februar 1916 ebenda) war ein deutscher Mathematiker.} zurück.  Kummer
+  1916 ebenda) war ein deutscher Mathematiker.} zurück.  Kummer hatte bei der
-  hatte bei der Untersuchung der Teilbarkeit in gewissen nicht-faktoriellen
+  Untersuchung der Teilbarkeit in gewissen nicht-faktoriellen Ringen wie
-  Ringen wie $ℤ[\sqrt{-5}]$ gewisse \emph{ideale Zahlen} eingeführt.  Dedekind
+  $ℤ[\sqrt{-5}]$ gewisse \emph{ideale Zahlen} eingeführt.  Dedekind hat dann den
-  hat dann den Idealbegriff geprägt.
+  Idealbegriff geprägt.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bsp}[Triviale Ideale]
   In jedem kommutativen Ring $R$ sind $I= \{0\}$ und $I=R$ trivialerweise
   Ideale.  Wenn $R$ ein Körper ist, dann sind das auch die einzigen Ideale.
   Grund: wenn $R$ ein Körper und $I ⊂ R$ ein Ideal ist und $a ∈ I∖ \{0\}$, dann
-  ist auch jedes andere Körperelement in $I$.  Sei nämlich irgendein Element
+  ist auch jedes andere Körperelement in $I$.  Sei nämlich irgendein Element $r
-  $r ∈ R$ gegeben.  Nach Definition~\ref{def:ideal} ist
+  ∈ R$ gegeben.  Nach Definition~\ref{def:ideal} ist
   \[
     r = (r·a^{-1})·a ∈ I.
   \]
@@ -153,10 +148,10 @@ Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende.
     V= \{ \vec{x} ∈ K^n \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x})=0 \}
   \]
   wobei $f_i ∈ K[x_1, …, x_n]$ irgendwelche Polynome sind.  Man nennt ein
-  solches $V$ manchmal \emph{algebraische Varietät}\index{algebraische Varietät}.
+  solches $V$ manchmal \emph{algebraische Varietät}\index{algebraische
-  Abbildung~\ref{fig:node} zeigt ein Beispiel.  Im Internet finden Sie
+  Varietät}. Abbildung~\ref{fig:node} zeigt ein Beispiel.  Im Internet finden
-  \href{https://imaginary.org/gallery/surfer-gallery-by-bianca-violet}{hier} und
+  Sie \href{https://imaginary.org/gallery/surfer-gallery-by-bianca-violet}{hier}
-  \href{https://imaginary.org/gallery/oliver-labs}{hier} noch weitere schöne
+  und \href{https://imaginary.org/gallery/oliver-labs}{hier} noch weitere schöne
   Beispiele.
 
   Definiere dann das Ideal
@@ -170,7 +165,7 @@ Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende.
 In der \emph{Algebraischen Geometrie}, dem Gebiet auf dem ich und meine
 Mitarbeiter arbeiten, geht es darum, geometrische Räume mithilfe von
 algebraischen Objekten wie etwa Idealen zu beschreiben.  Tatsächlich lässt sich
-ein fast vollständiges Wörterbuch ``Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie''
+ein fast vollständiges Wörterbuch „Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie“
 aufstellen.
 
 
@@ -179,8 +174,8 @@ aufstellen.
 \sideremark{Vorlesung 10}Es gibt noch eine andere, ganz wichtige Klasse von
 Beispielen, die wir in ähnlicher Form schon aus der linearen Algebra kennen.
 Gegeben einen $K$-Vektorraum $V$ und eine beliebige Teilmenge $M ⊂ V$, so
-betrachteten wir in der linearen Algebra den ``von $M$ erzeugten
+betrachteten wir in der linearen Algebra den „von $M$ erzeugten Untervektorraum“
-Untervektorraum'' und bezeichneten diesen Raum mit $\langle M \rangle_K$ oder
+und bezeichneten diesen Raum mit $\langle M \rangle_K$ oder
 $\operatorname{Span}(M)$.  Per Definition gilt: Ein Vektor $\vec{v} ∈ V$ liegt
 genau dann in $\langle M \rangle_K$, wenn $\vec{v}$ sich als Linearkombination
 der Elemente von $M$ schreiben lässt.  Wenn die Menge $M$ unendlich ist, was
@@ -226,22 +221,22 @@ Ideale sind die, die mithilfe eines einzigen Erzeugers definiert werden können.
   Dann gilt offensichtlich
   \begin{align*}
     (a_1) ⊂ (a_2) & ⇔ a_2| a_1 \\
-    (a_1) = (a_2)& ⇔ a_1 \sim a_2
+    (a_1) = (a_2)& ⇔ a_1 \sim a_2.
   \end{align*}
   Die Hauptideale in $R$ entsprechen also eindeutig Klassen von zueinander
   assoziierten Elementen.
 \end{beobachtung}
 
 \begin{warnung}
-  Im Gegensatz zu Vektorräumen gibt es für Ideale keinen ``Basisaustauschsatz'',
+  Im Gegensatz zu Vektorräumen gibt es für Ideale keinen „Basisaustauschsatz“,
   denn zum Beweis des Basisaustauschsatzes ist es absolut notwendig zu
   dividieren!  Es ist nicht immer richtig, dass zwei minimale Erzeugendensysteme
   eines Ideals,
   \[
     I = (a_1, …, a_n) = (b_1, …, b_m),
   \]
-  immer gleiche Mächtigkeit haben.  Falls sie vorhatten, die ``Dimension'' eines
+  immer gleiche Mächtigkeit haben.  Falls sie vorhatten, die „Dimension“ eines
-  Ideals zu definieren -- nice try!
+  Ideals zu definieren -- \foreignlanguage{english}{Nice try}!
 \end{warnung}
 
 Ein Ideal ist in der Praxis nur dann handhabbar, wenn ich eine möglichst
@@ -345,34 +340,32 @@ Satz sollte ihnen bekannt vorkommen.
     Angenommen, es gäbe eine nicht-leere Menge $M$ von Idealen aus $R$ ohne
     maximales Element.  Dann gibt es zu jedem $I_0∈ M$ ein $I_1∈ M$ mit
     $I_0\subsetneqq I_1$, genau so mit $I_2,I_3,\dots$.  Wir erhalten einen
-    Widerspruch zur Annahme, dass der ``Teilerkettensatz für Ideale'' gilt.
+    Widerspruch zur Annahme, dass der „Teilerkettensatz für Ideale“ gilt.
 
-  \item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_3}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_1}] Sei
+  \item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_3}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_1}] Sei $I⊂ R$ ein
-    $I⊂ R$ ein Ideal und $M$ die Menge aller Ideale $J⊂ R$, die endlich erzeugt
+    Ideal und $M$ die Menge aller Ideale $J⊂ R$, die endlich erzeugt und in $I$
-    und in $I$ enthalten sind.  Dann ist $M$ nicht leer, denn $(0) ∈ M$.  Also
+    enthalten sind.  Dann ist $M$ nicht leer, denn $(0) ∈ M$.  Also gibt es per
-    gibt es per Annahme ein maximales Element $J∈ M$.  Nach Annahme ist $J$
+    Annahme ein maximales Element $J∈ M$.  Nach Annahme ist $J$ endlich erzeugt,
-    endlich erzeugt, also $J = (a_1, …, a_n)$ und wir müssen zeigen, dass
+    also $J = (a_1, …, a_n)$ und wir müssen zeigen, dass $J = I$ ist.  Wenn es
-    $J = I$ ist.  Wenn es aber ein $b ∈ I∖J$ gäbe, dann wäre
+    aber ein $b ∈ I∖J$ gäbe, dann wäre $(a_1, …, a_n,b) ∈ M$ ein Ideal, das $J$
-    $(a_1, …, a_n,b) ∈ M$ ein Ideal, das $J$ enthält.  Ein Widerspruch zur
+    enthält.  Ein Widerspruch zur Annahme.  \qedhere
-    Annahme.  \qedhere
   \end{description}
 \end{proof}
 
 Der folgende Satz von David
 Hilbert\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David
-    Hilbert} (* 23.  Januar 1862 in Königsberg; † 14.  Februar 1943 in
+Hilbert} (* 23.~Januar 1862 in Königsberg; † 14.~Februar 1943 in Göttingen) war
-  Göttingen) war ein deutscher Mathematiker.  Er gilt als einer der
+ein deutscher Mathematiker.  Er gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker
-  bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit.  Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet
+der Neuzeit.  Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet der Mathematik und
-  der Mathematik und mathematischen Physik begründeten eigenständige
+mathematischen Physik begründeten eigenständige Forschungsgebiete.  Mit seinen
-  Forschungsgebiete.  Mit seinen Vorschlägen begründete er die bis heute
+Vorschlägen begründete er die bis heute bedeutsame formalistische Auffassung von
-  bedeutsame formalistische Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und
+den Grundlagen der Mathematik und veranlasste eine kritische Analyse der
-  veranlasste eine kritische Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik und
+Begriffsdefinitionen der Mathematik und des mathematischen Beweises.  Diese
-  des mathematischen Beweises.  Diese Analysen führten zum Gödelschen
+Analysen führten zum Gödelschen Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt,
-  Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm, die
+dass das Hilbertprogramm, die von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung
-  von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht
+der Mathematik, nicht gänzlich erfüllt werden kann.  Hilberts programmatische
-  gänzlich erfüllt werden kann.  Hilberts programmatische Rede auf dem
+Rede auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der
-  internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine
+er eine Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die
-  Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die
 mathematische Forschung des 20.  Jahrhunderts nachhaltig.} ähnelt formell dem
 Satz~\ref{Satz_Satz_von_Gauss} von Gauß und ist mindestens genauso wichtig.
 Historisch war der Satz ein Meilenstein.  Hilbert's Beweis erregte auch deshalb

10.tex

@@ -11,17 +11,17 @@ Ich hatte am Anfang von Kapitel~\ref{chapt:09} schon gesagt, warum wir uns für
 Ideale interessieren: Wir wollen --ähnlich wie bei der Konstruktion des
 Quotientenvektoraumes in der Linearen Algebra-- einen Quotienten von Ringen
 konstruieren.  Ich weiß aus Erfahrung, dass viele Studierende ihre Probleme mit
-``Quotientenvektorräumen'' haben und nutze an dieser Stelle normalerweise die
+„Quotientenvektorräumen“ haben und nutze an dieser Stelle normalerweise die
 Gelegenheit, um mit der Konstruktion des Restklassenringes die Begriffe und
 Beweistechniken noch einmal zu wiederholen.  In diesem Semester geht das nicht,
 denn das Semester ist deutlich kürzer als in normalen Jahren.  Ich verzichte
-deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass ``alles genau so
+deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass „alles genau so
-geht, wie in der Linearen Algebra''.
+geht, wie in der Linearen Algebra“.
 
 \begin{warnung}
-  Stellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die VL ``Lineare
+  Stellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die Vorlesung
-  Algebra'' erinnern.  Beweisen Sie zur Probe einige Aussagen selbst -- solche
+  „Lineare Algebra“ erinnern.  Beweisen Sie zur Probe einige Aussagen selbst --
-  Sachen werden gern in Klausuren und mündlichen Prüfungen gefragt.
+  solche Sachen werden gern in Klausuren und mündlichen Prüfungen gefragt.
 \end{warnung}
 
 
@@ -48,8 +48,8 @@ durch folgende universelle Eigenschaft definiert.
 
 Wie üblich folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Restklassenringen (wenn
 Sie denn existieren) eindeutig sind bis auf eine eindeutige Isomorphie.  Man
-spricht deswegen oft nicht ganz richtig von ``dem'' Restklassenring und
+spricht deswegen oft nicht ganz richtig von „dem“ Restklassenring und bezeichnet
-bezeichnet ``den'' Restklassenring mit $R/I$.
+„den“ Restklassenring mit $R/I$.
 
 
 \section{Konstruktion von Restklassenringen}
@@ -60,17 +60,17 @@ universellen Eigenschaft -- mit einer Ausnahme: Existenz.  Wir beweisen die
 Existenz wie immer nicht abstrakt, sondern indem wir eine konkrete Konstruktion
 eines Restklassenringes angeben.
 
-\begin{defn}[Kongruenz modulo Ideal]\label{def:kmi}
+\begin{defn}[Kongruenz modulo Ideal]\label{def:kmi}%
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I ⊂ R$ ein Ideal.  Zwei
   Elemente $a,b∈ R$ heißen \emph{kongruent modulo $I$}\index{Kongruenz modulo
-    Ideal}, wenn $a-b ∈ I$ ist.  In diesem Fall ist die Schreibweise
+  Ideal}, wenn $a-b ∈ I$ ist.  In diesem Fall ist die Schreibweise $a \equiv b
-  $a \equiv b \:\:(\operatorname{mod} I)$ üblich.
+  \:\:(\operatorname{mod} I)$ üblich.
 \end{defn}
 
-\begin{lem}\label{lem:10-1-2}
+\begin{lem}\label{lem:10-1-2}%
   In der Situation von Definition~\ref{def:kmi} gilt: Kongruenz modulo $I$ ist
   eine Äquivalenzrelation auf $R$.  Für ein gegebenes Element $a ∈ R$ ist die
-  die Äquivalenzklasse eines gegebenen Elementes $a ∈ R$ ist
+  Äquivalenzklasse eines gegebenen Elementes $a ∈ R$ ist
   \begin{equation*}
     a+I = \{ a+b \::\: b∈ I \} \eqno\qed
   \end{equation*}
@@ -82,19 +82,18 @@ eines Restklassenringes angeben.
 \end{notation}
 
 \begin{bsp}
-  Der Name ``Restklasse'' kommt von folgendem Beispiel.  Sei $R = ℤ$, sei
+  Der Name „Restklasse“ kommt von folgendem Beispiel.  Sei $R = ℤ$, sei $m ∈ ℕ$
-  $m ∈ ℕ$ eine Zahl, und sei $I = (m)$.  Dann ist
+  eine Zahl, und sei $I = (m)$.  Dann ist $a \equiv b \:\:(\operatorname{mod}
-  $a \equiv b \:\:(\operatorname{mod} I)$ genau dann, wenn $a$ und $b$ bei der
+  I)$ genau dann, wenn $a$ und $b$ bei der Division durch $m$ denselben Rest
-  Division durch $m$ denselben Rest haben.  Die Kongruenz modulo $(m)$ zerlegt
+  haben.  Die Kongruenz modulo $(m)$ zerlegt $ℤ$ also genau in die Restklassen
-  $ℤ$ also genau in die Restklassen
   \begin{equation*}
     0 + (m), 1+(m), 2+(m), …, m-1+(m).
   \end{equation*}
 \end{bsp}
 
-\begin{satz}[Existenz von Restklassenringen]\label{satz:exvrklr}
+\begin{satz}[Existenz von Restklassenringen]\label{satz:exvrklr}%
   Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I⊂ R$ ein Ideal.  Die
-  Äquivalenzrelation ``Kongruenz modulo $I$'' werde mit $\sim$ bezeichnet.  Dann
+  Äquivalenzrelation „Kongruenz modulo $I$“ werde mit $\sim$ bezeichnet.  Dann
   sind die folgenden Verknüpfungen es auf dem Quotienten\footnote{Erinnerung an
   die Lineare Algebra: Quotient nach Äquivalenzrelation = $R/\sim$ = Menge der
   Äquivalenzklassen} $S := R/\sim$ wohldefiniert:
@@ -129,8 +128,8 @@ diese Art und Weise direkt beschreiben.
   \begin{equation*}
     \bigl(g_1+(f)\bigr)· \bigl(g_2+(f)\bigr) = h + (f)
   \end{equation*}
-  wobei $h$ der Rest von $g_1· g_2$ bei der Division durch $f$ ist.  Ist
+  wobei $h$ der Rest von $g_1· g_2$ bei der Division durch $f$ ist.  Ist $\deg f
-  $\deg f ≥ 1$, dann ist die Abbildung
+  ≥ 1$, dann ist die Abbildung
   \begin{equation*}
     K → \factor{K[x]}{(f)}, \quad λ ↦ λ+(f)
   \end{equation*}
@@ -144,7 +143,7 @@ diese Art und Weise direkt beschreiben.
 Der folgende Satz folgt wie in der Linearen Algebra aus der universellen
 Eigenschaft.
 
-\begin{prop}[Homomorphiesatz für Ringe]\label{Korollar_Homomorphiesatz}
+\begin{prop}[Homomorphiesatz für Ringe]\label{Korollar_Homomorphiesatz}%
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei $ψ : R → S$ ein
   surjektiver Ringmorphismus.  Dann ist die induzierte Abbildung
   \begin{equation*}
@@ -181,18 +180,18 @@ zum Restklassenring $K[x]/(f)$ ist.
 \section{Ideale oben und unten}
 
 Neben dem Homomorphiesatz für Ringe gelten noch einige andere Sätze, die wir aus
-der linearen Algebra kennen (``Kürzen'' von Untervektorräumen).  Um diese Sätze
+der linearen Algebra kennen („Kürzen“ von Untervektorräumen).  Um diese Sätze
-korrekt zu formulieren, müssen wir erst verstehen, wie ``Ideale in $R$'' und
+korrekt zu formulieren, müssen wir erst verstehen, wie „Ideale in $R$“ und
-``Ideale in $R/I$'' zusammenhängen.  Der folgende Satz formuliert den
+„Ideale in $R/I$“ zusammenhängen.  Der folgende Satz formuliert den Zusammenhang
-Zusammenhang nicht nur für die Quotientenabbildung $φ : R → R/I$, sondern für
+nicht nur für die Quotientenabbildung $φ : R → R/I$, sondern für beliebige
-beliebige Ringmorphismen.  Kurz gesagt gilt: Urbilder von Idealen sind immer
+Ringmorphismen.  Kurz gesagt gilt: Urbilder von Idealen sind immer Ideale.
-Ideale.  Bilder von Idealen sind zumindest dann Ideale, wenn der Morphismus
+Bilder von Idealen sind zumindest dann Ideale, wenn der Morphismus surjektiv ist
-surjektiv ist --- dies ist zum Beispiel bei der Quotientenabbildung der Fall.
+--- dies ist zum Beispiel bei der Quotientenabbildung der Fall.
 
 \begin{satz}[Urbilder von Idealen]
-  Es sei $\varphi : R → S$ ein Morphismus von kommutativen Ringen mit Eins.
+  Es sei $\varphi : R → S$ ein Morphismus von kommutativen Ringen mit Eins. Wenn
-  Wenn $I⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist die Urbildmenge $\varphi^{-1}(I)$ ein
+  $I⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist die Urbildmenge $\varphi^{-1}(I)$ ein Ideal in
-  Ideal in $R$.  Ist $\varphi$ zusätzlich surjektiv, dann ist die Zuordnung
+  $R$.  Ist $\varphi$ zusätzlich surjektiv, dann ist die Zuordnung
   \begin{equation*}
     \begin{matrix}
       \{\text{Ideale in }S \} & → & \{ \text{Ideale $J$ in $R$ mit $\ker ψ ⊆ J$}\} \\
@@ -260,10 +259,10 @@ Formulierung verwendet Notation~\ref{not:xx}.
 Die Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:10-3} wirft die Frage auf, wann ein
 Restklassenring der Form $K[x]/(f)$ eigentlich ein Körper ist.  Etwas
 bescheidener: Wann ist ein Restklassenring $R/I$ nullteilerfrei?  Für den Ring
-$ℤ$ haben wir die Antwort in der Vorlesung ``Lineare Algebra'' kennengelernt.
+$ℤ$ haben wir die Antwort in der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennengelernt. Der
-Der Ring $ℤ/(m)$ ist genau dann nullteilerfrei, wenn er ein Körper ist, und dies
+Ring $ℤ/(m)$ ist genau dann nullteilerfrei, wenn er ein Körper ist, und dies ist
-ist genau dann der Fall, wenn $m$ eine Primzahl ist.  Also müssen wir statt
+genau dann der Fall, wenn $m$ eine Primzahl ist.  Also müssen wir statt
-``Primzahl'' jetzt den Begriff des ``Primideals'' einführen.
+„Primzahl“ jetzt den Begriff des „Primideals“ einführen.
 
 \begin{defn}[Primideal]
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt
@@ -355,7 +354,7 @@ lösbar ist.
 \end{definition}
 
 \begin{bemerkung}
-  Was hat diese Definition mit ``Teilerfremdheit'' zu tun?  Schauen Sie sich den
+  Was hat diese Definition mit „Teilerfremdheit“ zu tun?  Schauen Sie sich den
   Euklidischen Algorithmus aus Beispiel~\vref{bsp:5-6-7} noch einmal an.  In der
   Situation des Beispiels~\ref{bsp:5-6-7} sind zwei Elemente $f$ und $g$
   gegeben.  Wenn $f$ und $g$ teilerfremd sind, ist $\ggT(f,g)=1$.  Der
@@ -364,12 +363,12 @@ lösbar ist.
   dass $(f) + (g)$ der gesamte Ring ist.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{satz}[Chinesischer Restsatz]\label{Satz_Chinesischer_Restsatz}
+\begin{satz}[Chinesischer Restsatz]\label{Satz_Chinesischer_Restsatz}%
   \index{Chinesischer Restsatz}Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es
   seien $I_1, …, I_n ⊂ R$ paarweise teilerfremde Ideale.  Dann ist der
   kanonische Ringhomomorphismus
   \begin{equation*}
-    α : R → \underbrace{\factor{R}{I_1}⨯⋯⨯\factor{R}{I_n}}_{\genfrac{}{}{0pt}{1}{\text{Add.  und Mult.}}{\text{komponentenweise}}}, \quad a ↦ \Bigl( a+I_1, …, a+ I_n \Bigr)
+    α : R → \underbrace{\factor{R}{I_1}⨯⋯⨯\factor{R}{I_n}}_{\genfrac{}{}{0pt}{1}{\text{Add.~und Mult.}}{\text{komponentenweise}}}, \quad a ↦ \Bigl( a+I_1, …, a+ I_n \Bigr)
   \end{equation*}
   surjektiv und es ist $\ker α = I_1 ∩ ⋯ ∩ I_n$.
 \end{satz}

12.tex

@@ -5,10 +5,10 @@
 
 \section{Worum geht es in diesem Teil der Vorlesung?}
 
-Wir sind immer noch an ``Symmetrien vor Körpererweiterungen'' interessiert, aber
+Wir sind immer noch an „Symmetrien vor Körpererweiterungen“ interessiert, aber
 ich habe ihnen bislang nicht erklärt, was ich damit meine.  Das einfachste
 Beispiel ist vielleicht die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$.  In diesem Fall ist die
-relevante ``Symmetrie'' die komplexe Konjugation, also die Spiegelung der
+relevante „Symmetrie“ die komplexe Konjugation, also die Spiegelung der
 komplexen Ebene an der reellen Gerade.  Die komplexe Konjugation ist ein
 Körpermorphismus $ℂ → ℂ$ (sogar ein Isomorphismus) mit der interessanten
 Eigenschaft, dass die reellen Zahlen genau diejenigen Punkte der komplexen Ebene
@@ -18,12 +18,12 @@ und $ℝ$ vom höheren Standpunkt aus verstehen.  Warum ist die Erweiterung $ℂ
 so wichtig?  Wenn ich statt $ℝ$ einen anderen Körper betrachte (zum Beispiel
 $𝔽_p(X)$), welcher Körper würde dann die Rolle von $ℂ$ spielen?
 
-Die Antwort kommt aus der Vorlesung ``Analysis'' oder ``Funktionentheorie''.
+Die Antwort kommt aus der Vorlesung „Analysis“ oder „Funktionentheorie“. Dort
-Dort beweist man mit analytischen Methoden, dass jedes Polynom $f ∈ ℝ[x]$ eine
+beweist man mit analytischen Methoden, dass jedes Polynom $f ∈ ℝ[x]$ eine
 komplexe Nullstelle besitzt -- und auch jedes komplexe Polynom $f ∈ ℝ[x]$
 besitzt eine komplexe Nullstelle.  Das führt dazu, dass jedes Polynom in $ℂ[x]$
-als Produkt von linearen Polynome geschrieben werden kann.  Man sagt: ``die
+als Produkt von linearen Polynome geschrieben werden kann.  Man sagt: „Die
-komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen''.  Wir werden später sehen, was
+komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen.“.  Wir werden später sehen, was
 diese Eigenschaft mit Symmetrie zu tun hat.
 
 \begin{frage}
@@ -45,10 +45,7 @@ Oberkörper hat.
 
 Der Beweis von Satz~\ref{satz:12-1-2} ist eine große Tautologie, verwirrt
 Studentinnen und Studenten oft.  Ich diskutiere vor dem Beweis deshalb erst noch
-ein kleines Beispiel.  Auf unserem
+ein kleines Beispiel.
-\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} habe ich
-Ihnen ein weiteres, ganz konkretes Beispiel bereitgestellt.
-
 \begin{erkl}
   Das Polynom $x²+1 ∈ ℝ[x]$ hat keine Nullstelle in $ℝ$, aber es hat eine
   Nullstelle in $ℂ$, nämlich die Zahl $i$; wir wissen natürlich auch noch, dass
@@ -122,7 +119,7 @@ wirklich sein soll.
   $f ∈ \overline{K}[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.  Weil $L$ algebraisch
   abgeschlossen ist, hat $f$ eine Nullstelle in $a∈ L$.  Das Element $a$ ist
   logischerweise algebraisch über $\overline{K}$ und deshalb wegen
-  Korollar~\vref{kor:TdA} (``Transitivität der Algebraizität'') auch algebraisch
+  Korollar~\vref{kor:TdA} („Transitivität der Algebraizität“) auch algebraisch
   über $K$.  Also ist $a∈\overline{K}$.
 \end{bsp}
 
@@ -160,8 +157,8 @@ müssen.  In einem normalen Jahr würde mithilfe von Zorn's Lemma\footnote{Zorn'
 tatsächlich trägt.  Weil das Semester in diesem Jahr deutlich kürzer ist, muss
 an dieser Stelle auf einen Beweis verzichten.  Der folgende Satz ist als Satz
 von Steinitz\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Steinitz}{Ernst
-    Steinitz} (* 13.  Juni 1871 in Laurahütte, Oberschlesien; † 29.  September
+Steinitz} (* 13.~Juni 1871 in Laurahütte, Oberschlesien; † 29.~September 1928 in
-  1928 in Kiel) war ein deutscher Mathematiker.} bekannt.
+Kiel) war ein deutscher Mathematiker.} bekannt.
 
 \begin{satz}[Existenz des Algebraischen Abschluss]\label{Satz_von_Steinitz}
   Jeder Körper besitzt einen algebraischen Abschluss.  \qed
@@ -173,7 +170,7 @@ von Steinitz\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Steinitz}{Ernst
 Als Nächstes müssen wir diskutieren, inwieweit ein algebraischer Abschluss
 eindeutig ist.  Wie immer folgt die Eindeutigkeit aus einer universellen
 Eigenschaft.  Den folgenden Begriff hatten wir oben schon informell unter dem
-Schlagwort ``Symmetrien einer Körpererweiterung'' diskutiert.
+Schlagwort „Symmetrien einer Körpererweiterung“ diskutiert.
 
 \begin{definition}[$K$-Morphismus]
   Es seien $R$ und $S$ Oberringe desselben Unterringes $K$.  Ein Ringmorphismus
@@ -215,7 +212,7 @@ werde ich den Satz aus Zeitgründen nicht beweisen.
 Als Konsequenz der universellen Eigenschaft erhalten wir die Eindeutigkeit des
 algebraischen Abschlusses bis auf nicht-kanonische Isomorphie.  Obwohl die
 Isomorphie nicht kanonisch ist, spricht man in der Literatur häufig nicht ganz
-korrekt von ``dem'' Quotientenkörper.
+korrekt von „dem“ algebraischen Abschluss.
 
 \begin{kor}[Eindeutigkeit des alg.~Abschluss bis auf nicht-kanonische Isomorphie]\label{cor:edaa}
   Es sei $K$ ein Körper und es seien $\overline{K}_1$ und $\overline{K}_2$ zwei
@@ -234,7 +231,7 @@ korrekt von ``dem'' Quotientenkörper.
 Ich wiederhole noch einmal: Die nicht-Eindeutigkeit der Abbildung $\varphi$ aus
 Satz~\ref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} und nicht-Kanonizität der Abbildung aus
 Korollar~\ref{cor:edaa} sind der Grund dafür, warum die Diskussion von
-``Symmetrie'' überhaupt sinnvoll ist.  Das ist ganz anders als bei dem
+„Symmetrie“ überhaupt sinnvoll ist.  Das ist ganz anders als bei dem
 Quotientenkörper!
 
 

13.tex

@@ -3,13 +3,13 @@
 
 \chapter{Zerfällungskörper}
 
-Ich habe im vorhergehenden Kapitel immer wieder von ``Symmetrie'' gesprochen und
+Ich habe im vorhergehenden Kapitel immer wieder von „Symmetrie“ gesprochen und
 dabei als Beispiel immer nur die Konjugationsabbildung der komplexen Zahlen
 diskutiert.  Das ist ein bisschen dünn.  Wir brauchen mehr Beispiele!
 Tatsächlich liefert fast jedes Polynom ein interessantes Beispiel, den
 Zerfällungskörper.  Was das ist, erkläre ich jetzt.
 
-\begin{defn}[Zerfällungskörper]\label{def:zerf}
+\begin{defn}[Zerfällungskörper]\label{def:zerf}%
   Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.  Ein
   Oberkörper $L/K$ heißt \emph{Zerfällungskörper von
   $f$}\index{Zerfällungskörper}, falls Folgendes gilt.
@@ -24,7 +24,7 @@ Zerfällungskörper.  Was das ist, erkläre ich jetzt.
 
 \begin{bemerkung}
   Die Elemente $a_1, …, a_n$ aus Definition~\ref{def:zerf} sind genau die
-  Nullstellen des Polynomes $f ∈ L[x]$.  Insbesondere sind die Elemente
+  Nullstellen des Polynoms $f ∈ L[x]$.  Insbesondere sind die Elemente
   $a_1, …, a_n$ eindeutig bis auf Vertauschung.
 \end{bemerkung}
 
@@ -53,16 +53,16 @@ schon beim algebraischen Abschluss wird deshalb häufig von ``dem''
 Zerfällungskörper gesprochen.
 
 \begin{bemerkung}[Kochrezept: Zerfällungskörper]
-  Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.
+  Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Wenn
-  Wenn ein algebraischer abgeschlossener Oberkörper $L/K$ gegeben ist, dann
+  ein algebraischer abgeschlossener Oberkörper $L/K$ gegeben ist, dann zeigt der
-  zeigt der Beweis von Satz~\ref{satz:13-0-3} wie man an einen Zerfällungskörper
+  Beweis von Satz~\ref{satz:13-0-3} wie man an einen Zerfällungskörper kommt.
-  kommt.  Man muss für das Polynom $f ∈ L[x]$ ``lediglich'' die Nullstellen
+  Man muss für das Polynom $f ∈ L[x]$ „lediglich“ die Nullstellen $a_1, …, a_n$
-  $a_1, …, a_n$ bestimmen und kann dann den Körper $K(a_1, …, a_n)$ nehmen.
+  bestimmen und kann dann den Körper $K(a_1, …, a_n)$ nehmen.
 \end{bemerkung}
 
 Ein wichtiges Problem der Algebra(klausur/prüfung) ist es, zu einem gegebenen
 Körper $K$ und zu einem gegebenen Polynom $f ∈ K[x]$ den Zerfällungskörper zu
-bestimmen.  Dabei ist mit ``bestimmen'' meistens gemeint, dass man den
+bestimmen.  Dabei ist mit „bestimmen“ meistens gemeint, dass man den
 Erweiterungsgrad des Zerfällungskörpers bestimmen und ein möglichst kleinen Satz
 von möglichst einfachen Erzeugern angeben soll.  Meistens ist in diesen
 Beispielen $K = ℚ$, sodass man einen Zerfällungskörper als Teilmenge der
@@ -87,11 +87,10 @@ komplexen Zahlen konstruieren wird.
   \[
     [L : ℚ] ≤ 3!  = 6,
   \]
-  ist, aber wie groß ist der Grad wirklich?  Wir überlegen, dass
+  ist, aber wie groß ist der Grad wirklich?  Wir überlegen, dass $[ℚ
-  $[ℚ \bigl(\sqrt[3]{2} \bigr) : ℚ ] = 3$.  Also gilt $3| [L:Q]$ und man
+  \bigl(\sqrt[3]{2} \bigr) : ℚ ] = 3$.  Also gilt $3| [L:Q]$ und man muss
-  muss lediglich prüfen, ob $L = ℚ(\sqrt[3]{2})$ ist.  Das ist aber nicht der
+  lediglich prüfen, ob $L = ℚ(\sqrt[3]{2})$ ist.  Das ist aber nicht der Fall,
-  Fall, denn $ℚ(\sqrt[3]{2}) ⊂ ℝ$ aber $ξ \not∈ ℝ$.  Also ist
+  denn $ℚ(\sqrt[3]{2}) ⊂ ℝ$ aber $ξ \not∈ ℝ$.  Also ist $[L:ℚ] =6$.
-  $[L:ℚ] =6$.
 \end{bsp}
 
 
@@ -99,7 +98,7 @@ komplexen Zahlen konstruieren wird.
 \label{sec:13-1}
 
 \sideremark{Vorlesung 14}Ich komme zu meinem Lieblingsthema zurück.  Jetzt kann
-ich endlich erklären, was es mit meinem ständigen Reden von ``Symmetrien'' auf
+ich endlich erklären, was es mit meinem ständigen Reden von „Symmetrien“ auf
 sich hat.
 
 \begin{situation}\label{sit:gal}
@@ -141,13 +140,13 @@ das wohl am besten in Termen endlicher Gruppen beantwortet werden sollte.
   Wenn ich jetzt einen $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ habe, dann ist
   \begin{align*}
     \varphi(ℓ) & = \sum \varphi(β_{i_1,…,i_n})·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n} \\
-               & = \sum β_{i_1,…,i_n}·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n}.  && \text{$\varphi$ ist $K$-Morphismus und $β_• ∈ K$}
+               & = \sum β_{i_1,…,i_n}·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n}.  && \text{$\varphi$ ist $K$-Morphismus und $β_• ∈ K$.}
   \end{align*}
   Wir erkennen: Der $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ ist eindeutig dadurch
-  festgelegt, wohin er die endlich vielen Elemente $a_1$, …, $a_n$ abbildet!
+  festgelegt, wohin er die endlich vielen Elemente $a_1$, …, $a_n$ abbildet! Die
-  Die Abbildung \eqref{eq:jtzrtt} ist also injektiv, und wir können die
+  Abbildung \eqref{eq:jtzrtt} ist also injektiv, und wir können die
-  ``Symmetriegruppe'' von $L/K$, also die Gruppe der $K$-Isomorphismen von $L$
+  „Symmetriegruppe“ von $L/K$, also die Gruppe der $K$-Isomorphismen von $L$ als
-  als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe auffassen.
+  Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe auffassen.
 \end{beobachtung}
 
 
@@ -163,7 +162,7 @@ ein wenig Sprache.
   vielen) Variablen $(x_λ)_{λ∈ Λ}$.
 \end{notation}
 
-Wenn alles 100\%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser könnte den
+Wenn alles 100\%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser Stelle den
 Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren.  Ich
 finde das aber arg formell und hoffe, Sie verzeihen mir, wenn ich das jetzt
 einfach mal nicht mache.  Der einzig wichtige Punkt ist, dass Polynome immer
@@ -197,7 +196,7 @@ immer nur endlich viele Variablen auf.
 \end{beobachtung}
 
 
-\subsection{Ringadjunktion vs Körperadjunktion}
+\subsection{Ringadjunktion vs.~Körperadjunktion}
 
 Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$ und eine Teilmenge $(a_λ)_{λ∈Λ}$ von $L$,
 dann kann ich den Unterring $K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ und den Unterkörper
@@ -207,9 +206,9 @@ $K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr)$ vergleichen.  Offenbar gilt immer
   ⊆ L.
 \]
 Die folgenden Sätze klären, wann Gleichheit herrscht.  Die Sätze klären auch
-noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper ``$ℚ$
+noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „$ℚ$ adjungiert
-adjungiert $\sqrt{5}$'' mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet.  Schauen Sie sich
+$\sqrt{5}$“ mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet.  Schauen Sie sich vielleicht
-vielleicht auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an.
+auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an.
 
 \begin{satz}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion]
   Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $(a_λ)_{λ∈Λ}$ eine Teilmenge

14.tex

@@ -132,23 +132,23 @@ bestimmen.  Was war noch einmal die Ordnung?
 \end{beobachtung}
 
 
-\section{Der Frobenius Morphismus}
+\section{Der Frobenius-Morphismus}
 
 Über Körpern und Ringen der Charakteristik $p > 0$ gibt es einen ganz
 unglaublichen Körpermorphismus, den wir noch nicht kennen: den
 Frobenius-Morphismus\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_Georg_Frobenius}{Ferdinand
-    Georg Frobenius}, genannt Georg, (* 26.  Oktober 1849 in Berlin; † 3.
+Georg Frobenius}, genannt Georg, (* 26.~Oktober 1849 in Berlin; † 3.~August 1917
-  August 1917 in Charlottenburg, heute ein Ortsteil von Berlin) war ein
+in Charlottenburg, heute ein Ortsteil von Berlin) war ein deutscher
-  deutscher Mathematiker.  Er war seit 1892 Professor an der Universität Berlin
+Mathematiker.  Er war seit 1892 Professor an der Universität Berlin und setzte
-  und setzte dort hohe Maßstäbe für Prüfungen durch.}.  Der Morphismus ist
+dort hohe Maßstäbe für Prüfungen durch.}.  Der Morphismus ist eigentlich ganz
-eigentlich ganz einfach, es handelt sich um die Abbildung $r ↦ r^p$.  Das
+einfach, es handelt sich um die Abbildung $r ↦ r^p$.  Das unglaubliche ist, dass
-unglaubliche ist, dass diese Abbildung \textbf{linear} ist!!
+diese Abbildung \textbf{linear} ist!
 
 \begin{defn}[Charakeristik eines Ringes]
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Die
   \emph{Charakteristik}\index{Charakteristik!eines Ringes} von $R$ ist die
   kleinste natürliche Zahl $n ∈ ℕ^+$, sodass die $n$-fache Summe des
-  Einselementes gleich dem Nullelement wird, also
+  Einselements gleich dem Nullelement wird, also
   \[
     \underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{n ⨯} =0.
   \]
@@ -174,8 +174,8 @@ unglaubliche ist, dass diese Abbildung \textbf{linear} ist!!
 
 \begin{notation}
   In der Situation von Satz~\ref{DefSatz_Frobenius-Endomorphismus} ist die
-  Bildmenge $F(R) ⊂ R$ natürlich ein Unterring.  Dieser wird als ``Menge der
+  Bildmenge $F(R) ⊂ R$ natürlich ein Unterring.  Dieser wird als „Menge der
-  $p$-Potenzen'' bezeichnet und oft mit dem Symbol $R^p ⊆ R$ notiert.
+  $p$-Potenzen“ bezeichnet und oft mit dem Symbol $R^p ⊆ R$ notiert.
 \end{notation}
 
 \begin{beobachtung}
@@ -190,7 +190,7 @@ unglaubliche ist, dass diese Abbildung \textbf{linear} ist!!
 \section{Separable und inseparable Polynome}
 
 Ich hatte oben gefragt, ob ein irreduzibles Polynom mehrfache Nullstellen haben
-kann.  Die ehrliche Antwort lautet: ``vielleicht'' und begründet die folgende
+kann.  Die ehrliche Antwort lautet: „vielleicht“ und begründet die folgende
 Definition.
 
 \begin{defn}[Separable und inseparable Polynome]
@@ -288,7 +288,7 @@ werden.
 
 \begin{bsp}
   Sei $K = 𝔽_p(t) = Q\bigl( 𝔽_p[t] \bigr)$.  Nach dem
-  Satz~\vref{Satz_Eisenstein_Kriterium} (``Eisenstein-Kriterium'') ist
+  Satz~\vref{Satz_Eisenstein_Kriterium} („Eisenstein-Kriterium“) ist
   \begin{equation*}
     f = x^p-t ∈ K[x]
   \end{equation*}
@@ -347,7 +347,7 @@ Erweiterungen kennen.  Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf.
   $σ : K(a) → L$.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
-  Ich erinnere an die Beobachtungen~\ref{beob:p1} und \vref{beob:p2}: jeder
+  Ich erinnere an die Beobachtungen~\ref{beob:p1} und \vref{beob:p2}: Jeder
   potenzielle $K$-Morphismus $σ$ bildet $a$ auf eine der $m$ Nullstellen von $f$
   an, und ist durch dieses Bild eindeutig festgelegt.  Jetzt müssen wir
   lediglich noch zeigen, dass jede dieser $m$ verschiedenen Möglichkeiten
@@ -370,8 +370,8 @@ Erweiterungen kennen.  Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf.
 
 Mit diesen Vorbereitungen können wir separable Abbildungen in präziser Art durch
 die Anzahl von $K$-Morphismen charakterisieren.  Als Konsequenz erhalten wir
-eine Reihe von Sätzen, die wir für den Begriff der ``algebraischen
+eine Reihe von Sätzen, die wir für den Begriff der „algebraischen
-Körpererweiterung'' in ganz ähnlicher Form schon kennen.
+Körpererweiterung“ in ganz ähnlicher Form schon kennen.
 
 \begin{satz}\label{Satz_11_10}
   Es sei $L/K$ eine endliche (also insbesondere: algebraische) Körpererweiterung
@@ -424,8 +424,8 @@ Körpererweiterung'' in ganz ähnlicher Form schon kennen.
 
 \subsection{Der separable Abschluss}
 
-Erinnern Sie sich an den ``algebraischen Abschluss einer Körpers in einem
+Erinnern Sie sich an den „algebraischen Abschluss eines Körpers in einem
-Oberkörper'', den wir in Satz~\vref{satzdef:aaieO} eingeführt haben?  Auch
+Oberkörper“, den wir in Satz~\vref{satzdef:aaieO} eingeführt haben?  Auch
 dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext
 übertragen.
 

AlgebraZahlentheorie.tex

@@ -183,5 +183,5 @@ Dieser Text ist unter der Lizenz
 
 \bibstyle{alpha}
 \bibliographystyle{alpha}
-\bibliography{bibliography/general}
+\bibliography{bibliography/math}
 \end{document}

bibliography

@@ -0,0 +1 @@
+Subproject commit a43a02648009f06cfce65ebcd47c4ca5fee1291c

tex

@@ -0,0 +1 @@
+Subproject commit 6b3482d50e8051a2ffdc32d3891b734f0ae1e3da