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\selectlanguage{german}
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\chapter{Teilbarkeit}
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\section{Wohin geht die Reise… ?}
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In den letzten Vorlesungen ist hoffentlich klar geworden, dass der Begriff
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„Minimalpolynom“ schrecklich wichtig ist. Wir haben aber noch nie darüber
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gesprochen, wie man ein Minimalpolynom überhaupt findet.
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\begin{problem}
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Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$, ein Element $a ∈ L$ und ein normiertes
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Polynom $f∈ K[x]$ mit $f(a)=0$. Wie kann ich entscheiden, ob $f$ das
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Minimalpolynom ist oder nicht?
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\end{problem}
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Um solche Probleme anzugehen, untersuchen wir Polynomdivision und
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Teilbarkeitsfragen in (Polynom-)Ringen. Hier kommt ein erster Hinweis, in
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welche Richtung die Argumentation geht.
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\begin{beobachtung}
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Sei $L/K$ eine Körpererweiterung, sei $a ∈ L$ ein Element, das algebraisch
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über $K$ ist und sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$. Wenn jetzt $g(x) ∈
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K[x]$ irgendein anderes Polynom ist, dann haben wir in der Schule gelernt,
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dass wir das Polynom $g$ mit Rest durch $f$ teilen können. Am Ende schreibt
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man
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\begin{equation*}
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g(x) = q(x)·f(x)+ r(x),
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\end{equation*}
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wobei $q, r ∈ K[x]$ sind und $\deg r < \deg f$ ist. Angenommen $g$ hat $a$
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als Nullstelle. Dann gilt:
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\begin{equation*}
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0 = \underbrace{g(a)}_{=0}=\underbrace{q(a)· f(a)}_{=0}-r(a).
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\end{equation*}
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Also hat $r$ auch $a$ als Nullstelle. Weil $f$ aber das Minimalpolynom ist,
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und $\deg r < \deg f$, ist muss wohl $r\equiv 0$ gelten. Als Konsequenz
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lernen wir: Jedes Polynom, das $a$ als Nullstelle hat, ist ein Vielfaches des
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Minimalpolynoms. Umgekehrt gilt auch: wenn ein Polynom $g$ gegeben ist, das
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$a$ als Nullstelle hat, dann finden wir das Minimalpolynom unter den Teilern
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von $g$.
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\end{beobachtung}
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\section{Polynome mit Koeffizienten in Ringen}
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Wieder müssen wir erst etwas Sprache einführen, bevor wir echte Mathematik
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machen können. Wir hatten in Definition~\vref{def:3-0-2} den „Ring $K[x]$ der
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Polynome mit Koeffizienten im Körper $K$“ eingeführt. Das geht auch mit Ringen
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statt Körpern.
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\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2r}%
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Dann bezeichne mit $R[x]$ den Ring der
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Polynome mit Variable $x$ und Koeffizienten aus $R$.\index{Polynomring!mit
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Koeffizienten aus Ring} Ebenso bezeichnen wir mit $R[x_1, …, x_n]$ den Ring
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der Polynome mit Variablen $x_1, …, x_n$ und Koeffizienten aus $R$.
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\end{definition}
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\begin{bsp}
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Betrachte den Ring $R = ℤ$. Dann ist $3·x²-5·x+17 ∈ ℤ[x]$ und $4x²+3xy+y⁷ ∈
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ℤ[x,y]$.
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\end{bsp}
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\begin{beobachtung}
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Es gelten einige offensichtliche Gleichheiten wie
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\begin{align*}
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R[x,y] &= R[y,x] \\
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R[x,y] &= \bigl(R[x] \bigr)[y],
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\end{align*}
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die wir nicht formal beweisen werden.
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\end{beobachtung}
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Der Grad von Polynomen ist definiert wie üblich: Das Polynom
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$3xy+y+4x ∈ ℤ[x,y] $ hat beispielsweise den Grad $2$. In Integritätsringen
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verhält sich der Grad gut.
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\begin{satz}\label{Satz_Polynom_Grad}%
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Sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Dann gilt für alle
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Polynome\footnote{Das Nullpolynom hat per Definition den Grad $-∞$. Wir
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verwenden die Konvention $- ∞ + (- ∞) = -∞$ und $-∞ + n = - ∞$ für alle $n ≥
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0$.} $p$ und $q ∈ R[x]$:
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\begin{equation*}
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\deg (p·q) = (\deg p)+(\deg q).
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\end{equation*}
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Insbesondere ist $R[x]$ wieder ein Integritätsring.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $p,q ≠ 0$. Sei
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$n := \deg p$ und $m := \deg q$. Dann finden wir Elemente $r_•$ und $s_•$ aus
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$R$ mit $r_n ≠ 0$ und $s_m≠ 0$, sodass wir schreiben können:
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\begin{align*}
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p(x) & = r_0 + r_1·x + \dots + r_n·x^n \\
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q(x) & = s_0+ s_1· x + \dots + s_m· x^m.
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\end{align*}
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Dann ist weiter
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\begin{equation*}
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p(x)·q(x) = r_0·s_0 + (r_1·s_0 + r_0·s_1)·x + \dots + r_ns_m·x^{n+m}.
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\end{equation*}
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Weil $R$ ein Integritätsring ist, ist $r_n·s_m ≠ 0$, und also ist
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$\deg (p·q) =n+m$.
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\end{proof}
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\begin{kor}
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Ist $R$ ein kommutativer Integritätsring und ist $n ∈ ℕ$, dann ist auch
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$R[x_1, …, x_n]$ ein kommutativer Integritätsring. Für die Gruppe der
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Einheiten gilt
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\begin{equation*}
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R[x_1, …, x_n]^* = R^*,
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\end{equation*}
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wobei wir die Ringelemente aus $R^* ⊆ R$ als konstante Polynome
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auffassen.
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\end{kor}
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\begin{proof}
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Die erste Aussage folgt mit Induktion aus Satz~\vref{Satz_Polynom_Grad}. Die
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zweite Aussage folgt ebenfalls mit Induktion, sobald wir zeigen, dass
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$R[x]^* = R^*$ ist. Sei also $p ∈ R[x]^*$. Das bedeutet per Definition: es
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existiert ein Polynom $q$ mit $p·q = 1$. Dann folgt aber
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\[
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\deg p ≤ \deg p + \deg q = \deg (p·q) = \deg 1 = 0.
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\]
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Also ist $\deg p = 0$ und somit ist $p$ konstant.
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\end{proof}
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\begin{bsp}
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Es ist $ℤ[x_1, x_2]^* = ± 1$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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Sei $K$ ein Körper. Dann ist $K[x_1, …, x_n]^* = K^* = K∖\{0\}$.
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\end{bsp}
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\section{Teilbarkeit in Ringen}
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In der (Grund-)Schule haben wir den Begriff „Teiler“ kennengelernt. In
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allgemeinen Ringen geht das nicht anders.
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\begin{defn}[Teiler]
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $r$, $s ∈ R$. Man nennt $r$ einen
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\emph{Teiler von $s$}\index{Teiler}, wenn es $q ∈ R$ gibt, sodass $r·q = s$
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ist. Wir schreiben dann $r|s$.
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\end{defn}
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\begin{bsp}
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Es gilt $2|16$ in $ℤ$. Es gilt $(x-1)|(x²-1)$ in $ℝ[x]$.
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\end{bsp}
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\begin{prop}[Offensichtliche Rechenregeln für Teiler]\label{Satz_Rechenregeln_Teiler}
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $r$, $s$, $t$, $s_1$, $s_2$, $u$ und $v$
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seien Elemente. Dann gilt Folgendes.
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\begin{itemize}
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\item Es gilt $r|r$.
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\item Aus $r|s$ und $s|t$ folgt $r|t$.
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\item Aus $r|s_1$ und $r|s_2$ folgt $r|(s_1+s_2)$.
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\item Aus $r|s_1$ und $r|(s_1+s_2)$ folgt $r|s_2$.
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\item Aus $r|s$ und $u|v$ folgt $(r·u)|(s·v)$.
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\end{itemize}
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\end{prop}
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\begin{proof}
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Keine Lust. Folgt alles direkt aus der Definition.
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\end{proof}
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Wenn wir in der Schule Teilbarkeitsüberlegungen in $ℤ$ angestellt hatten, war
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das Vorzeichnen meist nicht wichtig. Die folgende Definition formalisiert in
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bombastischer Sprache die Phrase „unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen“.
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\begin{satzdef}[Zueinander assoziierte Elemente]
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Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und es seien $r$, $s$ zwei
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Elemente von $R$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\item\label{Satz_assoziiert_1} Es gilt gleichzeitig $r|s$ und $s|r$.
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\item\label{Satz_assoziiert_2} Es existiert ein Element $ε ∈ R^*$, sodass
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$ε·r=s$ ist.
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\end{enumerate}
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Sind die Bedingungen erfüllt, nennt man $r$ und $s$ \emph{zueinander
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assoziiert}\index{assoziierte Ringelemente} und schreibt $r \sim s$.
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\end{satzdef}
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\begin{proof}
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Wir beweisen die Richtung \ref{Satz_assoziiert_2}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_1}.
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Wegen $ε· r = s$ gilt $r|s$. Multiplikation mit $ε^{-1}$ liefert $r =
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ε^{-1}·s$, also gilt $s|r$. Wir beweisen als Nächstes die Richtung
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\ref{Satz_assoziiert_1}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_2}. Nach Annahme existieren
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$u,v∈ R$ mit
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\begin{equation*}
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u· r=s \quad\text{und}\quad v· s=r.
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\end{equation*}
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Also ist
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\begin{equation*}
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v·(u· r) = v·s \:⇒\: v· u· r= r \:⇒\: (v· u-1)·r = 0,
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\end{equation*}
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und weil $R$ ein Integritätsring ist, folgt $v· u =1$, also sind $v$ und
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$u$ Einheiten in $R$.
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\end{proof}
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Wie in $ℤ$ gibt es in beliebigen Integritätsringen echte und nicht-echte
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Teiler.
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\begin{definition}[Echte Teiler, irreduzible Elemente]
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Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und $r$, $s ∈ R$ seien zwei
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Elemente. Dann ist $r$ ein \emph{echter Teiler von $s$}\index{echter
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Teiler}\index{Teiler!echter}, wenn alle der folgenden Bedingungen gelten.
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\begin{itemize}
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\item Es gilt $r|s$.
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\item Das Element $r$ ist keine Einheit im Ring $R$.
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\item Die Elemente $r$ und $s$ sind nicht zueinander assoziiert.
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\end{itemize}
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Ein Element $r$ aus einem Integritätsring heißt
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\emph{irreduzibel}\index{irreduzible Ringelemente}, wenn $r$ nicht Null ist,
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keine Einheit ist und keine echten Teiler hat.
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\end{definition}
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\begin{notation}
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Wenn $r$ ein echter Teiler von $s$ ist, schreibt man $r||s$.
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\end{notation}
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\begin{bsp}[Irreduzible Elemente von $ℤ$]\label{bsp:iZ}
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Die irreduziblen Elemente von $ℤ$ sind die Elemente der Form $± p$, wobei
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$p$ eine Primzahl ist.
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\end{bsp}
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\begin{warnung}
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Beispiel~\ref{bsp:iZ} ist ein bisschen gefährlich. Wir werden später für
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beliebige Ringe auch noch einen Begriff von „Primelement“ definieren.
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\end{warnung}
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\section{Zerlegbarkeit von Elementen}
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In der Schule wurde die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen hoffentlich
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ausführlich diskutiert: Jede ganze Zahl $m ∈ ℤ$ lässt sich als Produkt von
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irreduziblen Elementen (=sogenannte „Primzahlen“) schreiben,
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\begin{equation*}
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m= (± p_1)·(± p_2)⋯(± p_n),
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\end{equation*}
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wobei das Produkt bis auf die Reihenfolge der Faktoren und die Vorzeichen
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eindeutig festgelegt ist. So etwas hätten wir gern auch für beliebige Ringe!
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\begin{warning}\label{war:nufd}%
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Zu früh gefreut. Geht nicht. Ich behaupte, dass die folgende Menge von
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komplexen Zahlen,
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\[
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R := \{ a+b·\sqrt{5}i ∈ ℂ \:|\: a,b ∈ ℤ\},
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\]
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einen Unterring des Körpers $ℂ$ bildet; dieser wird in der Literatur oft mit
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$ℤ[\sqrt{-5}]$ bezeichnet. Ich behaupte auch, dass die Elemente
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\[
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3, \quad 2+\sqrt{5}i \quad\text{und}\quad 2-\sqrt{5}i
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\]
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irreduzibel und paarweise nicht zueinander assoziiert sind. Es gilt aber
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schrecklicherweise
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\[
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3· 3 = 9 = (2+\sqrt{5}i)·(2-\sqrt{5}i).
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\]
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Das Element 9 aus $R$ hat also zwei sehr unterschiedliche Darstellungen als
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Produkt von irreduziblen Elementen.
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\end{warning}
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\subsection{Existenz von Zerlegungen}
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\sideremark{Vorlesung 5}Wir kümmern uns zuerst um die Frage, wann es überhaupt
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eine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt. Dazu sind folgende Definitionen
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relevant.
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\begin{defn}[Teilerkette für Elemente]\label{def:TK}%
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine \emph{Teilerkette}\index{Teilerkette}
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in $R$ ist eine Folge von Elementen $(r_n)_{n∈ℕ}$ aus $R$, sodass für alle $n
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∈ ℕ$ gilt: $r_{n+1}|r_n$.
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\end{defn}
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\begin{defn}[Teilerkettensatz für Elemente]\label{def:TKSE}%
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Man sagt \emph{in $R$ gilt der
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Teilerkettensatz für Elemente}\index{Teilerkettensatz!für Elemente}, wenn für
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jede Teilerkette $(r_n)_{n ∈ ℕ}$ ein $n_0∈ℕ$ existiert, sodass für alle $k ≥
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n_0$ gilt: Die Elemente $r_{k+1}$ und $r_k$ sind assoziiert.
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\end{defn}
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\begin{rem}
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Die Forderung „für alle $k ≥ n_0$ gilt $r_{k+1} \sim r_k$ sind assoziiert“
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lässt sich auch so ausdrücken: Es gibt nur endlich viele $n ∈ ℕ$, sodass
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$r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist.
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\end{rem}
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\begin{bsp}
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In $ℤ$ gilt der Teilerkettensatz, denn wenn $r_n$ eine Teilerkette ist, dann
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gilt $|r_1| ≥ |r_2| ≥ ⋯$ und wenn $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist,
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dann ist $|r_n| > |r_{n+1}|$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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Analog zur Situation in $ℤ$ kann man im Polynomring $K[x]$ über einem Körper
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$K$ schließen, dass der Teilerkettensatz gilt. Dazu betrachte man den Grad
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von Polynomen anstelle des Betrages.
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\end{bsp}
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\begin{warnung}
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In der Hausaufgabe werden wir sehen: es gibt Integritätsringe, in denen der
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Teilerkettensatz nicht gilt.
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\end{warnung}
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Der folgende Satz ist wirklich klassisch, er geht auf
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Euklid\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Euklid}{Euklid von
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Alexandria} war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im
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3.~Jahrhundert v.~Chr.~in Alexandria gelebt hat.} zurück. Der Beweis, den wir
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hier vorstellen, ist genial-elegant-modern und von Emmy
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Noether\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether}{Amalie Emmy
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Noether} (Emmy war der Rufname; geb.~am 23.~März 1882 in Erlangen; gest.~am
|
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14.~April 1935 in Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin, die
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||
grundlegende Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik
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lieferte. Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren
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revolutioniert. Das nach ihr benannte Noether-Theorem gibt die Verbindung
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zwischen Symmetrien von physikalischen Naturgesetzen und Erhaltungsgrößen an.}.
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Die Beweismethode ist heute als „Noethersche Induktion“ bekannt.
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\begin{satz}\label{satz:tksgz}
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring in dem der Teilerkettensatz für Elemente
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gilt. Weiter sei $r ∈ R$ ein Element, welches weder 0 noch eine Einheit ist.
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Dann kann man $r$ als Produkt von endlich vielen irreduziblen Elementen
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$p_i ∈ R$ schreiben.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{5-1}
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\end{proof}
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\subsection{Eindeutigkeit von Zerlegungen}
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Nach dem Kriterium für die Existenz einer Zerlegung kommen wir jetzt zur Frage
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der Eindeutigkeit. Die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen ist eindeutig bis
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auf Vorzeichen (=Multiplikation mit Einheiten) und Reihenfolge. Zwei
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Darstellungen, die sich nur in Reihenfolge und Einheiten unterscheiden, nenne
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wir „äquivalent“.
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\begin{defn}[Äquivalente Zerlegungen]
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Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring, es sei $r ∈ R$ ein Element und es
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seien
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\[
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r = p_1 ⋯ p_n = q_1 ⋯ q_m
|
||
\]
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||
zwei Darstellungen von $r$ als Produkt von irreduziblen Elementen. Die
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||
Darstellungen heißen \emph{äquivalent}\index{äquivalente Darstellungen}, wenn
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||
gilt $n = m$ und wenn es eine Permutation $σ ∈ S_n$ gibt, sodass für alle
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||
Indizes gilt $p_i \sim q_{σ(i)}$.
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\end{defn}
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\begin{bsp}
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Betrachte $R = ℤ$. Dann sind $6 = 2·3 = (-3)·(-2)$ zwei äquivalente
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||
Darstellungen der Zahl $6$.
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\end{bsp}
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||
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Wir wollen natürlich ein Kriterium dafür finden, dass für alle Elemente eines
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Ringes je zwei Darstellungen äquivalent sind. Die folgende Definition ist dabei
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wichtig.
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\begin{definition}[Primelemente eines Ringes]
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||
Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Ein Element $p ∈ R$ heißt
|
||
\emph{prim}\index{Primelement eines Ringes}, wenn $p$ keine Einheit ist,
|
||
$p \neq 0$ gilt und wenn für alle $a,b ∈ R$ mit $p|(a·b)$ schon folgt, dass
|
||
$p|a$ oder $p|b$ gilt.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{satz}[Regeln im Umgang mit Primelementen]
|
||
Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und es sei $p ∈ R$. Dann gilt
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||
Folgendes.
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||
\begin{enumerate}
|
||
\item\label{Satz_Prim_1} $p$ ist prim $⇒$ $p$ ist irreduzibel.
|
||
\item\label{Satz_Prim_2} $p$ ist prim und $p \sim s$ $⇒$ $s$ ist prim.
|
||
\item\label{Satz_Prim_3} $p$ und $q$ sind prim und $p|q$ $⇒$
|
||
$p \sim q$.
|
||
\item\label{Satz_Prim_4} $p$ ist prim und $p|(a_1 ⋯ a_n)$
|
||
$⇒$ Es existiert ein $i$ mit $p|a_i$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{satz}
|
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\begin{proof}
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Die meisten Punkte sind klar, es ist nur \ref{Satz_Prim_1} zu zeigen. Sei $p$
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also prim. Aus $p = a· b$ folgt dann $p|a$ oder $p|b$, also $p \sim a$
|
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oder $p \sim b$, das heißt $p$ ist irreduzibel.
|
||
\end{proof}
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\begin{bsp}[Primzahlen]\label{satz:Zpirr}
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In $ℤ$ ist ein Element genau dann prim, wenn es irreduzibel ist. Also: die
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||
Menge der Primelemente sind genau die Primzahlen. Der Beweis ist erstaunlich
|
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kompliziert. Wir argumentieren mit Widerspruch und nehmen an, nicht jedes
|
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irreduzible Element in $ℤ$ sei prim. Die irreduziblen Elemente in $ℤ$ sind
|
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aber gerade $±$ Primzahl. Also nehmen wir an, dass es eine kleinste
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(positive) Primzahl $p ∈ ℤ$ mit der Eigenschaft gibt, dass es zwei Zahlen
|
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$a,b ∈ ℤ$ gibt mit $p|(a· b)$ und $p \nmid a$ und $p \nmid
|
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b$. Division mit Rest liefert:
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\begin{align*}
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a &= q_1· p+a_1, & 1&<a_1<p,\\
|
||
b &= q_2· p+b_1, & 1&<b_1<p.
|
||
\end{align*}
|
||
Dann gilt $p \nmid a_1$ und $p \nmid b_1$, aber
|
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\begin{equation*}
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a· b = p(q_1· q_2· p+ q_1· b_1+ q_2· a_1)+a_1· b_1,
|
||
\end{equation*}
|
||
also $p|(a_1· b_1)$. Betrachte jetzt die kleinste natürliche Zahl, die als
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||
Produkt $a·b$ geschrieben werden kann, mit $p|(a· b)$ aber $p \nmid a$ und $p
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||
\nmid b$. Nach der Untersuchung oben gilt: $1<a<p$ und $1<b<p$ also $1 < a· b
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||
< p²$. Sei $h=\frac{a· b}{p}∈ℤ$, also $p· h = a· b$. Dann gilt $1<h$, weil
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||
$p$ irreduzibel ist und $h<p$, weil $a· b <p²$. Sei nun $p^\prime$ ein
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||
positiver irreduzibler Faktor von $h$ (möglicherweise sogar $h$ selbst, wenn
|
||
$h$ irreduzibel ist). Dann gilt natürlich auch $p^\prime< p$. Nach Wahl von
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||
$p$ (kleinste Zahl, die irreduzibel ist und nicht prim) ist $p^\prime$ prim.
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||
Da $p^\prime|h$, $h|(a· b)$ folgt $p^\prime|(a· b)$ und daraus folgt
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||
$p^\prime|a$ oder $p^\prime|b$.
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||
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||
Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass $p^\prime|a$ gilt. Dann ist
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$a=p^\prime· a^\prime$ und $h=p^\prime· h^\prime$ und somit
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||
\begin{equation*}
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||
p^\prime· h^\prime· p=p^\prime· a^\prime· b\quad⇒\quad h^\prime· p= a^\prime·b.
|
||
\end{equation*}
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||
Weil $a^\prime· b< a· b$ ist, folgt $p|a^\prime$ oder $p|b$ nach Wahl
|
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von $a· b$. Es folgt $p|a$ oder $p|b$, Widerspruch!
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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||
In dem Ring $R = ℤ[\sqrt{-5}] ⊂ ℂ$ ist nicht jedes irreduzible
|
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Element prim. Das Element $2+\sqrt{-5}$ ist irreduzibel, teilt $3· 3$,
|
||
aber nicht $3$. Also ist $2+\sqrt{-5}$ nicht prim. Wir werden später sehen,
|
||
dass dies exakt der Grund ist, warum die Zerlegung in irreduzible Elemente
|
||
nicht eindeutig ist
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\end{bsp}
|
||
|
||
\begin{satz}[Zentraler Satz über die (eindeutige) Existenz von Zerlegungen]\label{Satz_Zerlegung}
|
||
Sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Dann sind die folgenden Aussagen
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||
äquivalent.
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||
\begin{enumerate}
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||
\item\label{Satz_Zerlegungen_1} Jedes Element $r∈ R$ mit $r≠ 0$ und
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||
$r\not ∈ R^*$ hat eine Darstellung als Produkt von endlich vielen
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||
irreduziblen Elementen von $R$ \emph{und} je zwei Darstellungen von $r$ sind
|
||
äquivalent.
|
||
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||
\item\label{Satz_Zerlegungen_2} In $R$ gilt der Teilerkettensatz für Elemente
|
||
und jedes irreduzible Element von $R$ ist prim.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}
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---
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\begin{itemize}
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||
\item Richtung \ref{Satz_Zerlegungen_1}$⇒$\ref{Satz_Zerlegungen_2}:
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||
\video{5-2}
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||
\item Richtung \ref{Satz_Zerlegungen_2}$⇒$\ref{Satz_Zerlegungen_1}:
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||
\video{5-3} \qedhere
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||
\end{itemize}
|
||
\end{proof}
|
||
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||
\begin{definition}[Faktorieller Ring]
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||
Ein kommutativer Integritätsring heißt \emph{faktoriell}\index{faktoriell},
|
||
wenn er die Bedingungen von Satz~\ref{Satz_Zerlegung} erfüllt.
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||
\end{definition}
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||
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||
\begin{rem}
|
||
In der Literatur findet man statt „faktoriell“ manchmal auch die Adjektive
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||
\emph{ZPE}\index{ZPE} (= \textbf{Z}erlegung in \textbf{P}rimelemente ist
|
||
\textbf{E}indeutig) oder \emph{UFD}\index{UFD} (= \textbf{U}nique
|
||
\textbf{F}actorization \textbf{D}omain).
|
||
\end{rem}
|
||
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||
\begin{bsp}
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||
Der Ring $ℤ$ ist faktoriell, denn wir haben gezeigt, dass jedes irreduzible
|
||
Element prim ist.
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||
\end{bsp}
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||
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\begin{bsp}
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||
Körper sind trivialerweise faktoriell, denn $K ∖ \{0\} = K^*$.
|
||
\end{bsp}
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||
Weitere Beispiele lassen sich mit dem folgenden Satz finden.
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\begin{satz}[Satz von Gauß\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss}{Johann Carl Friedrich Gauß} (* 30.~April 1777 in Braunschweig; † 23.~Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Statistiker, Astronom, Geodät und Physiker.}]\label{Satz_Satz_von_Gauss}
|
||
Es sei $R$ ein faktorieller Ring. Dann ist auch der Polynomring
|
||
$R[x_1, …, x_n]$ faktoriell.
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||
\end{satz}
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||
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||
\begin{bsp}
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||
Die Ringe $ℤ[x_1, …, x_n]$ oder $ℚ[x_1, …, x_n]$ sind faktoriell.
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\end{bsp}
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||
Der Beweis des Satzes von Gauß verwendet folgendes Lemma.\sideremark{Vorlesung
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6}
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\begin{lem}\label{Lemma_Hilfslemma}%
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Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Ist $p ∈ R$ ein Primelement,
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dann ist $p$ auch im Polynomring $R[x]$ prim.
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\end{lem}
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\begin{proof}
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\video{6-1}
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{Satz_Satz_von_Gauss}]
|
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\video{6-2}
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||
\end{proof}
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\section{Primfaktorzerlegung}
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Wenn $R$ ein faktorieller Ring ist, dann haben wir schon gesehen, dass ich jedes
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Element auf „nahezu eindeutige Weise“ als Produkt von Primelementen schreiben
|
||
kann. So ist die Zahl $6 ∈ ℤ$ als $6 = 3·2$ oder $6 = (-3)·(-2)$ darstellbar.
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||
Natürlich würde aber niemand freiwillig negative Zahlen verwenden, denn wir
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||
finden positive Zahlen wesentlich angenehmer als negative. Eine derartige
|
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Konvention kann man auch in beliebigen Ringen verwenden.
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Gegeben ein Ring $R$, dann ist die Relation „äquivalent“ eine Äquivalenzrelation
|
||
auf der Menge der Primelemente und zerlegt diese Menge deshalb in
|
||
Äquivalenzklassen. Um die Produktdarstellung noch etwas einfacher zu machen,
|
||
müssen wir aus jeder Äquivalenzklasse einen Vertreter auswählen. Dann sind wir
|
||
in der folgenden Situation.
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||
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||
\begin{situation}\label{sit:5-5-1}%
|
||
Es sei $R$ ein faktorieller Ring und $(p_i)_{i ∈ I}$ sei ein
|
||
Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen (das bedeutet:
|
||
für jedes Primelement $p ∈ R$ gibt es genau einen Index $i$, sodass $p \sim
|
||
p_i$ ist).
|
||
\end{situation}
|
||
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||
Ein „Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen“ existiert
|
||
wegen des Auswahlaxioms natürlich immer, aber manchmal gibt es besonders
|
||
einleuchtende Wahlen.
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||
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||
\begin{bsp}
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||
Es sei $R = ℤ$ und $(p_i)_{i ∈ ℕ}$ die Menge der \emph{positiven} Primzahlen.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
\begin{bsp}
|
||
Es sei $K$ ein Körper, es sei $R = K[x]$ und es seien $(p_i)_{i ∈ I}$ die
|
||
Menge der \emph{normierten} irreduziblen Polynome.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
\begin{satzdef}[Primfaktorzerlegung]\label{Satz_Primfaktorzerlegung}
|
||
In Situation~\ref{sit:5-5-1} besitzt jedes Element $r∈ R∖ \{0\}$ eine (bis auf
|
||
Reihenfolge) eindeutige Faktorisierung
|
||
\begin{equation*}
|
||
r = ε·\prod_{i∈I} (p_i)^{ν_i}
|
||
\end{equation*}
|
||
wobei $ε ∈ R^*$ und $ν_i ∈ ℕ$ sind; außerdem sind alle bis auf endlich viele
|
||
Exponenten gleich $0$. Diese Darstellung heißt \emph{normierte
|
||
Primfaktorzerlegung}\index{normierte
|
||
Primfaktorzerlegung}\index{Primfaktorzerlegung!normiert} von $r$ zum
|
||
Repräsentantensystem $(p_i)_{i ∈ I}$.
|
||
\end{satzdef}
|
||
\begin{proof}
|
||
Hier ist nicht viel zu beweisen. Ist $r ∈ R^*$, so wähle $ε = r$ und setzt
|
||
$ν_i = 0$ für alle $i$. Ansonsten zerlege $r$ in irreduzible Faktoren,
|
||
$r = p'_{i_1}⋯p'_{i_n}$. Jeder Faktor $p'_{i_j}$ ist zu einem der $p_{i_j}$
|
||
assoziiert, also gib es $ε_j ∈ R^*$, sodass $p'_{i_j} = ε_j·p_{i_j}$ ist.
|
||
Setze $ε = \prod_{j=1}^n ε_j$ und fasse die Faktoren $p_•$, die mehrfach
|
||
auftauchen, zusammen. Die Eindeutigkeit ist klar.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
An einer normierten Primfaktorzerlegung kann man Teilbarkeitseigenschaften
|
||
sofort ablesen.
|
||
|
||
\begin{beobachtung}
|
||
In Situation~\ref{sit:5-5-1} seien
|
||
\[
|
||
r = ε_r·\prod (p_i)^{ν_i} \quad\text{und}\quad
|
||
s = ε_s·\prod (p_i)^{μ_i}
|
||
\]
|
||
zwei Elemente zusammen mit ihren normierten Darstellungen. Dann gilt
|
||
Folgendes.
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Es ist $r|s$ genau dann, wenn für alle $i∈I$ die Ungleichung $ν_i ≤ μ_i$
|
||
gilt.
|
||
|
||
\item Es ist $r || s$ genau dann, wenn für alle $i∈I$ die Ungleichung
|
||
$ν_i ≤ μ_i$ gilt und wenn zusätzlich ein $j∈I$ existiert, sodass
|
||
$ν_j < μ_j$ ist.
|
||
|
||
\item Es ist $r \sim s$ genau dann, wenn für alle $i∈I$ gilt, dass $ν_i = μ_i$
|
||
ist.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{beobachtung}
|
||
|
||
|
||
\section{ggT und kgV}
|
||
|
||
Je nach Geburtsjahrgang haben Sie in Kindergarten, Vorschule, Grundschule,
|
||
Gymnasium oder Studium den Begriff „größter gemeinsamer Teiler“ und „kleinstes
|
||
gemeinsames Vielfaches“ kennengelernt. Auch diese Begriffe übertragen sich ohne
|
||
weiteres auf Ringe.
|
||
|
||
\begin{defn}[Größter gemeinsamer Teiler]
|
||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und es seien $r,s∈ R$ zwei Elemente.
|
||
Ein Element $g ∈ R$ heißt \emph{größter gemeinsamer Teiler\index{größter
|
||
gemeinsamer Teiler} von $r$ und $s$}, wenn Folgendes gilt.
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Es ist $g|r$ und $g|s$.
|
||
|
||
\item Für alle $t ∈ R$ gilt: $t|r$ und $t|s$ impliziert $t|g$.
|
||
\end{itemize}
|
||
Man schreibt in dieser Situation oft $g = \ggT(r,s)$\index{ggT}.
|
||
\end{defn}
|
||
|
||
\begin{defn}[Kleinstes gemeinsames Vielfaches]
|
||
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und es seien $r,s∈ R$ zwei Elemente. Ein
|
||
Element $v ∈ R$ heißt \emph{kleines gemeinsames Vielfaches}\index{kleinstes
|
||
gemeinsames Vielfaches} von $r$ und $s$, wenn Folgendes gilt.
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Es ist $r|v$ und $s|v$.
|
||
|
||
\item Für alle $t ∈ R$ gilt:, $r|t$ und $s|t$ impliziert $v|t$.
|
||
\end{itemize}
|
||
Man schreibt in dieser Situation oft $v = \kgV(r,s)$\index{kgV}.
|
||
\end{defn}
|
||
|
||
\begin{definition}[Teilerfremde Elemente]
|
||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1. Zwei Elemente $r,s ∈ R$ heißen
|
||
\emph{teilerfremd}\index{teilerfremd}, wenn der $1 = \ggT(r, s))$ ist.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{warnung}
|
||
Obwohl man oft von ``dem größten gemeinsamen Teiler'' spricht, ist der größte
|
||
gemeinsame Teiler nicht eindeutig! Wenn $g$ ein größter gemeinsame Teiler ist
|
||
und $ε ∈ R^*$, dann ist auch $ε·g$ ein größter
|
||
gemeinsame Teiler! Mit unserer Definition ist sowohl $3 = \ggT(6,9)$ als auch
|
||
$-3 = \ggT(6,9)$. Dito für $\kgV$.
|
||
\end{warnung}
|
||
|
||
\begin{warnung}
|
||
In den Übungen werden wir sehen, dass größte gemeinsame Teiler in beliebigen
|
||
Ringen im Allgemeinen nicht existieren!
|
||
\end{warnung}
|
||
|
||
In faktoriellen Ringen müssen wir uns über die Existenz von $\ggT$ und $\kgV$
|
||
keine Gedanken machen.
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||
|
||
\begin{satz}
|
||
Ist $R$ ein faktorieller Ring, dann existiert zu jedem Paar
|
||
$r,s ∈ R ∖ \{0\}$ ein größter gemeinsamer Teiler und ein kleinstes
|
||
gemeinsames Vielfaches.
|
||
\end{satz}
|
||
\begin{proof}
|
||
Wähle ein Repräsentantensystem $(p_i)_{i ∈ I}$ von zueinander assoziierten
|
||
Primelementen wie in Situation~\ref{sit:5-5-1}. Schreibe
|
||
\[
|
||
r = ε_r·\prod (p_i)^{ν_i} \quad\text{und}\quad s = ε_s·\prod (p_i)^{μ_i}.
|
||
\]
|
||
Dann ist
|
||
\begin{equation*}
|
||
\ggT(r,s) = \prod (p_i)^{\min(ν_i,μ_i)} \quad\text{und}\quad
|
||
\kgV(r,s) = \prod (p_i)^{\max(ν_i,μ_i)}. \qedhere
|
||
\end{equation*}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
|
||
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||
\subsection{Der Euklidische Algorithmus}
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||
Die Primfaktorzerlegung eines Elementes in einem faktoriellen Ring zu bestimmen,
|
||
ist fast immer sehr schwer. In manchen Ringen kann man aber das kgV bestimmen,
|
||
ohne die Primfaktorzerlegung explizit zu kennen.
|
||
|
||
\begin{bsp}\label{bsp:5-6-7}
|
||
Sei $K$ ein Körper. Dann kann man im Ring $K[x]$ den \emph{Euklidischen
|
||
Algorithmus\index{Euklidischer Algorithmus}} verwenden. Seien also
|
||
$f,g∈ K[x]$ gegeben. Dann betrachte die Kette von Gleichungen, die man durch
|
||
Division mit Rest bekommt
|
||
\begin{align}
|
||
f(x)&= q_1(x)· g(x)+r_1(x)&&\text{mit }\deg r_1 < \deg g\label{eq:Euklid_1}\\
|
||
g(x)&= q_2(x)· r_1(x)+r_2(x)&&\text{mit }\deg r_2 < \deg r_1\label{eq:Euklid_2}\\
|
||
&\qquad\vdots&&\qquad\vdots\nonumber\\
|
||
r_{n-2}(x)&=q_n(x)· r_{n-1}(x)+r_n(x)&&\text{mit } \deg r_{n} < \deg r_{n-1}\label{eq:Euklid_3}\\
|
||
\intertext{und zuletzt}
|
||
r_{n-1}(x)&= q_{n+1}(x)· r_n(x)\label{eq:Euklid_4}
|
||
\end{align}
|
||
denn da die Grade immer kleiner werden, muss die Division irgendwann aufgehen.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
\begin{satz}
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||
In Beispiel~\ref{bsp:5-6-7} ist $r_n = \ggT(f, g)$.
|
||
\end{satz}
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\begin{proof}
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Sei $t(x)∈ K[x]$ ein Teiler von $f(x)$ und $g(x)$. Dann folgt aus
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\eqref{eq:Euklid_1}: $t|r_1$. Aus \eqref{eq:Euklid_2} folgt $t|r_2$ und so
|
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weiter bis schließlich $t|r_n$. Umgekehrt folgt aus \eqref{eq:Euklid_4}
|
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$r_n|r_{n-1}$. Aus \eqref{eq:Euklid_3} folgt $r_n|r_{n-2}$ und so weiter.
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||
Schließlich folgt $r_n|g$ und $r_n|f$.
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\end{proof}
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Ein analoges Verfahren kennen Sie aus der Schule für $ℤ$. Für $R = ℤ[x]$
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lässt sich so ein Verfahren aber beispielsweise nicht anwenden!
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
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%%% End:
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