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e2df9f0dbb
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55ce397ec8
| Author | SHA1 | Date |
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Stefan Kebekus
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55ce397ec8 | |
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Stefan Kebekus
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8c3f70f0e7 |
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@ -0,0 +1,6 @@
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[submodule "bibliography"]
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path = bibliography
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url = git@git.cplx.vm.uni-freiburg.de:kebekus/bibliography.git
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[submodule "tex"]
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path = tex
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url = git@git.cplx.vm.uni-freiburg.de:kebekus/tex.git
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@ -29,3 +29,101 @@ Beutelspacher
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Erlärvideo
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nullteilerfrei
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nullteilerfreien
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Transzendenzbeweis
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Lorettoberg
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Normiertheit
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hinzuadjungieren
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Algebraizität
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Gerolamo
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Cardano
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Girolamo
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Cardanus
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Mediolanensis
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Cardan
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Nicolo
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Tartaglia
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Scipione
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del
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Ferro
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Radikalerweiterung
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Teilbarkeitsfragen
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Polynom-
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Teilbarkeitsüberlegungen
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||||
schrecklicherweise
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Teilerkette
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Teilerkettensatz
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Bryn
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Mawr
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prim
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faktoriell
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UFD
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faktorieller
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Repräsentantensystem
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Teilbarkeitseigenschaften
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kgV
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faktoriellen
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||||
Geodät
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||||
Quotientenkörper
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||||
Quotientenkörpers
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||||
Irreduzibilitätskriterien
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||||
Irreduzibilitätskriterium
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||||
Teilbarkeitsbetrachtungen
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||||
Teilerpolynome
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||||
Lodovico
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||||
Lagrangia
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||||
Interpolationsformel
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||||
Schönemann
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Driesen
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||||
Friedebergischer
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||||
reduzibel
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||||
Einsetzungskomposition
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||||
Substitutionsmorphismus
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||||
Konstruierbarkeitsfragen
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||||
konjungierte
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||||
konstruierbare
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||||
Konstruierbarkeitsfrage
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transzendent
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Rechtsideale
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Sorau
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||||
Dedekind
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||||
nicht-faktoriellen
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||||
Hauptideale
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||||
Erzeugendensysteme
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Gödelschen
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||||
Erzeugendensystems
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||||
Erzeugendensystem
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||||
Teiler-
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||||
Hauptidealen
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||||
Faktorialität
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||||
Quotientenvektoraumes
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||||
Quotientenvektorräumen
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||||
Quotientenvektorräume
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||||
Quotientenring
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||||
Repräsentantensystems
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||||
Homomorphiesatzes
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||||
Homomorphiesatz
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||||
Quotientenabbildung
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||||
Urbildmenge
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Primideale
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Primideals
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||||
Primideal
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||||
Summenideal
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Teilerfremdheit
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||||
Funktionenkörper
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||||
Kodierungstheorie
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Substitutionsabbildung
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Steinitz
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||||
Laurahütte
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nicht-Kanonizität
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Zerfällungskörpern
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inseparable
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Teilbarkeitsrelationen
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||||
Frobenius-Morphismus
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||||
Frobenius-Endomorphismus
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Einselements
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separabel
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||||
inseparabel
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Separabilität
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Substitutionsmorphismen
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Separabilitätsgrad
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inseparablen
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@ -13,3 +13,43 @@
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Neutrales Element der Multiplikation] Es gibt genau ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QVorlesung 2 Ein Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q heißt Schiefkörper, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nicht der Nullring ist und alle Elemente außer der \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q invertierbar sind, wenn also \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"}
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||||
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ein Unterring, aber kein Unterkörper von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Minimaler Grad] Zuerst betrachten wir nur solche Polynome, deren Grad minimal ist unter allen nicht-konstanten Polynomen, die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q als Nullstelle haben.\\E$"}
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{"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QVorlesung 3 3-1 und 3-2.\\E$"}
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{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QDann bildet die Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist algebraisch über \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q einen Unterkörper von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, genannt der algebraische Abschluss von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q im Oberkörper \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 3-6\\E$"}
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||||
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QErklärung: die Definition der Radikalerweiterung sagt also, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzel eines Elements aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzel eines Elements aus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, etc. Nach Korollar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q können wir schreiben \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QAus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q folgt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs sei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein kommutativer Ring und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q seien Elemente.\\E$"}
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||||
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QIn der Literatur findet man statt „faktoriell“ manchmal auch die Adjektive ZPE (= Zerlegung in Primelemente ist Eindeutig) oder UFD (= Unique Factorization Domain).\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QIn der Literatur findet man statt „faktoriell“ manchmal auch die Adjektive ZPE (= Zerlegung in Primelemente ist Eindeutig) oder UFD (= Unique Factorization Domain).\\E$"}
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{"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QVorlesung 6\\E$"}
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{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\QggT und kgV.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q genau dann, wenn für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QWenn Sie bei mir die Vorlesung „Lineare Algebra“ gehört haben, dann wird Ihnen die folgende Definition sehr vertraut vorkommen.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten:] Ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringhomomorphismus, dann ist auch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringmorphismus.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QSetze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q [Substitutionsmorphismus] Es sei ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gegeben.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten] Ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringhomomorphismus, dann ist auch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringmorphismus.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIch verzichte deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass „alles genau so geht, wie in der Linearen Algebra“.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QStellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die Vorlesung „Lineare Algebra“ erinnern.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QGenau wie die Quotientenvektorräume der Linearen Algebra sind Restklassenringe durch folgende universelle Eigenschaft definiert.\\E$"}
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{"rule":"DE_SUBJECT_VERB_AGREEMENT","sentence":"^\\QEin Restklassenring oder Quotientenring ist ein kommutativer Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q mit Eins zusammen mit einem Ringmorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist und so, dass die folgende universelle Eigenschaft gilt: ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein weiterer Ringmorphismus mit \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dann gibt es genau einen Ringmorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass das folgende Diagramm kommutiert, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QErinnerung an die Lineare Algebra: Quotient nach Äquivalenzrelation = \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q = Menge der Äquivalenzklassen\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDer folgende Satz folgt wie in der Linearen Algebra aus der universellen Eigenschaft.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Wie sieht der Kern von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus?] Ein Polynom \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist offenbar genau dann im von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Kern, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QFür den Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q haben wir die Antwort in der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennengelernt.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDer Chinesische Restsatz.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDer Chinesische Restsatz ist langweilig, darf aber in keiner Vorlesung fehlen und kommt auch in den allermeisten Klausuren und Prüfungen vor.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind, dann ist diese notwendige Bedingung automatisch erfüllt, und der Chinesische Restsatz sagt, dass das Gleichungssystem dann auch lösbar ist.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann ist der kanonische Ringhomomorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QAdd.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Qund Mult.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDer Körper der algebraischen Zahlen, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ein algebraischer Abschluss \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"PLURAL_APOSTROPH","sentence":"^\\QIn einem normalen Jahr würde mithilfe von Zorn's Lemma zeigen, dass diese naive Idee tatsächlich trägt.\\E$"}
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{"rule":"PLURAL_APOSTROPH","sentence":"^\\QZorn's Lemma = eine Variante des Auswahlaxioms\\E$"}
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{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWorum geht es in diesem Teil der Vorlesung?.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEin wichtiges Problem der Algebra(klausur/prüfung) ist es, zu einem gegebenen Körper \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und zu einem gegebenen Polynom \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q den Zerfällungskörper zu bestimmen.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWir erhalten also einen Gruppenmorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-isomorphismen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QPermutationen der Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWenn alles 100%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser könnte den Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWenn alles 100%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser Stelle den Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDie Sätze klären auch noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q adjungiert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q“ mit QQ[sqrt(5)] bezeichnet.\\E$"}
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||||
{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QFür beliebige Körpererweiterungen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und beliebige Teilmengen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist die Äquivalenz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind algebraisch ganz falsch.\\E$"}
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{"rule":"DOPPELTES_AUSRUFEZEICHEN","sentence":"^\\QFalsch!!\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDann ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Ist mir zu langweilig.\\E$"}
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137
03.tex
137
03.tex
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@ -20,32 +20,32 @@ nicht alle Elemente des größeren Körpers gleich sind.
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\begin{itemize}
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||||
\item Zahlen wie $\sqrt{2}$ oder $\sqrt[3]{5}+\sqrt{2}$, die irgendwie
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\emph{algebraisch} sind, weil sie mit Polynomen zu tun haben deren
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||||
Koeffizienten rationale Zahlen sind --- diese Zahlen heißen ``algebraisch''.
|
||||
Koeffizienten rationale Zahlen sind --- diese Zahlen heißen „algebraisch“.
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\item Zahlen wie $e$ oder $π$, die von Potenzreihen, und nicht von
|
||||
Polynomen kommen --- diese Zahlen heißen ``transzendent''.
|
||||
\item Zahlen wie $e$ oder $π$, die von Potenzreihen, und nicht von Polynomen
|
||||
kommen --- diese Zahlen heißen „transzendent“.
|
||||
\end{itemize}
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\end{beobachtung}
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Um diese Beobachtung für beliebige Körper zu formulieren, ist leider wieder erst
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||||
einmal ein wenig Sprache fällig.
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\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2}
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\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2}%
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||||
Es sei $K$ ein Körper. Dann bezeichne $K[x]$ den Ring der Polynome mit
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||||
Variable $x$ und Koeffizienten aus $K$.\index{Polynomring}
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\end{definition}
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\begin{warnung}[Polynome und Funktionen]
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In der Situation von Definition~\ref{def:3-0-2} kann ich jedem Polynom eine
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Funktion $K → K$ zuweisen, Polynome sind aber etwas anderes als Funktionen!
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Im Falle wo $K = 𝔽_p$ ein endlicher Körper ist, gibt es zwar unendlich viele
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||||
Polynome (zum Beispiel $x$, $x²$, $x³$, …) aber nur endlich viele
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||||
Abbildungen von $K$ nach $K$!
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||||
Funktion $K → K$ zuweisen, Polynome sind aber etwas anderes als Funktionen! Im
|
||||
Falle wo $K = 𝔽_p$ ein endlicher Körper ist, gibt es zwar unendlich viele
|
||||
Polynome (zum Beispiel $x$, $x²$, $x³$, …) aber nur endlich viele Abbildungen
|
||||
von $K$ nach $K$!
|
||||
\end{warnung}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Polynomring]
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||||
Das Polynom $\frac{2}{7}· x²+8$ liegt in $ℚ[x]$. Das Polynom
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||||
$π·x + e$ liegt in $ℝ[x]$.
|
||||
Das Polynom $\frac{2}{7}· x²+8$ liegt in $ℚ[x]$. Das Polynom $π·x + e$ liegt
|
||||
in $ℝ[x]$.
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||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Polynomring]
|
||||
|
|
@ -57,7 +57,7 @@ einmal ein wenig Sprache fällig.
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|||
ein typisches Polynom aus $K[x]$.
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||||
\end{bsp}
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||||
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||||
Die korrekte Definition von ``algebraisch'' und ``transzendent'' ist jetzt die
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||||
Die korrekte Definition von „algebraisch“ und „transzendent“ ist jetzt die
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||||
Folgende.
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\begin{defn}[Algebraische und transzendente Elemente]
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||||
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@ -81,11 +81,11 @@ Folgende.
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algebraisch, weil sie Nullstelle des Polynoms $x³-2 ∈ ℚ[x]$ ist. Der
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||||
Freiburger Mathematiker Ferdinand
|
||||
Lindemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_von_Lindemann}{Carl
|
||||
Louis Ferdinand Lindemann}, ab 1918 Ritter von Lindemann (* 12. April
|
||||
1852 in Hannover; † 6. März 1939 in München) war ein deutscher
|
||||
Mathematiker. Lindemann hatte die Idee für den Transzendenzbeweis bei einem
|
||||
Spaziergang auf dem Lorettoberg.} bewies im Jahr 1882 in der berühmten
|
||||
Arbeit \cite{MR1510165}, dass die Zahl $π$ transzendent ist.
|
||||
Louis Ferdinand Lindemann}, ab 1918 Ritter von Lindemann (* 12.~April 1852 in
|
||||
Hannover; † 6.~März 1939 in München) war ein deutscher Mathematiker. Lindemann
|
||||
hatte die Idee für den Transzendenzbeweis bei einem Spaziergang auf dem
|
||||
Lorettoberg.} bewies im Jahr 1882 in der berühmten Arbeit \cite{MR1510165},
|
||||
dass die Zahl $π$ transzendent ist.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
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@ -95,22 +95,22 @@ Der Zahlentheoretiker interessiert sich natürlich besonders für die
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|||
Körpererweiterung $ℂ/ℚ$. Hier hat sich eine eigene Sprache etabliert.
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||||
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||||
\begin{defn}[Algebraische und transzendente Zahlen]
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||||
Elemente $z ∈ ℂ$, die algebraisch über $ℚ$ sind, nennt man
|
||||
\emph{algebraische Zahlen}\index{algebraisch!Zahlen}. Die anderen Elemente
|
||||
heißen \emph{transzendente Zahlen}\index{transzendent!Zahlen}.
|
||||
Elemente $z ∈ ℂ$, die algebraisch über $ℚ$ sind, nennt man \emph{algebraische
|
||||
Zahlen}\index{algebraisch!Zahlen}. Die anderen Elemente heißen
|
||||
\emph{transzendente Zahlen}\index{transzendent!Zahlen}.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
Leider gibt es fast keine algebraischen Zahlen. Der folgende Satz zeigt, dass
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||||
jedes nicht-leere, offene Intervall in $ℝ$ jede Menge transzendente Zahlen
|
||||
enthält.
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||||
|
||||
\begin{satz}\label{satz:3-2-2}
|
||||
\begin{satz}\label{satz:3-2-2}%
|
||||
Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar.
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Bekanntlich ist $ℚ$ abzählbar, also ist der Ring $ℚ[x]$ der Polynome mit
|
||||
Koeffizienten in $ℚ$ ebenfalls abzählbar. Jedes Polynom hat aber nur
|
||||
endlich viele Nullstellen.
|
||||
Koeffizienten in $ℚ$ ebenfalls abzählbar. Jedes Polynom hat aber nur endlich
|
||||
viele Nullstellen.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
|
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@ -142,9 +142,9 @@ enthält.
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|||
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||||
\section{Das Minimalpolynom}
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||||
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$.
|
||||
Per Definition gibt es dann ein Polynom $f ∈ K[x]$ welches $a$ als Nullstelle
|
||||
hat. Natürlich ist $f$ kein bisschen eindeutig -- man multipliziere $f$ mit
|
||||
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$. Per
|
||||
Definition gibt es dann ein Polynom $f ∈ K[x]$ welches $a$ als Nullstelle hat.
|
||||
Natürlich ist $f$ kein bisschen eindeutig -- man multipliziere $f$ mit
|
||||
irgendeinem anderen Polynom und erhalte ein neues Polynom (größeren Grades), das
|
||||
ebenfalls $a$ als Nullstelle hat. Man kann aber unter allen Polynomen, die $a$
|
||||
als Nullstelle haben, ein eindeutiges Element finden, wenn man ein paar
|
||||
|
|
@ -160,7 +160,7 @@ Zusatzbedingungen stellt.
|
|||
f = a_n·x^n+a_{n-1}·x^{n-1}+ ⋯ + a_0∈ K[x]
|
||||
\end{equation*}
|
||||
ein solches Polynom ist, dann hat das normierte Polynom\footnote{Erinnerung:
|
||||
``normiert'' bedeutet, dass der Leitkoeffizient gleich 1 ist.}
|
||||
„normiert“ bedeutet, dass der Leitkoeffizient gleich 1 ist.}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\frac{1}{a_n}f = x^n+\frac{a_{n-1}}{a_n}·x^{n-1} + ⋯ + \frac{a_0}{a_n}∈ K[x]
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
|
@ -194,9 +194,9 @@ Grad von $f_1$!
|
|||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Betrachte die Erweiterung $ℂ/ℚ$ und $a = \sqrt[3]{2}$. Dann ist
|
||||
$[a:ℚ] ≤ 3$, denn $a$ ist Nullstelle des Polynoms
|
||||
$f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Aber ist $f$ auch das Minimalpolynom?
|
||||
Betrachte die Erweiterung $ℂ/ℚ$ und $a = \sqrt[3]{2}$. Dann ist $[a:ℚ] ≤ 3$,
|
||||
denn $a$ ist Nullstelle des Polynoms $f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Aber ist $f$ auch
|
||||
das Minimalpolynom?
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
|
|
@ -209,9 +209,9 @@ Grad von $f_1$!
|
|||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Adjunktion einer Quadratwurzel]
|
||||
Es sei $L = ℂ$ und es sei $K$ ein Unterkörper (zum Beispiel $ℚ$). Weiter
|
||||
sei $b ∈ K$ und $a$ sei eine Quadratwurzel von $b$ (also: es gilt die
|
||||
Gleichung $a² = b$). Dann gilt
|
||||
Es sei $L = ℂ$ und es sei $K$ ein Unterkörper (zum Beispiel $ℚ$). Weiter sei
|
||||
$b ∈ K$ und $a$ sei eine Quadratwurzel von $b$ (also: Es gilt die Gleichung
|
||||
$a² = b$). Dann gilt
|
||||
\[
|
||||
[a:K] =
|
||||
\left\{
|
||||
|
|
@ -247,12 +247,12 @@ Definition.
|
|||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Es ist $[ℂ:ℝ] = 2$ und $[ℝ:ℚ] = ∞$, denn jeder
|
||||
endlich-dimensionale $ℚ$-Vektorraum wäre abzählbar.
|
||||
Es ist $[ℂ:ℝ] = 2$ und $[ℝ:ℚ] = ∞$, denn jeder endlich-dimensionale
|
||||
$ℚ$-Vektorraum wäre abzählbar.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Grad von Körpererweiterungen und Grad von Elementen]\label{satz:3-5-4}
|
||||
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$. Dann gilt die
|
||||
\begin{satz}[Grad von Körpererweiterungen und Grad von Elementen]\label{satz:3-5-4}%
|
||||
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$. Dann gilt die
|
||||
Gleichheit $[a: K] = [K(a):K]$.\sideremark{Vorlesung 3}
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
|
|
@ -264,11 +264,11 @@ Beweis von Satz~\ref{satz:3-5-4}; wir wiederholen die Argumentation deshalb an
|
|||
dieser Stelle nicht.
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||||
|
||||
\begin{kor}
|
||||
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$. Falls $[a:K] < ∞$
|
||||
ist, dann ist $K(a)$ algebraisch über $K$. \qed
|
||||
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$. Falls $[a:K] < ∞$ ist,
|
||||
dann ist $K(a)$ algebraisch über $K$. \qed
|
||||
\end{kor}
|
||||
|
||||
\begin{kor}\label{kro:eord}
|
||||
\begin{kor}\label{kro:eord}%
|
||||
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈L$ algebraisch über $K$, vom
|
||||
Grad $n$. Dann kann jedes Element $b ∈ K(a)$ geschrieben werden als
|
||||
\[
|
||||
|
|
@ -278,10 +278,10 @@ dieser Stelle nicht.
|
|||
\end{kor}
|
||||
|
||||
Korollar~\ref{kro:eord} ist Ihnen im Spezialfall der Körpererweiterung $ℂ/ℝ$
|
||||
schon bekannt: Jede komplexe Zahl $b$ kann geschrieben werden als
|
||||
$b = c_0 + c_1·i$, wobei $c_0$ und $c_1$ reelle Zahlen sind. Das ist ziemlich
|
||||
nützlich! Korollar~\ref{kro:eord} erlaubt eine ganz ähnliche Beschreibung für
|
||||
beliebige einfache Körpererweiterungen.
|
||||
schon bekannt: Jede komplexe Zahl $b$ kann geschrieben werden als $b = c_0 +
|
||||
c_1·i$, wobei $c_0$ und $c_1$ reelle Zahlen sind. Das ist ziemlich nützlich!
|
||||
Korollar~\ref{kro:eord} erlaubt eine ganz ähnliche Beschreibung für beliebige
|
||||
einfache Körpererweiterungen.
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Ketten von Körpererweiterungen}
|
||||
|
|
@ -291,11 +291,10 @@ haben, und dann nach und nach einige Elemente eines Oberkörpers
|
|||
hinzuadjungieren. Wir erhalten so eine Kette von immer größer werdenden
|
||||
Oberkörpern. Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Gradformel]\label{satz:3-6-1}
|
||||
\begin{satz}[Gradformel]\label{satz:3-6-1}%
|
||||
\index{Gradformel für Körpererweiterungen}Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von
|
||||
Körpererweiterungen. Dann gilt\footnote{Wir verwenden die Konvention
|
||||
$∞·∞ = ∞$ und $∞ ·n = ∞$ falls $n$ eine positive ganze Zahl ist.} die
|
||||
Gleichung
|
||||
Körpererweiterungen. Dann gilt\footnote{Wir verwenden die Konvention $∞·∞ = ∞$
|
||||
und $∞·n = ∞$, falls $n$ eine positive ganze Zahl ist.} die Gleichung
|
||||
\[
|
||||
[M:K] = [M:L]·[L:K].
|
||||
\]
|
||||
|
|
@ -305,10 +304,9 @@ Oberkörpern. Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
|
|||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{kor}
|
||||
Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen. Wenn
|
||||
$[M:K]$ endlich ist, dann ist $[L:K]$ endlich, und sogar ein Teiler von
|
||||
$[M:K]$. Insbesondere gilt für jedes Element $a∈ L$, dass $[a:K]$ ein
|
||||
Teiler von $[M:K]$ ist. \qed
|
||||
Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen. Wenn $[M:K]$ endlich
|
||||
ist, dann ist $[L:K]$ endlich, und sogar ein Teiler von $[M:K]$. Insbesondere
|
||||
gilt für jedes Element $a∈ L$, dass $[a:K]$ ein Teiler von $[M:K]$ ist. \qed
|
||||
\end{kor}
|
||||
|
||||
\begin{kor}
|
||||
|
|
@ -316,7 +314,7 @@ Oberkörpern. Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
|
|||
ist. Dann existiert ein Element $a ∈ L$, sodass $L = K(a)$ ist. \qed
|
||||
\end{kor}
|
||||
|
||||
\begin{kor}[Adjunktion von Quadratwurzeln]\label{kor:ajQ}
|
||||
\begin{kor}[Adjunktion von Quadratwurzeln]\label{kor:ajQ}%
|
||||
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung von Grad zwei. Dann entsteht $L$ aus $K$
|
||||
durch Adjunktion einer Quadratwurzel. Genauer: es gibt Elemente $a ∈ L$ und
|
||||
$b ∈ K$, sodass Folgendes gilt.
|
||||
|
|
@ -327,7 +325,8 @@ Oberkörpern. Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
|
|||
\end{itemize}
|
||||
\end{kor}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\video{3-4} -- beachten Sie die mit einer PDF-Annotation angebrachte Verbesserung im Skript des Beweises.
|
||||
\video{3-4} -- beachten Sie die mit einer PDF-Annotation angebrachte
|
||||
Verbesserung im Skript des Beweises.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
|
||||
|
|
@ -338,18 +337,18 @@ Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
|
|||
\item\label{Satz_1_1_19_1} Es ist $[L:K] < ∞$.
|
||||
|
||||
\item\label{Satz_1_1_19_2} Die Körpererweiterung $L$ ist algebraisch über $K$
|
||||
und es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n∈ L$, sodass
|
||||
$L = K(a_1, …, a_n)$ ist.
|
||||
und es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n∈ L$, sodass $L = K(a_1, …,
|
||||
a_n)$ ist.
|
||||
|
||||
\item\label{Satz_1_1_19_3} Es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n ∈ L$,
|
||||
die algebraisch über $K$ sind und die Körpererweiterung $L$ erzeugen:
|
||||
$L = K(a_1, …, a_n)$.
|
||||
die algebraisch über $K$ sind und die Körpererweiterung $L$ erzeugen: $L =
|
||||
K(a_1, …, a_n)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_1}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_2}]
|
||||
Aus $[L:K] < ∞$ folgt für alle $a ∈ L$ sofort $[a:K] < ∞$, also
|
||||
sind alle diese Elemente algebraisch. Um $a_1, …, a_n$ zu finden, kann man
|
||||
zum Beispiel einfach eine Basis von $L$ als $K$-Vektorraum wählen.
|
||||
Aus $[L:K] < ∞$ folgt für alle $a ∈ L$ sofort $[a:K] < ∞$, also sind alle
|
||||
diese Elemente algebraisch. Um $a_1, …, a_n$ zu finden, kann man zum Beispiel
|
||||
einfach eine Basis von $L$ als $K$-Vektorraum wählen.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_2}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_3}]
|
||||
|
|
@ -357,15 +356,15 @@ Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
|
|||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_3}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_1}]
|
||||
Sei $L = K(a_1, …, a_n)$. Betrachte die Körper $K_i := K(a_1, …, a_i)$ und die
|
||||
Kette von Erweiterungen
|
||||
Sei $L = K(a_1, …, a_n)$. Betrachte die Körper $K_i := K(a_1, …, a_i)$ und
|
||||
die Kette von Erweiterungen
|
||||
\[
|
||||
K = K_0 ⊆ K_1 ⊆ ⋯ ⊆ K_n = L.
|
||||
\]
|
||||
Dann gilt für jeden Index $i < n$ die Gleichung $K_{i+1} = K_i(a_{i+1})$;
|
||||
insbesondere ist per Annahme (``$a_{i+1}$ ist algebraisch über $K$'') und
|
||||
Satz~\ref{satz:3-5-4} die Erweiterung $K_{i+1}/K_i$ stets endlich. Wiederholte
|
||||
Anwendung von Satz~\ref{satz:3-6-1} liefert dann
|
||||
insbesondere ist per Annahme („$a_{i+1}$ ist algebraisch über $K$“) und
|
||||
Satz~\ref{satz:3-5-4} die Erweiterung $K_{i+1}/K_i$ stets endlich.
|
||||
Wiederholte Anwendung von Satz~\ref{satz:3-6-1} liefert dann
|
||||
\[
|
||||
[L:K] = \prod_{i=0}^{n-1} [K_{i+1}:K_i],
|
||||
\]
|
||||
|
|
@ -378,9 +377,9 @@ Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
|
|||
Wir nennen zwei unmittelbare Folgerungen aus
|
||||
Satz~\ref{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen}, die so fundamental wichtig
|
||||
sind, dass sie einen eigenen Abschnitt verdienen. Der erste ist der Satz über
|
||||
die ``Transitivität der Algebraizität''.
|
||||
die „Transitivität der Algebraizität“.
|
||||
|
||||
\begin{kor}[Transitivität der Algebraizität]\label{kor:TdA}
|
||||
\begin{kor}[Transitivität der Algebraizität]\label{kor:TdA}%
|
||||
Es seien $L/K$ und $M/L$ zwei algebraische Körpererweiterungen. Dann ist auch
|
||||
$M/K$ algebraisch.
|
||||
\end{kor}
|
||||
|
|
@ -413,9 +412,9 @@ die ``Transitivität der Algebraizität''.
|
|||
von $ℂ$. \qed
|
||||
\end{kor}
|
||||
|
||||
\begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper'']\label{war:ababio}
|
||||
\begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper'']\label{war:ababio}%
|
||||
Gegeben einen Körper $K$, werden wir später noch einen weiteren Begriff von
|
||||
``algebraischem Abschluss'' diskutieren, der nicht von der Wahl eines
|
||||
„algebraischem Abschluss“ diskutieren, der nicht von der Wahl eines
|
||||
Oberkörpers abhängt. Ganz wichtig: diese Begriffe bitte nicht verwechseln!
|
||||
\end{warnung}
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
65
04.tex
65
04.tex
|
|
@ -14,21 +14,21 @@ Für Gleichungen 3.\ und 4.\ Grades haben italienische Mathematiker der
|
|||
Renaissance komplizierte Formeln gefunden. In der westlichen Welt wurden diese
|
||||
Formeln erstmals 1545 von Gerolamo
|
||||
Cardano\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano}{Gerolamo
|
||||
Cardano}, auch Geronimo oder Girolamo Cardano (von Mailand) sowie Cardan,
|
||||
lateinisch Hieronymus Cardanus (Mediolanensis) (* 24. September 1501 in Pavia;
|
||||
† 21. September 1576 in Rom), war ein italienischer Arzt, Philosoph und
|
||||
Mathematiker und zählt zu den Renaissance-Humanisten.} in seinem Buch
|
||||
Cardano}, auch Geronimo oder Girolamo Cardano (von Mailand) sowie Cardan,
|
||||
lateinisch Hieronymus Cardanus (Mediolanensis) (* 24.~September 1501 in Pavia; †
|
||||
21.~September 1576 in Rom), war ein italienischer Arzt, Philosoph und
|
||||
Mathematiker und zählt zu den Renaissance-Humanisten.} in seinem Buch
|
||||
\cite{Cardano45} veröffentlicht. Die Lösungsformeln für reduzierte kubischen
|
||||
Gleichungen wurden wohl von Nicolo
|
||||
Tartaglia\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Niccolo_Tartaglia}{Niccolò
|
||||
Tartaglia} (* 1499 oder 1500 in Brescia, Italien; † 13. Dezember 1557 in
|
||||
Venedig) war ein venezianischer Mathematiker der Renaissance, der für seine
|
||||
Beiträge zur Lösung der kubischen Gleichung bekannt ist. } entdeckt; laut
|
||||
Tartaglia} (* 1499 oder 1500 in Brescia, Italien; † 13.~Dezember 1557 in
|
||||
Venedig) war ein venezianischer Mathematiker der Renaissance, der für seine
|
||||
Beiträge zur Lösung der kubischen Gleichung bekannt ist. } entdeckt; laut
|
||||
Cardano sogar noch früher durch Scipione del
|
||||
Ferro\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferro}{Scipione
|
||||
del Ferro} (* 6. Februar 1465 in Bologna; † 5. November 1526 ebenda) war ein
|
||||
italienischer Mathematiker. Seit 1496 war er Professor für Arithmetik und
|
||||
Geometrie an der Universität von Bologna. }.
|
||||
del Ferro} (* 6.~Februar 1465 in Bologna; † 5.~November 1526 ebenda) war ein
|
||||
italienischer Mathematiker. Seit 1496 war er Professor für Arithmetik und
|
||||
Geometrie an der Universität von Bologna.}.
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Es seien $a$, $b$ und $c$ komplexe Zahlen. Gesucht sind komplexe Lösungen der
|
||||
|
|
@ -52,54 +52,53 @@ Ferro\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferro}{Scipione
|
|||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
Für Polynome vom Grad 5 wurde keine solche Formel gefunden. Das wirft Fragen
|
||||
auf. Waren die italienischen Mathematiker der Renaissance zu dumm? Gibt es eine
|
||||
solche Formel überhaupt? Die Frage war etliche Jahrhunderte offen. Tatsächlich
|
||||
ist die Frage ein wenig mit dem Konstruktionsproblem verwandt und durch die
|
||||
Theorie der Körpererweiterungen beantwortbar. Wir präzisieren die Fragestellung
|
||||
hier nur.
|
||||
auf. Waren die italienischen Mathematiker der Renaissance zu dumm? Gibt es
|
||||
eine solche Formel überhaupt? Die Frage war etliche Jahrhunderte offen.
|
||||
Tatsächlich ist die Frage ein wenig mit dem Konstruktionsproblem verwandt und
|
||||
durch die Theorie der Körpererweiterungen beantwortbar. Wir präzisieren die
|
||||
Fragestellung hier nur.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Radikalerweiterung]\label{def:radikal}
|
||||
\begin{defn}[Radikalerweiterung]\label{def:radikal}%
|
||||
Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt
|
||||
Radikalerweiterung\index{Radikalerweiterung} von $K$, wenn es Elemente
|
||||
$a_1, …, a_n∈ L$ und $r_1, …, r_n ∈ ℕ$ gibt, sodass Folgendes gilt.
|
||||
Radikalerweiterung\index{Radikalerweiterung} von $K$, wenn es Elemente $a_1,
|
||||
…, a_n∈ L$ und $r_1, …, r_n ∈ ℕ$ gibt, sodass Folgendes gilt.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Es ist $L = K(a_1, …, a_n)$.
|
||||
|
||||
\item Es ist $a_1^{r_1} ∈ K$, und für alle Indizes $1 < i ≤ n$ ist
|
||||
$a_i^{r_i} ∈ K(a_1, …, a_{i-1})$.
|
||||
\item Es ist $a_1^{r_1} ∈ K$, und für alle Indizes $1 < i ≤ n$ ist $a_i^{r_i}
|
||||
∈ K(a_1, …, a_{i-1})$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
Erklärung: die Definition der Radikalerweiterung sagt also, dass $a_1$ die
|
||||
$r_1$-te Wurzel eines Elements aus $K$, dass $a_2$ die $r_2$-te Wurzel eines
|
||||
Elements aus $K(a_1)$, etc. Nach Korollar~\ref{kro:eord} können wir
|
||||
schreiben
|
||||
Elements aus $K(a_1)$, etc. Nach Korollar~\ref{kro:eord} können wir schreiben
|
||||
\begin{align*}
|
||||
K(a_1) & = K+ K· a_1+K· a_1²+\dots+ K· a_1^{r_1-1}\\
|
||||
K(a_1, a_2)&= K(a_1)+K(a_1)· a_2+ \dots + K(a_1)· a_2^{r_2-1}\\
|
||||
&\:\:\: \vdots \\
|
||||
K(a_1, …, a_n)&= K(a_1, …, a_{n-1})+K(a_1, …, a_{n-1})· a_n + \dots + K(a_1, …, a_{n-1})· a_n^{r_n-1}.
|
||||
\end{align*}
|
||||
Jedes Element von $L$ lässt sich also durch einen Ausdruck darstellen, in dem nur
|
||||
(höhere) Wurzeln und Elemente aus $K$ vorkommen.
|
||||
Jedes Element von $L$ lässt sich also durch einen Ausdruck darstellen, in dem
|
||||
nur (höhere) Wurzeln und Elemente aus $K$ vorkommen.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Gleichung ist durch Radikale auflösbar]\label{def:gidra}
|
||||
Gegeben sei ein Körper $K$ und ein Polynom $f∈ K[x]$. Man sagt, die
|
||||
Gleichung $f(x) = 0$ ist \emph{durch Radikale Auflösbar}\index{Auflösbarkeit
|
||||
durch Radikale}, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt, in der $f$ eine
|
||||
\begin{defn}[Gleichung ist durch Radikale auflösbar]\label{def:gidra}%
|
||||
Gegeben sei ein Körper $K$ und ein Polynom $f∈ K[x]$. Man sagt, die Gleichung
|
||||
$f(x) = 0$ ist \emph{durch Radikale Auflösbar}\index{Auflösbarkeit durch
|
||||
Radikale}, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt, in der $f$ eine
|
||||
Nullstelle hat\footnote{Genauer: …, wenn es eine Radikalerweiterung $L/K$ gibt
|
||||
und ein Element $a ∈ L$, sodass $f(a)=0$ ist.}.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
Bei der klassischen Frage nach den Lösungen von Polynomen interessiert uns unter
|
||||
anderem ob ein Polynom
|
||||
anderem, ob ein Polynom
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
f(x) = x^n+b_1·x^{n-1} + \dots + b_{n-1}·x + b_n ∈ ℂ[x]
|
||||
\end{equation*}
|
||||
über dem Körper $ℚ(b_1, …, b_n) ⊂ ℂ$ eine Lösung durch Radikale hat,
|
||||
das heißt, ob sich zumindest eine Nullstelle von $f$ durch Kombinationen von
|
||||
rationalen Zahlen, den Koeffizienten $b_i$ und (höheren) Wurzeln ausdrücken
|
||||
lässt -- falls nicht, braucht man auf eine Lösungsformel gar nicht zu hoffen.
|
||||
über dem Körper $ℚ(b_1, …, b_n) ⊂ ℂ$ eine Lösung durch Radikale hat, das heißt,
|
||||
ob sich zumindest eine Nullstelle von $f$ durch Kombinationen von rationalen
|
||||
Zahlen, den Koeffizienten $b_i$ und (höheren) Wurzeln ausdrücken lässt -- falls
|
||||
nicht, braucht man auf eine Lösungsformel gar nicht zu hoffen.
|
||||
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
|
|
|
|||
199
05.tex
199
05.tex
|
|
@ -3,21 +3,16 @@
|
|||
|
||||
\chapter{Teilbarkeit}
|
||||
|
||||
Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
|
||||
\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
|
||||
bereitgestellt.
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Wohin geht die Reise…?}
|
||||
\section{Wohin geht die Reise… ?}
|
||||
|
||||
In den letzten Vorlesungen ist hoffentlich klar geworden, dass der Begriff
|
||||
``Minimalpolynom'' schrecklich wichtig ist. Wir haben aber noch nie darüber
|
||||
„Minimalpolynom“ schrecklich wichtig ist. Wir haben aber noch nie darüber
|
||||
gesprochen, wie man ein Minimalpolynom überhaupt findet.
|
||||
|
||||
\begin{problem}
|
||||
Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$, ein Element $a ∈ L$ und ein normiertes
|
||||
Polynom $f∈ K[x]$ mit $f(a)=0$. Wie kann ich entscheiden, ob $f$ das
|
||||
Minimalpolynom ist oder nicht.
|
||||
Minimalpolynom ist oder nicht?
|
||||
\end{problem}
|
||||
|
||||
Um solche Probleme anzugehen, untersuchen wir Polynomdivision und
|
||||
|
|
@ -26,15 +21,15 @@ welche Richtung die Argumentation geht.
|
|||
|
||||
\begin{beobachtung}
|
||||
Sei $L/K$ eine Körpererweiterung, sei $a ∈ L$ ein Element, das algebraisch
|
||||
über $K$ ist und sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$. Wenn jetzt
|
||||
$g(x) ∈ K[x]$ irgend ein anderes Polynom ist, dann haben wir in der Schule
|
||||
gelernt, dass wir das Polynom $g$ mit Rest durch $f$ teilen können. Am Ende
|
||||
schreibt man
|
||||
über $K$ ist und sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$. Wenn jetzt $g(x) ∈
|
||||
K[x]$ irgendein anderes Polynom ist, dann haben wir in der Schule gelernt,
|
||||
dass wir das Polynom $g$ mit Rest durch $f$ teilen können. Am Ende schreibt
|
||||
man
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
g(x) = q(x)·f(x)+ r(x)
|
||||
g(x) = q(x)·f(x)+ r(x),
|
||||
\end{equation*}
|
||||
wobei $q, r ∈ K[x]$ sind und $\deg r < \deg f$ ist. Angenommen $g$ hat $a$ als
|
||||
Nullstelle. Dann gilt:
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||||
wobei $q, r ∈ K[x]$ sind und $\deg r < \deg f$ ist. Angenommen $g$ hat $a$
|
||||
als Nullstelle. Dann gilt:
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||||
\begin{equation*}
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||||
0 = \underbrace{g(a)}_{=0}=\underbrace{q(a)· f(a)}_{=0}-r(a).
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||||
\end{equation*}
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||||
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@ -50,11 +45,11 @@ welche Richtung die Argumentation geht.
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|||
\section{Polynome mit Koeffizienten in Ringen}
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Wieder müssen wir erst etwas Sprache einführen, bevor wir echte Mathematik
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||||
machen können. Wir hatten in Definition~\vref{def:3-0-2} den ``Ring $K[x]$ der
|
||||
Polynome mit Koeffizienten im Körper $K$'' eingeführt. Das geht auch mit Ringen
|
||||
machen können. Wir hatten in Definition~\vref{def:3-0-2} den „Ring $K[x]$ der
|
||||
Polynome mit Koeffizienten im Körper $K$“ eingeführt. Das geht auch mit Ringen
|
||||
statt Körpern.
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||||
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||||
\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2r}
|
||||
\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2r}%
|
||||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Dann bezeichne mit $R[x]$ den Ring der
|
||||
Polynome mit Variable $x$ und Koeffizienten aus $R$.\index{Polynomring!mit
|
||||
Koeffizienten aus Ring} Ebenso bezeichnen wir mit $R[x_1, …, x_n]$ den Ring
|
||||
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@ -62,8 +57,8 @@ statt Körpern.
|
|||
\end{definition}
|
||||
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\begin{bsp}
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||||
Betrachte den Ring $R = ℤ$. Dann ist $3·x²-5·x+17 ∈ ℤ[x]$ und
|
||||
$4x²+3xy+y⁷ ∈ ℤ[x,y]$.
|
||||
Betrachte den Ring $R = ℤ$. Dann ist $3·x²-5·x+17 ∈ ℤ[x]$ und $4x²+3xy+y⁷ ∈
|
||||
ℤ[x,y]$.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}
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||||
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@ -79,11 +74,11 @@ Der Grad von Polynomen ist definiert wie üblich: Das Polynom
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$3xy+y+4x ∈ ℤ[x,y] $ hat beispielsweise den Grad $2$. In Integritätsringen
|
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verhält sich der Grad gut.
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\begin{satz}\label{Satz_Polynom_Grad}
|
||||
\begin{satz}\label{Satz_Polynom_Grad}%
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||||
Sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Dann gilt für alle
|
||||
Polynome\footnote{Das Nullpolynom hat per Definition den Grad $-∞$. Wir
|
||||
verwenden die Konvention $- ∞ + (- ∞) = -∞$ und $-∞ + n = - ∞$ für alle
|
||||
$n ≥ 0$.} $p$ und $q ∈ R[x]$:
|
||||
verwenden die Konvention $- ∞ + (- ∞) = -∞$ und $-∞ + n = - ∞$ für alle $n ≥
|
||||
0$.} $p$ und $q ∈ R[x]$:
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\deg (p·q) = (\deg p)+(\deg q).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
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@ -92,10 +87,10 @@ verhält sich der Grad gut.
|
|||
\begin{proof}
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||||
Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $p,q ≠ 0$. Sei
|
||||
$n := \deg p$ und $m := \deg q$. Dann finden wir Elemente $r_•$ und $s_•$ aus
|
||||
$R$ mit $r_n ≠ 0$ und $s_m≠ 0$, so dass wir schreiben können:
|
||||
$R$ mit $r_n ≠ 0$ und $s_m≠ 0$, sodass wir schreiben können:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
p(x) & = r_0 + r_1·x + \dots + r_n·x^n \\
|
||||
q(x) & = s_0+ s_1· x + \dots + s_m· x^m
|
||||
q(x) & = s_0+ s_1· x + \dots + s_m· x^m.
|
||||
\end{align*}
|
||||
Dann ist weiter
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
|
|
@ -137,12 +132,12 @@ verhält sich der Grad gut.
|
|||
|
||||
\section{Teilbarkeit in Ringen}
|
||||
|
||||
In der (Grund-)schule haben wir den Begriff ``Teiler'' kennen gelernt. In
|
||||
In der (Grund-)Schule haben wir den Begriff „Teiler“ kennengelernt. In
|
||||
allgemeinen Ringen geht das nicht anders.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Teiler]
|
||||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $r$, $s ∈ R$. Man nennt $r$ einen
|
||||
\emph{Teiler von $s$}\index{Teiler}, wenn es $q ∈ R$ gibt, so dass $r·q = s$
|
||||
\emph{Teiler von $s$}\index{Teiler}, wenn es $q ∈ R$ gibt, sodass $r·q = s$
|
||||
ist. Wir schreiben dann $r|s$.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
|
|
@ -171,7 +166,7 @@ allgemeinen Ringen geht das nicht anders.
|
|||
|
||||
Wenn wir in der Schule Teilbarkeitsüberlegungen in $ℤ$ angestellt hatten, war
|
||||
das Vorzeichnen meist nicht wichtig. Die folgende Definition formalisiert in
|
||||
bombastischer Sprache die Phrase ``unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen''.
|
||||
bombastischer Sprache die Phrase „unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen“.
|
||||
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||||
\begin{satzdef}[Zueinander assoziierte Elemente]
|
||||
Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und es seien $r$, $s$ zwei
|
||||
|
|
@ -179,19 +174,18 @@ bombastischer Sprache die Phrase ``unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen''.
|
|||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{Satz_assoziiert_1} Es gilt gleichzeitig $r|s$ und $s|r$.
|
||||
|
||||
\item\label{Satz_assoziiert_2} Es existiert ein Element $ε ∈ R^*$, so dass
|
||||
\item\label{Satz_assoziiert_2} Es existiert ein Element $ε ∈ R^*$, sodass
|
||||
$ε·r=s$ ist.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Sind die Bedingungen erfüllt, nennt man $r$ und $s$ \emph{zueinander
|
||||
assoziiert}\index{assoziierte Ringelemente} und schreibt $r \sim s$.
|
||||
\end{satzdef}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Wir beweisen die Richtung
|
||||
\ref{Satz_assoziiert_2}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_1}. Wegen
|
||||
$ε· r = s$ gilt $r|s$. Multiplikation mit $ε^{-1}$
|
||||
liefert $r = ε^{-1}·s$, also gilt $s|r$. Wir beweisen als nächstes
|
||||
die Richtung \ref{Satz_assoziiert_1}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_2}.
|
||||
Nach Annahme existieren $u,v∈ R$ mit
|
||||
Wir beweisen die Richtung \ref{Satz_assoziiert_2}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_1}.
|
||||
Wegen $ε· r = s$ gilt $r|s$. Multiplikation mit $ε^{-1}$ liefert $r =
|
||||
ε^{-1}·s$, also gilt $s|r$. Wir beweisen als Nächstes die Richtung
|
||||
\ref{Satz_assoziiert_1}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_2}. Nach Annahme existieren
|
||||
$u,v∈ R$ mit
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
u· r=s \quad\text{und}\quad v· s=r.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
|
@ -209,7 +203,7 @@ Teiler.
|
|||
\begin{definition}[Echte Teiler, irreduzible Elemente]
|
||||
Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und $r$, $s ∈ R$ seien zwei
|
||||
Elemente. Dann ist $r$ ein \emph{echter Teiler von $s$}\index{echter
|
||||
Teiler}\index{Teiler!echter}, wenn alle der folgenden Bedingungen gelten
|
||||
Teiler}\index{Teiler!echter}, wenn alle der folgenden Bedingungen gelten.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Es gilt $r|s$.
|
||||
|
||||
|
|
@ -233,26 +227,26 @@ Teiler.
|
|||
|
||||
\begin{warnung}
|
||||
Beispiel~\ref{bsp:iZ} ist ein bisschen gefährlich. Wir werden später für
|
||||
beliebige Ringe Ringe auch noch einen Begriff von ``Primelement'' definieren.
|
||||
beliebige Ringe auch noch einen Begriff von „Primelement“ definieren.
|
||||
\end{warnung}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Zerlegbarkeit von Elementen}
|
||||
|
||||
In der Schule wurde die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen hoffentlich
|
||||
ausführlich diskutiert: jede ganze Zahl $m ∈ ℤ$ lässt sich als Produkt von
|
||||
irreduziblen Elementen (=so genannte ``Primzahlen'') schreiben,
|
||||
ausführlich diskutiert: Jede ganze Zahl $m ∈ ℤ$ lässt sich als Produkt von
|
||||
irreduziblen Elementen (=sogenannte „Primzahlen“) schreiben,
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
m= (± p_1)·(± p_2)⋯(± p_n),
|
||||
\end{equation*}
|
||||
wobei das Produkt bis auf die Reihenfolge der Faktoren und die Vorzeichen
|
||||
eindeutig festgelegt ist. So etwas hätten wir gern auch für beliebige Ringe!
|
||||
|
||||
\begin{warning}\label{war:nufd}
|
||||
\begin{warning}\label{war:nufd}%
|
||||
Zu früh gefreut. Geht nicht. Ich behaupte, dass die folgende Menge von
|
||||
komplexen Zahlen,
|
||||
\[
|
||||
R := \{ a+b·\sqrt{5}i ∈ ℂ \:|\: a,b ∈ ℤ\}.
|
||||
R := \{ a+b·\sqrt{5}i ∈ ℂ \:|\: a,b ∈ ℤ\},
|
||||
\]
|
||||
einen Unterring des Körpers $ℂ$ bildet; dieser wird in der Literatur oft mit
|
||||
$ℤ[\sqrt{-5}]$ bezeichnet. Ich behaupte auch, dass die Elemente
|
||||
|
|
@ -274,35 +268,35 @@ eindeutig festgelegt ist. So etwas hätten wir gern auch für beliebige Ringe!
|
|||
eine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt. Dazu sind folgende Definitionen
|
||||
relevant.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Teilerkette für Elemente]\label{def:TK}
|
||||
\begin{defn}[Teilerkette für Elemente]\label{def:TK}%
|
||||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine \emph{Teilerkette}\index{Teilerkette}
|
||||
in $R$ ist eine Folge von Elementen $(r_n)_{n∈ℕ}$ aus $R$, so dass für alle
|
||||
$n ∈ ℕ$ gilt: $r_{n+1}|r_n$.
|
||||
in $R$ ist eine Folge von Elementen $(r_n)_{n∈ℕ}$ aus $R$, sodass für alle $n
|
||||
∈ ℕ$ gilt: $r_{n+1}|r_n$.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Teilerkettensatz für Elemente]\label{def:TKSE}
|
||||
\begin{defn}[Teilerkettensatz für Elemente]\label{def:TKSE}%
|
||||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Man sagt \emph{in $R$ gilt der
|
||||
Teilerkettensatz für Elemente}\index{Teilerkettensatz!für Elemente}, wenn
|
||||
für jede Teilerkette $(r_n)_{n ∈ ℕ}$ ein $n_0∈ℕ$ existiert, so dass für alle
|
||||
$k ≥ n_0$ gilt: die Elemente $r_{k+1}$ und $r_k$ sind assoziiert.
|
||||
Teilerkettensatz für Elemente}\index{Teilerkettensatz!für Elemente}, wenn für
|
||||
jede Teilerkette $(r_n)_{n ∈ ℕ}$ ein $n_0∈ℕ$ existiert, sodass für alle $k ≥
|
||||
n_0$ gilt: Die Elemente $r_{k+1}$ und $r_k$ sind assoziiert.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{rem}
|
||||
Die Forderung ``für alle $k ≥ n_0$ gilt $r_{k+1} \sim r_k$ sind
|
||||
assoziiert'' lässt sich auch so ausdrücken: es gibt nur endlich viele
|
||||
$n ∈ ℕ$, so dass $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist.
|
||||
Die Forderung „für alle $k ≥ n_0$ gilt $r_{k+1} \sim r_k$ sind assoziiert“
|
||||
lässt sich auch so ausdrücken: Es gibt nur endlich viele $n ∈ ℕ$, sodass
|
||||
$r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist.
|
||||
\end{rem}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
In $ℤ$ gilt der Teilerkettensatz, denn wenn $r_n$ eine Teilerkette ist, dann
|
||||
gilt $|r_1| ≥ |r_2| ≥ ⋯$ und wenn $r_{n+1}$ ein echter Teiler von
|
||||
$r_{n}$ ist, dann ist $|r_n| > |r_{n+1}|$.
|
||||
gilt $|r_1| ≥ |r_2| ≥ ⋯$ und wenn $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist,
|
||||
dann ist $|r_n| > |r_{n+1}|$.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Analog zur Situation in $ℤ$ kann man im Polynomring $K[x]$ über einem Körper
|
||||
$K$ schließen, dass der Teilerkettensatz gilt. Dazu betrachte man den Grad von
|
||||
Polynomen anstelle des Betrages.
|
||||
$K$ schließen, dass der Teilerkettensatz gilt. Dazu betrachte man den Grad
|
||||
von Polynomen anstelle des Betrages.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{warnung}
|
||||
|
|
@ -312,17 +306,17 @@ relevant.
|
|||
|
||||
Der folgende Satz ist wirklich klassisch, er geht auf
|
||||
Euklid\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Euklid}{Euklid von
|
||||
Alexandria} war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im 3.\
|
||||
Jahrhundert v.\ Chr.\ in Alexandria gelebt hat.} zurück. Der Beweis, den wir
|
||||
Alexandria} war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im
|
||||
3.~Jahrhundert v.~Chr.~in Alexandria gelebt hat.} zurück. Der Beweis, den wir
|
||||
hier vorstellen, ist genial-elegant-modern und von Emmy
|
||||
Noether\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether}{Amalie Emmy
|
||||
Noether} (Emmy war der Rufname; geb. am 23. März 1882 in Erlangen; gest. am
|
||||
14. April 1935 in Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin,
|
||||
die grundlegende Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik
|
||||
lieferte. Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren
|
||||
revolutioniert. Das nach ihr benannte Noether-Theorem gibt die Verbindung
|
||||
zwischen Symmetrien von physikalischen Naturgesetzen und Erhaltungsgrößen
|
||||
an.}. Die Beweismethode ist heute als ``Noethersche Induktion'' bekannt.
|
||||
Noether} (Emmy war der Rufname; geb.~am 23.~März 1882 in Erlangen; gest.~am
|
||||
14.~April 1935 in Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin, die
|
||||
grundlegende Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik
|
||||
lieferte. Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren
|
||||
revolutioniert. Das nach ihr benannte Noether-Theorem gibt die Verbindung
|
||||
zwischen Symmetrien von physikalischen Naturgesetzen und Erhaltungsgrößen an.}.
|
||||
Die Beweismethode ist heute als „Noethersche Induktion“ bekannt.
|
||||
|
||||
\begin{satz}\label{satz:tksgz}
|
||||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring in dem der Teilerkettensatz für Elemente
|
||||
|
|
@ -341,7 +335,7 @@ Nach dem Kriterium für die Existenz einer Zerlegung kommen wir jetzt zur Frage
|
|||
der Eindeutigkeit. Die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen ist eindeutig bis
|
||||
auf Vorzeichen (=Multiplikation mit Einheiten) und Reihenfolge. Zwei
|
||||
Darstellungen, die sich nur in Reihenfolge und Einheiten unterscheiden, nenne
|
||||
wir ``äquivalent''.
|
||||
wir „äquivalent“.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Äquivalente Zerlegungen]
|
||||
Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring, es sei $r ∈ R$ ein Element und es
|
||||
|
|
@ -351,7 +345,7 @@ wir ``äquivalent''.
|
|||
\]
|
||||
zwei Darstellungen von $r$ als Produkt von irreduziblen Elementen. Die
|
||||
Darstellungen heißen \emph{äquivalent}\index{äquivalente Darstellungen}, wenn
|
||||
gilt $n = m$ und wenn es eine Permutation $σ ∈ S_n$ gibt, so dass für alle
|
||||
gilt $n = m$ und wenn es eine Permutation $σ ∈ S_n$ gibt, sodass für alle
|
||||
Indizes gilt $p_i \sim q_{σ(i)}$.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
|
|
@ -407,21 +401,20 @@ wichtig.
|
|||
a· b = p(q_1· q_2· p+ q_1· b_1+ q_2· a_1)+a_1· b_1,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
also $p|(a_1· b_1)$. Betrachte jetzt die kleinste natürliche Zahl, die als
|
||||
Produkt $a· b$ geschrieben werden kann mit $p|(a· b)$ aber $p \nmid a$
|
||||
und $p \nmid b$. Nach der Untersuchung oben gilt: $1<a<p$ und $1<b<p$ also
|
||||
$1 < a· b < p²$. Sei $h=\frac{a· b}{p}∈ℤ$, also
|
||||
$p· h = a· b$. Dann gilt $1<h$, weil $p$ irreduzibel ist und $h<p$,
|
||||
weil $a· b <p²$. Sei nun $p^\prime$ ein positiver irreduzibler Faktor von
|
||||
$h$ (möglicherweise sogar $h$ selbst, wenn $h$ irreduzibel ist). Dann gilt
|
||||
natürlich auch $p^\prime< p$. Nach Wahl von $p$ (kleinste Zahl, die
|
||||
irreduzibel ist und nicht prim) ist $p^\prime$ prim. Da $p^\prime|h$,
|
||||
$h|(a· b)$ folgt $p^\prime|(a· b)$ und daraus folgt $p^\prime|a$ oder
|
||||
$p^\prime|b$.
|
||||
Produkt $a·b$ geschrieben werden kann, mit $p|(a· b)$ aber $p \nmid a$ und $p
|
||||
\nmid b$. Nach der Untersuchung oben gilt: $1<a<p$ und $1<b<p$ also $1 < a· b
|
||||
< p²$. Sei $h=\frac{a· b}{p}∈ℤ$, also $p· h = a· b$. Dann gilt $1<h$, weil
|
||||
$p$ irreduzibel ist und $h<p$, weil $a· b <p²$. Sei nun $p^\prime$ ein
|
||||
positiver irreduzibler Faktor von $h$ (möglicherweise sogar $h$ selbst, wenn
|
||||
$h$ irreduzibel ist). Dann gilt natürlich auch $p^\prime< p$. Nach Wahl von
|
||||
$p$ (kleinste Zahl, die irreduzibel ist und nicht prim) ist $p^\prime$ prim.
|
||||
Da $p^\prime|h$, $h|(a· b)$ folgt $p^\prime|(a· b)$ und daraus folgt
|
||||
$p^\prime|a$ oder $p^\prime|b$.
|
||||
|
||||
Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass $p^\prime|a$ gilt. Dann ist
|
||||
$a=p^\prime· a^\prime$ und $h=p^\prime· h^\prime$ und somit
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
p^\prime· h^\prime· p=p^\prime· a^\prime· b\quad⇒\quad h^\prime· p= a^\prime· b
|
||||
p^\prime· h^\prime· p=p^\prime· a^\prime· b\quad⇒\quad h^\prime· p= a^\prime·b.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Weil $a^\prime· b< a· b$ ist, folgt $p|a^\prime$ oder $p|b$ nach Wahl
|
||||
von $a· b$. Es folgt $p|a$ oder $p|b$, Widerspruch!
|
||||
|
|
@ -467,7 +460,7 @@ wichtig.
|
|||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{rem}
|
||||
In der Literatur findet man statt ``faktoriell'' manchmal auch die Adjektive
|
||||
In der Literatur findet man statt „faktoriell“ manchmal auch die Adjektive
|
||||
\emph{ZPE}\index{ZPE} (= \textbf{Z}erlegung in \textbf{P}rimelemente ist
|
||||
\textbf{E}indeutig) oder \emph{UFD}\index{UFD} (= \textbf{U}nique
|
||||
\textbf{F}actorization \textbf{D}omain).
|
||||
|
|
@ -484,7 +477,7 @@ wichtig.
|
|||
|
||||
Weitere Beispiele lassen sich mit dem folgenden Satz finden.
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||||
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||||
\begin{satz}[Satz von Gauß\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss}{Johann Carl Friedrich Gauß} (* 30. April 1777 in Braunschweig; † 23. Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Statistiker, Astronom, Geodät und Physiker.}]\label{Satz_Satz_von_Gauss}
|
||||
\begin{satz}[Satz von Gauß\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss}{Johann Carl Friedrich Gauß} (* 30.~April 1777 in Braunschweig; † 23.~Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Statistiker, Astronom, Geodät und Physiker.}]\label{Satz_Satz_von_Gauss}
|
||||
Es sei $R$ ein faktorieller Ring. Dann ist auch der Polynomring
|
||||
$R[x_1, …, x_n]$ faktoriell.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
|
@ -496,7 +489,7 @@ Weitere Beispiele lassen sich mit dem folgenden Satz finden.
|
|||
Der Beweis des Satzes von Gauß verwendet folgendes Lemma.\sideremark{Vorlesung
|
||||
6}
|
||||
|
||||
\begin{lem}\label{Lemma_Hilfslemma}
|
||||
\begin{lem}\label{Lemma_Hilfslemma}%
|
||||
Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Ist $p ∈ R$ ein Primelement,
|
||||
dann ist $p$ auch im Polynomring $R[x]$ prim.
|
||||
\end{lem}
|
||||
|
|
@ -512,26 +505,26 @@ Der Beweis des Satzes von Gauß verwendet folgendes Lemma.\sideremark{Vorlesung
|
|||
\section{Primfaktorzerlegung}
|
||||
|
||||
Wenn $R$ ein faktorieller Ring ist, dann haben wir schon gesehen, dass ich jedes
|
||||
Element auf ``nahezu eindeutige Weise'' als Produkt von Primelementen schreiben
|
||||
kann. So ist die Zahl $6 ∈ ℤ$ als $6 = 3·2$ oder $6 = (-3)·(-2)$
|
||||
darstellbar. Natürlich würde aber niemand freiwillig negative Zahlen verwenden,
|
||||
denn wir finden positive Zahlen wesentlich angenehmer als negative. Eine
|
||||
derartige Konvention kann man auch in beliebigen Ringen verwenden.
|
||||
Element auf „nahezu eindeutige Weise“ als Produkt von Primelementen schreiben
|
||||
kann. So ist die Zahl $6 ∈ ℤ$ als $6 = 3·2$ oder $6 = (-3)·(-2)$ darstellbar.
|
||||
Natürlich würde aber niemand freiwillig negative Zahlen verwenden, denn wir
|
||||
finden positive Zahlen wesentlich angenehmer als negative. Eine derartige
|
||||
Konvention kann man auch in beliebigen Ringen verwenden.
|
||||
|
||||
Gegeben ein Ring $R$, dann ist die Relation ``äquivalent'' eine
|
||||
Äquivalenzrelation auf der Menge der Primelemente und zerlegt diese Menge
|
||||
deshalb in Äquivalenzklassen. Um die Produktdarstellung noch etwas einfacher zu
|
||||
machen, müssen wir aus jeder Äquivalenzklasse einen Vertreter auswählen. Dann
|
||||
sind wir in der folgenden Situation.
|
||||
Gegeben ein Ring $R$, dann ist die Relation „äquivalent“ eine Äquivalenzrelation
|
||||
auf der Menge der Primelemente und zerlegt diese Menge deshalb in
|
||||
Äquivalenzklassen. Um die Produktdarstellung noch etwas einfacher zu machen,
|
||||
müssen wir aus jeder Äquivalenzklasse einen Vertreter auswählen. Dann sind wir
|
||||
in der folgenden Situation.
|
||||
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||||
\begin{situation}\label{sit:5-5-1}
|
||||
\begin{situation}\label{sit:5-5-1}%
|
||||
Es sei $R$ ein faktorieller Ring und $(p_i)_{i ∈ I}$ sei ein
|
||||
Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen (das bedeutet:
|
||||
für jedes Primelement $p ∈ R$ gibt es genau einen Index $i$, so dass
|
||||
$p \sim p_i$ ist).
|
||||
für jedes Primelement $p ∈ R$ gibt es genau einen Index $i$, sodass $p \sim
|
||||
p_i$ ist).
|
||||
\end{situation}
|
||||
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||||
Ein ``Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen'' existiert
|
||||
Ein „Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen“ existiert
|
||||
wegen des Auswahlaxioms natürlich immer, aber manchmal gibt es besonders
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||||
einleuchtende Wahlen.
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||||
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||||
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@ -551,7 +544,7 @@ einleuchtende Wahlen.
|
|||
r = ε·\prod_{i∈I} (p_i)^{ν_i}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
wobei $ε ∈ R^*$ und $ν_i ∈ ℕ$ sind; außerdem sind alle bis auf endlich viele
|
||||
Exponenten gleich $0$. Dies Darstellung heißt \emph{normierte
|
||||
Exponenten gleich $0$. Diese Darstellung heißt \emph{normierte
|
||||
Primfaktorzerlegung}\index{normierte
|
||||
Primfaktorzerlegung}\index{Primfaktorzerlegung!normiert} von $r$ zum
|
||||
Repräsentantensystem $(p_i)_{i ∈ I}$.
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||||
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@ -560,7 +553,7 @@ einleuchtende Wahlen.
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|||
Hier ist nicht viel zu beweisen. Ist $r ∈ R^*$, so wähle $ε = r$ und setzt
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||||
$ν_i = 0$ für alle $i$. Ansonsten zerlege $r$ in irreduzible Faktoren,
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||||
$r = p'_{i_1}⋯p'_{i_n}$. Jeder Faktor $p'_{i_j}$ ist zu einem der $p_{i_j}$
|
||||
assoziiert, also gib es $ε_j ∈ R^*$, so dass $p'_{i_j} = ε_j·p_{i_j}$ ist.
|
||||
assoziiert, also gib es $ε_j ∈ R^*$, sodass $p'_{i_j} = ε_j·p_{i_j}$ ist.
|
||||
Setze $ε = \prod_{j=1}^n ε_j$ und fasse die Faktoren $p_•$, die mehrfach
|
||||
auftauchen, zusammen. Die Eindeutigkeit ist klar.
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||||
\end{proof}
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||||
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@ -581,7 +574,7 @@ sofort ablesen.
|
|||
gilt.
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||||
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||||
\item Es ist $r || s$ genau dann, wenn für alle $i∈I$ die Ungleichung
|
||||
$ν_i ≤ μ_i$ gilt und wenn zusätzlich ein $j∈I$ existiert, so dass
|
||||
$ν_i ≤ μ_i$ gilt und wenn zusätzlich ein $j∈I$ existiert, sodass
|
||||
$ν_j < μ_j$ ist.
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||||
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||||
\item Es ist $r \sim s$ genau dann, wenn für alle $i∈I$ gilt, dass $ν_i = μ_i$
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||||
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@ -593,14 +586,14 @@ sofort ablesen.
|
|||
\section{ggT und kgV}
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||||
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||||
Je nach Geburtsjahrgang haben Sie in Kindergarten, Vorschule, Grundschule,
|
||||
Gymnasium oder Studium den Begriff ``größter gemeinsamer Teiler'' und
|
||||
``kleinstes gemeinsames Vielfaches'' kennen gelernt. Auch diese Begriffe
|
||||
übertragen sich ohne weiteres auf Ringe.
|
||||
Gymnasium oder Studium den Begriff „größter gemeinsamer Teiler“ und „kleinstes
|
||||
gemeinsames Vielfaches“ kennengelernt. Auch diese Begriffe übertragen sich ohne
|
||||
weiteres auf Ringe.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Größter gemeinsamer Teiler]
|
||||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und es seien $r,s∈ R$ zwei Elemente.
|
||||
Ein Element $g ∈ R$ heißt \emph{größter gemeinsamer Teiler\index{größter
|
||||
gemeinsamer Teiler} von $r$ und $s$} wenn Folgendes gilt.
|
||||
gemeinsamer Teiler} von $r$ und $s$}, wenn Folgendes gilt.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Es ist $g|r$ und $g|s$.
|
||||
|
||||
|
|
@ -612,7 +605,7 @@ Gymnasium oder Studium den Begriff ``größter gemeinsamer Teiler'' und
|
|||
\begin{defn}[Kleinstes gemeinsames Vielfaches]
|
||||
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und es seien $r,s∈ R$ zwei Elemente. Ein
|
||||
Element $v ∈ R$ heißt \emph{kleines gemeinsames Vielfaches}\index{kleinstes
|
||||
gemeinsames Vielfaches} von $r$ und $s$ wenn Folgendes gilt.
|
||||
gemeinsames Vielfaches} von $r$ und $s$, wenn Folgendes gilt.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Es ist $r|v$ und $s|v$.
|
||||
|
||||
|
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@ -665,7 +658,7 @@ keine Gedanken machen.
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|||
\subsection{Der Euklidische Algorithmus}
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||||
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||||
Die Primfaktorzerlegung eines Elementes in einem faktoriellen Ring zu bestimmen,
|
||||
ist fast immer sehr schwer. In manchen Ringen kann man aber das kgV bestimmen
|
||||
ist fast immer sehr schwer. In manchen Ringen kann man aber das kgV bestimmen,
|
||||
ohne die Primfaktorzerlegung explizit zu kennen.
|
||||
|
||||
\begin{bsp}\label{bsp:5-6-7}
|
||||
|
|
|
|||
32
06.tex
32
06.tex
|
|
@ -30,20 +30,20 @@ Quotientenkörper.
|
|||
Integritätsring an.
|
||||
\end{obs}
|
||||
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||||
Die folgende Definition klärt ganz präzise, was wir mit einem ``möglichst
|
||||
kleinen Körper, der $R$ enthält'' eigentlich genau meinen. Wenn Sie bei mir die
|
||||
Vorlesung ``Lineare Algebra'' gehört haben, dann wird Ihnen die folgende
|
||||
Die folgende Definition klärt ganz präzise, was wir mit einem „möglichst kleinen
|
||||
Körper, der $R$ enthält“ eigentlich genau meinen. Wenn Sie bei mir die
|
||||
Vorlesung „Lineare Algebra“ gehört haben, dann wird Ihnen die folgende
|
||||
Definition sehr vertraut vorkommen. Falls nicht, ist jetzt die perfekte
|
||||
Gelegenheit, alles über ``universelle Eigenschaften'' zu lernen.
|
||||
Gelegenheit, alles über „universelle Eigenschaften“ zu lernen.
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Quotientenkörper]
|
||||
Sei $R$ ein Integritätsring. Ein \emph{Quotientenkörper von
|
||||
$R$}\index{Quotientenkörper} ist ein Körper $K$ zusammen mit einem
|
||||
injektiven Ringhomomorphismus $ι : R → K$, sodass folgende universelle
|
||||
Eigenschaft gilt: Ist $j : R → L$ ein weiterer injektiver Ringhomomorphismus
|
||||
von $R$ in einem Körper $L$, dann existiert genau ein Ringhomomorphismus
|
||||
$h:K→ L$, sodass $j=h◦ i$ ist. Mit anderen Worten, es existiert genau ein
|
||||
Ringhomomorphismus, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
|
||||
$R$}\index{Quotientenkörper} ist ein Körper $K$ zusammen mit einem injektiven
|
||||
Ringhomomorphismus $ι : R → K$, sodass folgende universelle Eigenschaft gilt:
|
||||
Ist $j : R → L$ ein weiterer injektiver Ringhomomorphismus von $R$ in einem
|
||||
Körper $L$, dann existiert genau ein Ringhomomorphismus $h:K→ L$, sodass $j=h◦
|
||||
i$ ist. Mit anderen Worten, es existiert genau ein Ringhomomorphismus, sodass
|
||||
das folgende Diagramm kommutiert,
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
R \ar[r, hook, "ι"] \ar[d, equals] & K \ar[d, "∃ ! h"] \\
|
||||
|
|
@ -93,15 +93,15 @@ Quotientenkörpers. Den folgenden Beweis sollten Sie genau verstehen!
|
|||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Der Witz ist, dass die Abbildung $h$ aus Satz~\ref{satz:edvq} eindeutig gegeben
|
||||
ist. Die Aussage ``es existiert eine eindeutiger Morphismus'' ist eine viel
|
||||
bessere Aussage als ``es existiert irgendein Morphismus (dessen Konstruktion
|
||||
vielleicht von irgendwelchen Wahlen abhängt, die ich treffen muss)''. Das ist
|
||||
super-wichtig! Man sagt, ``Quotientenkörper sind eindeutig bis auf kanonische
|
||||
Isomorphie''.
|
||||
ist. Die Aussage „es existiert eine eindeutiger Morphismus“ ist eine viel
|
||||
bessere Aussage als „es existiert irgendein Morphismus (dessen Konstruktion
|
||||
vielleicht von irgendwelchen Wahlen abhängt, die ich treffen muss)“. Das ist
|
||||
super-wichtig! Man sagt, „Quotientenkörper sind eindeutig bis auf kanonische
|
||||
Isomorphie“.
|
||||
|
||||
\begin{notation}
|
||||
Obwohl Quotientenkörper nur bis auf kanonische Isomorphie eindeutig sind,
|
||||
spricht man oft von ``dem'' Quotientenkörper. Die Notation $Q(R)$ ist üblich.
|
||||
spricht man oft von „dem“ Quotientenkörper. Die Notation $Q(R)$ ist üblich.
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Existenz von Quotientenkörpern]
|
||||
|
|
|
|||
58
07.tex
58
07.tex
|
|
@ -12,8 +12,8 @@ ist.
|
|||
|
||||
Für Polynome $f ∈ ℚ[x]$ werden wir die Frage nach der Irreduzibilität
|
||||
vollständig beantworten. Wir erinnern uns daran, wie die Frage nach der
|
||||
Konstruierbarkeit der ``Verdoppelung des Würfels'' mit der Frage zusammenhing,
|
||||
ob das Polynom $x³-2 ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
|
||||
Konstruierbarkeit der „Verdoppelung des Würfels“ mit der Frage zusammenhing, ob
|
||||
das Polynom $x³-2 ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}
|
||||
Im Ring $ℤ[x]$ sind Teilbarkeitsfragen oft durch Teilbarkeitsbetrachtungen der
|
||||
|
|
@ -40,7 +40,7 @@ ob das Polynom $x³-2 ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
|
|||
Das folgende Irreduzibilitätskriterium von Gauß\index{Irreduzibilitätskriterium
|
||||
von Gauß} zeigt, dass $x³-2$ dann auch irreduzibel in $ℚ[x]$ ist!
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Irreduzibilitätskriterium von Gauß]\label{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus}
|
||||
\begin{satz}[Irreduzibilitätskriterium von Gauß]\label{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus}%
|
||||
Es sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K=Q(R)$ sein Quotientenkörper und es
|
||||
sei ein Polynom $f ∈ R[x]$ von positivem Grad gegeben. Wenn $f$ in $R[x]$
|
||||
irreduzibel ist, dann ist $f$ auch in $K[x]$ irreduzibel.
|
||||
|
|
@ -49,18 +49,18 @@ Das folgende Irreduzibilitätskriterium von Gauß\index{Irreduzibilitätskriteri
|
|||
Als Vorbereitung zum Beweis zeigen wir erst einmal das folgende Lemma. Das
|
||||
Lemma zeigt auch, wie natürlich das Kriterium von Gauß ist.
|
||||
|
||||
\begin{lemma}\label{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}
|
||||
Sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K = Q(R)$ der Quotientenkörper und
|
||||
$g ∈ K[x] ∖ \{0\}$ sei ein Polynom. Dann existiert ein $a∈ K∖ \{0\}$, sodass
|
||||
$a· g$ in $R[x]$ ist und sodass der $\ggT$ der Koeffizienten von $a· g$ gleich
|
||||
$1$ ist.
|
||||
\begin{lemma}\label{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}%
|
||||
Sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K = Q(R)$ der Quotientenkörper und $g ∈
|
||||
K[x] ∖ \{0\}$ sei ein Polynom. Dann existiert ein $a∈ K∖ \{0\}$, sodass $a·
|
||||
g$ in $R[x]$ ist und sodass der $\ggT$ der Koeffizienten von $a· g$ gleich $1$
|
||||
ist.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Wir hatten nur den $\ggT$ für zwei Elemente definiert, die Definition geht
|
||||
genau so für mehr als zwei Elemente. Für Polynome
|
||||
$a_0 + a_1·x + ⋯ + a_m·x^m ∈ R[x]$ ist die Bedingung $\ggT(a_0, …, a_m) = 1$
|
||||
notwendig, aber nicht hinreichend für die Irreduzibilität.
|
||||
genau so für mehr als zwei Elemente. Für Polynome $a_0 + a_1·x + ⋯ + a_m·x^m
|
||||
∈ R[x]$ ist die Bedingung $\ggT(a_0, …, a_m) = 1$ notwendig, aber nicht
|
||||
hinreichend für die Irreduzibilität.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}]
|
||||
|
|
@ -81,7 +81,7 @@ in endlich vielen Rechenschritten entscheiden ($→$Klausur). Ein Verfahren sol
|
|||
jetzt ganz kurz skizziert werden. Den folgenden Satz kennen Sie vielleicht aus
|
||||
den Anfängervorlesungen.
|
||||
|
||||
\begin{erinnerung}[Lagrangesche Interpolationsformel\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange}{Joseph-Louis de Lagrange} (* 25. Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; † 10. April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.}\index{Lagrangesche Interpolationsformel}]
|
||||
\begin{erinnerung}[Lagrangesche Interpolationsformel\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange}{Joseph-Louis de Lagrange} (* 25.~Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; † 10.~April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.}\index{Lagrangesche Interpolationsformel}]%
|
||||
Es sei $K$ ein Körper\footnote{Wir denken an $K = ℚ$.}, es sei $f(x) ∈ K[x]$
|
||||
ein Polynom vom Grad $≤ n$ und es seien $a_1, …, a_{n+1}∈ K$ paarweise
|
||||
verschiedene Elemente. Dann ist $f$ durch seine Werte $f(a_1), …, f(a_{n+1})$
|
||||
|
|
@ -137,16 +137,16 @@ Frage nach der Irreduzibilität zwar beantworten, allerdings sind die nötigen
|
|||
Rechnungen ziemlich aufwändig (besonders bei Zeitdruck in einer Klausur!). Das
|
||||
folgende Kriterium von Theodor
|
||||
Schönemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Theodor_Sch\%C3\%B6nemann}{Theodor
|
||||
Schönemann} (* 4. April 1812 in Driesen, Friedebergischer Kreis; †
|
||||
16. Januar 1868 in Brandenburg an der Havel) war ein deutscher Mathematiker.},
|
||||
das in der Literatur durchgehend falsch mit ``Eisenstein-Kriterium''
|
||||
Schönemann} (* 4.~April 1812 in Driesen, Friedebergischer Kreis; † 16.~Januar
|
||||
1868 in Brandenburg an der Havel) war ein deutscher Mathematiker.}, das in der
|
||||
Literatur durchgehend falsch mit „Eisenstein-Kriterium“
|
||||
bezeichnet\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gotthold_Eisenstein}{Ferdinand
|
||||
Gotthold Max Eisenstein} (* 16. April 1823 in Berlin; † 11. Oktober 1852
|
||||
ebenda) war ein deutscher Mathematiker, der hauptsächlich in der Zahlentheorie
|
||||
und über elliptische Funktionen arbeitete.} wird, ist oft viel schneller. Es
|
||||
ist so wichtig, dass es dazu sogar
|
||||
Gotthold Max Eisenstein} (* 16.~April 1823 in Berlin; † 11.~Oktober 1852 ebenda)
|
||||
war ein deutscher Mathematiker, der hauptsächlich in der Zahlentheorie und über
|
||||
elliptische Funktionen arbeitete.} wird, ist oft viel schneller. Es ist so
|
||||
wichtig, dass es dazu sogar
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium}{eine eigene Seite auf
|
||||
Wikipedia} gibt\index{Eisenstein-Kriterium}.
|
||||
Wikipedia} gibt\index{Eisenstein-Kriterium}.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Eisenstein Kriterium]\label{Satz_Eisenstein_Kriterium}
|
||||
Es sei $R$ ein faktorieller Ring und es sei
|
||||
|
|
@ -182,8 +182,8 @@ ist so wichtig, dass es dazu sogar
|
|||
\begin{equation*}
|
||||
x_1^m+g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_1, …, x_n]
|
||||
\end{equation*}
|
||||
über einem faktoriellen Ring $R$ ist sicher dann irreduzibel, wenn $g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_2, …, x_n]$
|
||||
irreduzibel ist.
|
||||
über einem faktoriellen Ring $R$ ist sicher dann irreduzibel, wenn $g(x_2, …,
|
||||
x_n) ∈ R[x_2, …, x_n]$ irreduzibel ist.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
|
||||
|
|
@ -201,10 +201,10 @@ einen Ringmorphismus zu betrachten und folgendes Lemma anzuwenden.
|
|||
jetzt $\varphi(f) ∈ S$ irreduzibel ist, dann ist auch $f∈ R[x]$ irreduzibel.
|
||||
\end{lem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Angenommen, $f$ wäre reduzibel. Dann können wir schreiben $f = g·h$, wobei $g$
|
||||
und $h$ jeweils keine Einheiten in $R[x]$ sind. Weil der größte gemeinsame
|
||||
Teiler der Koeffizienten gleich $1$ ist, müssen $g$ und $h$ jeweils positiven
|
||||
Grad haben. Die Gleichung
|
||||
Angenommen, $f$ wäre reduzibel. Dann können wir schreiben $f = g·h$, wobei
|
||||
$g$ und $h$ jeweils keine Einheiten in $R[x]$ sind. Weil der größte
|
||||
gemeinsame Teiler der Koeffizienten gleich $1$ ist, müssen $g$ und $h$ jeweils
|
||||
positiven Grad haben. Die Gleichung
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\varphi(f) = \varphi(g)·\varphi(h)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
|
@ -214,20 +214,20 @@ einen Ringmorphismus zu betrachten und folgendes Lemma anzuwenden.
|
|||
Ringmorphismen, die man in der Praxis brauchen kann, entstehen oft auf die
|
||||
folgenden Weisen.
|
||||
\begin{description}
|
||||
\item[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten:] Ist
|
||||
\item[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten] Ist
|
||||
$\varphi : R → S$ ein Ringhomomorphismus, dann ist auch
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
Φ: R[x] → S[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})x^ν
|
||||
\end{equation*}
|
||||
ein Ringmorphismus.
|
||||
|
||||
\item[Einsetzungskomposition:]\index{Einsetzungskomposition} Es sei eine
|
||||
\item[Einsetzungskomposition]\index{Einsetzungskomposition} Es sei eine
|
||||
Abbildung $\varphi : R → S$ und es sei ein Element $t ∈ S$ gegeben. Setze
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
Φ : R[x] → S, \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})t^ν
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\item[Substitutionsmorphismus:]\index{Substitutionsmorphismus} Es sei ein
|
||||
\item[Substitutionsmorphismus]\index{Substitutionsmorphismus} Es sei ein
|
||||
Element $a∈ R$ gegeben. Dann betrachte die Abbildung
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
Φ : R[x] → R[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum a_{ν}(x-a)^ν.
|
||||
|
|
|
|||
40
08.tex
40
08.tex
|
|
@ -17,8 +17,8 @@ Debatte war.
|
|||
|
||||
Der nächste Satz stellt die Verbindung zwischen Körpertheorie und
|
||||
Konstruierbarkeit her. Die Formulierung des Satzes verwendet den Begriff
|
||||
``konjugierte Menge''. Dabei ist ``konjugiert'' wie immer nur eine bombastische
|
||||
Formulierung für ``an der reellen Achse gespiegelt''.
|
||||
„konjugierte Menge“. Dabei ist „konjugiert“ wie immer nur eine bombastische
|
||||
Formulierung für „an der reellen Achse gespiegelt“.
|
||||
|
||||
\begin{notation}[Konjungierte Menge]
|
||||
Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Menge. Dann betrachte die Menge
|
||||
|
|
@ -29,14 +29,13 @@ Formulierung für ``an der reellen Achse gespiegelt''.
|
|||
\begin{rem}
|
||||
Im Fall, wo die Menge $M$ die Elemente $0$ und $1$ enthält, kann man die
|
||||
Spiegelung an der reellen Achse mit Zirkel und Lineal konstruieren. Damit ist
|
||||
klar, dass $\overline{M} ⊂ \Kons(M)$ ist. Es ist in diesem Fall auch
|
||||
klar, dass $i ∈ \Kons(M)$ ist.
|
||||
klar, dass $\overline{M} ⊂ \Kons(M)$ ist. Es ist in diesem Fall auch klar,
|
||||
dass $i ∈ \Kons(M)$ ist.
|
||||
\end{rem}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Hausaufgabe Blatt 2, Aufgabe 3]\label{Satz_von_Seite_69}
|
||||
Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ und es sei $z ∈ \Kons(M)$. Sei weiter
|
||||
$K = ℚ(M ∪ \overline{M})$. Dann existiert eine Zahl $k ∈ ℕ$, sodass die
|
||||
Gleichheit
|
||||
\begin{satz}[Hausaufgabe Blatt 2, Aufgabe 3]\label{Satz_von_Seite_69}%
|
||||
Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ und es sei $z ∈ \Kons(M)$. Sei weiter $K = ℚ(M ∪
|
||||
\overline{M})$. Dann existiert eine Zahl $k ∈ ℕ$, sodass die Gleichheit
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
[K(z) : K] = 2^k
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
|
@ -47,9 +46,8 @@ Formulierung für ``an der reellen Achse gespiegelt''.
|
|||
|
||||
\section{Verdopplung des Würfels}
|
||||
|
||||
Das klassische Konstruktionsproblem ``Verdopplung des Würfels'' ist mit Zirkel
|
||||
und Lineal nicht möglich, denn mit $M := \{0,1\}$ ist
|
||||
$ℚ = ℚ(M ∪ \overline{M})$ und
|
||||
Das klassische Konstruktionsproblem „Verdopplung des Würfels“ ist mit Zirkel und
|
||||
Lineal nicht möglich, denn mit $M := \{0,1\}$ ist $ℚ = ℚ(M ∪ \overline{M})$ und
|
||||
\[
|
||||
[ℚ(\sqrt[3]{2}): ℚ ] = 3,
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\]
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@ -62,7 +60,7 @@ $\sqrt[3]{2}$ ist.
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Bevor wir die Frage nach der Dreiteilung des Winkel abschließend beantworten,
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beweise ich zuerst ein Satz, der auch später noch von Interesse sein wird.
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\begin{satz}\label{Satz_Vor_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}
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||||
\begin{satz}\label{Satz_Vor_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}%
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ ein über $K$
|
||||
transzendentes Element. Dann ist $K(a)$ isomorph zum Körper der
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||||
gebrochen-rationalen Funktionen\footnote{Siehe Beispiel~\ref{bsp:2-3-3} im
|
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@ -77,11 +75,11 @@ beweise ich zuerst ein Satz, der auch später noch von Interesse sein wird.
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||||
Damit lässt sich die Konstruierbarkeitsfrage ganz gut beantworten.
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\begin{satz}\label{Satz_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}
|
||||
\begin{satz}\label{Satz_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}%
|
||||
Gegeben sei eine reelle Zahl $\varphi ∈ (0, 2·π)$. Falls $e^{i\varphi}$
|
||||
transzendent ist, dann ist
|
||||
$e^{(\varphi i)/3} \not ∈ \Kons(\{0,1, e^{\varphi i}\})$. Die Dreiteilung des
|
||||
Winkels $\varphi$ ist also mit Zirkel und Lineal nicht möglich.
|
||||
transzendent ist, dann ist $e^{(\varphi i)/3} \not ∈ \Kons(\{0,1, e^{\varphi
|
||||
i}\})$. Die Dreiteilung des Winkels $\varphi$ ist also mit Zirkel und Lineal
|
||||
nicht möglich.
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||||
\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{9-3}
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@ -93,14 +91,14 @@ Damit lässt sich die Konstruierbarkeitsfrage ganz gut beantworten.
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|||
Konstruktionsverfahren für die Dreiteilung des Winkels.
|
||||
\end{bemerkung}
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||||
\begin{proof}
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Wenn $z=e^{i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$ ist, dann ist auch
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||||
$\overline{z} = e^{-i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$, denn $z$ und
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||||
$\overline{z}$ haben beide dasselbe Minimalpolynom. Also ist auch der Realteil
|
||||
Wenn $z=e^{i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$ ist, dann ist auch $\overline{z} =
|
||||
e^{-i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$, denn $z$ und $\overline{z}$ haben beide
|
||||
dasselbe Minimalpolynom. Also ist auch der Realteil
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\operatorname{Re}(z) =\frac12(z+\overline{z})
|
||||
\end{equation*}
|
||||
algebraisch über $ℚ$. Das zeigt, dass die Menge $\varphi∈ (0,2π)$, für
|
||||
die $e^{i\varphi}$ transzendent ist, in $(0,2π)$ dicht ist.
|
||||
algebraisch über $ℚ$. Das zeigt, dass die Menge $\varphi∈ (0,2π)$, für die
|
||||
$e^{i\varphi}$ transzendent ist, in $(0,2π)$ dicht ist.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
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|
||||
|
|
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|||
117
09.tex
117
09.tex
|
|
@ -4,25 +4,20 @@
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|||
\chapter{Ideale}
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||||
\label{chapt:09}
|
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||||
Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
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\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
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bereitgestellt.
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\section{Wohin geht die Reise}
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||||
Ich hatte schon am Ende des letzten Abschnittes geschrieben: um die Frage nach
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||||
der Konstruierbarkeit des regelmäßigen $n$-Ecks vollständig entscheiden zu
|
||||
können, müssen wir die Symmetrien von Körpererweiterungen verstehen … und
|
||||
vielleicht irgendwann auch definieren, was mit ``Symmetrie einer
|
||||
Körpererweiterung'' gemeint sein soll. All das wird voraussetzen, dass wir
|
||||
vielleicht irgendwann auch definieren, was mit „Symmetrie einer
|
||||
Körpererweiterung“ gemeint sein soll. All das wird voraussetzen, dass wir
|
||||
Körpererweiterungen besser beschreiben. Die Idee ist die: gegeben eine
|
||||
einfache, algebraische Erweiterung $K(α)/K$ vom Grad $n$, dann wissen wir schon,
|
||||
dass wir alle Elemente des Oberkörpers $K(α)$ als Linearkombinationen der Form
|
||||
\[
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||||
k_0 + k_1·α + k_2·α² + ⋯ k_{n-1}·α^{n-1}
|
||||
\]
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||||
schreiben könne, wobei die $k_{•}$ geeignete Elemente des kleineren Körpers $K$
|
||||
schreiben könne, wobei die $k_•$ geeignete Elemente des kleineren Körpers $K$
|
||||
sind. Diese Einsicht ist natürlich extrem hilfreich --- wir kennen das von den
|
||||
komplexen Zahlen, die sich alle in der Form $k_0 + k_1·\sqrt{-1}$ schreiben
|
||||
lassen. Der Sachverhalt lässt sich auch anders formulieren: Der
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||||
|
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@ -36,16 +31,16 @@ liegt es dann nahe, den Körper $K(α)$ als Quotient zu beschreiben,
|
|||
K(α) = \factor{K[x]}{\ker φ}.
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||||
\end{equation}
|
||||
Diese Beschreibung\footnote{\label{foot:sage}Hatten Sie sich gewundert, warum
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||||
SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper ``$ℚ$ adjungiert $\sqrt{5}$''
|
||||
mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet? Der Grund ist, das runde Klammern in der
|
||||
Programmiersprache Python schon eine andere Bedeutung haben.
|
||||
Gleichung~\eqref{eq:xx} zeigt aber, dass eckige Klammer in dieser Situation
|
||||
ganz sinnvoll sind.} wird sehr hilfreich sein, denn wir kommen mit dem
|
||||
vertrauten Polynomring $K[X]$ besser klar als mit dem etwas unheimlichen Körper
|
||||
$K(α)$. Um alles korrekt zu definieren, müssen wir uns aber erst noch einmal
|
||||
überlegen, was für eine Art von Objekt $\ker φ$ nun tatsächlich ist, und was
|
||||
``Quotient'' genau bedeuten soll. Ich nehme die Antwort gleich vorweg: Die
|
||||
Menge $\ker φ$ ist das typische Beispiel eines ``Ideals im Ring $K[x]$''.
|
||||
SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „$ℚ$ adjungiert $\sqrt{5}$“ mit
|
||||
\texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet? Der Grund ist, das runde Klammern in der
|
||||
Programmiersprache Python schon eine andere Bedeutung haben.
|
||||
Gleichung~\eqref{eq:xx} zeigt aber, dass eckige Klammer in dieser Situation ganz
|
||||
sinnvoll sind.} wird sehr hilfreich sein, denn wir kommen mit dem vertrauten
|
||||
Polynomring $K[X]$ besser klar als mit dem etwas unheimlichen Körper $K(α)$. Um
|
||||
alles korrekt zu definieren, müssen wir uns aber erst noch einmal überlegen, was
|
||||
für eine Art von Objekt $\ker φ$ nun tatsächlich ist, und was „Quotient“ genau
|
||||
bedeuten soll. Ich nehme die Antwort gleich vorweg: Die Menge $\ker φ$ ist das
|
||||
typische Beispiel eines „Ideals im Ring $K[x]$“.
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Elementare Definitionen}
|
||||
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|
@ -75,23 +70,23 @@ Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende.
|
|||
\begin{bemerkung}
|
||||
Der Name \emph{Ideal} geht auf
|
||||
Kummer\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Eduard_Kummer}{Ernst
|
||||
Eduard Kummer} (* 29. Januar 1810 in Sorau, Niederlausitz; † 14. Mai 1893
|
||||
in Berlin) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer, der sich vor
|
||||
allem mit Zahlentheorie, Analysis und Geometrie befasste.} und
|
||||
Eduard Kummer} (* 29.~Januar 1810 in Sorau, Niederlausitz; † 14.~Mai 1893 in
|
||||
Berlin) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer, der sich vor allem
|
||||
mit Zahlentheorie, Analysis und Geometrie befasste.} und
|
||||
Dedekind\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind}{Julius
|
||||
Wilhelm Richard Dedekind} (* 6. Oktober 1831 in Braunschweig; †
|
||||
12. Februar 1916 ebenda) war ein deutscher Mathematiker.} zurück. Kummer
|
||||
hatte bei der Untersuchung der Teilbarkeit in gewissen nicht-faktoriellen
|
||||
Ringen wie $ℤ[\sqrt{-5}]$ gewisse \emph{ideale Zahlen} eingeführt. Dedekind
|
||||
hat dann den Idealbegriff geprägt.
|
||||
Wilhelm Richard Dedekind} (* 6.~Oktober 1831 in Braunschweig; † 12.~Februar
|
||||
1916 ebenda) war ein deutscher Mathematiker.} zurück. Kummer hatte bei der
|
||||
Untersuchung der Teilbarkeit in gewissen nicht-faktoriellen Ringen wie
|
||||
$ℤ[\sqrt{-5}]$ gewisse \emph{ideale Zahlen} eingeführt. Dedekind hat dann den
|
||||
Idealbegriff geprägt.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Triviale Ideale]
|
||||
In jedem kommutativen Ring $R$ sind $I= \{0\}$ und $I=R$ trivialerweise
|
||||
Ideale. Wenn $R$ ein Körper ist, dann sind das auch die einzigen Ideale.
|
||||
Grund: wenn $R$ ein Körper und $I ⊂ R$ ein Ideal ist und $a ∈ I∖ \{0\}$, dann
|
||||
ist auch jedes andere Körperelement in $I$. Sei nämlich irgendein Element
|
||||
$r ∈ R$ gegeben. Nach Definition~\ref{def:ideal} ist
|
||||
ist auch jedes andere Körperelement in $I$. Sei nämlich irgendein Element $r
|
||||
∈ R$ gegeben. Nach Definition~\ref{def:ideal} ist
|
||||
\[
|
||||
r = (r·a^{-1})·a ∈ I.
|
||||
\]
|
||||
|
|
@ -153,10 +148,10 @@ Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende.
|
|||
V= \{ \vec{x} ∈ K^n \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x})=0 \}
|
||||
\]
|
||||
wobei $f_i ∈ K[x_1, …, x_n]$ irgendwelche Polynome sind. Man nennt ein
|
||||
solches $V$ manchmal \emph{algebraische Varietät}\index{algebraische Varietät}.
|
||||
Abbildung~\ref{fig:node} zeigt ein Beispiel. Im Internet finden Sie
|
||||
\href{https://imaginary.org/gallery/surfer-gallery-by-bianca-violet}{hier} und
|
||||
\href{https://imaginary.org/gallery/oliver-labs}{hier} noch weitere schöne
|
||||
solches $V$ manchmal \emph{algebraische Varietät}\index{algebraische
|
||||
Varietät}. Abbildung~\ref{fig:node} zeigt ein Beispiel. Im Internet finden
|
||||
Sie \href{https://imaginary.org/gallery/surfer-gallery-by-bianca-violet}{hier}
|
||||
und \href{https://imaginary.org/gallery/oliver-labs}{hier} noch weitere schöne
|
||||
Beispiele.
|
||||
|
||||
Definiere dann das Ideal
|
||||
|
|
@ -170,7 +165,7 @@ Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende.
|
|||
In der \emph{Algebraischen Geometrie}, dem Gebiet auf dem ich und meine
|
||||
Mitarbeiter arbeiten, geht es darum, geometrische Räume mithilfe von
|
||||
algebraischen Objekten wie etwa Idealen zu beschreiben. Tatsächlich lässt sich
|
||||
ein fast vollständiges Wörterbuch ``Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie''
|
||||
ein fast vollständiges Wörterbuch „Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie“
|
||||
aufstellen.
|
||||
|
||||
|
||||
|
|
@ -179,8 +174,8 @@ aufstellen.
|
|||
\sideremark{Vorlesung 10}Es gibt noch eine andere, ganz wichtige Klasse von
|
||||
Beispielen, die wir in ähnlicher Form schon aus der linearen Algebra kennen.
|
||||
Gegeben einen $K$-Vektorraum $V$ und eine beliebige Teilmenge $M ⊂ V$, so
|
||||
betrachteten wir in der linearen Algebra den ``von $M$ erzeugten
|
||||
Untervektorraum'' und bezeichneten diesen Raum mit $\langle M \rangle_K$ oder
|
||||
betrachteten wir in der linearen Algebra den „von $M$ erzeugten Untervektorraum“
|
||||
und bezeichneten diesen Raum mit $\langle M \rangle_K$ oder
|
||||
$\operatorname{Span}(M)$. Per Definition gilt: Ein Vektor $\vec{v} ∈ V$ liegt
|
||||
genau dann in $\langle M \rangle_K$, wenn $\vec{v}$ sich als Linearkombination
|
||||
der Elemente von $M$ schreiben lässt. Wenn die Menge $M$ unendlich ist, was
|
||||
|
|
@ -226,22 +221,22 @@ Ideale sind die, die mithilfe eines einzigen Erzeugers definiert werden können.
|
|||
Dann gilt offensichtlich
|
||||
\begin{align*}
|
||||
(a_1) ⊂ (a_2) & ⇔ a_2| a_1 \\
|
||||
(a_1) = (a_2)& ⇔ a_1 \sim a_2
|
||||
(a_1) = (a_2)& ⇔ a_1 \sim a_2.
|
||||
\end{align*}
|
||||
Die Hauptideale in $R$ entsprechen also eindeutig Klassen von zueinander
|
||||
assoziierten Elementen.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{warnung}
|
||||
Im Gegensatz zu Vektorräumen gibt es für Ideale keinen ``Basisaustauschsatz'',
|
||||
Im Gegensatz zu Vektorräumen gibt es für Ideale keinen „Basisaustauschsatz“,
|
||||
denn zum Beweis des Basisaustauschsatzes ist es absolut notwendig zu
|
||||
dividieren! Es ist nicht immer richtig, dass zwei minimale Erzeugendensysteme
|
||||
eines Ideals,
|
||||
\[
|
||||
I = (a_1, …, a_n) = (b_1, …, b_m),
|
||||
\]
|
||||
immer gleiche Mächtigkeit haben. Falls sie vorhatten, die ``Dimension'' eines
|
||||
Ideals zu definieren -- nice try!
|
||||
immer gleiche Mächtigkeit haben. Falls sie vorhatten, die „Dimension“ eines
|
||||
Ideals zu definieren -- \foreignlanguage{english}{Nice try}!
|
||||
\end{warnung}
|
||||
|
||||
Ein Ideal ist in der Praxis nur dann handhabbar, wenn ich eine möglichst
|
||||
|
|
@ -345,35 +340,33 @@ Satz sollte ihnen bekannt vorkommen.
|
|||
Angenommen, es gäbe eine nicht-leere Menge $M$ von Idealen aus $R$ ohne
|
||||
maximales Element. Dann gibt es zu jedem $I_0∈ M$ ein $I_1∈ M$ mit
|
||||
$I_0\subsetneqq I_1$, genau so mit $I_2,I_3,\dots$. Wir erhalten einen
|
||||
Widerspruch zur Annahme, dass der ``Teilerkettensatz für Ideale'' gilt.
|
||||
Widerspruch zur Annahme, dass der „Teilerkettensatz für Ideale“ gilt.
|
||||
|
||||
\item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_3}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_1}] Sei
|
||||
$I⊂ R$ ein Ideal und $M$ die Menge aller Ideale $J⊂ R$, die endlich erzeugt
|
||||
und in $I$ enthalten sind. Dann ist $M$ nicht leer, denn $(0) ∈ M$. Also
|
||||
gibt es per Annahme ein maximales Element $J∈ M$. Nach Annahme ist $J$
|
||||
endlich erzeugt, also $J = (a_1, …, a_n)$ und wir müssen zeigen, dass
|
||||
$J = I$ ist. Wenn es aber ein $b ∈ I∖J$ gäbe, dann wäre
|
||||
$(a_1, …, a_n,b) ∈ M$ ein Ideal, das $J$ enthält. Ein Widerspruch zur
|
||||
Annahme. \qedhere
|
||||
\item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_3}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_1}] Sei $I⊂ R$ ein
|
||||
Ideal und $M$ die Menge aller Ideale $J⊂ R$, die endlich erzeugt und in $I$
|
||||
enthalten sind. Dann ist $M$ nicht leer, denn $(0) ∈ M$. Also gibt es per
|
||||
Annahme ein maximales Element $J∈ M$. Nach Annahme ist $J$ endlich erzeugt,
|
||||
also $J = (a_1, …, a_n)$ und wir müssen zeigen, dass $J = I$ ist. Wenn es
|
||||
aber ein $b ∈ I∖J$ gäbe, dann wäre $(a_1, …, a_n,b) ∈ M$ ein Ideal, das $J$
|
||||
enthält. Ein Widerspruch zur Annahme. \qedhere
|
||||
\end{description}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Der folgende Satz von David
|
||||
Hilbert\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David
|
||||
Hilbert} (* 23. Januar 1862 in Königsberg; † 14. Februar 1943 in
|
||||
Göttingen) war ein deutscher Mathematiker. Er gilt als einer der
|
||||
bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit. Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet
|
||||
der Mathematik und mathematischen Physik begründeten eigenständige
|
||||
Forschungsgebiete. Mit seinen Vorschlägen begründete er die bis heute
|
||||
bedeutsame formalistische Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und
|
||||
veranlasste eine kritische Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik und
|
||||
des mathematischen Beweises. Diese Analysen führten zum Gödelschen
|
||||
Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm, die
|
||||
von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht
|
||||
gänzlich erfüllt werden kann. Hilberts programmatische Rede auf dem
|
||||
internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine
|
||||
Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die
|
||||
mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.} ähnelt formell dem
|
||||
Hilbert} (* 23.~Januar 1862 in Königsberg; † 14.~Februar 1943 in Göttingen) war
|
||||
ein deutscher Mathematiker. Er gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker
|
||||
der Neuzeit. Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet der Mathematik und
|
||||
mathematischen Physik begründeten eigenständige Forschungsgebiete. Mit seinen
|
||||
Vorschlägen begründete er die bis heute bedeutsame formalistische Auffassung von
|
||||
den Grundlagen der Mathematik und veranlasste eine kritische Analyse der
|
||||
Begriffsdefinitionen der Mathematik und des mathematischen Beweises. Diese
|
||||
Analysen führten zum Gödelschen Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt,
|
||||
dass das Hilbertprogramm, die von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung
|
||||
der Mathematik, nicht gänzlich erfüllt werden kann. Hilberts programmatische
|
||||
Rede auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der
|
||||
er eine Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die
|
||||
mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.} ähnelt formell dem
|
||||
Satz~\ref{Satz_Satz_von_Gauss} von Gauß und ist mindestens genauso wichtig.
|
||||
Historisch war der Satz ein Meilenstein. Hilbert's Beweis erregte auch deshalb
|
||||
großes Aufsehen, weil die Existenz eines endlichen Erzeugendensystems mithilfe
|
||||
|
|
|
|||
79
10.tex
79
10.tex
|
|
@ -11,17 +11,17 @@ Ich hatte am Anfang von Kapitel~\ref{chapt:09} schon gesagt, warum wir uns für
|
|||
Ideale interessieren: Wir wollen --ähnlich wie bei der Konstruktion des
|
||||
Quotientenvektoraumes in der Linearen Algebra-- einen Quotienten von Ringen
|
||||
konstruieren. Ich weiß aus Erfahrung, dass viele Studierende ihre Probleme mit
|
||||
``Quotientenvektorräumen'' haben und nutze an dieser Stelle normalerweise die
|
||||
„Quotientenvektorräumen“ haben und nutze an dieser Stelle normalerweise die
|
||||
Gelegenheit, um mit der Konstruktion des Restklassenringes die Begriffe und
|
||||
Beweistechniken noch einmal zu wiederholen. In diesem Semester geht das nicht,
|
||||
denn das Semester ist deutlich kürzer als in normalen Jahren. Ich verzichte
|
||||
deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass ``alles genau so
|
||||
geht, wie in der Linearen Algebra''.
|
||||
deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass „alles genau so
|
||||
geht, wie in der Linearen Algebra“.
|
||||
|
||||
\begin{warnung}
|
||||
Stellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die VL ``Lineare
|
||||
Algebra'' erinnern. Beweisen Sie zur Probe einige Aussagen selbst -- solche
|
||||
Sachen werden gern in Klausuren und mündlichen Prüfungen gefragt.
|
||||
Stellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die Vorlesung
|
||||
„Lineare Algebra“ erinnern. Beweisen Sie zur Probe einige Aussagen selbst --
|
||||
solche Sachen werden gern in Klausuren und mündlichen Prüfungen gefragt.
|
||||
\end{warnung}
|
||||
|
||||
|
||||
|
|
@ -48,8 +48,8 @@ durch folgende universelle Eigenschaft definiert.
|
|||
|
||||
Wie üblich folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Restklassenringen (wenn
|
||||
Sie denn existieren) eindeutig sind bis auf eine eindeutige Isomorphie. Man
|
||||
spricht deswegen oft nicht ganz richtig von ``dem'' Restklassenring und
|
||||
bezeichnet ``den'' Restklassenring mit $R/I$.
|
||||
spricht deswegen oft nicht ganz richtig von „dem“ Restklassenring und bezeichnet
|
||||
„den“ Restklassenring mit $R/I$.
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Konstruktion von Restklassenringen}
|
||||
|
|
@ -60,17 +60,17 @@ universellen Eigenschaft -- mit einer Ausnahme: Existenz. Wir beweisen die
|
|||
Existenz wie immer nicht abstrakt, sondern indem wir eine konkrete Konstruktion
|
||||
eines Restklassenringes angeben.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Kongruenz modulo Ideal]\label{def:kmi}
|
||||
\begin{defn}[Kongruenz modulo Ideal]\label{def:kmi}%
|
||||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I ⊂ R$ ein Ideal. Zwei
|
||||
Elemente $a,b∈ R$ heißen \emph{kongruent modulo $I$}\index{Kongruenz modulo
|
||||
Ideal}, wenn $a-b ∈ I$ ist. In diesem Fall ist die Schreibweise
|
||||
$a \equiv b \:\:(\operatorname{mod} I)$ üblich.
|
||||
Ideal}, wenn $a-b ∈ I$ ist. In diesem Fall ist die Schreibweise $a \equiv b
|
||||
\:\:(\operatorname{mod} I)$ üblich.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{lem}\label{lem:10-1-2}
|
||||
\begin{lem}\label{lem:10-1-2}%
|
||||
In der Situation von Definition~\ref{def:kmi} gilt: Kongruenz modulo $I$ ist
|
||||
eine Äquivalenzrelation auf $R$. Für ein gegebenes Element $a ∈ R$ ist die
|
||||
die Äquivalenzklasse eines gegebenen Elementes $a ∈ R$ ist
|
||||
Äquivalenzklasse eines gegebenen Elementes $a ∈ R$ ist
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
a+I = \{ a+b \::\: b∈ I \} \eqno\qed
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
|
@ -82,19 +82,18 @@ eines Restklassenringes angeben.
|
|||
\end{notation}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Der Name ``Restklasse'' kommt von folgendem Beispiel. Sei $R = ℤ$, sei
|
||||
$m ∈ ℕ$ eine Zahl, und sei $I = (m)$. Dann ist
|
||||
$a \equiv b \:\:(\operatorname{mod} I)$ genau dann, wenn $a$ und $b$ bei der
|
||||
Division durch $m$ denselben Rest haben. Die Kongruenz modulo $(m)$ zerlegt
|
||||
$ℤ$ also genau in die Restklassen
|
||||
Der Name „Restklasse“ kommt von folgendem Beispiel. Sei $R = ℤ$, sei $m ∈ ℕ$
|
||||
eine Zahl, und sei $I = (m)$. Dann ist $a \equiv b \:\:(\operatorname{mod}
|
||||
I)$ genau dann, wenn $a$ und $b$ bei der Division durch $m$ denselben Rest
|
||||
haben. Die Kongruenz modulo $(m)$ zerlegt $ℤ$ also genau in die Restklassen
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
0 + (m), 1+(m), 2+(m), …, m-1+(m).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{bsp}
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||||
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\begin{satz}[Existenz von Restklassenringen]\label{satz:exvrklr}
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||||
\begin{satz}[Existenz von Restklassenringen]\label{satz:exvrklr}%
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||||
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I⊂ R$ ein Ideal. Die
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||||
Äquivalenzrelation ``Kongruenz modulo $I$'' werde mit $\sim$ bezeichnet. Dann
|
||||
Äquivalenzrelation „Kongruenz modulo $I$“ werde mit $\sim$ bezeichnet. Dann
|
||||
sind die folgenden Verknüpfungen es auf dem Quotienten\footnote{Erinnerung an
|
||||
die Lineare Algebra: Quotient nach Äquivalenzrelation = $R/\sim$ = Menge der
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Äquivalenzklassen} $S := R/\sim$ wohldefiniert:
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@ -129,8 +128,8 @@ diese Art und Weise direkt beschreiben.
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\begin{equation*}
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\bigl(g_1+(f)\bigr)· \bigl(g_2+(f)\bigr) = h + (f)
|
||||
\end{equation*}
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||||
wobei $h$ der Rest von $g_1· g_2$ bei der Division durch $f$ ist. Ist
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||||
$\deg f ≥ 1$, dann ist die Abbildung
|
||||
wobei $h$ der Rest von $g_1· g_2$ bei der Division durch $f$ ist. Ist $\deg f
|
||||
≥ 1$, dann ist die Abbildung
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\begin{equation*}
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||||
K → \factor{K[x]}{(f)}, \quad λ ↦ λ+(f)
|
||||
\end{equation*}
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||||
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@ -144,7 +143,7 @@ diese Art und Weise direkt beschreiben.
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|||
Der folgende Satz folgt wie in der Linearen Algebra aus der universellen
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||||
Eigenschaft.
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\begin{prop}[Homomorphiesatz für Ringe]\label{Korollar_Homomorphiesatz}
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||||
\begin{prop}[Homomorphiesatz für Ringe]\label{Korollar_Homomorphiesatz}%
|
||||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei $ψ : R → S$ ein
|
||||
surjektiver Ringmorphismus. Dann ist die induzierte Abbildung
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\begin{equation*}
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@ -181,18 +180,18 @@ zum Restklassenring $K[x]/(f)$ ist.
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\section{Ideale oben und unten}
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Neben dem Homomorphiesatz für Ringe gelten noch einige andere Sätze, die wir aus
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||||
der linearen Algebra kennen (``Kürzen'' von Untervektorräumen). Um diese Sätze
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||||
korrekt zu formulieren, müssen wir erst verstehen, wie ``Ideale in $R$'' und
|
||||
``Ideale in $R/I$'' zusammenhängen. Der folgende Satz formuliert den
|
||||
Zusammenhang nicht nur für die Quotientenabbildung $φ : R → R/I$, sondern für
|
||||
beliebige Ringmorphismen. Kurz gesagt gilt: Urbilder von Idealen sind immer
|
||||
Ideale. Bilder von Idealen sind zumindest dann Ideale, wenn der Morphismus
|
||||
surjektiv ist --- dies ist zum Beispiel bei der Quotientenabbildung der Fall.
|
||||
der linearen Algebra kennen („Kürzen“ von Untervektorräumen). Um diese Sätze
|
||||
korrekt zu formulieren, müssen wir erst verstehen, wie „Ideale in $R$“ und
|
||||
„Ideale in $R/I$“ zusammenhängen. Der folgende Satz formuliert den Zusammenhang
|
||||
nicht nur für die Quotientenabbildung $φ : R → R/I$, sondern für beliebige
|
||||
Ringmorphismen. Kurz gesagt gilt: Urbilder von Idealen sind immer Ideale.
|
||||
Bilder von Idealen sind zumindest dann Ideale, wenn der Morphismus surjektiv ist
|
||||
--- dies ist zum Beispiel bei der Quotientenabbildung der Fall.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Urbilder von Idealen]
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||||
Es sei $\varphi : R → S$ ein Morphismus von kommutativen Ringen mit Eins.
|
||||
Wenn $I⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist die Urbildmenge $\varphi^{-1}(I)$ ein
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||||
Ideal in $R$. Ist $\varphi$ zusätzlich surjektiv, dann ist die Zuordnung
|
||||
Es sei $\varphi : R → S$ ein Morphismus von kommutativen Ringen mit Eins. Wenn
|
||||
$I⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist die Urbildmenge $\varphi^{-1}(I)$ ein Ideal in
|
||||
$R$. Ist $\varphi$ zusätzlich surjektiv, dann ist die Zuordnung
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
\{\text{Ideale in }S \} & → & \{ \text{Ideale $J$ in $R$ mit $\ker ψ ⊆ J$}\} \\
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||||
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@ -260,10 +259,10 @@ Formulierung verwendet Notation~\ref{not:xx}.
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|||
Die Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:10-3} wirft die Frage auf, wann ein
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||||
Restklassenring der Form $K[x]/(f)$ eigentlich ein Körper ist. Etwas
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||||
bescheidener: Wann ist ein Restklassenring $R/I$ nullteilerfrei? Für den Ring
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||||
$ℤ$ haben wir die Antwort in der Vorlesung ``Lineare Algebra'' kennengelernt.
|
||||
Der Ring $ℤ/(m)$ ist genau dann nullteilerfrei, wenn er ein Körper ist, und dies
|
||||
ist genau dann der Fall, wenn $m$ eine Primzahl ist. Also müssen wir statt
|
||||
``Primzahl'' jetzt den Begriff des ``Primideals'' einführen.
|
||||
$ℤ$ haben wir die Antwort in der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennengelernt. Der
|
||||
Ring $ℤ/(m)$ ist genau dann nullteilerfrei, wenn er ein Körper ist, und dies ist
|
||||
genau dann der Fall, wenn $m$ eine Primzahl ist. Also müssen wir statt
|
||||
„Primzahl“ jetzt den Begriff des „Primideals“ einführen.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Primideal]
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||||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt
|
||||
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@ -355,7 +354,7 @@ lösbar ist.
|
|||
\end{definition}
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||||
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||||
\begin{bemerkung}
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||||
Was hat diese Definition mit ``Teilerfremdheit'' zu tun? Schauen Sie sich den
|
||||
Was hat diese Definition mit „Teilerfremdheit“ zu tun? Schauen Sie sich den
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||||
Euklidischen Algorithmus aus Beispiel~\vref{bsp:5-6-7} noch einmal an. In der
|
||||
Situation des Beispiels~\ref{bsp:5-6-7} sind zwei Elemente $f$ und $g$
|
||||
gegeben. Wenn $f$ und $g$ teilerfremd sind, ist $\ggT(f,g)=1$. Der
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||||
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@ -364,12 +363,12 @@ lösbar ist.
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|||
dass $(f) + (g)$ der gesamte Ring ist.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Chinesischer Restsatz]\label{Satz_Chinesischer_Restsatz}
|
||||
\begin{satz}[Chinesischer Restsatz]\label{Satz_Chinesischer_Restsatz}%
|
||||
\index{Chinesischer Restsatz}Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es
|
||||
seien $I_1, …, I_n ⊂ R$ paarweise teilerfremde Ideale. Dann ist der
|
||||
kanonische Ringhomomorphismus
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||||
\begin{equation*}
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||||
α : R → \underbrace{\factor{R}{I_1}⨯⋯⨯\factor{R}{I_n}}_{\genfrac{}{}{0pt}{1}{\text{Add. und Mult.}}{\text{komponentenweise}}}, \quad a ↦ \Bigl( a+I_1, …, a+ I_n \Bigr)
|
||||
α : R → \underbrace{\factor{R}{I_1}⨯⋯⨯\factor{R}{I_n}}_{\genfrac{}{}{0pt}{1}{\text{Add.~und Mult.}}{\text{komponentenweise}}}, \quad a ↦ \Bigl( a+I_1, …, a+ I_n \Bigr)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
surjektiv und es ist $\ker α = I_1 ∩ ⋯ ∩ I_n$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
|
|
|||
31
12.tex
31
12.tex
|
|
@ -5,10 +5,10 @@
|
|||
|
||||
\section{Worum geht es in diesem Teil der Vorlesung?}
|
||||
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||||
Wir sind immer noch an ``Symmetrien vor Körpererweiterungen'' interessiert, aber
|
||||
Wir sind immer noch an „Symmetrien vor Körpererweiterungen“ interessiert, aber
|
||||
ich habe ihnen bislang nicht erklärt, was ich damit meine. Das einfachste
|
||||
Beispiel ist vielleicht die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$. In diesem Fall ist die
|
||||
relevante ``Symmetrie'' die komplexe Konjugation, also die Spiegelung der
|
||||
relevante „Symmetrie“ die komplexe Konjugation, also die Spiegelung der
|
||||
komplexen Ebene an der reellen Gerade. Die komplexe Konjugation ist ein
|
||||
Körpermorphismus $ℂ → ℂ$ (sogar ein Isomorphismus) mit der interessanten
|
||||
Eigenschaft, dass die reellen Zahlen genau diejenigen Punkte der komplexen Ebene
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||||
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@ -18,12 +18,12 @@ und $ℝ$ vom höheren Standpunkt aus verstehen. Warum ist die Erweiterung $ℂ
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|||
so wichtig? Wenn ich statt $ℝ$ einen anderen Körper betrachte (zum Beispiel
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||||
$𝔽_p(X)$), welcher Körper würde dann die Rolle von $ℂ$ spielen?
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||||
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||||
Die Antwort kommt aus der Vorlesung ``Analysis'' oder ``Funktionentheorie''.
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||||
Dort beweist man mit analytischen Methoden, dass jedes Polynom $f ∈ ℝ[x]$ eine
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||||
Die Antwort kommt aus der Vorlesung „Analysis“ oder „Funktionentheorie“. Dort
|
||||
beweist man mit analytischen Methoden, dass jedes Polynom $f ∈ ℝ[x]$ eine
|
||||
komplexe Nullstelle besitzt -- und auch jedes komplexe Polynom $f ∈ ℝ[x]$
|
||||
besitzt eine komplexe Nullstelle. Das führt dazu, dass jedes Polynom in $ℂ[x]$
|
||||
als Produkt von linearen Polynome geschrieben werden kann. Man sagt: ``die
|
||||
komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen''. Wir werden später sehen, was
|
||||
als Produkt von linearen Polynome geschrieben werden kann. Man sagt: „Die
|
||||
komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen.“. Wir werden später sehen, was
|
||||
diese Eigenschaft mit Symmetrie zu tun hat.
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||||
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||||
\begin{frage}
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||||
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@ -45,10 +45,7 @@ Oberkörper hat.
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Der Beweis von Satz~\ref{satz:12-1-2} ist eine große Tautologie, verwirrt
|
||||
Studentinnen und Studenten oft. Ich diskutiere vor dem Beweis deshalb erst noch
|
||||
ein kleines Beispiel. Auf unserem
|
||||
\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} habe ich
|
||||
Ihnen ein weiteres, ganz konkretes Beispiel bereitgestellt.
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||||
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||||
ein kleines Beispiel.
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||||
\begin{erkl}
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||||
Das Polynom $x²+1 ∈ ℝ[x]$ hat keine Nullstelle in $ℝ$, aber es hat eine
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||||
Nullstelle in $ℂ$, nämlich die Zahl $i$; wir wissen natürlich auch noch, dass
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||||
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@ -122,7 +119,7 @@ wirklich sein soll.
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|||
$f ∈ \overline{K}[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Weil $L$ algebraisch
|
||||
abgeschlossen ist, hat $f$ eine Nullstelle in $a∈ L$. Das Element $a$ ist
|
||||
logischerweise algebraisch über $\overline{K}$ und deshalb wegen
|
||||
Korollar~\vref{kor:TdA} (``Transitivität der Algebraizität'') auch algebraisch
|
||||
Korollar~\vref{kor:TdA} („Transitivität der Algebraizität“) auch algebraisch
|
||||
über $K$. Also ist $a∈\overline{K}$.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
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||||
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@ -156,12 +153,12 @@ anzuwenden und so sicherzustellen, dass jedes Polynom eine Nullstelle hat. Das
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|||
ist aber nicht so einfach: denn wenn ich den Körper durch Hinzunahme von
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||||
Polynomen größer mache, gibt es neue Polynome, die ebenfalls Nullstellen haben
|
||||
müssen. In einem normalen Jahr würde mithilfe von Zorn's Lemma\footnote{Zorn's
|
||||
Lemma = eine Variante des Auswahlaxioms} zeigen, dass diese naive Idee
|
||||
Lemma = eine Variante des Auswahlaxioms} zeigen, dass diese naive Idee
|
||||
tatsächlich trägt. Weil das Semester in diesem Jahr deutlich kürzer ist, muss
|
||||
an dieser Stelle auf einen Beweis verzichten. Der folgende Satz ist als Satz
|
||||
von Steinitz\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Steinitz}{Ernst
|
||||
Steinitz} (* 13. Juni 1871 in Laurahütte, Oberschlesien; † 29. September
|
||||
1928 in Kiel) war ein deutscher Mathematiker.} bekannt.
|
||||
Steinitz} (* 13.~Juni 1871 in Laurahütte, Oberschlesien; † 29.~September 1928 in
|
||||
Kiel) war ein deutscher Mathematiker.} bekannt.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Existenz des Algebraischen Abschluss]\label{Satz_von_Steinitz}
|
||||
Jeder Körper besitzt einen algebraischen Abschluss. \qed
|
||||
|
|
@ -173,7 +170,7 @@ von Steinitz\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Steinitz}{Ernst
|
|||
Als Nächstes müssen wir diskutieren, inwieweit ein algebraischer Abschluss
|
||||
eindeutig ist. Wie immer folgt die Eindeutigkeit aus einer universellen
|
||||
Eigenschaft. Den folgenden Begriff hatten wir oben schon informell unter dem
|
||||
Schlagwort ``Symmetrien einer Körpererweiterung'' diskutiert.
|
||||
Schlagwort „Symmetrien einer Körpererweiterung“ diskutiert.
|
||||
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||||
\begin{definition}[$K$-Morphismus]
|
||||
Es seien $R$ und $S$ Oberringe desselben Unterringes $K$. Ein Ringmorphismus
|
||||
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@ -215,7 +212,7 @@ werde ich den Satz aus Zeitgründen nicht beweisen.
|
|||
Als Konsequenz der universellen Eigenschaft erhalten wir die Eindeutigkeit des
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||||
algebraischen Abschlusses bis auf nicht-kanonische Isomorphie. Obwohl die
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||||
Isomorphie nicht kanonisch ist, spricht man in der Literatur häufig nicht ganz
|
||||
korrekt von ``dem'' Quotientenkörper.
|
||||
korrekt von „dem“ algebraischen Abschluss.
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||||
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||||
\begin{kor}[Eindeutigkeit des alg.~Abschluss bis auf nicht-kanonische Isomorphie]\label{cor:edaa}
|
||||
Es sei $K$ ein Körper und es seien $\overline{K}_1$ und $\overline{K}_2$ zwei
|
||||
|
|
@ -234,7 +231,7 @@ korrekt von ``dem'' Quotientenkörper.
|
|||
Ich wiederhole noch einmal: Die nicht-Eindeutigkeit der Abbildung $\varphi$ aus
|
||||
Satz~\ref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} und nicht-Kanonizität der Abbildung aus
|
||||
Korollar~\ref{cor:edaa} sind der Grund dafür, warum die Diskussion von
|
||||
``Symmetrie'' überhaupt sinnvoll ist. Das ist ganz anders als bei dem
|
||||
„Symmetrie“ überhaupt sinnvoll ist. Das ist ganz anders als bei dem
|
||||
Quotientenkörper!
|
||||
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||||
|
||||
|
|
|
|||
49
13.tex
49
13.tex
|
|
@ -3,13 +3,13 @@
|
|||
|
||||
\chapter{Zerfällungskörper}
|
||||
|
||||
Ich habe im vorhergehenden Kapitel immer wieder von ``Symmetrie'' gesprochen und
|
||||
Ich habe im vorhergehenden Kapitel immer wieder von „Symmetrie“ gesprochen und
|
||||
dabei als Beispiel immer nur die Konjugationsabbildung der komplexen Zahlen
|
||||
diskutiert. Das ist ein bisschen dünn. Wir brauchen mehr Beispiele!
|
||||
Tatsächlich liefert fast jedes Polynom ein interessantes Beispiel, den
|
||||
Zerfällungskörper. Was das ist, erkläre ich jetzt.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Zerfällungskörper]\label{def:zerf}
|
||||
\begin{defn}[Zerfällungskörper]\label{def:zerf}%
|
||||
Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Ein
|
||||
Oberkörper $L/K$ heißt \emph{Zerfällungskörper von
|
||||
$f$}\index{Zerfällungskörper}, falls Folgendes gilt.
|
||||
|
|
@ -24,7 +24,7 @@ Zerfällungskörper. Was das ist, erkläre ich jetzt.
|
|||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Die Elemente $a_1, …, a_n$ aus Definition~\ref{def:zerf} sind genau die
|
||||
Nullstellen des Polynomes $f ∈ L[x]$. Insbesondere sind die Elemente
|
||||
Nullstellen des Polynoms $f ∈ L[x]$. Insbesondere sind die Elemente
|
||||
$a_1, …, a_n$ eindeutig bis auf Vertauschung.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
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||||
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@ -53,16 +53,16 @@ schon beim algebraischen Abschluss wird deshalb häufig von ``dem''
|
|||
Zerfällungskörper gesprochen.
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||||
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||||
\begin{bemerkung}[Kochrezept: Zerfällungskörper]
|
||||
Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.
|
||||
Wenn ein algebraischer abgeschlossener Oberkörper $L/K$ gegeben ist, dann
|
||||
zeigt der Beweis von Satz~\ref{satz:13-0-3} wie man an einen Zerfällungskörper
|
||||
kommt. Man muss für das Polynom $f ∈ L[x]$ ``lediglich'' die Nullstellen
|
||||
$a_1, …, a_n$ bestimmen und kann dann den Körper $K(a_1, …, a_n)$ nehmen.
|
||||
Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Wenn
|
||||
ein algebraischer abgeschlossener Oberkörper $L/K$ gegeben ist, dann zeigt der
|
||||
Beweis von Satz~\ref{satz:13-0-3} wie man an einen Zerfällungskörper kommt.
|
||||
Man muss für das Polynom $f ∈ L[x]$ „lediglich“ die Nullstellen $a_1, …, a_n$
|
||||
bestimmen und kann dann den Körper $K(a_1, …, a_n)$ nehmen.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
Ein wichtiges Problem der Algebra(klausur/prüfung) ist es, zu einem gegebenen
|
||||
Körper $K$ und zu einem gegebenen Polynom $f ∈ K[x]$ den Zerfällungskörper zu
|
||||
bestimmen. Dabei ist mit ``bestimmen'' meistens gemeint, dass man den
|
||||
bestimmen. Dabei ist mit „bestimmen“ meistens gemeint, dass man den
|
||||
Erweiterungsgrad des Zerfällungskörpers bestimmen und ein möglichst kleinen Satz
|
||||
von möglichst einfachen Erzeugern angeben soll. Meistens ist in diesen
|
||||
Beispielen $K = ℚ$, sodass man einen Zerfällungskörper als Teilmenge der
|
||||
|
|
@ -87,11 +87,10 @@ komplexen Zahlen konstruieren wird.
|
|||
\[
|
||||
[L : ℚ] ≤ 3! = 6,
|
||||
\]
|
||||
ist, aber wie groß ist der Grad wirklich? Wir überlegen, dass
|
||||
$[ℚ \bigl(\sqrt[3]{2} \bigr) : ℚ ] = 3$. Also gilt $3| [L:Q]$ und man
|
||||
muss lediglich prüfen, ob $L = ℚ(\sqrt[3]{2})$ ist. Das ist aber nicht der
|
||||
Fall, denn $ℚ(\sqrt[3]{2}) ⊂ ℝ$ aber $ξ \not∈ ℝ$. Also ist
|
||||
$[L:ℚ] =6$.
|
||||
ist, aber wie groß ist der Grad wirklich? Wir überlegen, dass $[ℚ
|
||||
\bigl(\sqrt[3]{2} \bigr) : ℚ ] = 3$. Also gilt $3| [L:Q]$ und man muss
|
||||
lediglich prüfen, ob $L = ℚ(\sqrt[3]{2})$ ist. Das ist aber nicht der Fall,
|
||||
denn $ℚ(\sqrt[3]{2}) ⊂ ℝ$ aber $ξ \not∈ ℝ$. Also ist $[L:ℚ] =6$.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
|
||||
|
|
@ -99,7 +98,7 @@ komplexen Zahlen konstruieren wird.
|
|||
\label{sec:13-1}
|
||||
|
||||
\sideremark{Vorlesung 14}Ich komme zu meinem Lieblingsthema zurück. Jetzt kann
|
||||
ich endlich erklären, was es mit meinem ständigen Reden von ``Symmetrien'' auf
|
||||
ich endlich erklären, was es mit meinem ständigen Reden von „Symmetrien“ auf
|
||||
sich hat.
|
||||
|
||||
\begin{situation}\label{sit:gal}
|
||||
|
|
@ -141,13 +140,13 @@ das wohl am besten in Termen endlicher Gruppen beantwortet werden sollte.
|
|||
Wenn ich jetzt einen $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ habe, dann ist
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\varphi(ℓ) & = \sum \varphi(β_{i_1,…,i_n})·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n} \\
|
||||
& = \sum β_{i_1,…,i_n}·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n}. && \text{$\varphi$ ist $K$-Morphismus und $β_• ∈ K$}
|
||||
& = \sum β_{i_1,…,i_n}·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n}. && \text{$\varphi$ ist $K$-Morphismus und $β_• ∈ K$.}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Wir erkennen: Der $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ ist eindeutig dadurch
|
||||
festgelegt, wohin er die endlich vielen Elemente $a_1$, …, $a_n$ abbildet!
|
||||
Die Abbildung \eqref{eq:jtzrtt} ist also injektiv, und wir können die
|
||||
``Symmetriegruppe'' von $L/K$, also die Gruppe der $K$-Isomorphismen von $L$
|
||||
als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe auffassen.
|
||||
festgelegt, wohin er die endlich vielen Elemente $a_1$, …, $a_n$ abbildet! Die
|
||||
Abbildung \eqref{eq:jtzrtt} ist also injektiv, und wir können die
|
||||
„Symmetriegruppe“ von $L/K$, also die Gruppe der $K$-Isomorphismen von $L$ als
|
||||
Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe auffassen.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
|
||||
|
|
@ -163,7 +162,7 @@ ein wenig Sprache.
|
|||
vielen) Variablen $(x_λ)_{λ∈ Λ}$.
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
Wenn alles 100\%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser könnte den
|
||||
Wenn alles 100\%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser Stelle den
|
||||
Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren. Ich
|
||||
finde das aber arg formell und hoffe, Sie verzeihen mir, wenn ich das jetzt
|
||||
einfach mal nicht mache. Der einzig wichtige Punkt ist, dass Polynome immer
|
||||
|
|
@ -197,7 +196,7 @@ immer nur endlich viele Variablen auf.
|
|||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Ringadjunktion vs Körperadjunktion}
|
||||
\subsection{Ringadjunktion vs.~Körperadjunktion}
|
||||
|
||||
Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$ und eine Teilmenge $(a_λ)_{λ∈Λ}$ von $L$,
|
||||
dann kann ich den Unterring $K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ und den Unterkörper
|
||||
|
|
@ -207,9 +206,9 @@ $K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr)$ vergleichen. Offenbar gilt immer
|
|||
⊆ L.
|
||||
\]
|
||||
Die folgenden Sätze klären, wann Gleichheit herrscht. Die Sätze klären auch
|
||||
noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper ``$ℚ$
|
||||
adjungiert $\sqrt{5}$'' mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet. Schauen Sie sich
|
||||
vielleicht auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an.
|
||||
noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „$ℚ$ adjungiert
|
||||
$\sqrt{5}$“ mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet. Schauen Sie sich vielleicht
|
||||
auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion]
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $(a_λ)_{λ∈Λ}$ eine Teilmenge
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34
14.tex
34
14.tex
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@ -132,23 +132,23 @@ bestimmen. Was war noch einmal die Ordnung?
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\end{beobachtung}
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\section{Der Frobenius Morphismus}
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\section{Der Frobenius-Morphismus}
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Über Körpern und Ringen der Charakteristik $p > 0$ gibt es einen ganz
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unglaublichen Körpermorphismus, den wir noch nicht kennen: den
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Frobenius-Morphismus\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_Georg_Frobenius}{Ferdinand
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Georg Frobenius}, genannt Georg, (* 26. Oktober 1849 in Berlin; † 3.
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August 1917 in Charlottenburg, heute ein Ortsteil von Berlin) war ein
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deutscher Mathematiker. Er war seit 1892 Professor an der Universität Berlin
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und setzte dort hohe Maßstäbe für Prüfungen durch.}. Der Morphismus ist
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eigentlich ganz einfach, es handelt sich um die Abbildung $r ↦ r^p$. Das
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unglaubliche ist, dass diese Abbildung \textbf{linear} ist!!
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Georg Frobenius}, genannt Georg, (* 26.~Oktober 1849 in Berlin; † 3.~August 1917
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in Charlottenburg, heute ein Ortsteil von Berlin) war ein deutscher
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Mathematiker. Er war seit 1892 Professor an der Universität Berlin und setzte
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dort hohe Maßstäbe für Prüfungen durch.}. Der Morphismus ist eigentlich ganz
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einfach, es handelt sich um die Abbildung $r ↦ r^p$. Das unglaubliche ist, dass
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diese Abbildung \textbf{linear} ist!
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\begin{defn}[Charakeristik eines Ringes]
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Die
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\emph{Charakteristik}\index{Charakteristik!eines Ringes} von $R$ ist die
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kleinste natürliche Zahl $n ∈ ℕ^+$, sodass die $n$-fache Summe des
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Einselementes gleich dem Nullelement wird, also
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Einselements gleich dem Nullelement wird, also
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\[
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\underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{n ⨯} =0.
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\]
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@ -174,8 +174,8 @@ unglaubliche ist, dass diese Abbildung \textbf{linear} ist!!
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\begin{notation}
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In der Situation von Satz~\ref{DefSatz_Frobenius-Endomorphismus} ist die
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Bildmenge $F(R) ⊂ R$ natürlich ein Unterring. Dieser wird als ``Menge der
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$p$-Potenzen'' bezeichnet und oft mit dem Symbol $R^p ⊆ R$ notiert.
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Bildmenge $F(R) ⊂ R$ natürlich ein Unterring. Dieser wird als „Menge der
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$p$-Potenzen“ bezeichnet und oft mit dem Symbol $R^p ⊆ R$ notiert.
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\end{notation}
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\begin{beobachtung}
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@ -190,7 +190,7 @@ unglaubliche ist, dass diese Abbildung \textbf{linear} ist!!
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\section{Separable und inseparable Polynome}
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Ich hatte oben gefragt, ob ein irreduzibles Polynom mehrfache Nullstellen haben
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kann. Die ehrliche Antwort lautet: ``vielleicht'' und begründet die folgende
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kann. Die ehrliche Antwort lautet: „vielleicht“ und begründet die folgende
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Definition.
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\begin{defn}[Separable und inseparable Polynome]
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@ -288,7 +288,7 @@ werden.
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\begin{bsp}
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Sei $K = 𝔽_p(t) = Q\bigl( 𝔽_p[t] \bigr)$. Nach dem
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Satz~\vref{Satz_Eisenstein_Kriterium} (``Eisenstein-Kriterium'') ist
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Satz~\vref{Satz_Eisenstein_Kriterium} („Eisenstein-Kriterium“) ist
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\begin{equation*}
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f = x^p-t ∈ K[x]
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\end{equation*}
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@ -347,7 +347,7 @@ Erweiterungen kennen. Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf.
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$σ : K(a) → L$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Ich erinnere an die Beobachtungen~\ref{beob:p1} und \vref{beob:p2}: jeder
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Ich erinnere an die Beobachtungen~\ref{beob:p1} und \vref{beob:p2}: Jeder
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potenzielle $K$-Morphismus $σ$ bildet $a$ auf eine der $m$ Nullstellen von $f$
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an, und ist durch dieses Bild eindeutig festgelegt. Jetzt müssen wir
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lediglich noch zeigen, dass jede dieser $m$ verschiedenen Möglichkeiten
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@ -370,8 +370,8 @@ Erweiterungen kennen. Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf.
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Mit diesen Vorbereitungen können wir separable Abbildungen in präziser Art durch
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die Anzahl von $K$-Morphismen charakterisieren. Als Konsequenz erhalten wir
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eine Reihe von Sätzen, die wir für den Begriff der ``algebraischen
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Körpererweiterung'' in ganz ähnlicher Form schon kennen.
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eine Reihe von Sätzen, die wir für den Begriff der „algebraischen
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Körpererweiterung“ in ganz ähnlicher Form schon kennen.
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\begin{satz}\label{Satz_11_10}
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Es sei $L/K$ eine endliche (also insbesondere: algebraische) Körpererweiterung
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@ -424,8 +424,8 @@ Körpererweiterung'' in ganz ähnlicher Form schon kennen.
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\subsection{Der separable Abschluss}
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Erinnern Sie sich an den ``algebraischen Abschluss einer Körpers in einem
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Oberkörper'', den wir in Satz~\vref{satzdef:aaieO} eingeführt haben? Auch
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Erinnern Sie sich an den „algebraischen Abschluss eines Körpers in einem
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Oberkörper“, den wir in Satz~\vref{satzdef:aaieO} eingeführt haben? Auch
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dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext
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übertragen.
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@ -183,5 +183,5 @@ Dieser Text ist unter der Lizenz
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\bibstyle{alpha}
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\bibliographystyle{alpha}
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\bibliography{bibliography/general}
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\bibliography{bibliography/math}
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\end{document}
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Subproject commit a43a02648009f06cfce65ebcd47c4ca5fee1291c
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15744
bibliography/general.bib
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bibliography/general.bib
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
File diff suppressed because it is too large
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Subproject commit 6b3482d50e8051a2ffdc32d3891b734f0ae1e3da
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