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Stefan Kebekus
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8c3f70f0e7
commit
55ce397ec8
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@ -0,0 +1,6 @@
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[submodule "bibliography"]
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path = bibliography
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url = git@git.cplx.vm.uni-freiburg.de:kebekus/bibliography.git
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[submodule "tex"]
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path = tex
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url = git@git.cplx.vm.uni-freiburg.de:kebekus/tex.git
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@ -63,3 +63,67 @@ Teilbarkeitseigenschaften
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kgV
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faktoriellen
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Geodät
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Quotientenkörper
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Quotientenkörpers
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Irreduzibilitätskriterien
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Irreduzibilitätskriterium
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Teilbarkeitsbetrachtungen
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Teilerpolynome
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Lodovico
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Lagrangia
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Interpolationsformel
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Schönemann
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Driesen
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Friedebergischer
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reduzibel
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Einsetzungskomposition
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Substitutionsmorphismus
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Konstruierbarkeitsfragen
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konjungierte
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konstruierbare
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||||
Konstruierbarkeitsfrage
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transzendent
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||||
Rechtsideale
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Sorau
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||||
Dedekind
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||||
nicht-faktoriellen
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||||
Hauptideale
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||||
Erzeugendensysteme
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||||
Gödelschen
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||||
Erzeugendensystems
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||||
Erzeugendensystem
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||||
Teiler-
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||||
Hauptidealen
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||||
Faktorialität
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Quotientenvektoraumes
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||||
Quotientenvektorräumen
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||||
Quotientenvektorräume
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||||
Quotientenring
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||||
Repräsentantensystems
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||||
Homomorphiesatzes
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||||
Homomorphiesatz
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Quotientenabbildung
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Urbildmenge
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Primideale
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Primideals
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||||
Primideal
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Summenideal
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Teilerfremdheit
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||||
Funktionenkörper
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||||
Kodierungstheorie
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Substitutionsabbildung
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||||
Steinitz
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||||
Laurahütte
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||||
nicht-Kanonizität
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||||
Zerfällungskörpern
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||||
inseparable
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||||
Teilbarkeitsrelationen
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||||
Frobenius-Morphismus
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||||
Frobenius-Endomorphismus
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||||
Einselements
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separabel
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||||
inseparabel
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Separabilität
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Substitutionsmorphismen
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Separabilitätsgrad
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inseparablen
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@ -24,3 +24,32 @@
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{"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QVorlesung 6\\E$"}
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{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\QggT und kgV.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q genau dann, wenn für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
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||||
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QWenn Sie bei mir die Vorlesung „Lineare Algebra“ gehört haben, dann wird Ihnen die folgende Definition sehr vertraut vorkommen.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten:] Ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringhomomorphismus, dann ist auch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringmorphismus.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QSetze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q [Substitutionsmorphismus] Es sei ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gegeben.\\E$"}
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||||
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten] Ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringhomomorphismus, dann ist auch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringmorphismus.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIch verzichte deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass „alles genau so geht, wie in der Linearen Algebra“.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QStellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die Vorlesung „Lineare Algebra“ erinnern.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QGenau wie die Quotientenvektorräume der Linearen Algebra sind Restklassenringe durch folgende universelle Eigenschaft definiert.\\E$"}
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{"rule":"DE_SUBJECT_VERB_AGREEMENT","sentence":"^\\QEin Restklassenring oder Quotientenring ist ein kommutativer Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q mit Eins zusammen mit einem Ringmorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist und so, dass die folgende universelle Eigenschaft gilt: ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein weiterer Ringmorphismus mit \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dann gibt es genau einen Ringmorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass das folgende Diagramm kommutiert, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QErinnerung an die Lineare Algebra: Quotient nach Äquivalenzrelation = \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q = Menge der Äquivalenzklassen\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDer folgende Satz folgt wie in der Linearen Algebra aus der universellen Eigenschaft.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Wie sieht der Kern von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus?] Ein Polynom \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist offenbar genau dann im von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Kern, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QFür den Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q haben wir die Antwort in der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennengelernt.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDer Chinesische Restsatz.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDer Chinesische Restsatz ist langweilig, darf aber in keiner Vorlesung fehlen und kommt auch in den allermeisten Klausuren und Prüfungen vor.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind, dann ist diese notwendige Bedingung automatisch erfüllt, und der Chinesische Restsatz sagt, dass das Gleichungssystem dann auch lösbar ist.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann ist der kanonische Ringhomomorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QAdd.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Qund Mult.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDer Körper der algebraischen Zahlen, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ein algebraischer Abschluss \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"PLURAL_APOSTROPH","sentence":"^\\QIn einem normalen Jahr würde mithilfe von Zorn's Lemma zeigen, dass diese naive Idee tatsächlich trägt.\\E$"}
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{"rule":"PLURAL_APOSTROPH","sentence":"^\\QZorn's Lemma = eine Variante des Auswahlaxioms\\E$"}
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{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWorum geht es in diesem Teil der Vorlesung?.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEin wichtiges Problem der Algebra(klausur/prüfung) ist es, zu einem gegebenen Körper \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und zu einem gegebenen Polynom \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q den Zerfällungskörper zu bestimmen.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWir erhalten also einen Gruppenmorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-isomorphismen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QPermutationen der Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWenn alles 100%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser könnte den Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWenn alles 100%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser Stelle den Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDie Sätze klären auch noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q adjungiert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q“ mit QQ[sqrt(5)] bezeichnet.\\E$"}
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{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QFür beliebige Körpererweiterungen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und beliebige Teilmengen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist die Äquivalenz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind algebraisch ganz falsch.\\E$"}
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{"rule":"DOPPELTES_AUSRUFEZEICHEN","sentence":"^\\QFalsch!!\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDann ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Ist mir zu langweilig.\\E$"}
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32
06.tex
32
06.tex
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@ -30,20 +30,20 @@ Quotientenkörper.
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Integritätsring an.
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||||
\end{obs}
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Die folgende Definition klärt ganz präzise, was wir mit einem ``möglichst
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kleinen Körper, der $R$ enthält'' eigentlich genau meinen. Wenn Sie bei mir die
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Vorlesung ``Lineare Algebra'' gehört haben, dann wird Ihnen die folgende
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||||
Die folgende Definition klärt ganz präzise, was wir mit einem „möglichst kleinen
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Körper, der $R$ enthält“ eigentlich genau meinen. Wenn Sie bei mir die
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Vorlesung „Lineare Algebra“ gehört haben, dann wird Ihnen die folgende
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||||
Definition sehr vertraut vorkommen. Falls nicht, ist jetzt die perfekte
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Gelegenheit, alles über ``universelle Eigenschaften'' zu lernen.
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||||
Gelegenheit, alles über „universelle Eigenschaften“ zu lernen.
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\begin{definition}[Quotientenkörper]
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||||
Sei $R$ ein Integritätsring. Ein \emph{Quotientenkörper von
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$R$}\index{Quotientenkörper} ist ein Körper $K$ zusammen mit einem
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injektiven Ringhomomorphismus $ι : R → K$, sodass folgende universelle
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Eigenschaft gilt: Ist $j : R → L$ ein weiterer injektiver Ringhomomorphismus
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von $R$ in einem Körper $L$, dann existiert genau ein Ringhomomorphismus
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$h:K→ L$, sodass $j=h◦ i$ ist. Mit anderen Worten, es existiert genau ein
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||||
Ringhomomorphismus, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
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||||
$R$}\index{Quotientenkörper} ist ein Körper $K$ zusammen mit einem injektiven
|
||||
Ringhomomorphismus $ι : R → K$, sodass folgende universelle Eigenschaft gilt:
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||||
Ist $j : R → L$ ein weiterer injektiver Ringhomomorphismus von $R$ in einem
|
||||
Körper $L$, dann existiert genau ein Ringhomomorphismus $h:K→ L$, sodass $j=h◦
|
||||
i$ ist. Mit anderen Worten, es existiert genau ein Ringhomomorphismus, sodass
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||||
das folgende Diagramm kommutiert,
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||||
\[
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\begin{tikzcd}
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||||
R \ar[r, hook, "ι"] \ar[d, equals] & K \ar[d, "∃ ! h"] \\
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@ -93,15 +93,15 @@ Quotientenkörpers. Den folgenden Beweis sollten Sie genau verstehen!
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\end{proof}
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Der Witz ist, dass die Abbildung $h$ aus Satz~\ref{satz:edvq} eindeutig gegeben
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ist. Die Aussage ``es existiert eine eindeutiger Morphismus'' ist eine viel
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bessere Aussage als ``es existiert irgendein Morphismus (dessen Konstruktion
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vielleicht von irgendwelchen Wahlen abhängt, die ich treffen muss)''. Das ist
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super-wichtig! Man sagt, ``Quotientenkörper sind eindeutig bis auf kanonische
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||||
Isomorphie''.
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ist. Die Aussage „es existiert eine eindeutiger Morphismus“ ist eine viel
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||||
bessere Aussage als „es existiert irgendein Morphismus (dessen Konstruktion
|
||||
vielleicht von irgendwelchen Wahlen abhängt, die ich treffen muss)“. Das ist
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super-wichtig! Man sagt, „Quotientenkörper sind eindeutig bis auf kanonische
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||||
Isomorphie“.
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||||
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\begin{notation}
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Obwohl Quotientenkörper nur bis auf kanonische Isomorphie eindeutig sind,
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spricht man oft von ``dem'' Quotientenkörper. Die Notation $Q(R)$ ist üblich.
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||||
spricht man oft von „dem“ Quotientenkörper. Die Notation $Q(R)$ ist üblich.
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||||
\end{notation}
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||||
\begin{satz}[Existenz von Quotientenkörpern]
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56
07.tex
56
07.tex
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@ -12,8 +12,8 @@ ist.
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||||
Für Polynome $f ∈ ℚ[x]$ werden wir die Frage nach der Irreduzibilität
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vollständig beantworten. Wir erinnern uns daran, wie die Frage nach der
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Konstruierbarkeit der ``Verdoppelung des Würfels'' mit der Frage zusammenhing,
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ob das Polynom $x³-2 ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
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||||
Konstruierbarkeit der „Verdoppelung des Würfels“ mit der Frage zusammenhing, ob
|
||||
das Polynom $x³-2 ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
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\begin{beobachtung}
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||||
Im Ring $ℤ[x]$ sind Teilbarkeitsfragen oft durch Teilbarkeitsbetrachtungen der
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@ -40,7 +40,7 @@ ob das Polynom $x³-2 ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
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Das folgende Irreduzibilitätskriterium von Gauß\index{Irreduzibilitätskriterium
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von Gauß} zeigt, dass $x³-2$ dann auch irreduzibel in $ℚ[x]$ ist!
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\begin{satz}[Irreduzibilitätskriterium von Gauß]\label{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus}
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||||
\begin{satz}[Irreduzibilitätskriterium von Gauß]\label{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus}%
|
||||
Es sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K=Q(R)$ sein Quotientenkörper und es
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||||
sei ein Polynom $f ∈ R[x]$ von positivem Grad gegeben. Wenn $f$ in $R[x]$
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irreduzibel ist, dann ist $f$ auch in $K[x]$ irreduzibel.
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@ -49,18 +49,18 @@ Das folgende Irreduzibilitätskriterium von Gauß\index{Irreduzibilitätskriteri
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Als Vorbereitung zum Beweis zeigen wir erst einmal das folgende Lemma. Das
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||||
Lemma zeigt auch, wie natürlich das Kriterium von Gauß ist.
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\begin{lemma}\label{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}
|
||||
Sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K = Q(R)$ der Quotientenkörper und
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||||
$g ∈ K[x] ∖ \{0\}$ sei ein Polynom. Dann existiert ein $a∈ K∖ \{0\}$, sodass
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||||
$a· g$ in $R[x]$ ist und sodass der $\ggT$ der Koeffizienten von $a· g$ gleich
|
||||
$1$ ist.
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||||
\begin{lemma}\label{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}%
|
||||
Sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K = Q(R)$ der Quotientenkörper und $g ∈
|
||||
K[x] ∖ \{0\}$ sei ein Polynom. Dann existiert ein $a∈ K∖ \{0\}$, sodass $a·
|
||||
g$ in $R[x]$ ist und sodass der $\ggT$ der Koeffizienten von $a· g$ gleich $1$
|
||||
ist.
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||||
\end{lemma}
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||||
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||||
\begin{bemerkung}
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||||
Wir hatten nur den $\ggT$ für zwei Elemente definiert, die Definition geht
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genau so für mehr als zwei Elemente. Für Polynome
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||||
$a_0 + a_1·x + ⋯ + a_m·x^m ∈ R[x]$ ist die Bedingung $\ggT(a_0, …, a_m) = 1$
|
||||
notwendig, aber nicht hinreichend für die Irreduzibilität.
|
||||
genau so für mehr als zwei Elemente. Für Polynome $a_0 + a_1·x + ⋯ + a_m·x^m
|
||||
∈ R[x]$ ist die Bedingung $\ggT(a_0, …, a_m) = 1$ notwendig, aber nicht
|
||||
hinreichend für die Irreduzibilität.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}]
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||||
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@ -81,7 +81,7 @@ in endlich vielen Rechenschritten entscheiden ($→$Klausur). Ein Verfahren sol
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|||
jetzt ganz kurz skizziert werden. Den folgenden Satz kennen Sie vielleicht aus
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||||
den Anfängervorlesungen.
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||||
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||||
\begin{erinnerung}[Lagrangesche Interpolationsformel\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange}{Joseph-Louis de Lagrange} (* 25. Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; † 10. April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.}\index{Lagrangesche Interpolationsformel}]
|
||||
\begin{erinnerung}[Lagrangesche Interpolationsformel\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange}{Joseph-Louis de Lagrange} (* 25.~Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; † 10.~April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.}\index{Lagrangesche Interpolationsformel}]%
|
||||
Es sei $K$ ein Körper\footnote{Wir denken an $K = ℚ$.}, es sei $f(x) ∈ K[x]$
|
||||
ein Polynom vom Grad $≤ n$ und es seien $a_1, …, a_{n+1}∈ K$ paarweise
|
||||
verschiedene Elemente. Dann ist $f$ durch seine Werte $f(a_1), …, f(a_{n+1})$
|
||||
|
|
@ -137,14 +137,14 @@ Frage nach der Irreduzibilität zwar beantworten, allerdings sind die nötigen
|
|||
Rechnungen ziemlich aufwändig (besonders bei Zeitdruck in einer Klausur!). Das
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||||
folgende Kriterium von Theodor
|
||||
Schönemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Theodor_Sch\%C3\%B6nemann}{Theodor
|
||||
Schönemann} (* 4. April 1812 in Driesen, Friedebergischer Kreis; †
|
||||
16. Januar 1868 in Brandenburg an der Havel) war ein deutscher Mathematiker.},
|
||||
das in der Literatur durchgehend falsch mit ``Eisenstein-Kriterium''
|
||||
Schönemann} (* 4.~April 1812 in Driesen, Friedebergischer Kreis; † 16.~Januar
|
||||
1868 in Brandenburg an der Havel) war ein deutscher Mathematiker.}, das in der
|
||||
Literatur durchgehend falsch mit „Eisenstein-Kriterium“
|
||||
bezeichnet\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gotthold_Eisenstein}{Ferdinand
|
||||
Gotthold Max Eisenstein} (* 16. April 1823 in Berlin; † 11. Oktober 1852
|
||||
ebenda) war ein deutscher Mathematiker, der hauptsächlich in der Zahlentheorie
|
||||
und über elliptische Funktionen arbeitete.} wird, ist oft viel schneller. Es
|
||||
ist so wichtig, dass es dazu sogar
|
||||
Gotthold Max Eisenstein} (* 16.~April 1823 in Berlin; † 11.~Oktober 1852 ebenda)
|
||||
war ein deutscher Mathematiker, der hauptsächlich in der Zahlentheorie und über
|
||||
elliptische Funktionen arbeitete.} wird, ist oft viel schneller. Es ist so
|
||||
wichtig, dass es dazu sogar
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium}{eine eigene Seite auf
|
||||
Wikipedia} gibt\index{Eisenstein-Kriterium}.
|
||||
|
||||
|
|
@ -182,8 +182,8 @@ ist so wichtig, dass es dazu sogar
|
|||
\begin{equation*}
|
||||
x_1^m+g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_1, …, x_n]
|
||||
\end{equation*}
|
||||
über einem faktoriellen Ring $R$ ist sicher dann irreduzibel, wenn $g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_2, …, x_n]$
|
||||
irreduzibel ist.
|
||||
über einem faktoriellen Ring $R$ ist sicher dann irreduzibel, wenn $g(x_2, …,
|
||||
x_n) ∈ R[x_2, …, x_n]$ irreduzibel ist.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
|
||||
|
|
@ -201,10 +201,10 @@ einen Ringmorphismus zu betrachten und folgendes Lemma anzuwenden.
|
|||
jetzt $\varphi(f) ∈ S$ irreduzibel ist, dann ist auch $f∈ R[x]$ irreduzibel.
|
||||
\end{lem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Angenommen, $f$ wäre reduzibel. Dann können wir schreiben $f = g·h$, wobei $g$
|
||||
und $h$ jeweils keine Einheiten in $R[x]$ sind. Weil der größte gemeinsame
|
||||
Teiler der Koeffizienten gleich $1$ ist, müssen $g$ und $h$ jeweils positiven
|
||||
Grad haben. Die Gleichung
|
||||
Angenommen, $f$ wäre reduzibel. Dann können wir schreiben $f = g·h$, wobei
|
||||
$g$ und $h$ jeweils keine Einheiten in $R[x]$ sind. Weil der größte
|
||||
gemeinsame Teiler der Koeffizienten gleich $1$ ist, müssen $g$ und $h$ jeweils
|
||||
positiven Grad haben. Die Gleichung
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\varphi(f) = \varphi(g)·\varphi(h)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
|
@ -214,20 +214,20 @@ einen Ringmorphismus zu betrachten und folgendes Lemma anzuwenden.
|
|||
Ringmorphismen, die man in der Praxis brauchen kann, entstehen oft auf die
|
||||
folgenden Weisen.
|
||||
\begin{description}
|
||||
\item[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten:] Ist
|
||||
\item[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten] Ist
|
||||
$\varphi : R → S$ ein Ringhomomorphismus, dann ist auch
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
Φ: R[x] → S[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})x^ν
|
||||
\end{equation*}
|
||||
ein Ringmorphismus.
|
||||
|
||||
\item[Einsetzungskomposition:]\index{Einsetzungskomposition} Es sei eine
|
||||
\item[Einsetzungskomposition]\index{Einsetzungskomposition} Es sei eine
|
||||
Abbildung $\varphi : R → S$ und es sei ein Element $t ∈ S$ gegeben. Setze
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
Φ : R[x] → S, \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})t^ν
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\item[Substitutionsmorphismus:]\index{Substitutionsmorphismus} Es sei ein
|
||||
\item[Substitutionsmorphismus]\index{Substitutionsmorphismus} Es sei ein
|
||||
Element $a∈ R$ gegeben. Dann betrachte die Abbildung
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
Φ : R[x] → R[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum a_{ν}(x-a)^ν.
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40
08.tex
40
08.tex
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@ -17,8 +17,8 @@ Debatte war.
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Der nächste Satz stellt die Verbindung zwischen Körpertheorie und
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Konstruierbarkeit her. Die Formulierung des Satzes verwendet den Begriff
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``konjugierte Menge''. Dabei ist ``konjugiert'' wie immer nur eine bombastische
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Formulierung für ``an der reellen Achse gespiegelt''.
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„konjugierte Menge“. Dabei ist „konjugiert“ wie immer nur eine bombastische
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Formulierung für „an der reellen Achse gespiegelt“.
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\begin{notation}[Konjungierte Menge]
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Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Menge. Dann betrachte die Menge
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@ -29,14 +29,13 @@ Formulierung für ``an der reellen Achse gespiegelt''.
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\begin{rem}
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Im Fall, wo die Menge $M$ die Elemente $0$ und $1$ enthält, kann man die
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Spiegelung an der reellen Achse mit Zirkel und Lineal konstruieren. Damit ist
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klar, dass $\overline{M} ⊂ \Kons(M)$ ist. Es ist in diesem Fall auch
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klar, dass $i ∈ \Kons(M)$ ist.
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||||
klar, dass $\overline{M} ⊂ \Kons(M)$ ist. Es ist in diesem Fall auch klar,
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||||
dass $i ∈ \Kons(M)$ ist.
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\end{rem}
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\begin{satz}[Hausaufgabe Blatt 2, Aufgabe 3]\label{Satz_von_Seite_69}
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||||
Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ und es sei $z ∈ \Kons(M)$. Sei weiter
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||||
$K = ℚ(M ∪ \overline{M})$. Dann existiert eine Zahl $k ∈ ℕ$, sodass die
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Gleichheit
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||||
\begin{satz}[Hausaufgabe Blatt 2, Aufgabe 3]\label{Satz_von_Seite_69}%
|
||||
Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ und es sei $z ∈ \Kons(M)$. Sei weiter $K = ℚ(M ∪
|
||||
\overline{M})$. Dann existiert eine Zahl $k ∈ ℕ$, sodass die Gleichheit
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
[K(z) : K] = 2^k
|
||||
\end{equation*}
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@ -47,9 +46,8 @@ Formulierung für ``an der reellen Achse gespiegelt''.
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\section{Verdopplung des Würfels}
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||||
Das klassische Konstruktionsproblem ``Verdopplung des Würfels'' ist mit Zirkel
|
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und Lineal nicht möglich, denn mit $M := \{0,1\}$ ist
|
||||
$ℚ = ℚ(M ∪ \overline{M})$ und
|
||||
Das klassische Konstruktionsproblem „Verdopplung des Würfels“ ist mit Zirkel und
|
||||
Lineal nicht möglich, denn mit $M := \{0,1\}$ ist $ℚ = ℚ(M ∪ \overline{M})$ und
|
||||
\[
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||||
[ℚ(\sqrt[3]{2}): ℚ ] = 3,
|
||||
\]
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||||
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@ -62,7 +60,7 @@ $\sqrt[3]{2}$ ist.
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|||
Bevor wir die Frage nach der Dreiteilung des Winkel abschließend beantworten,
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beweise ich zuerst ein Satz, der auch später noch von Interesse sein wird.
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||||
\begin{satz}\label{Satz_Vor_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}
|
||||
\begin{satz}\label{Satz_Vor_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}%
|
||||
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ ein über $K$
|
||||
transzendentes Element. Dann ist $K(a)$ isomorph zum Körper der
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||||
gebrochen-rationalen Funktionen\footnote{Siehe Beispiel~\ref{bsp:2-3-3} im
|
||||
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@ -77,11 +75,11 @@ beweise ich zuerst ein Satz, der auch später noch von Interesse sein wird.
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|||
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||||
Damit lässt sich die Konstruierbarkeitsfrage ganz gut beantworten.
|
||||
|
||||
\begin{satz}\label{Satz_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}
|
||||
\begin{satz}\label{Satz_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}%
|
||||
Gegeben sei eine reelle Zahl $\varphi ∈ (0, 2·π)$. Falls $e^{i\varphi}$
|
||||
transzendent ist, dann ist
|
||||
$e^{(\varphi i)/3} \not ∈ \Kons(\{0,1, e^{\varphi i}\})$. Die Dreiteilung des
|
||||
Winkels $\varphi$ ist also mit Zirkel und Lineal nicht möglich.
|
||||
transzendent ist, dann ist $e^{(\varphi i)/3} \not ∈ \Kons(\{0,1, e^{\varphi
|
||||
i}\})$. Die Dreiteilung des Winkels $\varphi$ ist also mit Zirkel und Lineal
|
||||
nicht möglich.
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
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\video{9-3}
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@ -93,14 +91,14 @@ Damit lässt sich die Konstruierbarkeitsfrage ganz gut beantworten.
|
|||
Konstruktionsverfahren für die Dreiteilung des Winkels.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
\begin{proof}
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||||
Wenn $z=e^{i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$ ist, dann ist auch
|
||||
$\overline{z} = e^{-i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$, denn $z$ und
|
||||
$\overline{z}$ haben beide dasselbe Minimalpolynom. Also ist auch der Realteil
|
||||
Wenn $z=e^{i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$ ist, dann ist auch $\overline{z} =
|
||||
e^{-i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$, denn $z$ und $\overline{z}$ haben beide
|
||||
dasselbe Minimalpolynom. Also ist auch der Realteil
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\operatorname{Re}(z) =\frac12(z+\overline{z})
|
||||
\end{equation*}
|
||||
algebraisch über $ℚ$. Das zeigt, dass die Menge $\varphi∈ (0,2π)$, für
|
||||
die $e^{i\varphi}$ transzendent ist, in $(0,2π)$ dicht ist.
|
||||
algebraisch über $ℚ$. Das zeigt, dass die Menge $\varphi∈ (0,2π)$, für die
|
||||
$e^{i\varphi}$ transzendent ist, in $(0,2π)$ dicht ist.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
113
09.tex
113
09.tex
|
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@ -4,25 +4,20 @@
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|||
\chapter{Ideale}
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||||
\label{chapt:09}
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||||
Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
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||||
\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
|
||||
bereitgestellt.
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\section{Wohin geht die Reise}
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||||
Ich hatte schon am Ende des letzten Abschnittes geschrieben: um die Frage nach
|
||||
der Konstruierbarkeit des regelmäßigen $n$-Ecks vollständig entscheiden zu
|
||||
können, müssen wir die Symmetrien von Körpererweiterungen verstehen … und
|
||||
vielleicht irgendwann auch definieren, was mit ``Symmetrie einer
|
||||
Körpererweiterung'' gemeint sein soll. All das wird voraussetzen, dass wir
|
||||
vielleicht irgendwann auch definieren, was mit „Symmetrie einer
|
||||
Körpererweiterung“ gemeint sein soll. All das wird voraussetzen, dass wir
|
||||
Körpererweiterungen besser beschreiben. Die Idee ist die: gegeben eine
|
||||
einfache, algebraische Erweiterung $K(α)/K$ vom Grad $n$, dann wissen wir schon,
|
||||
dass wir alle Elemente des Oberkörpers $K(α)$ als Linearkombinationen der Form
|
||||
\[
|
||||
k_0 + k_1·α + k_2·α² + ⋯ k_{n-1}·α^{n-1}
|
||||
\]
|
||||
schreiben könne, wobei die $k_{•}$ geeignete Elemente des kleineren Körpers $K$
|
||||
schreiben könne, wobei die $k_•$ geeignete Elemente des kleineren Körpers $K$
|
||||
sind. Diese Einsicht ist natürlich extrem hilfreich --- wir kennen das von den
|
||||
komplexen Zahlen, die sich alle in der Form $k_0 + k_1·\sqrt{-1}$ schreiben
|
||||
lassen. Der Sachverhalt lässt sich auch anders formulieren: Der
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||||
|
|
@ -36,16 +31,16 @@ liegt es dann nahe, den Körper $K(α)$ als Quotient zu beschreiben,
|
|||
K(α) = \factor{K[x]}{\ker φ}.
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||||
\end{equation}
|
||||
Diese Beschreibung\footnote{\label{foot:sage}Hatten Sie sich gewundert, warum
|
||||
SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper ``$ℚ$ adjungiert $\sqrt{5}$''
|
||||
mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet? Der Grund ist, das runde Klammern in der
|
||||
SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „$ℚ$ adjungiert $\sqrt{5}$“ mit
|
||||
\texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet? Der Grund ist, das runde Klammern in der
|
||||
Programmiersprache Python schon eine andere Bedeutung haben.
|
||||
Gleichung~\eqref{eq:xx} zeigt aber, dass eckige Klammer in dieser Situation
|
||||
ganz sinnvoll sind.} wird sehr hilfreich sein, denn wir kommen mit dem
|
||||
vertrauten Polynomring $K[X]$ besser klar als mit dem etwas unheimlichen Körper
|
||||
$K(α)$. Um alles korrekt zu definieren, müssen wir uns aber erst noch einmal
|
||||
überlegen, was für eine Art von Objekt $\ker φ$ nun tatsächlich ist, und was
|
||||
``Quotient'' genau bedeuten soll. Ich nehme die Antwort gleich vorweg: Die
|
||||
Menge $\ker φ$ ist das typische Beispiel eines ``Ideals im Ring $K[x]$''.
|
||||
Gleichung~\eqref{eq:xx} zeigt aber, dass eckige Klammer in dieser Situation ganz
|
||||
sinnvoll sind.} wird sehr hilfreich sein, denn wir kommen mit dem vertrauten
|
||||
Polynomring $K[X]$ besser klar als mit dem etwas unheimlichen Körper $K(α)$. Um
|
||||
alles korrekt zu definieren, müssen wir uns aber erst noch einmal überlegen, was
|
||||
für eine Art von Objekt $\ker φ$ nun tatsächlich ist, und was „Quotient“ genau
|
||||
bedeuten soll. Ich nehme die Antwort gleich vorweg: Die Menge $\ker φ$ ist das
|
||||
typische Beispiel eines „Ideals im Ring $K[x]$“.
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Elementare Definitionen}
|
||||
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|
@ -75,23 +70,23 @@ Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende.
|
|||
\begin{bemerkung}
|
||||
Der Name \emph{Ideal} geht auf
|
||||
Kummer\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Eduard_Kummer}{Ernst
|
||||
Eduard Kummer} (* 29. Januar 1810 in Sorau, Niederlausitz; † 14. Mai 1893
|
||||
in Berlin) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer, der sich vor
|
||||
allem mit Zahlentheorie, Analysis und Geometrie befasste.} und
|
||||
Eduard Kummer} (* 29.~Januar 1810 in Sorau, Niederlausitz; † 14.~Mai 1893 in
|
||||
Berlin) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer, der sich vor allem
|
||||
mit Zahlentheorie, Analysis und Geometrie befasste.} und
|
||||
Dedekind\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind}{Julius
|
||||
Wilhelm Richard Dedekind} (* 6. Oktober 1831 in Braunschweig; †
|
||||
12. Februar 1916 ebenda) war ein deutscher Mathematiker.} zurück. Kummer
|
||||
hatte bei der Untersuchung der Teilbarkeit in gewissen nicht-faktoriellen
|
||||
Ringen wie $ℤ[\sqrt{-5}]$ gewisse \emph{ideale Zahlen} eingeführt. Dedekind
|
||||
hat dann den Idealbegriff geprägt.
|
||||
Wilhelm Richard Dedekind} (* 6.~Oktober 1831 in Braunschweig; † 12.~Februar
|
||||
1916 ebenda) war ein deutscher Mathematiker.} zurück. Kummer hatte bei der
|
||||
Untersuchung der Teilbarkeit in gewissen nicht-faktoriellen Ringen wie
|
||||
$ℤ[\sqrt{-5}]$ gewisse \emph{ideale Zahlen} eingeführt. Dedekind hat dann den
|
||||
Idealbegriff geprägt.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Triviale Ideale]
|
||||
In jedem kommutativen Ring $R$ sind $I= \{0\}$ und $I=R$ trivialerweise
|
||||
Ideale. Wenn $R$ ein Körper ist, dann sind das auch die einzigen Ideale.
|
||||
Grund: wenn $R$ ein Körper und $I ⊂ R$ ein Ideal ist und $a ∈ I∖ \{0\}$, dann
|
||||
ist auch jedes andere Körperelement in $I$. Sei nämlich irgendein Element
|
||||
$r ∈ R$ gegeben. Nach Definition~\ref{def:ideal} ist
|
||||
ist auch jedes andere Körperelement in $I$. Sei nämlich irgendein Element $r
|
||||
∈ R$ gegeben. Nach Definition~\ref{def:ideal} ist
|
||||
\[
|
||||
r = (r·a^{-1})·a ∈ I.
|
||||
\]
|
||||
|
|
@ -153,10 +148,10 @@ Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende.
|
|||
V= \{ \vec{x} ∈ K^n \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x})=0 \}
|
||||
\]
|
||||
wobei $f_i ∈ K[x_1, …, x_n]$ irgendwelche Polynome sind. Man nennt ein
|
||||
solches $V$ manchmal \emph{algebraische Varietät}\index{algebraische Varietät}.
|
||||
Abbildung~\ref{fig:node} zeigt ein Beispiel. Im Internet finden Sie
|
||||
\href{https://imaginary.org/gallery/surfer-gallery-by-bianca-violet}{hier} und
|
||||
\href{https://imaginary.org/gallery/oliver-labs}{hier} noch weitere schöne
|
||||
solches $V$ manchmal \emph{algebraische Varietät}\index{algebraische
|
||||
Varietät}. Abbildung~\ref{fig:node} zeigt ein Beispiel. Im Internet finden
|
||||
Sie \href{https://imaginary.org/gallery/surfer-gallery-by-bianca-violet}{hier}
|
||||
und \href{https://imaginary.org/gallery/oliver-labs}{hier} noch weitere schöne
|
||||
Beispiele.
|
||||
|
||||
Definiere dann das Ideal
|
||||
|
|
@ -170,7 +165,7 @@ Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende.
|
|||
In der \emph{Algebraischen Geometrie}, dem Gebiet auf dem ich und meine
|
||||
Mitarbeiter arbeiten, geht es darum, geometrische Räume mithilfe von
|
||||
algebraischen Objekten wie etwa Idealen zu beschreiben. Tatsächlich lässt sich
|
||||
ein fast vollständiges Wörterbuch ``Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie''
|
||||
ein fast vollständiges Wörterbuch „Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie“
|
||||
aufstellen.
|
||||
|
||||
|
||||
|
|
@ -179,8 +174,8 @@ aufstellen.
|
|||
\sideremark{Vorlesung 10}Es gibt noch eine andere, ganz wichtige Klasse von
|
||||
Beispielen, die wir in ähnlicher Form schon aus der linearen Algebra kennen.
|
||||
Gegeben einen $K$-Vektorraum $V$ und eine beliebige Teilmenge $M ⊂ V$, so
|
||||
betrachteten wir in der linearen Algebra den ``von $M$ erzeugten
|
||||
Untervektorraum'' und bezeichneten diesen Raum mit $\langle M \rangle_K$ oder
|
||||
betrachteten wir in der linearen Algebra den „von $M$ erzeugten Untervektorraum“
|
||||
und bezeichneten diesen Raum mit $\langle M \rangle_K$ oder
|
||||
$\operatorname{Span}(M)$. Per Definition gilt: Ein Vektor $\vec{v} ∈ V$ liegt
|
||||
genau dann in $\langle M \rangle_K$, wenn $\vec{v}$ sich als Linearkombination
|
||||
der Elemente von $M$ schreiben lässt. Wenn die Menge $M$ unendlich ist, was
|
||||
|
|
@ -226,22 +221,22 @@ Ideale sind die, die mithilfe eines einzigen Erzeugers definiert werden können.
|
|||
Dann gilt offensichtlich
|
||||
\begin{align*}
|
||||
(a_1) ⊂ (a_2) & ⇔ a_2| a_1 \\
|
||||
(a_1) = (a_2)& ⇔ a_1 \sim a_2
|
||||
(a_1) = (a_2)& ⇔ a_1 \sim a_2.
|
||||
\end{align*}
|
||||
Die Hauptideale in $R$ entsprechen also eindeutig Klassen von zueinander
|
||||
assoziierten Elementen.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{warnung}
|
||||
Im Gegensatz zu Vektorräumen gibt es für Ideale keinen ``Basisaustauschsatz'',
|
||||
Im Gegensatz zu Vektorräumen gibt es für Ideale keinen „Basisaustauschsatz“,
|
||||
denn zum Beweis des Basisaustauschsatzes ist es absolut notwendig zu
|
||||
dividieren! Es ist nicht immer richtig, dass zwei minimale Erzeugendensysteme
|
||||
eines Ideals,
|
||||
\[
|
||||
I = (a_1, …, a_n) = (b_1, …, b_m),
|
||||
\]
|
||||
immer gleiche Mächtigkeit haben. Falls sie vorhatten, die ``Dimension'' eines
|
||||
Ideals zu definieren -- nice try!
|
||||
immer gleiche Mächtigkeit haben. Falls sie vorhatten, die „Dimension“ eines
|
||||
Ideals zu definieren -- \foreignlanguage{english}{Nice try}!
|
||||
\end{warnung}
|
||||
|
||||
Ein Ideal ist in der Praxis nur dann handhabbar, wenn ich eine möglichst
|
||||
|
|
@ -345,34 +340,32 @@ Satz sollte ihnen bekannt vorkommen.
|
|||
Angenommen, es gäbe eine nicht-leere Menge $M$ von Idealen aus $R$ ohne
|
||||
maximales Element. Dann gibt es zu jedem $I_0∈ M$ ein $I_1∈ M$ mit
|
||||
$I_0\subsetneqq I_1$, genau so mit $I_2,I_3,\dots$. Wir erhalten einen
|
||||
Widerspruch zur Annahme, dass der ``Teilerkettensatz für Ideale'' gilt.
|
||||
Widerspruch zur Annahme, dass der „Teilerkettensatz für Ideale“ gilt.
|
||||
|
||||
\item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_3}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_1}] Sei
|
||||
$I⊂ R$ ein Ideal und $M$ die Menge aller Ideale $J⊂ R$, die endlich erzeugt
|
||||
und in $I$ enthalten sind. Dann ist $M$ nicht leer, denn $(0) ∈ M$. Also
|
||||
gibt es per Annahme ein maximales Element $J∈ M$. Nach Annahme ist $J$
|
||||
endlich erzeugt, also $J = (a_1, …, a_n)$ und wir müssen zeigen, dass
|
||||
$J = I$ ist. Wenn es aber ein $b ∈ I∖J$ gäbe, dann wäre
|
||||
$(a_1, …, a_n,b) ∈ M$ ein Ideal, das $J$ enthält. Ein Widerspruch zur
|
||||
Annahme. \qedhere
|
||||
\item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_3}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_1}] Sei $I⊂ R$ ein
|
||||
Ideal und $M$ die Menge aller Ideale $J⊂ R$, die endlich erzeugt und in $I$
|
||||
enthalten sind. Dann ist $M$ nicht leer, denn $(0) ∈ M$. Also gibt es per
|
||||
Annahme ein maximales Element $J∈ M$. Nach Annahme ist $J$ endlich erzeugt,
|
||||
also $J = (a_1, …, a_n)$ und wir müssen zeigen, dass $J = I$ ist. Wenn es
|
||||
aber ein $b ∈ I∖J$ gäbe, dann wäre $(a_1, …, a_n,b) ∈ M$ ein Ideal, das $J$
|
||||
enthält. Ein Widerspruch zur Annahme. \qedhere
|
||||
\end{description}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Der folgende Satz von David
|
||||
Hilbert\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David
|
||||
Hilbert} (* 23. Januar 1862 in Königsberg; † 14. Februar 1943 in
|
||||
Göttingen) war ein deutscher Mathematiker. Er gilt als einer der
|
||||
bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit. Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet
|
||||
der Mathematik und mathematischen Physik begründeten eigenständige
|
||||
Forschungsgebiete. Mit seinen Vorschlägen begründete er die bis heute
|
||||
bedeutsame formalistische Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und
|
||||
veranlasste eine kritische Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik und
|
||||
des mathematischen Beweises. Diese Analysen führten zum Gödelschen
|
||||
Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm, die
|
||||
von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht
|
||||
gänzlich erfüllt werden kann. Hilberts programmatische Rede auf dem
|
||||
internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine
|
||||
Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die
|
||||
Hilbert} (* 23.~Januar 1862 in Königsberg; † 14.~Februar 1943 in Göttingen) war
|
||||
ein deutscher Mathematiker. Er gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker
|
||||
der Neuzeit. Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet der Mathematik und
|
||||
mathematischen Physik begründeten eigenständige Forschungsgebiete. Mit seinen
|
||||
Vorschlägen begründete er die bis heute bedeutsame formalistische Auffassung von
|
||||
den Grundlagen der Mathematik und veranlasste eine kritische Analyse der
|
||||
Begriffsdefinitionen der Mathematik und des mathematischen Beweises. Diese
|
||||
Analysen führten zum Gödelschen Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt,
|
||||
dass das Hilbertprogramm, die von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung
|
||||
der Mathematik, nicht gänzlich erfüllt werden kann. Hilberts programmatische
|
||||
Rede auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der
|
||||
er eine Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die
|
||||
mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.} ähnelt formell dem
|
||||
Satz~\ref{Satz_Satz_von_Gauss} von Gauß und ist mindestens genauso wichtig.
|
||||
Historisch war der Satz ein Meilenstein. Hilbert's Beweis erregte auch deshalb
|
||||
|
|
|
|||
79
10.tex
79
10.tex
|
|
@ -11,17 +11,17 @@ Ich hatte am Anfang von Kapitel~\ref{chapt:09} schon gesagt, warum wir uns für
|
|||
Ideale interessieren: Wir wollen --ähnlich wie bei der Konstruktion des
|
||||
Quotientenvektoraumes in der Linearen Algebra-- einen Quotienten von Ringen
|
||||
konstruieren. Ich weiß aus Erfahrung, dass viele Studierende ihre Probleme mit
|
||||
``Quotientenvektorräumen'' haben und nutze an dieser Stelle normalerweise die
|
||||
„Quotientenvektorräumen“ haben und nutze an dieser Stelle normalerweise die
|
||||
Gelegenheit, um mit der Konstruktion des Restklassenringes die Begriffe und
|
||||
Beweistechniken noch einmal zu wiederholen. In diesem Semester geht das nicht,
|
||||
denn das Semester ist deutlich kürzer als in normalen Jahren. Ich verzichte
|
||||
deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass ``alles genau so
|
||||
geht, wie in der Linearen Algebra''.
|
||||
deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass „alles genau so
|
||||
geht, wie in der Linearen Algebra“.
|
||||
|
||||
\begin{warnung}
|
||||
Stellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die VL ``Lineare
|
||||
Algebra'' erinnern. Beweisen Sie zur Probe einige Aussagen selbst -- solche
|
||||
Sachen werden gern in Klausuren und mündlichen Prüfungen gefragt.
|
||||
Stellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die Vorlesung
|
||||
„Lineare Algebra“ erinnern. Beweisen Sie zur Probe einige Aussagen selbst --
|
||||
solche Sachen werden gern in Klausuren und mündlichen Prüfungen gefragt.
|
||||
\end{warnung}
|
||||
|
||||
|
||||
|
|
@ -48,8 +48,8 @@ durch folgende universelle Eigenschaft definiert.
|
|||
|
||||
Wie üblich folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Restklassenringen (wenn
|
||||
Sie denn existieren) eindeutig sind bis auf eine eindeutige Isomorphie. Man
|
||||
spricht deswegen oft nicht ganz richtig von ``dem'' Restklassenring und
|
||||
bezeichnet ``den'' Restklassenring mit $R/I$.
|
||||
spricht deswegen oft nicht ganz richtig von „dem“ Restklassenring und bezeichnet
|
||||
„den“ Restklassenring mit $R/I$.
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\section{Konstruktion von Restklassenringen}
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@ -60,17 +60,17 @@ universellen Eigenschaft -- mit einer Ausnahme: Existenz. Wir beweisen die
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Existenz wie immer nicht abstrakt, sondern indem wir eine konkrete Konstruktion
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eines Restklassenringes angeben.
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\begin{defn}[Kongruenz modulo Ideal]\label{def:kmi}
|
||||
\begin{defn}[Kongruenz modulo Ideal]\label{def:kmi}%
|
||||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I ⊂ R$ ein Ideal. Zwei
|
||||
Elemente $a,b∈ R$ heißen \emph{kongruent modulo $I$}\index{Kongruenz modulo
|
||||
Ideal}, wenn $a-b ∈ I$ ist. In diesem Fall ist die Schreibweise
|
||||
$a \equiv b \:\:(\operatorname{mod} I)$ üblich.
|
||||
Ideal}, wenn $a-b ∈ I$ ist. In diesem Fall ist die Schreibweise $a \equiv b
|
||||
\:\:(\operatorname{mod} I)$ üblich.
|
||||
\end{defn}
|
||||
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||||
\begin{lem}\label{lem:10-1-2}
|
||||
\begin{lem}\label{lem:10-1-2}%
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||||
In der Situation von Definition~\ref{def:kmi} gilt: Kongruenz modulo $I$ ist
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eine Äquivalenzrelation auf $R$. Für ein gegebenes Element $a ∈ R$ ist die
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die Äquivalenzklasse eines gegebenen Elementes $a ∈ R$ ist
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||||
Äquivalenzklasse eines gegebenen Elementes $a ∈ R$ ist
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\begin{equation*}
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||||
a+I = \{ a+b \::\: b∈ I \} \eqno\qed
|
||||
\end{equation*}
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@ -82,19 +82,18 @@ eines Restklassenringes angeben.
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|||
\end{notation}
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\begin{bsp}
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||||
Der Name ``Restklasse'' kommt von folgendem Beispiel. Sei $R = ℤ$, sei
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$m ∈ ℕ$ eine Zahl, und sei $I = (m)$. Dann ist
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||||
$a \equiv b \:\:(\operatorname{mod} I)$ genau dann, wenn $a$ und $b$ bei der
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||||
Division durch $m$ denselben Rest haben. Die Kongruenz modulo $(m)$ zerlegt
|
||||
$ℤ$ also genau in die Restklassen
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||||
Der Name „Restklasse“ kommt von folgendem Beispiel. Sei $R = ℤ$, sei $m ∈ ℕ$
|
||||
eine Zahl, und sei $I = (m)$. Dann ist $a \equiv b \:\:(\operatorname{mod}
|
||||
I)$ genau dann, wenn $a$ und $b$ bei der Division durch $m$ denselben Rest
|
||||
haben. Die Kongruenz modulo $(m)$ zerlegt $ℤ$ also genau in die Restklassen
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
0 + (m), 1+(m), 2+(m), …, m-1+(m).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Existenz von Restklassenringen]\label{satz:exvrklr}
|
||||
\begin{satz}[Existenz von Restklassenringen]\label{satz:exvrklr}%
|
||||
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I⊂ R$ ein Ideal. Die
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||||
Äquivalenzrelation ``Kongruenz modulo $I$'' werde mit $\sim$ bezeichnet. Dann
|
||||
Äquivalenzrelation „Kongruenz modulo $I$“ werde mit $\sim$ bezeichnet. Dann
|
||||
sind die folgenden Verknüpfungen es auf dem Quotienten\footnote{Erinnerung an
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||||
die Lineare Algebra: Quotient nach Äquivalenzrelation = $R/\sim$ = Menge der
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||||
Äquivalenzklassen} $S := R/\sim$ wohldefiniert:
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@ -129,8 +128,8 @@ diese Art und Weise direkt beschreiben.
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\begin{equation*}
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||||
\bigl(g_1+(f)\bigr)· \bigl(g_2+(f)\bigr) = h + (f)
|
||||
\end{equation*}
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||||
wobei $h$ der Rest von $g_1· g_2$ bei der Division durch $f$ ist. Ist
|
||||
$\deg f ≥ 1$, dann ist die Abbildung
|
||||
wobei $h$ der Rest von $g_1· g_2$ bei der Division durch $f$ ist. Ist $\deg f
|
||||
≥ 1$, dann ist die Abbildung
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
K → \factor{K[x]}{(f)}, \quad λ ↦ λ+(f)
|
||||
\end{equation*}
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||||
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@ -144,7 +143,7 @@ diese Art und Weise direkt beschreiben.
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|||
Der folgende Satz folgt wie in der Linearen Algebra aus der universellen
|
||||
Eigenschaft.
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||||
\begin{prop}[Homomorphiesatz für Ringe]\label{Korollar_Homomorphiesatz}
|
||||
\begin{prop}[Homomorphiesatz für Ringe]\label{Korollar_Homomorphiesatz}%
|
||||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei $ψ : R → S$ ein
|
||||
surjektiver Ringmorphismus. Dann ist die induzierte Abbildung
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
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@ -181,18 +180,18 @@ zum Restklassenring $K[x]/(f)$ ist.
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|||
\section{Ideale oben und unten}
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||||
Neben dem Homomorphiesatz für Ringe gelten noch einige andere Sätze, die wir aus
|
||||
der linearen Algebra kennen (``Kürzen'' von Untervektorräumen). Um diese Sätze
|
||||
korrekt zu formulieren, müssen wir erst verstehen, wie ``Ideale in $R$'' und
|
||||
``Ideale in $R/I$'' zusammenhängen. Der folgende Satz formuliert den
|
||||
Zusammenhang nicht nur für die Quotientenabbildung $φ : R → R/I$, sondern für
|
||||
beliebige Ringmorphismen. Kurz gesagt gilt: Urbilder von Idealen sind immer
|
||||
Ideale. Bilder von Idealen sind zumindest dann Ideale, wenn der Morphismus
|
||||
surjektiv ist --- dies ist zum Beispiel bei der Quotientenabbildung der Fall.
|
||||
der linearen Algebra kennen („Kürzen“ von Untervektorräumen). Um diese Sätze
|
||||
korrekt zu formulieren, müssen wir erst verstehen, wie „Ideale in $R$“ und
|
||||
„Ideale in $R/I$“ zusammenhängen. Der folgende Satz formuliert den Zusammenhang
|
||||
nicht nur für die Quotientenabbildung $φ : R → R/I$, sondern für beliebige
|
||||
Ringmorphismen. Kurz gesagt gilt: Urbilder von Idealen sind immer Ideale.
|
||||
Bilder von Idealen sind zumindest dann Ideale, wenn der Morphismus surjektiv ist
|
||||
--- dies ist zum Beispiel bei der Quotientenabbildung der Fall.
|
||||
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||||
\begin{satz}[Urbilder von Idealen]
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||||
Es sei $\varphi : R → S$ ein Morphismus von kommutativen Ringen mit Eins.
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||||
Wenn $I⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist die Urbildmenge $\varphi^{-1}(I)$ ein
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||||
Ideal in $R$. Ist $\varphi$ zusätzlich surjektiv, dann ist die Zuordnung
|
||||
Es sei $\varphi : R → S$ ein Morphismus von kommutativen Ringen mit Eins. Wenn
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||||
$I⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist die Urbildmenge $\varphi^{-1}(I)$ ein Ideal in
|
||||
$R$. Ist $\varphi$ zusätzlich surjektiv, dann ist die Zuordnung
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\begin{matrix}
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||||
\{\text{Ideale in }S \} & → & \{ \text{Ideale $J$ in $R$ mit $\ker ψ ⊆ J$}\} \\
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||||
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@ -260,10 +259,10 @@ Formulierung verwendet Notation~\ref{not:xx}.
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|||
Die Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:10-3} wirft die Frage auf, wann ein
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||||
Restklassenring der Form $K[x]/(f)$ eigentlich ein Körper ist. Etwas
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||||
bescheidener: Wann ist ein Restklassenring $R/I$ nullteilerfrei? Für den Ring
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||||
$ℤ$ haben wir die Antwort in der Vorlesung ``Lineare Algebra'' kennengelernt.
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||||
Der Ring $ℤ/(m)$ ist genau dann nullteilerfrei, wenn er ein Körper ist, und dies
|
||||
ist genau dann der Fall, wenn $m$ eine Primzahl ist. Also müssen wir statt
|
||||
``Primzahl'' jetzt den Begriff des ``Primideals'' einführen.
|
||||
$ℤ$ haben wir die Antwort in der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennengelernt. Der
|
||||
Ring $ℤ/(m)$ ist genau dann nullteilerfrei, wenn er ein Körper ist, und dies ist
|
||||
genau dann der Fall, wenn $m$ eine Primzahl ist. Also müssen wir statt
|
||||
„Primzahl“ jetzt den Begriff des „Primideals“ einführen.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Primideal]
|
||||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt
|
||||
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@ -355,7 +354,7 @@ lösbar ist.
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|||
\end{definition}
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||||
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||||
\begin{bemerkung}
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||||
Was hat diese Definition mit ``Teilerfremdheit'' zu tun? Schauen Sie sich den
|
||||
Was hat diese Definition mit „Teilerfremdheit“ zu tun? Schauen Sie sich den
|
||||
Euklidischen Algorithmus aus Beispiel~\vref{bsp:5-6-7} noch einmal an. In der
|
||||
Situation des Beispiels~\ref{bsp:5-6-7} sind zwei Elemente $f$ und $g$
|
||||
gegeben. Wenn $f$ und $g$ teilerfremd sind, ist $\ggT(f,g)=1$. Der
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||||
|
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@ -364,12 +363,12 @@ lösbar ist.
|
|||
dass $(f) + (g)$ der gesamte Ring ist.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Chinesischer Restsatz]\label{Satz_Chinesischer_Restsatz}
|
||||
\begin{satz}[Chinesischer Restsatz]\label{Satz_Chinesischer_Restsatz}%
|
||||
\index{Chinesischer Restsatz}Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es
|
||||
seien $I_1, …, I_n ⊂ R$ paarweise teilerfremde Ideale. Dann ist der
|
||||
kanonische Ringhomomorphismus
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
α : R → \underbrace{\factor{R}{I_1}⨯⋯⨯\factor{R}{I_n}}_{\genfrac{}{}{0pt}{1}{\text{Add. und Mult.}}{\text{komponentenweise}}}, \quad a ↦ \Bigl( a+I_1, …, a+ I_n \Bigr)
|
||||
α : R → \underbrace{\factor{R}{I_1}⨯⋯⨯\factor{R}{I_n}}_{\genfrac{}{}{0pt}{1}{\text{Add.~und Mult.}}{\text{komponentenweise}}}, \quad a ↦ \Bigl( a+I_1, …, a+ I_n \Bigr)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
surjektiv und es ist $\ker α = I_1 ∩ ⋯ ∩ I_n$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
|
|
|||
29
12.tex
29
12.tex
|
|
@ -5,10 +5,10 @@
|
|||
|
||||
\section{Worum geht es in diesem Teil der Vorlesung?}
|
||||
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||||
Wir sind immer noch an ``Symmetrien vor Körpererweiterungen'' interessiert, aber
|
||||
Wir sind immer noch an „Symmetrien vor Körpererweiterungen“ interessiert, aber
|
||||
ich habe ihnen bislang nicht erklärt, was ich damit meine. Das einfachste
|
||||
Beispiel ist vielleicht die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$. In diesem Fall ist die
|
||||
relevante ``Symmetrie'' die komplexe Konjugation, also die Spiegelung der
|
||||
relevante „Symmetrie“ die komplexe Konjugation, also die Spiegelung der
|
||||
komplexen Ebene an der reellen Gerade. Die komplexe Konjugation ist ein
|
||||
Körpermorphismus $ℂ → ℂ$ (sogar ein Isomorphismus) mit der interessanten
|
||||
Eigenschaft, dass die reellen Zahlen genau diejenigen Punkte der komplexen Ebene
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||||
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@ -18,12 +18,12 @@ und $ℝ$ vom höheren Standpunkt aus verstehen. Warum ist die Erweiterung $ℂ
|
|||
so wichtig? Wenn ich statt $ℝ$ einen anderen Körper betrachte (zum Beispiel
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||||
$𝔽_p(X)$), welcher Körper würde dann die Rolle von $ℂ$ spielen?
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||||
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||||
Die Antwort kommt aus der Vorlesung ``Analysis'' oder ``Funktionentheorie''.
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||||
Dort beweist man mit analytischen Methoden, dass jedes Polynom $f ∈ ℝ[x]$ eine
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||||
Die Antwort kommt aus der Vorlesung „Analysis“ oder „Funktionentheorie“. Dort
|
||||
beweist man mit analytischen Methoden, dass jedes Polynom $f ∈ ℝ[x]$ eine
|
||||
komplexe Nullstelle besitzt -- und auch jedes komplexe Polynom $f ∈ ℝ[x]$
|
||||
besitzt eine komplexe Nullstelle. Das führt dazu, dass jedes Polynom in $ℂ[x]$
|
||||
als Produkt von linearen Polynome geschrieben werden kann. Man sagt: ``die
|
||||
komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen''. Wir werden später sehen, was
|
||||
als Produkt von linearen Polynome geschrieben werden kann. Man sagt: „Die
|
||||
komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen.“. Wir werden später sehen, was
|
||||
diese Eigenschaft mit Symmetrie zu tun hat.
|
||||
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||||
\begin{frage}
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||||
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@ -45,10 +45,7 @@ Oberkörper hat.
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||||
Der Beweis von Satz~\ref{satz:12-1-2} ist eine große Tautologie, verwirrt
|
||||
Studentinnen und Studenten oft. Ich diskutiere vor dem Beweis deshalb erst noch
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||||
ein kleines Beispiel. Auf unserem
|
||||
\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} habe ich
|
||||
Ihnen ein weiteres, ganz konkretes Beispiel bereitgestellt.
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||||
|
||||
ein kleines Beispiel.
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||||
\begin{erkl}
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||||
Das Polynom $x²+1 ∈ ℝ[x]$ hat keine Nullstelle in $ℝ$, aber es hat eine
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||||
Nullstelle in $ℂ$, nämlich die Zahl $i$; wir wissen natürlich auch noch, dass
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||||
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|
@ -122,7 +119,7 @@ wirklich sein soll.
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|||
$f ∈ \overline{K}[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Weil $L$ algebraisch
|
||||
abgeschlossen ist, hat $f$ eine Nullstelle in $a∈ L$. Das Element $a$ ist
|
||||
logischerweise algebraisch über $\overline{K}$ und deshalb wegen
|
||||
Korollar~\vref{kor:TdA} (``Transitivität der Algebraizität'') auch algebraisch
|
||||
Korollar~\vref{kor:TdA} („Transitivität der Algebraizität“) auch algebraisch
|
||||
über $K$. Also ist $a∈\overline{K}$.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
|
|
@ -160,8 +157,8 @@ müssen. In einem normalen Jahr würde mithilfe von Zorn's Lemma\footnote{Zorn'
|
|||
tatsächlich trägt. Weil das Semester in diesem Jahr deutlich kürzer ist, muss
|
||||
an dieser Stelle auf einen Beweis verzichten. Der folgende Satz ist als Satz
|
||||
von Steinitz\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Steinitz}{Ernst
|
||||
Steinitz} (* 13. Juni 1871 in Laurahütte, Oberschlesien; † 29. September
|
||||
1928 in Kiel) war ein deutscher Mathematiker.} bekannt.
|
||||
Steinitz} (* 13.~Juni 1871 in Laurahütte, Oberschlesien; † 29.~September 1928 in
|
||||
Kiel) war ein deutscher Mathematiker.} bekannt.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Existenz des Algebraischen Abschluss]\label{Satz_von_Steinitz}
|
||||
Jeder Körper besitzt einen algebraischen Abschluss. \qed
|
||||
|
|
@ -173,7 +170,7 @@ von Steinitz\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Steinitz}{Ernst
|
|||
Als Nächstes müssen wir diskutieren, inwieweit ein algebraischer Abschluss
|
||||
eindeutig ist. Wie immer folgt die Eindeutigkeit aus einer universellen
|
||||
Eigenschaft. Den folgenden Begriff hatten wir oben schon informell unter dem
|
||||
Schlagwort ``Symmetrien einer Körpererweiterung'' diskutiert.
|
||||
Schlagwort „Symmetrien einer Körpererweiterung“ diskutiert.
|
||||
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||||
\begin{definition}[$K$-Morphismus]
|
||||
Es seien $R$ und $S$ Oberringe desselben Unterringes $K$. Ein Ringmorphismus
|
||||
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@ -215,7 +212,7 @@ werde ich den Satz aus Zeitgründen nicht beweisen.
|
|||
Als Konsequenz der universellen Eigenschaft erhalten wir die Eindeutigkeit des
|
||||
algebraischen Abschlusses bis auf nicht-kanonische Isomorphie. Obwohl die
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||||
Isomorphie nicht kanonisch ist, spricht man in der Literatur häufig nicht ganz
|
||||
korrekt von ``dem'' Quotientenkörper.
|
||||
korrekt von „dem“ algebraischen Abschluss.
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||||
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||||
\begin{kor}[Eindeutigkeit des alg.~Abschluss bis auf nicht-kanonische Isomorphie]\label{cor:edaa}
|
||||
Es sei $K$ ein Körper und es seien $\overline{K}_1$ und $\overline{K}_2$ zwei
|
||||
|
|
@ -234,7 +231,7 @@ korrekt von ``dem'' Quotientenkörper.
|
|||
Ich wiederhole noch einmal: Die nicht-Eindeutigkeit der Abbildung $\varphi$ aus
|
||||
Satz~\ref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} und nicht-Kanonizität der Abbildung aus
|
||||
Korollar~\ref{cor:edaa} sind der Grund dafür, warum die Diskussion von
|
||||
``Symmetrie'' überhaupt sinnvoll ist. Das ist ganz anders als bei dem
|
||||
„Symmetrie“ überhaupt sinnvoll ist. Das ist ganz anders als bei dem
|
||||
Quotientenkörper!
|
||||
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
49
13.tex
49
13.tex
|
|
@ -3,13 +3,13 @@
|
|||
|
||||
\chapter{Zerfällungskörper}
|
||||
|
||||
Ich habe im vorhergehenden Kapitel immer wieder von ``Symmetrie'' gesprochen und
|
||||
Ich habe im vorhergehenden Kapitel immer wieder von „Symmetrie“ gesprochen und
|
||||
dabei als Beispiel immer nur die Konjugationsabbildung der komplexen Zahlen
|
||||
diskutiert. Das ist ein bisschen dünn. Wir brauchen mehr Beispiele!
|
||||
Tatsächlich liefert fast jedes Polynom ein interessantes Beispiel, den
|
||||
Zerfällungskörper. Was das ist, erkläre ich jetzt.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Zerfällungskörper]\label{def:zerf}
|
||||
\begin{defn}[Zerfällungskörper]\label{def:zerf}%
|
||||
Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Ein
|
||||
Oberkörper $L/K$ heißt \emph{Zerfällungskörper von
|
||||
$f$}\index{Zerfällungskörper}, falls Folgendes gilt.
|
||||
|
|
@ -24,7 +24,7 @@ Zerfällungskörper. Was das ist, erkläre ich jetzt.
|
|||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Die Elemente $a_1, …, a_n$ aus Definition~\ref{def:zerf} sind genau die
|
||||
Nullstellen des Polynomes $f ∈ L[x]$. Insbesondere sind die Elemente
|
||||
Nullstellen des Polynoms $f ∈ L[x]$. Insbesondere sind die Elemente
|
||||
$a_1, …, a_n$ eindeutig bis auf Vertauschung.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
|
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@ -53,16 +53,16 @@ schon beim algebraischen Abschluss wird deshalb häufig von ``dem''
|
|||
Zerfällungskörper gesprochen.
|
||||
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||||
\begin{bemerkung}[Kochrezept: Zerfällungskörper]
|
||||
Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom.
|
||||
Wenn ein algebraischer abgeschlossener Oberkörper $L/K$ gegeben ist, dann
|
||||
zeigt der Beweis von Satz~\ref{satz:13-0-3} wie man an einen Zerfällungskörper
|
||||
kommt. Man muss für das Polynom $f ∈ L[x]$ ``lediglich'' die Nullstellen
|
||||
$a_1, …, a_n$ bestimmen und kann dann den Körper $K(a_1, …, a_n)$ nehmen.
|
||||
Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Wenn
|
||||
ein algebraischer abgeschlossener Oberkörper $L/K$ gegeben ist, dann zeigt der
|
||||
Beweis von Satz~\ref{satz:13-0-3} wie man an einen Zerfällungskörper kommt.
|
||||
Man muss für das Polynom $f ∈ L[x]$ „lediglich“ die Nullstellen $a_1, …, a_n$
|
||||
bestimmen und kann dann den Körper $K(a_1, …, a_n)$ nehmen.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
Ein wichtiges Problem der Algebra(klausur/prüfung) ist es, zu einem gegebenen
|
||||
Körper $K$ und zu einem gegebenen Polynom $f ∈ K[x]$ den Zerfällungskörper zu
|
||||
bestimmen. Dabei ist mit ``bestimmen'' meistens gemeint, dass man den
|
||||
bestimmen. Dabei ist mit „bestimmen“ meistens gemeint, dass man den
|
||||
Erweiterungsgrad des Zerfällungskörpers bestimmen und ein möglichst kleinen Satz
|
||||
von möglichst einfachen Erzeugern angeben soll. Meistens ist in diesen
|
||||
Beispielen $K = ℚ$, sodass man einen Zerfällungskörper als Teilmenge der
|
||||
|
|
@ -87,11 +87,10 @@ komplexen Zahlen konstruieren wird.
|
|||
\[
|
||||
[L : ℚ] ≤ 3! = 6,
|
||||
\]
|
||||
ist, aber wie groß ist der Grad wirklich? Wir überlegen, dass
|
||||
$[ℚ \bigl(\sqrt[3]{2} \bigr) : ℚ ] = 3$. Also gilt $3| [L:Q]$ und man
|
||||
muss lediglich prüfen, ob $L = ℚ(\sqrt[3]{2})$ ist. Das ist aber nicht der
|
||||
Fall, denn $ℚ(\sqrt[3]{2}) ⊂ ℝ$ aber $ξ \not∈ ℝ$. Also ist
|
||||
$[L:ℚ] =6$.
|
||||
ist, aber wie groß ist der Grad wirklich? Wir überlegen, dass $[ℚ
|
||||
\bigl(\sqrt[3]{2} \bigr) : ℚ ] = 3$. Also gilt $3| [L:Q]$ und man muss
|
||||
lediglich prüfen, ob $L = ℚ(\sqrt[3]{2})$ ist. Das ist aber nicht der Fall,
|
||||
denn $ℚ(\sqrt[3]{2}) ⊂ ℝ$ aber $ξ \not∈ ℝ$. Also ist $[L:ℚ] =6$.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
|
||||
|
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@ -99,7 +98,7 @@ komplexen Zahlen konstruieren wird.
|
|||
\label{sec:13-1}
|
||||
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||||
\sideremark{Vorlesung 14}Ich komme zu meinem Lieblingsthema zurück. Jetzt kann
|
||||
ich endlich erklären, was es mit meinem ständigen Reden von ``Symmetrien'' auf
|
||||
ich endlich erklären, was es mit meinem ständigen Reden von „Symmetrien“ auf
|
||||
sich hat.
|
||||
|
||||
\begin{situation}\label{sit:gal}
|
||||
|
|
@ -141,13 +140,13 @@ das wohl am besten in Termen endlicher Gruppen beantwortet werden sollte.
|
|||
Wenn ich jetzt einen $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ habe, dann ist
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\varphi(ℓ) & = \sum \varphi(β_{i_1,…,i_n})·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n} \\
|
||||
& = \sum β_{i_1,…,i_n}·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n}. && \text{$\varphi$ ist $K$-Morphismus und $β_• ∈ K$}
|
||||
& = \sum β_{i_1,…,i_n}·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n}. && \text{$\varphi$ ist $K$-Morphismus und $β_• ∈ K$.}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Wir erkennen: Der $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ ist eindeutig dadurch
|
||||
festgelegt, wohin er die endlich vielen Elemente $a_1$, …, $a_n$ abbildet!
|
||||
Die Abbildung \eqref{eq:jtzrtt} ist also injektiv, und wir können die
|
||||
``Symmetriegruppe'' von $L/K$, also die Gruppe der $K$-Isomorphismen von $L$
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als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe auffassen.
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festgelegt, wohin er die endlich vielen Elemente $a_1$, …, $a_n$ abbildet! Die
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Abbildung \eqref{eq:jtzrtt} ist also injektiv, und wir können die
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„Symmetriegruppe“ von $L/K$, also die Gruppe der $K$-Isomorphismen von $L$ als
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Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe auffassen.
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\end{beobachtung}
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@ -163,7 +162,7 @@ ein wenig Sprache.
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vielen) Variablen $(x_λ)_{λ∈ Λ}$.
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\end{notation}
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Wenn alles 100\%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser könnte den
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Wenn alles 100\%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser Stelle den
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Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren. Ich
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finde das aber arg formell und hoffe, Sie verzeihen mir, wenn ich das jetzt
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einfach mal nicht mache. Der einzig wichtige Punkt ist, dass Polynome immer
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@ -197,7 +196,7 @@ immer nur endlich viele Variablen auf.
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\end{beobachtung}
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\subsection{Ringadjunktion vs Körperadjunktion}
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\subsection{Ringadjunktion vs.~Körperadjunktion}
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Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$ und eine Teilmenge $(a_λ)_{λ∈Λ}$ von $L$,
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dann kann ich den Unterring $K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ und den Unterkörper
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@ -207,9 +206,9 @@ $K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr)$ vergleichen. Offenbar gilt immer
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⊆ L.
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\]
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Die folgenden Sätze klären, wann Gleichheit herrscht. Die Sätze klären auch
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noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper ``$ℚ$
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adjungiert $\sqrt{5}$'' mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet. Schauen Sie sich
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vielleicht auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an.
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noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „$ℚ$ adjungiert
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$\sqrt{5}$“ mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet. Schauen Sie sich vielleicht
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auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an.
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\begin{satz}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion]
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $(a_λ)_{λ∈Λ}$ eine Teilmenge
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34
14.tex
34
14.tex
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@ -132,23 +132,23 @@ bestimmen. Was war noch einmal die Ordnung?
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\end{beobachtung}
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\section{Der Frobenius Morphismus}
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\section{Der Frobenius-Morphismus}
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Über Körpern und Ringen der Charakteristik $p > 0$ gibt es einen ganz
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unglaublichen Körpermorphismus, den wir noch nicht kennen: den
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Frobenius-Morphismus\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_Georg_Frobenius}{Ferdinand
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Georg Frobenius}, genannt Georg, (* 26. Oktober 1849 in Berlin; † 3.
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||||
August 1917 in Charlottenburg, heute ein Ortsteil von Berlin) war ein
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deutscher Mathematiker. Er war seit 1892 Professor an der Universität Berlin
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und setzte dort hohe Maßstäbe für Prüfungen durch.}. Der Morphismus ist
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eigentlich ganz einfach, es handelt sich um die Abbildung $r ↦ r^p$. Das
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unglaubliche ist, dass diese Abbildung \textbf{linear} ist!!
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Georg Frobenius}, genannt Georg, (* 26.~Oktober 1849 in Berlin; † 3.~August 1917
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in Charlottenburg, heute ein Ortsteil von Berlin) war ein deutscher
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Mathematiker. Er war seit 1892 Professor an der Universität Berlin und setzte
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dort hohe Maßstäbe für Prüfungen durch.}. Der Morphismus ist eigentlich ganz
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einfach, es handelt sich um die Abbildung $r ↦ r^p$. Das unglaubliche ist, dass
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diese Abbildung \textbf{linear} ist!
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\begin{defn}[Charakeristik eines Ringes]
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Die
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\emph{Charakteristik}\index{Charakteristik!eines Ringes} von $R$ ist die
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kleinste natürliche Zahl $n ∈ ℕ^+$, sodass die $n$-fache Summe des
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Einselementes gleich dem Nullelement wird, also
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Einselements gleich dem Nullelement wird, also
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\[
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\underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{n ⨯} =0.
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\]
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@ -174,8 +174,8 @@ unglaubliche ist, dass diese Abbildung \textbf{linear} ist!!
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\begin{notation}
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In der Situation von Satz~\ref{DefSatz_Frobenius-Endomorphismus} ist die
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Bildmenge $F(R) ⊂ R$ natürlich ein Unterring. Dieser wird als ``Menge der
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$p$-Potenzen'' bezeichnet und oft mit dem Symbol $R^p ⊆ R$ notiert.
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||||
Bildmenge $F(R) ⊂ R$ natürlich ein Unterring. Dieser wird als „Menge der
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||||
$p$-Potenzen“ bezeichnet und oft mit dem Symbol $R^p ⊆ R$ notiert.
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\end{notation}
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\begin{beobachtung}
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@ -190,7 +190,7 @@ unglaubliche ist, dass diese Abbildung \textbf{linear} ist!!
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\section{Separable und inseparable Polynome}
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Ich hatte oben gefragt, ob ein irreduzibles Polynom mehrfache Nullstellen haben
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kann. Die ehrliche Antwort lautet: ``vielleicht'' und begründet die folgende
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kann. Die ehrliche Antwort lautet: „vielleicht“ und begründet die folgende
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Definition.
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\begin{defn}[Separable und inseparable Polynome]
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@ -288,7 +288,7 @@ werden.
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\begin{bsp}
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Sei $K = 𝔽_p(t) = Q\bigl( 𝔽_p[t] \bigr)$. Nach dem
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Satz~\vref{Satz_Eisenstein_Kriterium} (``Eisenstein-Kriterium'') ist
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Satz~\vref{Satz_Eisenstein_Kriterium} („Eisenstein-Kriterium“) ist
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\begin{equation*}
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f = x^p-t ∈ K[x]
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\end{equation*}
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@ -347,7 +347,7 @@ Erweiterungen kennen. Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf.
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$σ : K(a) → L$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Ich erinnere an die Beobachtungen~\ref{beob:p1} und \vref{beob:p2}: jeder
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Ich erinnere an die Beobachtungen~\ref{beob:p1} und \vref{beob:p2}: Jeder
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potenzielle $K$-Morphismus $σ$ bildet $a$ auf eine der $m$ Nullstellen von $f$
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an, und ist durch dieses Bild eindeutig festgelegt. Jetzt müssen wir
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lediglich noch zeigen, dass jede dieser $m$ verschiedenen Möglichkeiten
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@ -370,8 +370,8 @@ Erweiterungen kennen. Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf.
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Mit diesen Vorbereitungen können wir separable Abbildungen in präziser Art durch
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die Anzahl von $K$-Morphismen charakterisieren. Als Konsequenz erhalten wir
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eine Reihe von Sätzen, die wir für den Begriff der ``algebraischen
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Körpererweiterung'' in ganz ähnlicher Form schon kennen.
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eine Reihe von Sätzen, die wir für den Begriff der „algebraischen
|
||||
Körpererweiterung“ in ganz ähnlicher Form schon kennen.
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\begin{satz}\label{Satz_11_10}
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Es sei $L/K$ eine endliche (also insbesondere: algebraische) Körpererweiterung
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@ -424,8 +424,8 @@ Körpererweiterung'' in ganz ähnlicher Form schon kennen.
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\subsection{Der separable Abschluss}
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Erinnern Sie sich an den ``algebraischen Abschluss einer Körpers in einem
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Oberkörper'', den wir in Satz~\vref{satzdef:aaieO} eingeführt haben? Auch
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Erinnern Sie sich an den „algebraischen Abschluss eines Körpers in einem
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Oberkörper“, den wir in Satz~\vref{satzdef:aaieO} eingeführt haben? Auch
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dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext
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übertragen.
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@ -183,5 +183,5 @@ Dieser Text ist unter der Lizenz
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\bibstyle{alpha}
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\bibliographystyle{alpha}
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\bibliography{bibliography/general}
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\bibliography{bibliography/math}
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\end{document}
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Subproject commit a43a02648009f06cfce65ebcd47c4ca5fee1291c
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15744
bibliography/general.bib
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bibliography/general.bib
File diff suppressed because it is too large
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Subproject commit 6b3482d50e8051a2ffdc32d3891b734f0ae1e3da
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