kebekus/AlgebraZahlentheorie
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Stefan Kebekus 2023-10-06 15:20:10 +02:00
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@ -0,0 +1,6 @@
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64
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@ -63,3 +63,67 @@ Teilbarkeitseigenschaften
kgV kgV
faktoriellen faktoriellen
Geodät Geodät
Quotientenkörper
Quotientenkörpers
Irreduzibilitätskriterien
Irreduzibilitätskriterium
Teilbarkeitsbetrachtungen
Teilerpolynome
Lodovico
Lagrangia
Interpolationsformel
Schönemann
Driesen
Friedebergischer
reduzibel
Einsetzungskomposition
Substitutionsmorphismus
Konstruierbarkeitsfragen
konjungierte
konstruierbare
Konstruierbarkeitsfrage
transzendent
Rechtsideale
Sorau
Dedekind
nicht-faktoriellen
Hauptideale
Erzeugendensysteme
Gödelschen
Erzeugendensystems
Erzeugendensystem
Teiler-
Hauptidealen
Faktorialität
Quotientenvektoraumes
Quotientenvektorräumen
Quotientenvektorräume
Quotientenring
Repräsentantensystems
Homomorphiesatzes
Homomorphiesatz
Quotientenabbildung
Urbildmenge
Primideale
Primideals
Primideal
Summenideal
Teilerfremdheit
Funktionenkörper
Kodierungstheorie
Substitutionsabbildung
Steinitz
Laurahütte
nicht-Kanonizität
Zerfällungskörpern
inseparable
Teilbarkeitsrelationen
Frobenius-Morphismus
Frobenius-Endomorphismus
Einselements
separabel
inseparabel
Separabilität
Substitutionsmorphismen
Separabilitätsgrad
inseparablen

29
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@ -24,3 +24,32 @@
{"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QVorlesung 6\\E$"} {"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QVorlesung 6\\E$"}
{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\QggT und kgV.\\E$"} {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\QggT und kgV.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q genau dann, wenn für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"} {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q genau dann, wenn für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QWenn Sie bei mir die Vorlesung „Lineare Algebra“ gehört haben, dann wird Ihnen die folgende Definition sehr vertraut vorkommen.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten:] Ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringhomomorphismus, dann ist auch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringmorphismus.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QSetze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q [Substitutionsmorphismus] Es sei ein Element \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gegeben.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten] Ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringhomomorphismus, dann ist auch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Ringmorphismus.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIch verzichte deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass „alles genau so geht, wie in der Linearen Algebra“.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QStellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die Vorlesung „Lineare Algebra“ erinnern.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QGenau wie die Quotientenvektorräume der Linearen Algebra sind Restklassenringe durch folgende universelle Eigenschaft definiert.\\E$"}
{"rule":"DE_SUBJECT_VERB_AGREEMENT","sentence":"^\\QEin Restklassenring oder Quotientenring ist ein kommutativer Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q mit Eins zusammen mit einem Ringmorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist und so, dass die folgende universelle Eigenschaft gilt: ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein weiterer Ringmorphismus mit \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dann gibt es genau einen Ringmorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass das folgende Diagramm kommutiert, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QErinnerung an die Lineare Algebra: Quotient nach Äquivalenzrelation = \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q = Menge der Äquivalenzklassen\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDer folgende Satz folgt wie in der Linearen Algebra aus der universellen Eigenschaft.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Wie sieht der Kern von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus?] Ein Polynom \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist offenbar genau dann im von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Kern, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QFür den Ring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q haben wir die Antwort in der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennengelernt.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDer Chinesische Restsatz.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDer Chinesische Restsatz ist langweilig, darf aber in keiner Vorlesung fehlen und kommt auch in den allermeisten Klausuren und Prüfungen vor.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind, dann ist diese notwendige Bedingung automatisch erfüllt, und der Chinesische Restsatz sagt, dass das Gleichungssystem dann auch lösbar ist.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann ist der kanonische Ringhomomorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QAdd.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Qund Mult.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDer Körper der algebraischen Zahlen, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ein algebraischer Abschluss \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"PLURAL_APOSTROPH","sentence":"^\\QIn einem normalen Jahr würde mithilfe von Zorn's Lemma zeigen, dass diese naive Idee tatsächlich trägt.\\E$"}
{"rule":"PLURAL_APOSTROPH","sentence":"^\\QZorn's Lemma = eine Variante des Auswahlaxioms\\E$"}
{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWorum geht es in diesem Teil der Vorlesung?.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEin wichtiges Problem der Algebra(klausur/prüfung) ist es, zu einem gegebenen Körper \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und zu einem gegebenen Polynom \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q den Zerfällungskörper zu bestimmen.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWir erhalten also einen Gruppenmorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-isomorphismen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QPermutationen der Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWenn alles 100%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser könnte den Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWenn alles 100%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser Stelle den Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDie Sätze klären auch noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q adjungiert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q“ mit QQ[sqrt(5)] bezeichnet.\\E$"}
{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QFür beliebige Körpererweiterungen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und beliebige Teilmengen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist die Äquivalenz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind algebraisch ganz falsch.\\E$"}
{"rule":"DOPPELTES_AUSRUFEZEICHEN","sentence":"^\\QFalsch!!\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDann ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Ist mir zu langweilig.\\E$"}

32
06.tex
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@ -30,20 +30,20 @@ Quotientenkörper.
Integritätsring an. Integritätsring an.
\end{obs} \end{obs}
Die folgende Definition klärt ganz präzise, was wir mit einem ``möglichst Die folgende Definition klärt ganz präzise, was wir mit einem „möglichst kleinen
kleinen Körper, der $R$ enthält'' eigentlich genau meinen. Wenn Sie bei mir die Körper, der $R$ enthält“ eigentlich genau meinen. Wenn Sie bei mir die
Vorlesung ``Lineare Algebra'' gehört haben, dann wird Ihnen die folgende Vorlesung „Lineare Algebra“ gehört haben, dann wird Ihnen die folgende
Definition sehr vertraut vorkommen. Falls nicht, ist jetzt die perfekte Definition sehr vertraut vorkommen. Falls nicht, ist jetzt die perfekte
Gelegenheit, alles über ``universelle Eigenschaften'' zu lernen. Gelegenheit, alles über „universelle Eigenschaften“ zu lernen.
\begin{definition}[Quotientenkörper] \begin{definition}[Quotientenkörper]
Sei $R$ ein Integritätsring. Ein \emph{Quotientenkörper von Sei $R$ ein Integritätsring. Ein \emph{Quotientenkörper von
$R$}\index{Quotientenkörper} ist ein Körper $K$ zusammen mit einem $R$}\index{Quotientenkörper} ist ein Körper $K$ zusammen mit einem injektiven
injektiven Ringhomomorphismus $ι : R → K$, sodass folgende universelle Ringhomomorphismus $ι : R → K$, sodass folgende universelle Eigenschaft gilt:
Eigenschaft gilt: Ist $j : R → L$ ein weiterer injektiver Ringhomomorphismus Ist $j : R → L$ ein weiterer injektiver Ringhomomorphismus von $R$ in einem
von $R$ in einem Körper $L$, dann existiert genau ein Ringhomomorphismus Körper $L$, dann existiert genau ein Ringhomomorphismus $h:K→ L$, sodass $j=h◦
$h:K→ L$, sodass $j=h◦ i$ ist. Mit anderen Worten, es existiert genau ein i$ ist. Mit anderen Worten, es existiert genau ein Ringhomomorphismus, sodass
Ringhomomorphismus, sodass das folgende Diagramm kommutiert, das folgende Diagramm kommutiert,
\[ \[
\begin{tikzcd} \begin{tikzcd}
R \ar[r, hook, "ι"] \ar[d, equals] & K \ar[d, "∃ ! h"] \\ R \ar[r, hook, "ι"] \ar[d, equals] & K \ar[d, "∃ ! h"] \\
@ -93,15 +93,15 @@ Quotientenkörpers. Den folgenden Beweis sollten Sie genau verstehen!
\end{proof} \end{proof}
Der Witz ist, dass die Abbildung $h$ aus Satz~\ref{satz:edvq} eindeutig gegeben Der Witz ist, dass die Abbildung $h$ aus Satz~\ref{satz:edvq} eindeutig gegeben
ist. Die Aussage ``es existiert eine eindeutiger Morphismus'' ist eine viel ist. Die Aussage „es existiert eine eindeutiger Morphismus“ ist eine viel
bessere Aussage als ``es existiert irgendein Morphismus (dessen Konstruktion bessere Aussage als „es existiert irgendein Morphismus (dessen Konstruktion
vielleicht von irgendwelchen Wahlen abhängt, die ich treffen muss)''. Das ist vielleicht von irgendwelchen Wahlen abhängt, die ich treffen muss)“. Das ist
super-wichtig! Man sagt, ``Quotientenkörper sind eindeutig bis auf kanonische super-wichtig! Man sagt, „Quotientenkörper sind eindeutig bis auf kanonische
Isomorphie''. Isomorphie“.
\begin{notation} \begin{notation}
Obwohl Quotientenkörper nur bis auf kanonische Isomorphie eindeutig sind, Obwohl Quotientenkörper nur bis auf kanonische Isomorphie eindeutig sind,
spricht man oft von ``dem'' Quotientenkörper. Die Notation $Q(R)$ ist üblich. spricht man oft von „dem“ Quotientenkörper. Die Notation $Q(R)$ ist üblich.
\end{notation} \end{notation}
\begin{satz}[Existenz von Quotientenkörpern] \begin{satz}[Existenz von Quotientenkörpern]

58
07.tex
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@ -12,8 +12,8 @@ ist.
Für Polynome $f ∈ ℚ[x]$ werden wir die Frage nach der Irreduzibilität Für Polynome $f ∈ ℚ[x]$ werden wir die Frage nach der Irreduzibilität
vollständig beantworten. Wir erinnern uns daran, wie die Frage nach der vollständig beantworten. Wir erinnern uns daran, wie die Frage nach der
Konstruierbarkeit der ``Verdoppelung des Würfels'' mit der Frage zusammenhing, Konstruierbarkeit der „Verdoppelung des Würfels“ mit der Frage zusammenhing, ob
ob das Polynom $x³-2 ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist. das Polynom $x³-2 ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
\begin{beobachtung} \begin{beobachtung}
Im Ring $ℤ[x]$ sind Teilbarkeitsfragen oft durch Teilbarkeitsbetrachtungen der Im Ring $ℤ[x]$ sind Teilbarkeitsfragen oft durch Teilbarkeitsbetrachtungen der
@ -40,7 +40,7 @@ ob das Polynom $x³-2 ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
Das folgende Irreduzibilitätskriterium von Gauß\index{Irreduzibilitätskriterium Das folgende Irreduzibilitätskriterium von Gauß\index{Irreduzibilitätskriterium
von Gauß} zeigt, dass $x³-2$ dann auch irreduzibel in $ℚ[x]$ ist! von Gauß} zeigt, dass $x³-2$ dann auch irreduzibel in $ℚ[x]$ ist!
\begin{satz}[Irreduzibilitätskriterium von Gauß]\label{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus} \begin{satz}[Irreduzibilitätskriterium von Gauß]\label{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus}%
Es sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K=Q(R)$ sein Quotientenkörper und es Es sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K=Q(R)$ sein Quotientenkörper und es
sei ein Polynom $f ∈ R[x]$ von positivem Grad gegeben. Wenn $f$ in $R[x]$ sei ein Polynom $f ∈ R[x]$ von positivem Grad gegeben. Wenn $f$ in $R[x]$
irreduzibel ist, dann ist $f$ auch in $K[x]$ irreduzibel. irreduzibel ist, dann ist $f$ auch in $K[x]$ irreduzibel.
@ -49,18 +49,18 @@ Das folgende Irreduzibilitätskriterium von Gauß\index{Irreduzibilitätskriteri
Als Vorbereitung zum Beweis zeigen wir erst einmal das folgende Lemma. Das Als Vorbereitung zum Beweis zeigen wir erst einmal das folgende Lemma. Das
Lemma zeigt auch, wie natürlich das Kriterium von Gauß ist. Lemma zeigt auch, wie natürlich das Kriterium von Gauß ist.
\begin{lemma}\label{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz} \begin{lemma}\label{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}%
Sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K = Q(R)$ der Quotientenkörper und Sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K = Q(R)$ der Quotientenkörper und $g ∈
$g ∈ K[x] ∖ \{0\}$ sei ein Polynom. Dann existiert ein $a∈ K∖ \{0\}$, sodass K[x] ∖ \{0\}$ sei ein Polynom. Dann existiert ein $a∈ K∖ \{0\}$, sodass $a·
$a· g$ in $R[x]$ ist und sodass der $\ggT$ der Koeffizienten von $a· g$ gleich g$ in $R[x]$ ist und sodass der $\ggT$ der Koeffizienten von $a· g$ gleich $1$
$1$ ist. ist.
\end{lemma} \end{lemma}
\begin{bemerkung} \begin{bemerkung}
Wir hatten nur den $\ggT$ für zwei Elemente definiert, die Definition geht Wir hatten nur den $\ggT$ für zwei Elemente definiert, die Definition geht
genau so für mehr als zwei Elemente. Für Polynome genau so für mehr als zwei Elemente. Für Polynome $a_0 + a_1·x + ⋯ + a_m·x^m
$a_0 + a_1·x + ⋯ + a_m·x^m ∈ R[x]$ ist die Bedingung $\ggT(a_0, …, a_m) = 1$ ∈ R[x]$ ist die Bedingung $\ggT(a_0, …, a_m) = 1$ notwendig, aber nicht
notwendig, aber nicht hinreichend für die Irreduzibilität. hinreichend für die Irreduzibilität.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}
\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}] \begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}]
@ -81,7 +81,7 @@ in endlich vielen Rechenschritten entscheiden ($→$Klausur). Ein Verfahren sol
jetzt ganz kurz skizziert werden. Den folgenden Satz kennen Sie vielleicht aus jetzt ganz kurz skizziert werden. Den folgenden Satz kennen Sie vielleicht aus
den Anfängervorlesungen. den Anfängervorlesungen.
\begin{erinnerung}[Lagrangesche Interpolationsformel\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange}{Joseph-Louis de Lagrange} (* 25. Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; † 10. April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.}\index{Lagrangesche Interpolationsformel}] \begin{erinnerung}[Lagrangesche Interpolationsformel\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange}{Joseph-Louis de Lagrange} (* 25.~Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; † 10.~April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.}\index{Lagrangesche Interpolationsformel}]%
Es sei $K$ ein Körper\footnote{Wir denken an $K = ℚ$.}, es sei $f(x) ∈ K[x]$ Es sei $K$ ein Körper\footnote{Wir denken an $K = ℚ$.}, es sei $f(x) ∈ K[x]$
ein Polynom vom Grad $≤ n$ und es seien $a_1, …, a_{n+1}∈ K$ paarweise ein Polynom vom Grad $≤ n$ und es seien $a_1, …, a_{n+1}∈ K$ paarweise
verschiedene Elemente. Dann ist $f$ durch seine Werte $f(a_1), …, f(a_{n+1})$ verschiedene Elemente. Dann ist $f$ durch seine Werte $f(a_1), …, f(a_{n+1})$
@ -137,16 +137,16 @@ Frage nach der Irreduzibilität zwar beantworten, allerdings sind die nötigen
Rechnungen ziemlich aufwändig (besonders bei Zeitdruck in einer Klausur!). Das Rechnungen ziemlich aufwändig (besonders bei Zeitdruck in einer Klausur!). Das
folgende Kriterium von Theodor folgende Kriterium von Theodor
Schönemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Theodor_Sch\%C3\%B6nemann}{Theodor Schönemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Theodor_Sch\%C3\%B6nemann}{Theodor
Schönemann} (* 4. April 1812 in Driesen, Friedebergischer Kreis; † Schönemann} (* 4.~April 1812 in Driesen, Friedebergischer Kreis; † 16.~Januar
16. Januar 1868 in Brandenburg an der Havel) war ein deutscher Mathematiker.}, 1868 in Brandenburg an der Havel) war ein deutscher Mathematiker.}, das in der
das in der Literatur durchgehend falsch mit ``Eisenstein-Kriterium'' Literatur durchgehend falsch mit „Eisenstein-Kriterium“
bezeichnet\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gotthold_Eisenstein}{Ferdinand bezeichnet\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gotthold_Eisenstein}{Ferdinand
Gotthold Max Eisenstein} (* 16. April 1823 in Berlin; † 11. Oktober 1852 Gotthold Max Eisenstein} (* 16.~April 1823 in Berlin; † 11.~Oktober 1852 ebenda)
ebenda) war ein deutscher Mathematiker, der hauptsächlich in der Zahlentheorie war ein deutscher Mathematiker, der hauptsächlich in der Zahlentheorie und über
und über elliptische Funktionen arbeitete.} wird, ist oft viel schneller. Es elliptische Funktionen arbeitete.} wird, ist oft viel schneller. Es ist so
ist so wichtig, dass es dazu sogar wichtig, dass es dazu sogar
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium}{eine eigene Seite auf \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium}{eine eigene Seite auf
Wikipedia} gibt\index{Eisenstein-Kriterium}. Wikipedia} gibt\index{Eisenstein-Kriterium}.
\begin{satz}[Eisenstein Kriterium]\label{Satz_Eisenstein_Kriterium} \begin{satz}[Eisenstein Kriterium]\label{Satz_Eisenstein_Kriterium}
Es sei $R$ ein faktorieller Ring und es sei Es sei $R$ ein faktorieller Ring und es sei
@ -182,8 +182,8 @@ ist so wichtig, dass es dazu sogar
\begin{equation*} \begin{equation*}
x_1^m+g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_1, …, x_n] x_1^m+g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_1, …, x_n]
\end{equation*} \end{equation*}
über einem faktoriellen Ring $R$ ist sicher dann irreduzibel, wenn $g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_2, …, x_n]$ über einem faktoriellen Ring $R$ ist sicher dann irreduzibel, wenn $g(x_2, …,
irreduzibel ist. x_n) ∈ R[x_2, …, x_n]$ irreduzibel ist.
\end{bsp} \end{bsp}
@ -201,10 +201,10 @@ einen Ringmorphismus zu betrachten und folgendes Lemma anzuwenden.
jetzt $\varphi(f) ∈ S$ irreduzibel ist, dann ist auch $f∈ R[x]$ irreduzibel. jetzt $\varphi(f) ∈ S$ irreduzibel ist, dann ist auch $f∈ R[x]$ irreduzibel.
\end{lem} \end{lem}
\begin{proof} \begin{proof}
Angenommen, $f$ wäre reduzibel. Dann können wir schreiben $f = g·h$, wobei $g$ Angenommen, $f$ wäre reduzibel. Dann können wir schreiben $f = g·h$, wobei
und $h$ jeweils keine Einheiten in $R[x]$ sind. Weil der größte gemeinsame $g$ und $h$ jeweils keine Einheiten in $R[x]$ sind. Weil der größte
Teiler der Koeffizienten gleich $1$ ist, müssen $g$ und $h$ jeweils positiven gemeinsame Teiler der Koeffizienten gleich $1$ ist, müssen $g$ und $h$ jeweils
Grad haben. Die Gleichung positiven Grad haben. Die Gleichung
\begin{equation*} \begin{equation*}
\varphi(f) = \varphi(g)·\varphi(h) \varphi(f) = \varphi(g)·\varphi(h)
\end{equation*} \end{equation*}
@ -214,20 +214,20 @@ einen Ringmorphismus zu betrachten und folgendes Lemma anzuwenden.
Ringmorphismen, die man in der Praxis brauchen kann, entstehen oft auf die Ringmorphismen, die man in der Praxis brauchen kann, entstehen oft auf die
folgenden Weisen. folgenden Weisen.
\begin{description} \begin{description}
\item[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten:] Ist \item[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten] Ist
$\varphi : R → S$ ein Ringhomomorphismus, dann ist auch $\varphi : R → S$ ein Ringhomomorphismus, dann ist auch
\begin{equation*} \begin{equation*}
Φ: R[x] → S[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})x^ν Φ: R[x] → S[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})x^ν
\end{equation*} \end{equation*}
ein Ringmorphismus. ein Ringmorphismus.
\item[Einsetzungskomposition:]\index{Einsetzungskomposition} Es sei eine \item[Einsetzungskomposition]\index{Einsetzungskomposition} Es sei eine
Abbildung $\varphi : R → S$ und es sei ein Element $t ∈ S$ gegeben. Setze Abbildung $\varphi : R → S$ und es sei ein Element $t ∈ S$ gegeben. Setze
\begin{equation*} \begin{equation*}
Φ : R[x] → S, \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})t^ν Φ : R[x] → S, \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})t^ν
\end{equation*} \end{equation*}
\item[Substitutionsmorphismus:]\index{Substitutionsmorphismus} Es sei ein \item[Substitutionsmorphismus]\index{Substitutionsmorphismus} Es sei ein
Element $a∈ R$ gegeben. Dann betrachte die Abbildung Element $a∈ R$ gegeben. Dann betrachte die Abbildung
\begin{equation*} \begin{equation*}
Φ : R[x] → R[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum a_{ν}(x-a)^ν. Φ : R[x] → R[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum a_{ν}(x-a)^ν.

40
08.tex
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@ -17,8 +17,8 @@ Debatte war.
Der nächste Satz stellt die Verbindung zwischen Körpertheorie und Der nächste Satz stellt die Verbindung zwischen Körpertheorie und
Konstruierbarkeit her. Die Formulierung des Satzes verwendet den Begriff Konstruierbarkeit her. Die Formulierung des Satzes verwendet den Begriff
``konjugierte Menge''. Dabei ist ``konjugiert'' wie immer nur eine bombastische „konjugierte Menge“. Dabei ist „konjugiert“ wie immer nur eine bombastische
Formulierung für ``an der reellen Achse gespiegelt''. Formulierung für „an der reellen Achse gespiegelt“.
\begin{notation}[Konjungierte Menge] \begin{notation}[Konjungierte Menge]
Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Menge. Dann betrachte die Menge Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Menge. Dann betrachte die Menge
@ -29,14 +29,13 @@ Formulierung für ``an der reellen Achse gespiegelt''.
\begin{rem} \begin{rem}
Im Fall, wo die Menge $M$ die Elemente $0$ und $1$ enthält, kann man die Im Fall, wo die Menge $M$ die Elemente $0$ und $1$ enthält, kann man die
Spiegelung an der reellen Achse mit Zirkel und Lineal konstruieren. Damit ist Spiegelung an der reellen Achse mit Zirkel und Lineal konstruieren. Damit ist
klar, dass $\overline{M} ⊂ \Kons(M)$ ist. Es ist in diesem Fall auch klar, dass $\overline{M} ⊂ \Kons(M)$ ist. Es ist in diesem Fall auch klar,
klar, dass $i ∈ \Kons(M)$ ist. dass $i ∈ \Kons(M)$ ist.
\end{rem} \end{rem}
\begin{satz}[Hausaufgabe Blatt 2, Aufgabe 3]\label{Satz_von_Seite_69} \begin{satz}[Hausaufgabe Blatt 2, Aufgabe 3]\label{Satz_von_Seite_69}%
Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ und es sei $z ∈ \Kons(M)$. Sei weiter Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ und es sei $z ∈ \Kons(M)$. Sei weiter $K = ℚ(M ∪
$K = ℚ(M ∪ \overline{M})$. Dann existiert eine Zahl $k ∈ ℕ$, sodass die \overline{M})$. Dann existiert eine Zahl $k ∈ ℕ$, sodass die Gleichheit
Gleichheit
\begin{equation*} \begin{equation*}
[K(z) : K] = 2^k [K(z) : K] = 2^k
\end{equation*} \end{equation*}
@ -47,9 +46,8 @@ Formulierung für ``an der reellen Achse gespiegelt''.
\section{Verdopplung des Würfels} \section{Verdopplung des Würfels}
Das klassische Konstruktionsproblem ``Verdopplung des Würfels'' ist mit Zirkel Das klassische Konstruktionsproblem „Verdopplung des Würfels“ ist mit Zirkel und
und Lineal nicht möglich, denn mit $M := \{0,1\}$ ist Lineal nicht möglich, denn mit $M := \{0,1\}$ ist $ℚ = ℚ(M ∪ \overline{M})$ und
$ℚ = ℚ(M ∪ \overline{M})$ und
\[ \[
[ℚ(\sqrt[3]{2}): ℚ ] = 3, [ℚ(\sqrt[3]{2}): ℚ ] = 3,
\] \]
@ -62,7 +60,7 @@ $\sqrt[3]{2}$ ist.
Bevor wir die Frage nach der Dreiteilung des Winkel abschließend beantworten, Bevor wir die Frage nach der Dreiteilung des Winkel abschließend beantworten,
beweise ich zuerst ein Satz, der auch später noch von Interesse sein wird. beweise ich zuerst ein Satz, der auch später noch von Interesse sein wird.
\begin{satz}\label{Satz_Vor_Dreiteilung_Zirkel_Lineal} \begin{satz}\label{Satz_Vor_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}%
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ ein über $K$ Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ ein über $K$
transzendentes Element. Dann ist $K(a)$ isomorph zum Körper der transzendentes Element. Dann ist $K(a)$ isomorph zum Körper der
gebrochen-rationalen Funktionen\footnote{Siehe Beispiel~\ref{bsp:2-3-3} im gebrochen-rationalen Funktionen\footnote{Siehe Beispiel~\ref{bsp:2-3-3} im
@ -77,11 +75,11 @@ beweise ich zuerst ein Satz, der auch später noch von Interesse sein wird.
Damit lässt sich die Konstruierbarkeitsfrage ganz gut beantworten. Damit lässt sich die Konstruierbarkeitsfrage ganz gut beantworten.
\begin{satz}\label{Satz_Dreiteilung_Zirkel_Lineal} \begin{satz}\label{Satz_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}%
Gegeben sei eine reelle Zahl $\varphi ∈ (0, 2·π)$. Falls $e^{i\varphi}$ Gegeben sei eine reelle Zahl $\varphi ∈ (0, 2·π)$. Falls $e^{i\varphi}$
transzendent ist, dann ist transzendent ist, dann ist $e^{(\varphi i)/3} \not ∈ \Kons(\{0,1, e^{\varphi
$e^{(\varphi i)/3} \not ∈ \Kons(\{0,1, e^{\varphi i}\})$. Die Dreiteilung des i}\})$. Die Dreiteilung des Winkels $\varphi$ ist also mit Zirkel und Lineal
Winkels $\varphi$ ist also mit Zirkel und Lineal nicht möglich. nicht möglich.
\end{satz} \end{satz}
\begin{proof} \begin{proof}
\video{9-3} \video{9-3}
@ -93,14 +91,14 @@ Damit lässt sich die Konstruierbarkeitsfrage ganz gut beantworten.
Konstruktionsverfahren für die Dreiteilung des Winkels. Konstruktionsverfahren für die Dreiteilung des Winkels.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}
\begin{proof} \begin{proof}
Wenn $z=e^{i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$ ist, dann ist auch Wenn $z=e^{i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$ ist, dann ist auch $\overline{z} =
$\overline{z} = e^{-i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$, denn $z$ und e^{-i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$, denn $z$ und $\overline{z}$ haben beide
$\overline{z}$ haben beide dasselbe Minimalpolynom. Also ist auch der Realteil dasselbe Minimalpolynom. Also ist auch der Realteil
\begin{equation*} \begin{equation*}
\operatorname{Re}(z) =\frac12(z+\overline{z}) \operatorname{Re}(z) =\frac12(z+\overline{z})
\end{equation*} \end{equation*}
algebraisch über $ℚ$. Das zeigt, dass die Menge $\varphi∈ (0,2π)$, für algebraisch über $ℚ$. Das zeigt, dass die Menge $\varphi∈ (0,2π)$, für die
die $e^{i\varphi}$ transzendent ist, in $(0,2π)$ dicht ist. $e^{i\varphi}$ transzendent ist, in $(0,2π)$ dicht ist.
\end{proof} \end{proof}

117
09.tex
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@ -4,25 +4,20 @@
\chapter{Ideale} \chapter{Ideale}
\label{chapt:09} \label{chapt:09}
Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
bereitgestellt.
\section{Wohin geht die Reise} \section{Wohin geht die Reise}
Ich hatte schon am Ende des letzten Abschnittes geschrieben: um die Frage nach Ich hatte schon am Ende des letzten Abschnittes geschrieben: um die Frage nach
der Konstruierbarkeit des regelmäßigen $n$-Ecks vollständig entscheiden zu der Konstruierbarkeit des regelmäßigen $n$-Ecks vollständig entscheiden zu
können, müssen wir die Symmetrien von Körpererweiterungen verstehen … und können, müssen wir die Symmetrien von Körpererweiterungen verstehen … und
vielleicht irgendwann auch definieren, was mit ``Symmetrie einer vielleicht irgendwann auch definieren, was mit „Symmetrie einer
Körpererweiterung'' gemeint sein soll. All das wird voraussetzen, dass wir Körpererweiterung“ gemeint sein soll. All das wird voraussetzen, dass wir
Körpererweiterungen besser beschreiben. Die Idee ist die: gegeben eine Körpererweiterungen besser beschreiben. Die Idee ist die: gegeben eine
einfache, algebraische Erweiterung $K(α)/K$ vom Grad $n$, dann wissen wir schon, einfache, algebraische Erweiterung $K(α)/K$ vom Grad $n$, dann wissen wir schon,
dass wir alle Elemente des Oberkörpers $K(α)$ als Linearkombinationen der Form dass wir alle Elemente des Oberkörpers $K(α)$ als Linearkombinationen der Form
\[ \[
k_0 + k_1·α + k_2·α² + ⋯ k_{n-1}·α^{n-1} k_0 + k_1·α + k_2·α² + ⋯ k_{n-1}·α^{n-1}
\] \]
schreiben könne, wobei die $k_{•}$ geeignete Elemente des kleineren Körpers $K$ schreiben könne, wobei die $k_•$ geeignete Elemente des kleineren Körpers $K$
sind. Diese Einsicht ist natürlich extrem hilfreich --- wir kennen das von den sind. Diese Einsicht ist natürlich extrem hilfreich --- wir kennen das von den
komplexen Zahlen, die sich alle in der Form $k_0 + k_1·\sqrt{-1}$ schreiben komplexen Zahlen, die sich alle in der Form $k_0 + k_1·\sqrt{-1}$ schreiben
lassen. Der Sachverhalt lässt sich auch anders formulieren: Der lassen. Der Sachverhalt lässt sich auch anders formulieren: Der
@ -36,16 +31,16 @@ liegt es dann nahe, den Körper $K(α)$ als Quotient zu beschreiben,
K(α) = \factor{K[x]}{\ker φ}. K(α) = \factor{K[x]}{\ker φ}.
\end{equation} \end{equation}
Diese Beschreibung\footnote{\label{foot:sage}Hatten Sie sich gewundert, warum Diese Beschreibung\footnote{\label{foot:sage}Hatten Sie sich gewundert, warum
SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper ``$ℚ$ adjungiert $\sqrt{5}$'' SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „$ℚ$ adjungiert $\sqrt{5}$“ mit
mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet? Der Grund ist, das runde Klammern in der \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet? Der Grund ist, das runde Klammern in der
Programmiersprache Python schon eine andere Bedeutung haben. Programmiersprache Python schon eine andere Bedeutung haben.
Gleichung~\eqref{eq:xx} zeigt aber, dass eckige Klammer in dieser Situation Gleichung~\eqref{eq:xx} zeigt aber, dass eckige Klammer in dieser Situation ganz
ganz sinnvoll sind.} wird sehr hilfreich sein, denn wir kommen mit dem sinnvoll sind.} wird sehr hilfreich sein, denn wir kommen mit dem vertrauten
vertrauten Polynomring $K[X]$ besser klar als mit dem etwas unheimlichen Körper Polynomring $K[X]$ besser klar als mit dem etwas unheimlichen Körper $K(α)$. Um
$K(α)$. Um alles korrekt zu definieren, müssen wir uns aber erst noch einmal alles korrekt zu definieren, müssen wir uns aber erst noch einmal überlegen, was
überlegen, was für eine Art von Objekt $\ker φ$ nun tatsächlich ist, und was für eine Art von Objekt $\ker φ$ nun tatsächlich ist, und was „Quotient“ genau
``Quotient'' genau bedeuten soll. Ich nehme die Antwort gleich vorweg: Die bedeuten soll. Ich nehme die Antwort gleich vorweg: Die Menge $\ker φ$ ist das
Menge $\ker φ$ ist das typische Beispiel eines ``Ideals im Ring $K[x]$''. typische Beispiel eines „Ideals im Ring $K[x]$“.
\section{Elementare Definitionen} \section{Elementare Definitionen}
@ -75,23 +70,23 @@ Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende.
\begin{bemerkung} \begin{bemerkung}
Der Name \emph{Ideal} geht auf Der Name \emph{Ideal} geht auf
Kummer\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Eduard_Kummer}{Ernst Kummer\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Eduard_Kummer}{Ernst
Eduard Kummer} (* 29. Januar 1810 in Sorau, Niederlausitz; † 14. Mai 1893 Eduard Kummer} (* 29.~Januar 1810 in Sorau, Niederlausitz; † 14.~Mai 1893 in
in Berlin) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer, der sich vor Berlin) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer, der sich vor allem
allem mit Zahlentheorie, Analysis und Geometrie befasste.} und mit Zahlentheorie, Analysis und Geometrie befasste.} und
Dedekind\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind}{Julius Dedekind\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind}{Julius
Wilhelm Richard Dedekind} (* 6. Oktober 1831 in Braunschweig; † Wilhelm Richard Dedekind} (* 6.~Oktober 1831 in Braunschweig; † 12.~Februar
12. Februar 1916 ebenda) war ein deutscher Mathematiker.} zurück. Kummer 1916 ebenda) war ein deutscher Mathematiker.} zurück. Kummer hatte bei der
hatte bei der Untersuchung der Teilbarkeit in gewissen nicht-faktoriellen Untersuchung der Teilbarkeit in gewissen nicht-faktoriellen Ringen wie
Ringen wie $ℤ[\sqrt{-5}]$ gewisse \emph{ideale Zahlen} eingeführt. Dedekind $ℤ[\sqrt{-5}]$ gewisse \emph{ideale Zahlen} eingeführt. Dedekind hat dann den
hat dann den Idealbegriff geprägt. Idealbegriff geprägt.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}
\begin{bsp}[Triviale Ideale] \begin{bsp}[Triviale Ideale]
In jedem kommutativen Ring $R$ sind $I= \{0\}$ und $I=R$ trivialerweise In jedem kommutativen Ring $R$ sind $I= \{0\}$ und $I=R$ trivialerweise
Ideale. Wenn $R$ ein Körper ist, dann sind das auch die einzigen Ideale. Ideale. Wenn $R$ ein Körper ist, dann sind das auch die einzigen Ideale.
Grund: wenn $R$ ein Körper und $I ⊂ R$ ein Ideal ist und $a ∈ I∖ \{0\}$, dann Grund: wenn $R$ ein Körper und $I ⊂ R$ ein Ideal ist und $a ∈ I∖ \{0\}$, dann
ist auch jedes andere Körperelement in $I$. Sei nämlich irgendein Element ist auch jedes andere Körperelement in $I$. Sei nämlich irgendein Element $r
$r ∈ R$ gegeben. Nach Definition~\ref{def:ideal} ist ∈ R$ gegeben. Nach Definition~\ref{def:ideal} ist
\[ \[
r = (r·a^{-1})·a ∈ I. r = (r·a^{-1})·a ∈ I.
\] \]
@ -153,10 +148,10 @@ Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende.
V= \{ \vec{x} ∈ K^n \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x})=0 \} V= \{ \vec{x} ∈ K^n \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x})=0 \}
\] \]
wobei $f_i ∈ K[x_1, …, x_n]$ irgendwelche Polynome sind. Man nennt ein wobei $f_i ∈ K[x_1, …, x_n]$ irgendwelche Polynome sind. Man nennt ein
solches $V$ manchmal \emph{algebraische Varietät}\index{algebraische Varietät}. solches $V$ manchmal \emph{algebraische Varietät}\index{algebraische
Abbildung~\ref{fig:node} zeigt ein Beispiel. Im Internet finden Sie Varietät}. Abbildung~\ref{fig:node} zeigt ein Beispiel. Im Internet finden
\href{https://imaginary.org/gallery/surfer-gallery-by-bianca-violet}{hier} und Sie \href{https://imaginary.org/gallery/surfer-gallery-by-bianca-violet}{hier}
\href{https://imaginary.org/gallery/oliver-labs}{hier} noch weitere schöne und \href{https://imaginary.org/gallery/oliver-labs}{hier} noch weitere schöne
Beispiele. Beispiele.
Definiere dann das Ideal Definiere dann das Ideal
@ -170,7 +165,7 @@ Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende.
In der \emph{Algebraischen Geometrie}, dem Gebiet auf dem ich und meine In der \emph{Algebraischen Geometrie}, dem Gebiet auf dem ich und meine
Mitarbeiter arbeiten, geht es darum, geometrische Räume mithilfe von Mitarbeiter arbeiten, geht es darum, geometrische Räume mithilfe von
algebraischen Objekten wie etwa Idealen zu beschreiben. Tatsächlich lässt sich algebraischen Objekten wie etwa Idealen zu beschreiben. Tatsächlich lässt sich
ein fast vollständiges Wörterbuch ``Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie'' ein fast vollständiges Wörterbuch „Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie“
aufstellen. aufstellen.
@ -179,8 +174,8 @@ aufstellen.
\sideremark{Vorlesung 10}Es gibt noch eine andere, ganz wichtige Klasse von \sideremark{Vorlesung 10}Es gibt noch eine andere, ganz wichtige Klasse von
Beispielen, die wir in ähnlicher Form schon aus der linearen Algebra kennen. Beispielen, die wir in ähnlicher Form schon aus der linearen Algebra kennen.
Gegeben einen $K$-Vektorraum $V$ und eine beliebige Teilmenge $M ⊂ V$, so Gegeben einen $K$-Vektorraum $V$ und eine beliebige Teilmenge $M ⊂ V$, so
betrachteten wir in der linearen Algebra den ``von $M$ erzeugten betrachteten wir in der linearen Algebra den „von $M$ erzeugten Untervektorraum“
Untervektorraum'' und bezeichneten diesen Raum mit $\langle M \rangle_K$ oder und bezeichneten diesen Raum mit $\langle M \rangle_K$ oder
$\operatorname{Span}(M)$. Per Definition gilt: Ein Vektor $\vec{v} ∈ V$ liegt $\operatorname{Span}(M)$. Per Definition gilt: Ein Vektor $\vec{v} ∈ V$ liegt
genau dann in $\langle M \rangle_K$, wenn $\vec{v}$ sich als Linearkombination genau dann in $\langle M \rangle_K$, wenn $\vec{v}$ sich als Linearkombination
der Elemente von $M$ schreiben lässt. Wenn die Menge $M$ unendlich ist, was der Elemente von $M$ schreiben lässt. Wenn die Menge $M$ unendlich ist, was
@ -226,22 +221,22 @@ Ideale sind die, die mithilfe eines einzigen Erzeugers definiert werden können.
Dann gilt offensichtlich Dann gilt offensichtlich
\begin{align*} \begin{align*}
(a_1) ⊂ (a_2) & ⇔ a_2| a_1 \\ (a_1) ⊂ (a_2) & ⇔ a_2| a_1 \\
(a_1) = (a_2)& ⇔ a_1 \sim a_2 (a_1) = (a_2)& ⇔ a_1 \sim a_2.
\end{align*} \end{align*}
Die Hauptideale in $R$ entsprechen also eindeutig Klassen von zueinander Die Hauptideale in $R$ entsprechen also eindeutig Klassen von zueinander
assoziierten Elementen. assoziierten Elementen.
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
\begin{warnung} \begin{warnung}
Im Gegensatz zu Vektorräumen gibt es für Ideale keinen ``Basisaustauschsatz'', Im Gegensatz zu Vektorräumen gibt es für Ideale keinen „Basisaustauschsatz“,
denn zum Beweis des Basisaustauschsatzes ist es absolut notwendig zu denn zum Beweis des Basisaustauschsatzes ist es absolut notwendig zu
dividieren! Es ist nicht immer richtig, dass zwei minimale Erzeugendensysteme dividieren! Es ist nicht immer richtig, dass zwei minimale Erzeugendensysteme
eines Ideals, eines Ideals,
\[ \[
I = (a_1, …, a_n) = (b_1, …, b_m), I = (a_1, …, a_n) = (b_1, …, b_m),
\] \]
immer gleiche Mächtigkeit haben. Falls sie vorhatten, die ``Dimension'' eines immer gleiche Mächtigkeit haben. Falls sie vorhatten, die „Dimension“ eines
Ideals zu definieren -- nice try! Ideals zu definieren -- \foreignlanguage{english}{Nice try}!
\end{warnung} \end{warnung}
Ein Ideal ist in der Praxis nur dann handhabbar, wenn ich eine möglichst Ein Ideal ist in der Praxis nur dann handhabbar, wenn ich eine möglichst
@ -345,35 +340,33 @@ Satz sollte ihnen bekannt vorkommen.
Angenommen, es gäbe eine nicht-leere Menge $M$ von Idealen aus $R$ ohne Angenommen, es gäbe eine nicht-leere Menge $M$ von Idealen aus $R$ ohne
maximales Element. Dann gibt es zu jedem $I_0∈ M$ ein $I_1∈ M$ mit maximales Element. Dann gibt es zu jedem $I_0∈ M$ ein $I_1∈ M$ mit
$I_0\subsetneqq I_1$, genau so mit $I_2,I_3,\dots$. Wir erhalten einen $I_0\subsetneqq I_1$, genau so mit $I_2,I_3,\dots$. Wir erhalten einen
Widerspruch zur Annahme, dass der ``Teilerkettensatz für Ideale'' gilt. Widerspruch zur Annahme, dass der „Teilerkettensatz für Ideale“ gilt.
\item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_3}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_1}] Sei \item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_3}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_1}] Sei $I⊂ R$ ein
$I⊂ R$ ein Ideal und $M$ die Menge aller Ideale $J⊂ R$, die endlich erzeugt Ideal und $M$ die Menge aller Ideale $J⊂ R$, die endlich erzeugt und in $I$
und in $I$ enthalten sind. Dann ist $M$ nicht leer, denn $(0) ∈ M$. Also enthalten sind. Dann ist $M$ nicht leer, denn $(0) ∈ M$. Also gibt es per
gibt es per Annahme ein maximales Element $J∈ M$. Nach Annahme ist $J$ Annahme ein maximales Element $J∈ M$. Nach Annahme ist $J$ endlich erzeugt,
endlich erzeugt, also $J = (a_1, …, a_n)$ und wir müssen zeigen, dass also $J = (a_1, …, a_n)$ und wir müssen zeigen, dass $J = I$ ist. Wenn es
$J = I$ ist. Wenn es aber ein $b ∈ I∖J$ gäbe, dann wäre aber ein $b ∈ I∖J$ gäbe, dann wäre $(a_1, …, a_n,b) ∈ M$ ein Ideal, das $J$
$(a_1, …, a_n,b) ∈ M$ ein Ideal, das $J$ enthält. Ein Widerspruch zur enthält. Ein Widerspruch zur Annahme. \qedhere
Annahme. \qedhere
\end{description} \end{description}
\end{proof} \end{proof}
Der folgende Satz von David Der folgende Satz von David
Hilbert\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David Hilbert\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David
Hilbert} (* 23. Januar 1862 in Königsberg; † 14. Februar 1943 in Hilbert} (* 23.~Januar 1862 in Königsberg; † 14.~Februar 1943 in Göttingen) war
Göttingen) war ein deutscher Mathematiker. Er gilt als einer der ein deutscher Mathematiker. Er gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker
bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit. Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet der Neuzeit. Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet der Mathematik und
der Mathematik und mathematischen Physik begründeten eigenständige mathematischen Physik begründeten eigenständige Forschungsgebiete. Mit seinen
Forschungsgebiete. Mit seinen Vorschlägen begründete er die bis heute Vorschlägen begründete er die bis heute bedeutsame formalistische Auffassung von
bedeutsame formalistische Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und den Grundlagen der Mathematik und veranlasste eine kritische Analyse der
veranlasste eine kritische Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik und Begriffsdefinitionen der Mathematik und des mathematischen Beweises. Diese
des mathematischen Beweises. Diese Analysen führten zum Gödelschen Analysen führten zum Gödelschen Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt,
Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm, die dass das Hilbertprogramm, die von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung
von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht der Mathematik, nicht gänzlich erfüllt werden kann. Hilberts programmatische
gänzlich erfüllt werden kann. Hilberts programmatische Rede auf dem Rede auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der
internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine er eine Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die
Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.} ähnelt formell dem
mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.} ähnelt formell dem
Satz~\ref{Satz_Satz_von_Gauss} von Gauß und ist mindestens genauso wichtig. Satz~\ref{Satz_Satz_von_Gauss} von Gauß und ist mindestens genauso wichtig.
Historisch war der Satz ein Meilenstein. Hilbert's Beweis erregte auch deshalb Historisch war der Satz ein Meilenstein. Hilbert's Beweis erregte auch deshalb
großes Aufsehen, weil die Existenz eines endlichen Erzeugendensystems mithilfe großes Aufsehen, weil die Existenz eines endlichen Erzeugendensystems mithilfe

79
10.tex
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@ -11,17 +11,17 @@ Ich hatte am Anfang von Kapitel~\ref{chapt:09} schon gesagt, warum wir uns für
Ideale interessieren: Wir wollen --ähnlich wie bei der Konstruktion des Ideale interessieren: Wir wollen --ähnlich wie bei der Konstruktion des
Quotientenvektoraumes in der Linearen Algebra-- einen Quotienten von Ringen Quotientenvektoraumes in der Linearen Algebra-- einen Quotienten von Ringen
konstruieren. Ich weiß aus Erfahrung, dass viele Studierende ihre Probleme mit konstruieren. Ich weiß aus Erfahrung, dass viele Studierende ihre Probleme mit
``Quotientenvektorräumen'' haben und nutze an dieser Stelle normalerweise die „Quotientenvektorräumen“ haben und nutze an dieser Stelle normalerweise die
Gelegenheit, um mit der Konstruktion des Restklassenringes die Begriffe und Gelegenheit, um mit der Konstruktion des Restklassenringes die Begriffe und
Beweistechniken noch einmal zu wiederholen. In diesem Semester geht das nicht, Beweistechniken noch einmal zu wiederholen. In diesem Semester geht das nicht,
denn das Semester ist deutlich kürzer als in normalen Jahren. Ich verzichte denn das Semester ist deutlich kürzer als in normalen Jahren. Ich verzichte
deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass ``alles genau so deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass „alles genau so
geht, wie in der Linearen Algebra''. geht, wie in der Linearen Algebra“.
\begin{warnung} \begin{warnung}
Stellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die VL ``Lineare Stellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die Vorlesung
Algebra'' erinnern. Beweisen Sie zur Probe einige Aussagen selbst -- solche „Lineare Algebra“ erinnern. Beweisen Sie zur Probe einige Aussagen selbst --
Sachen werden gern in Klausuren und mündlichen Prüfungen gefragt. solche Sachen werden gern in Klausuren und mündlichen Prüfungen gefragt.
\end{warnung} \end{warnung}
@ -48,8 +48,8 @@ durch folgende universelle Eigenschaft definiert.
Wie üblich folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Restklassenringen (wenn Wie üblich folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Restklassenringen (wenn
Sie denn existieren) eindeutig sind bis auf eine eindeutige Isomorphie. Man Sie denn existieren) eindeutig sind bis auf eine eindeutige Isomorphie. Man
spricht deswegen oft nicht ganz richtig von ``dem'' Restklassenring und spricht deswegen oft nicht ganz richtig von „dem“ Restklassenring und bezeichnet
bezeichnet ``den'' Restklassenring mit $R/I$. „den“ Restklassenring mit $R/I$.
\section{Konstruktion von Restklassenringen} \section{Konstruktion von Restklassenringen}
@ -60,17 +60,17 @@ universellen Eigenschaft -- mit einer Ausnahme: Existenz. Wir beweisen die
Existenz wie immer nicht abstrakt, sondern indem wir eine konkrete Konstruktion Existenz wie immer nicht abstrakt, sondern indem wir eine konkrete Konstruktion
eines Restklassenringes angeben. eines Restklassenringes angeben.
\begin{defn}[Kongruenz modulo Ideal]\label{def:kmi} \begin{defn}[Kongruenz modulo Ideal]\label{def:kmi}%
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I ⊂ R$ ein Ideal. Zwei Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I ⊂ R$ ein Ideal. Zwei
Elemente $a,b∈ R$ heißen \emph{kongruent modulo $I$}\index{Kongruenz modulo Elemente $a,b∈ R$ heißen \emph{kongruent modulo $I$}\index{Kongruenz modulo
Ideal}, wenn $a-b ∈ I$ ist. In diesem Fall ist die Schreibweise Ideal}, wenn $a-b ∈ I$ ist. In diesem Fall ist die Schreibweise $a \equiv b
$a \equiv b \:\:(\operatorname{mod} I)$ üblich. \:\:(\operatorname{mod} I)$ üblich.
\end{defn} \end{defn}
\begin{lem}\label{lem:10-1-2} \begin{lem}\label{lem:10-1-2}%
In der Situation von Definition~\ref{def:kmi} gilt: Kongruenz modulo $I$ ist In der Situation von Definition~\ref{def:kmi} gilt: Kongruenz modulo $I$ ist
eine Äquivalenzrelation auf $R$. Für ein gegebenes Element $a ∈ R$ ist die eine Äquivalenzrelation auf $R$. Für ein gegebenes Element $a ∈ R$ ist die
die Äquivalenzklasse eines gegebenen Elementes $a ∈ R$ ist Äquivalenzklasse eines gegebenen Elementes $a ∈ R$ ist
\begin{equation*} \begin{equation*}
a+I = \{ a+b \::\: b∈ I \} \eqno\qed a+I = \{ a+b \::\: b∈ I \} \eqno\qed
\end{equation*} \end{equation*}
@ -82,19 +82,18 @@ eines Restklassenringes angeben.
\end{notation} \end{notation}
\begin{bsp} \begin{bsp}
Der Name ``Restklasse'' kommt von folgendem Beispiel. Sei $R = ℤ$, sei Der Name „Restklasse“ kommt von folgendem Beispiel. Sei $R = ℤ$, sei $m ∈ ℕ$
$m ∈ ℕ$ eine Zahl, und sei $I = (m)$. Dann ist eine Zahl, und sei $I = (m)$. Dann ist $a \equiv b \:\:(\operatorname{mod}
$a \equiv b \:\:(\operatorname{mod} I)$ genau dann, wenn $a$ und $b$ bei der I)$ genau dann, wenn $a$ und $b$ bei der Division durch $m$ denselben Rest
Division durch $m$ denselben Rest haben. Die Kongruenz modulo $(m)$ zerlegt haben. Die Kongruenz modulo $(m)$ zerlegt $ℤ$ also genau in die Restklassen
$ℤ$ also genau in die Restklassen
\begin{equation*} \begin{equation*}
0 + (m), 1+(m), 2+(m), …, m-1+(m). 0 + (m), 1+(m), 2+(m), …, m-1+(m).
\end{equation*} \end{equation*}
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{satz}[Existenz von Restklassenringen]\label{satz:exvrklr} \begin{satz}[Existenz von Restklassenringen]\label{satz:exvrklr}%
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I⊂ R$ ein Ideal. Die Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I⊂ R$ ein Ideal. Die
Äquivalenzrelation ``Kongruenz modulo $I$'' werde mit $\sim$ bezeichnet. Dann Äquivalenzrelation „Kongruenz modulo $I$“ werde mit $\sim$ bezeichnet. Dann
sind die folgenden Verknüpfungen es auf dem Quotienten\footnote{Erinnerung an sind die folgenden Verknüpfungen es auf dem Quotienten\footnote{Erinnerung an
die Lineare Algebra: Quotient nach Äquivalenzrelation = $R/\sim$ = Menge der die Lineare Algebra: Quotient nach Äquivalenzrelation = $R/\sim$ = Menge der
Äquivalenzklassen} $S := R/\sim$ wohldefiniert: Äquivalenzklassen} $S := R/\sim$ wohldefiniert:
@ -129,8 +128,8 @@ diese Art und Weise direkt beschreiben.
\begin{equation*} \begin{equation*}
\bigl(g_1+(f)\bigr)· \bigl(g_2+(f)\bigr) = h + (f) \bigl(g_1+(f)\bigr)· \bigl(g_2+(f)\bigr) = h + (f)
\end{equation*} \end{equation*}
wobei $h$ der Rest von $g_1· g_2$ bei der Division durch $f$ ist. Ist wobei $h$ der Rest von $g_1· g_2$ bei der Division durch $f$ ist. Ist $\deg f
$\deg f ≥ 1$, dann ist die Abbildung ≥ 1$, dann ist die Abbildung
\begin{equation*} \begin{equation*}
K → \factor{K[x]}{(f)}, \quad λ ↦ λ+(f) K → \factor{K[x]}{(f)}, \quad λ ↦ λ+(f)
\end{equation*} \end{equation*}
@ -144,7 +143,7 @@ diese Art und Weise direkt beschreiben.
Der folgende Satz folgt wie in der Linearen Algebra aus der universellen Der folgende Satz folgt wie in der Linearen Algebra aus der universellen
Eigenschaft. Eigenschaft.
\begin{prop}[Homomorphiesatz für Ringe]\label{Korollar_Homomorphiesatz} \begin{prop}[Homomorphiesatz für Ringe]\label{Korollar_Homomorphiesatz}%
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei $ψ : R → S$ ein Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei $ψ : R → S$ ein
surjektiver Ringmorphismus. Dann ist die induzierte Abbildung surjektiver Ringmorphismus. Dann ist die induzierte Abbildung
\begin{equation*} \begin{equation*}
@ -181,18 +180,18 @@ zum Restklassenring $K[x]/(f)$ ist.
\section{Ideale oben und unten} \section{Ideale oben und unten}
Neben dem Homomorphiesatz für Ringe gelten noch einige andere Sätze, die wir aus Neben dem Homomorphiesatz für Ringe gelten noch einige andere Sätze, die wir aus
der linearen Algebra kennen (``Kürzen'' von Untervektorräumen). Um diese Sätze der linearen Algebra kennen („Kürzen“ von Untervektorräumen). Um diese Sätze
korrekt zu formulieren, müssen wir erst verstehen, wie ``Ideale in $R$'' und korrekt zu formulieren, müssen wir erst verstehen, wie „Ideale in $R$“ und
``Ideale in $R/I$'' zusammenhängen. Der folgende Satz formuliert den „Ideale in $R/I$“ zusammenhängen. Der folgende Satz formuliert den Zusammenhang
Zusammenhang nicht nur für die Quotientenabbildung $φ : R → R/I$, sondern für nicht nur für die Quotientenabbildung $φ : R → R/I$, sondern für beliebige
beliebige Ringmorphismen. Kurz gesagt gilt: Urbilder von Idealen sind immer Ringmorphismen. Kurz gesagt gilt: Urbilder von Idealen sind immer Ideale.
Ideale. Bilder von Idealen sind zumindest dann Ideale, wenn der Morphismus Bilder von Idealen sind zumindest dann Ideale, wenn der Morphismus surjektiv ist
surjektiv ist --- dies ist zum Beispiel bei der Quotientenabbildung der Fall. --- dies ist zum Beispiel bei der Quotientenabbildung der Fall.
\begin{satz}[Urbilder von Idealen] \begin{satz}[Urbilder von Idealen]
Es sei $\varphi : R → S$ ein Morphismus von kommutativen Ringen mit Eins. Es sei $\varphi : R → S$ ein Morphismus von kommutativen Ringen mit Eins. Wenn
Wenn $I⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist die Urbildmenge $\varphi^{-1}(I)$ ein $I⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist die Urbildmenge $\varphi^{-1}(I)$ ein Ideal in
Ideal in $R$. Ist $\varphi$ zusätzlich surjektiv, dann ist die Zuordnung $R$. Ist $\varphi$ zusätzlich surjektiv, dann ist die Zuordnung
\begin{equation*} \begin{equation*}
\begin{matrix} \begin{matrix}
\{\text{Ideale in }S \} & → & \{ \text{Ideale $J$ in $R$ mit $\ker ψ ⊆ J$}\} \\ \{\text{Ideale in }S \} & → & \{ \text{Ideale $J$ in $R$ mit $\ker ψ ⊆ J$}\} \\
@ -260,10 +259,10 @@ Formulierung verwendet Notation~\ref{not:xx}.
Die Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:10-3} wirft die Frage auf, wann ein Die Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:10-3} wirft die Frage auf, wann ein
Restklassenring der Form $K[x]/(f)$ eigentlich ein Körper ist. Etwas Restklassenring der Form $K[x]/(f)$ eigentlich ein Körper ist. Etwas
bescheidener: Wann ist ein Restklassenring $R/I$ nullteilerfrei? Für den Ring bescheidener: Wann ist ein Restklassenring $R/I$ nullteilerfrei? Für den Ring
$ℤ$ haben wir die Antwort in der Vorlesung ``Lineare Algebra'' kennengelernt. $ℤ$ haben wir die Antwort in der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennengelernt. Der
Der Ring $ℤ/(m)$ ist genau dann nullteilerfrei, wenn er ein Körper ist, und dies Ring $ℤ/(m)$ ist genau dann nullteilerfrei, wenn er ein Körper ist, und dies ist
ist genau dann der Fall, wenn $m$ eine Primzahl ist. Also müssen wir statt genau dann der Fall, wenn $m$ eine Primzahl ist. Also müssen wir statt
``Primzahl'' jetzt den Begriff des ``Primideals'' einführen. „Primzahl“ jetzt den Begriff des „Primideals“ einführen.
\begin{defn}[Primideal] \begin{defn}[Primideal]
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt
@ -355,7 +354,7 @@ lösbar ist.
\end{definition} \end{definition}
\begin{bemerkung} \begin{bemerkung}
Was hat diese Definition mit ``Teilerfremdheit'' zu tun? Schauen Sie sich den Was hat diese Definition mit „Teilerfremdheit“ zu tun? Schauen Sie sich den
Euklidischen Algorithmus aus Beispiel~\vref{bsp:5-6-7} noch einmal an. In der Euklidischen Algorithmus aus Beispiel~\vref{bsp:5-6-7} noch einmal an. In der
Situation des Beispiels~\ref{bsp:5-6-7} sind zwei Elemente $f$ und $g$ Situation des Beispiels~\ref{bsp:5-6-7} sind zwei Elemente $f$ und $g$
gegeben. Wenn $f$ und $g$ teilerfremd sind, ist $\ggT(f,g)=1$. Der gegeben. Wenn $f$ und $g$ teilerfremd sind, ist $\ggT(f,g)=1$. Der
@ -364,12 +363,12 @@ lösbar ist.
dass $(f) + (g)$ der gesamte Ring ist. dass $(f) + (g)$ der gesamte Ring ist.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}
\begin{satz}[Chinesischer Restsatz]\label{Satz_Chinesischer_Restsatz} \begin{satz}[Chinesischer Restsatz]\label{Satz_Chinesischer_Restsatz}%
\index{Chinesischer Restsatz}Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es \index{Chinesischer Restsatz}Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es
seien $I_1, …, I_n ⊂ R$ paarweise teilerfremde Ideale. Dann ist der seien $I_1, …, I_n ⊂ R$ paarweise teilerfremde Ideale. Dann ist der
kanonische Ringhomomorphismus kanonische Ringhomomorphismus
\begin{equation*} \begin{equation*}
α : R → \underbrace{\factor{R}{I_1}⨯⋯⨯\factor{R}{I_n}}_{\genfrac{}{}{0pt}{1}{\text{Add. und Mult.}}{\text{komponentenweise}}}, \quad a ↦ \Bigl( a+I_1, …, a+ I_n \Bigr) α : R → \underbrace{\factor{R}{I_1}⨯⋯⨯\factor{R}{I_n}}_{\genfrac{}{}{0pt}{1}{\text{Add.~und Mult.}}{\text{komponentenweise}}}, \quad a ↦ \Bigl( a+I_1, …, a+ I_n \Bigr)
\end{equation*} \end{equation*}
surjektiv und es ist $\ker α = I_1 ∩ ⋯ ∩ I_n$. surjektiv und es ist $\ker α = I_1 ∩ ⋯ ∩ I_n$.
\end{satz} \end{satz}

31
12.tex
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@ -5,10 +5,10 @@
\section{Worum geht es in diesem Teil der Vorlesung?} \section{Worum geht es in diesem Teil der Vorlesung?}
Wir sind immer noch an ``Symmetrien vor Körpererweiterungen'' interessiert, aber Wir sind immer noch an „Symmetrien vor Körpererweiterungen“ interessiert, aber
ich habe ihnen bislang nicht erklärt, was ich damit meine. Das einfachste ich habe ihnen bislang nicht erklärt, was ich damit meine. Das einfachste
Beispiel ist vielleicht die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$. In diesem Fall ist die Beispiel ist vielleicht die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$. In diesem Fall ist die
relevante ``Symmetrie'' die komplexe Konjugation, also die Spiegelung der relevante „Symmetrie“ die komplexe Konjugation, also die Spiegelung der
komplexen Ebene an der reellen Gerade. Die komplexe Konjugation ist ein komplexen Ebene an der reellen Gerade. Die komplexe Konjugation ist ein
Körpermorphismus $ℂ → ℂ$ (sogar ein Isomorphismus) mit der interessanten Körpermorphismus $ℂ → ℂ$ (sogar ein Isomorphismus) mit der interessanten
Eigenschaft, dass die reellen Zahlen genau diejenigen Punkte der komplexen Ebene Eigenschaft, dass die reellen Zahlen genau diejenigen Punkte der komplexen Ebene
@ -18,12 +18,12 @@ und $ℝ$ vom höheren Standpunkt aus verstehen. Warum ist die Erweiterung $ℂ
so wichtig? Wenn ich statt $ℝ$ einen anderen Körper betrachte (zum Beispiel so wichtig? Wenn ich statt $ℝ$ einen anderen Körper betrachte (zum Beispiel
$𝔽_p(X)$), welcher Körper würde dann die Rolle von $ℂ$ spielen? $𝔽_p(X)$), welcher Körper würde dann die Rolle von $ℂ$ spielen?
Die Antwort kommt aus der Vorlesung ``Analysis'' oder ``Funktionentheorie''. Die Antwort kommt aus der Vorlesung „Analysis“ oder „Funktionentheorie“. Dort
Dort beweist man mit analytischen Methoden, dass jedes Polynom $f ∈ ℝ[x]$ eine beweist man mit analytischen Methoden, dass jedes Polynom $f ∈ ℝ[x]$ eine
komplexe Nullstelle besitzt -- und auch jedes komplexe Polynom $f ∈ ℝ[x]$ komplexe Nullstelle besitzt -- und auch jedes komplexe Polynom $f ∈ ℝ[x]$
besitzt eine komplexe Nullstelle. Das führt dazu, dass jedes Polynom in $ℂ[x]$ besitzt eine komplexe Nullstelle. Das führt dazu, dass jedes Polynom in $ℂ[x]$
als Produkt von linearen Polynome geschrieben werden kann. Man sagt: ``die als Produkt von linearen Polynome geschrieben werden kann. Man sagt: „Die
komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen''. Wir werden später sehen, was komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen.“. Wir werden später sehen, was
diese Eigenschaft mit Symmetrie zu tun hat. diese Eigenschaft mit Symmetrie zu tun hat.
\begin{frage} \begin{frage}
@ -45,10 +45,7 @@ Oberkörper hat.
Der Beweis von Satz~\ref{satz:12-1-2} ist eine große Tautologie, verwirrt Der Beweis von Satz~\ref{satz:12-1-2} ist eine große Tautologie, verwirrt
Studentinnen und Studenten oft. Ich diskutiere vor dem Beweis deshalb erst noch Studentinnen und Studenten oft. Ich diskutiere vor dem Beweis deshalb erst noch
ein kleines Beispiel. Auf unserem ein kleines Beispiel.
\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} habe ich
Ihnen ein weiteres, ganz konkretes Beispiel bereitgestellt.
\begin{erkl} \begin{erkl}
Das Polynom $x²+1 ∈ ℝ[x]$ hat keine Nullstelle in $ℝ$, aber es hat eine Das Polynom $x²+1 ∈ ℝ[x]$ hat keine Nullstelle in $ℝ$, aber es hat eine
Nullstelle in $ℂ$, nämlich die Zahl $i$; wir wissen natürlich auch noch, dass Nullstelle in $ℂ$, nämlich die Zahl $i$; wir wissen natürlich auch noch, dass
@ -122,7 +119,7 @@ wirklich sein soll.
$f ∈ \overline{K}[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Weil $L$ algebraisch $f ∈ \overline{K}[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Weil $L$ algebraisch
abgeschlossen ist, hat $f$ eine Nullstelle in $a∈ L$. Das Element $a$ ist abgeschlossen ist, hat $f$ eine Nullstelle in $a∈ L$. Das Element $a$ ist
logischerweise algebraisch über $\overline{K}$ und deshalb wegen logischerweise algebraisch über $\overline{K}$ und deshalb wegen
Korollar~\vref{kor:TdA} (``Transitivität der Algebraizität'') auch algebraisch Korollar~\vref{kor:TdA} („Transitivität der Algebraizität“) auch algebraisch
über $K$. Also ist $a∈\overline{K}$. über $K$. Also ist $a∈\overline{K}$.
\end{bsp} \end{bsp}
@ -156,12 +153,12 @@ anzuwenden und so sicherzustellen, dass jedes Polynom eine Nullstelle hat. Das
ist aber nicht so einfach: denn wenn ich den Körper durch Hinzunahme von ist aber nicht so einfach: denn wenn ich den Körper durch Hinzunahme von
Polynomen größer mache, gibt es neue Polynome, die ebenfalls Nullstellen haben Polynomen größer mache, gibt es neue Polynome, die ebenfalls Nullstellen haben
müssen. In einem normalen Jahr würde mithilfe von Zorn's Lemma\footnote{Zorn's müssen. In einem normalen Jahr würde mithilfe von Zorn's Lemma\footnote{Zorn's
Lemma = eine Variante des Auswahlaxioms} zeigen, dass diese naive Idee Lemma = eine Variante des Auswahlaxioms} zeigen, dass diese naive Idee
tatsächlich trägt. Weil das Semester in diesem Jahr deutlich kürzer ist, muss tatsächlich trägt. Weil das Semester in diesem Jahr deutlich kürzer ist, muss
an dieser Stelle auf einen Beweis verzichten. Der folgende Satz ist als Satz an dieser Stelle auf einen Beweis verzichten. Der folgende Satz ist als Satz
von Steinitz\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Steinitz}{Ernst von Steinitz\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Steinitz}{Ernst
Steinitz} (* 13. Juni 1871 in Laurahütte, Oberschlesien; † 29. September Steinitz} (* 13.~Juni 1871 in Laurahütte, Oberschlesien; † 29.~September 1928 in
1928 in Kiel) war ein deutscher Mathematiker.} bekannt. Kiel) war ein deutscher Mathematiker.} bekannt.
\begin{satz}[Existenz des Algebraischen Abschluss]\label{Satz_von_Steinitz} \begin{satz}[Existenz des Algebraischen Abschluss]\label{Satz_von_Steinitz}
Jeder Körper besitzt einen algebraischen Abschluss. \qed Jeder Körper besitzt einen algebraischen Abschluss. \qed
@ -173,7 +170,7 @@ von Steinitz\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Steinitz}{Ernst
Als Nächstes müssen wir diskutieren, inwieweit ein algebraischer Abschluss Als Nächstes müssen wir diskutieren, inwieweit ein algebraischer Abschluss
eindeutig ist. Wie immer folgt die Eindeutigkeit aus einer universellen eindeutig ist. Wie immer folgt die Eindeutigkeit aus einer universellen
Eigenschaft. Den folgenden Begriff hatten wir oben schon informell unter dem Eigenschaft. Den folgenden Begriff hatten wir oben schon informell unter dem
Schlagwort ``Symmetrien einer Körpererweiterung'' diskutiert. Schlagwort „Symmetrien einer Körpererweiterung“ diskutiert.
\begin{definition}[$K$-Morphismus] \begin{definition}[$K$-Morphismus]
Es seien $R$ und $S$ Oberringe desselben Unterringes $K$. Ein Ringmorphismus Es seien $R$ und $S$ Oberringe desselben Unterringes $K$. Ein Ringmorphismus
@ -215,7 +212,7 @@ werde ich den Satz aus Zeitgründen nicht beweisen.
Als Konsequenz der universellen Eigenschaft erhalten wir die Eindeutigkeit des Als Konsequenz der universellen Eigenschaft erhalten wir die Eindeutigkeit des
algebraischen Abschlusses bis auf nicht-kanonische Isomorphie. Obwohl die algebraischen Abschlusses bis auf nicht-kanonische Isomorphie. Obwohl die
Isomorphie nicht kanonisch ist, spricht man in der Literatur häufig nicht ganz Isomorphie nicht kanonisch ist, spricht man in der Literatur häufig nicht ganz
korrekt von ``dem'' Quotientenkörper. korrekt von „dem“ algebraischen Abschluss.
\begin{kor}[Eindeutigkeit des alg.~Abschluss bis auf nicht-kanonische Isomorphie]\label{cor:edaa} \begin{kor}[Eindeutigkeit des alg.~Abschluss bis auf nicht-kanonische Isomorphie]\label{cor:edaa}
Es sei $K$ ein Körper und es seien $\overline{K}_1$ und $\overline{K}_2$ zwei Es sei $K$ ein Körper und es seien $\overline{K}_1$ und $\overline{K}_2$ zwei
@ -234,7 +231,7 @@ korrekt von ``dem'' Quotientenkörper.
Ich wiederhole noch einmal: Die nicht-Eindeutigkeit der Abbildung $\varphi$ aus Ich wiederhole noch einmal: Die nicht-Eindeutigkeit der Abbildung $\varphi$ aus
Satz~\ref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} und nicht-Kanonizität der Abbildung aus Satz~\ref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} und nicht-Kanonizität der Abbildung aus
Korollar~\ref{cor:edaa} sind der Grund dafür, warum die Diskussion von Korollar~\ref{cor:edaa} sind der Grund dafür, warum die Diskussion von
``Symmetrie'' überhaupt sinnvoll ist. Das ist ganz anders als bei dem „Symmetrie“ überhaupt sinnvoll ist. Das ist ganz anders als bei dem
Quotientenkörper! Quotientenkörper!

49
13.tex
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@ -3,13 +3,13 @@
\chapter{Zerfällungskörper} \chapter{Zerfällungskörper}
Ich habe im vorhergehenden Kapitel immer wieder von ``Symmetrie'' gesprochen und Ich habe im vorhergehenden Kapitel immer wieder von „Symmetrie“ gesprochen und
dabei als Beispiel immer nur die Konjugationsabbildung der komplexen Zahlen dabei als Beispiel immer nur die Konjugationsabbildung der komplexen Zahlen
diskutiert. Das ist ein bisschen dünn. Wir brauchen mehr Beispiele! diskutiert. Das ist ein bisschen dünn. Wir brauchen mehr Beispiele!
Tatsächlich liefert fast jedes Polynom ein interessantes Beispiel, den Tatsächlich liefert fast jedes Polynom ein interessantes Beispiel, den
Zerfällungskörper. Was das ist, erkläre ich jetzt. Zerfällungskörper. Was das ist, erkläre ich jetzt.
\begin{defn}[Zerfällungskörper]\label{def:zerf} \begin{defn}[Zerfällungskörper]\label{def:zerf}%
Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Ein Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Ein
Oberkörper $L/K$ heißt \emph{Zerfällungskörper von Oberkörper $L/K$ heißt \emph{Zerfällungskörper von
$f$}\index{Zerfällungskörper}, falls Folgendes gilt. $f$}\index{Zerfällungskörper}, falls Folgendes gilt.
@ -24,7 +24,7 @@ Zerfällungskörper. Was das ist, erkläre ich jetzt.
\begin{bemerkung} \begin{bemerkung}
Die Elemente $a_1, …, a_n$ aus Definition~\ref{def:zerf} sind genau die Die Elemente $a_1, …, a_n$ aus Definition~\ref{def:zerf} sind genau die
Nullstellen des Polynomes $f ∈ L[x]$. Insbesondere sind die Elemente Nullstellen des Polynoms $f ∈ L[x]$. Insbesondere sind die Elemente
$a_1, …, a_n$ eindeutig bis auf Vertauschung. $a_1, …, a_n$ eindeutig bis auf Vertauschung.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}
@ -53,16 +53,16 @@ schon beim algebraischen Abschluss wird deshalb häufig von ``dem''
Zerfällungskörper gesprochen. Zerfällungskörper gesprochen.
\begin{bemerkung}[Kochrezept: Zerfällungskörper] \begin{bemerkung}[Kochrezept: Zerfällungskörper]
Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein nicht-konstantes Polynom. Wenn
Wenn ein algebraischer abgeschlossener Oberkörper $L/K$ gegeben ist, dann ein algebraischer abgeschlossener Oberkörper $L/K$ gegeben ist, dann zeigt der
zeigt der Beweis von Satz~\ref{satz:13-0-3} wie man an einen Zerfällungskörper Beweis von Satz~\ref{satz:13-0-3} wie man an einen Zerfällungskörper kommt.
kommt. Man muss für das Polynom $f ∈ L[x]$ ``lediglich'' die Nullstellen Man muss für das Polynom $f ∈ L[x]$ „lediglich“ die Nullstellen $a_1, …, a_n$
$a_1, …, a_n$ bestimmen und kann dann den Körper $K(a_1, …, a_n)$ nehmen. bestimmen und kann dann den Körper $K(a_1, …, a_n)$ nehmen.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}
Ein wichtiges Problem der Algebra(klausur/prüfung) ist es, zu einem gegebenen Ein wichtiges Problem der Algebra(klausur/prüfung) ist es, zu einem gegebenen
Körper $K$ und zu einem gegebenen Polynom $f ∈ K[x]$ den Zerfällungskörper zu Körper $K$ und zu einem gegebenen Polynom $f ∈ K[x]$ den Zerfällungskörper zu
bestimmen. Dabei ist mit ``bestimmen'' meistens gemeint, dass man den bestimmen. Dabei ist mit „bestimmen“ meistens gemeint, dass man den
Erweiterungsgrad des Zerfällungskörpers bestimmen und ein möglichst kleinen Satz Erweiterungsgrad des Zerfällungskörpers bestimmen und ein möglichst kleinen Satz
von möglichst einfachen Erzeugern angeben soll. Meistens ist in diesen von möglichst einfachen Erzeugern angeben soll. Meistens ist in diesen
Beispielen $K = ℚ$, sodass man einen Zerfällungskörper als Teilmenge der Beispielen $K = ℚ$, sodass man einen Zerfällungskörper als Teilmenge der
@ -87,11 +87,10 @@ komplexen Zahlen konstruieren wird.
\[ \[
[L : ℚ] ≤ 3! = 6, [L : ℚ] ≤ 3! = 6,
\] \]
ist, aber wie groß ist der Grad wirklich? Wir überlegen, dass ist, aber wie groß ist der Grad wirklich? Wir überlegen, dass $[ℚ
$[ℚ \bigl(\sqrt[3]{2} \bigr) : ℚ ] = 3$. Also gilt $3| [L:Q]$ und man \bigl(\sqrt[3]{2} \bigr) : ℚ ] = 3$. Also gilt $3| [L:Q]$ und man muss
muss lediglich prüfen, ob $L = ℚ(\sqrt[3]{2})$ ist. Das ist aber nicht der lediglich prüfen, ob $L = ℚ(\sqrt[3]{2})$ ist. Das ist aber nicht der Fall,
Fall, denn $ℚ(\sqrt[3]{2}) ⊂ ℝ$ aber $ξ \not∈ ℝ$. Also ist denn $ℚ(\sqrt[3]{2}) ⊂ ℝ$ aber $ξ \not∈ ℝ$. Also ist $[L:ℚ] =6$.
$[L:ℚ] =6$.
\end{bsp} \end{bsp}
@ -99,7 +98,7 @@ komplexen Zahlen konstruieren wird.
\label{sec:13-1} \label{sec:13-1}
\sideremark{Vorlesung 14}Ich komme zu meinem Lieblingsthema zurück. Jetzt kann \sideremark{Vorlesung 14}Ich komme zu meinem Lieblingsthema zurück. Jetzt kann
ich endlich erklären, was es mit meinem ständigen Reden von ``Symmetrien'' auf ich endlich erklären, was es mit meinem ständigen Reden von „Symmetrien“ auf
sich hat. sich hat.
\begin{situation}\label{sit:gal} \begin{situation}\label{sit:gal}
@ -141,13 +140,13 @@ das wohl am besten in Termen endlicher Gruppen beantwortet werden sollte.
Wenn ich jetzt einen $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ habe, dann ist Wenn ich jetzt einen $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ habe, dann ist
\begin{align*} \begin{align*}
\varphi(ℓ) & = \sum \varphi(β_{i_1,…,i_n})·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n} \\ \varphi(ℓ) & = \sum \varphi(β_{i_1,…,i_n})·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n} \\
& = \sum β_{i_1,…,i_n}·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n}. && \text{$\varphi$ ist $K$-Morphismus und $β_• ∈ K$} & = \sum β_{i_1,…,i_n}·\varphi(a_1)^{i_1}⋯ \varphi(a_n)^{i_n}. && \text{$\varphi$ ist $K$-Morphismus und $β_• ∈ K$.}
\end{align*} \end{align*}
Wir erkennen: Der $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ ist eindeutig dadurch Wir erkennen: Der $K$-Morphismus $\varphi: L → L$ ist eindeutig dadurch
festgelegt, wohin er die endlich vielen Elemente $a_1$, …, $a_n$ abbildet! festgelegt, wohin er die endlich vielen Elemente $a_1$, …, $a_n$ abbildet! Die
Die Abbildung \eqref{eq:jtzrtt} ist also injektiv, und wir können die Abbildung \eqref{eq:jtzrtt} ist also injektiv, und wir können die
``Symmetriegruppe'' von $L/K$, also die Gruppe der $K$-Isomorphismen von $L$ „Symmetriegruppe“ von $L/K$, also die Gruppe der $K$-Isomorphismen von $L$ als
als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe auffassen. Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe auffassen.
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
@ -163,7 +162,7 @@ ein wenig Sprache.
vielen) Variablen $(x_λ)_{λ∈ Λ}$. vielen) Variablen $(x_λ)_{λ∈ Λ}$.
\end{notation} \end{notation}
Wenn alles 100\%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser könnte den Wenn alles 100\%ig korrekt sein sollte, müsste ich an dieser Stelle den
Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren. Ich Polynomring ausführlich mithilfe einer universellen Eigenschaft definieren. Ich
finde das aber arg formell und hoffe, Sie verzeihen mir, wenn ich das jetzt finde das aber arg formell und hoffe, Sie verzeihen mir, wenn ich das jetzt
einfach mal nicht mache. Der einzig wichtige Punkt ist, dass Polynome immer einfach mal nicht mache. Der einzig wichtige Punkt ist, dass Polynome immer
@ -197,7 +196,7 @@ immer nur endlich viele Variablen auf.
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
\subsection{Ringadjunktion vs Körperadjunktion} \subsection{Ringadjunktion vs.~Körperadjunktion}
Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$ und eine Teilmenge $(a_λ)_{λ∈Λ}$ von $L$, Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$ und eine Teilmenge $(a_λ)_{λ∈Λ}$ von $L$,
dann kann ich den Unterring $K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ und den Unterkörper dann kann ich den Unterring $K\bigl[(a_λ)_{λ∈Λ}\bigr]$ und den Unterkörper
@ -207,9 +206,9 @@ $K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr)$ vergleichen. Offenbar gilt immer
⊆ L. ⊆ L.
\] \]
Die folgenden Sätze klären, wann Gleichheit herrscht. Die Sätze klären auch Die folgenden Sätze klären, wann Gleichheit herrscht. Die Sätze klären auch
noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper ``$ℚ$ noch einmal, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „$ℚ$ adjungiert
adjungiert $\sqrt{5}$'' mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet. Schauen Sie sich $\sqrt{5}$“ mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet. Schauen Sie sich vielleicht
vielleicht auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an. auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an.
\begin{satz}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion] \begin{satz}[Ringadjunktion vs Körperadjunktion]
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $(a_λ)_{λ∈Λ}$ eine Teilmenge Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $(a_λ)_{λ∈Λ}$ eine Teilmenge

34
14.tex
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@ -132,23 +132,23 @@ bestimmen. Was war noch einmal die Ordnung?
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
\section{Der Frobenius Morphismus} \section{Der Frobenius-Morphismus}
Über Körpern und Ringen der Charakteristik $p > 0$ gibt es einen ganz Über Körpern und Ringen der Charakteristik $p > 0$ gibt es einen ganz
unglaublichen Körpermorphismus, den wir noch nicht kennen: den unglaublichen Körpermorphismus, den wir noch nicht kennen: den
Frobenius-Morphismus\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_Georg_Frobenius}{Ferdinand Frobenius-Morphismus\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_Georg_Frobenius}{Ferdinand
Georg Frobenius}, genannt Georg, (* 26. Oktober 1849 in Berlin; † 3. Georg Frobenius}, genannt Georg, (* 26.~Oktober 1849 in Berlin; † 3.~August 1917
August 1917 in Charlottenburg, heute ein Ortsteil von Berlin) war ein in Charlottenburg, heute ein Ortsteil von Berlin) war ein deutscher
deutscher Mathematiker. Er war seit 1892 Professor an der Universität Berlin Mathematiker. Er war seit 1892 Professor an der Universität Berlin und setzte
und setzte dort hohe Maßstäbe für Prüfungen durch.}. Der Morphismus ist dort hohe Maßstäbe für Prüfungen durch.}. Der Morphismus ist eigentlich ganz
eigentlich ganz einfach, es handelt sich um die Abbildung $r ↦ r^p$. Das einfach, es handelt sich um die Abbildung $r ↦ r^p$. Das unglaubliche ist, dass
unglaubliche ist, dass diese Abbildung \textbf{linear} ist!! diese Abbildung \textbf{linear} ist!
\begin{defn}[Charakeristik eines Ringes] \begin{defn}[Charakeristik eines Ringes]
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Die Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Die
\emph{Charakteristik}\index{Charakteristik!eines Ringes} von $R$ ist die \emph{Charakteristik}\index{Charakteristik!eines Ringes} von $R$ ist die
kleinste natürliche Zahl $n ∈ ℕ^+$, sodass die $n$-fache Summe des kleinste natürliche Zahl $n ∈ ℕ^+$, sodass die $n$-fache Summe des
Einselementes gleich dem Nullelement wird, also Einselements gleich dem Nullelement wird, also
\[ \[
\underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{n ⨯} =0. \underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{n ⨯} =0.
\] \]
@ -174,8 +174,8 @@ unglaubliche ist, dass diese Abbildung \textbf{linear} ist!!
\begin{notation} \begin{notation}
In der Situation von Satz~\ref{DefSatz_Frobenius-Endomorphismus} ist die In der Situation von Satz~\ref{DefSatz_Frobenius-Endomorphismus} ist die
Bildmenge $F(R) ⊂ R$ natürlich ein Unterring. Dieser wird als ``Menge der Bildmenge $F(R) ⊂ R$ natürlich ein Unterring. Dieser wird als „Menge der
$p$-Potenzen'' bezeichnet und oft mit dem Symbol $R^p ⊆ R$ notiert. $p$-Potenzen“ bezeichnet und oft mit dem Symbol $R^p ⊆ R$ notiert.
\end{notation} \end{notation}
\begin{beobachtung} \begin{beobachtung}
@ -190,7 +190,7 @@ unglaubliche ist, dass diese Abbildung \textbf{linear} ist!!
\section{Separable und inseparable Polynome} \section{Separable und inseparable Polynome}
Ich hatte oben gefragt, ob ein irreduzibles Polynom mehrfache Nullstellen haben Ich hatte oben gefragt, ob ein irreduzibles Polynom mehrfache Nullstellen haben
kann. Die ehrliche Antwort lautet: ``vielleicht'' und begründet die folgende kann. Die ehrliche Antwort lautet: „vielleicht“ und begründet die folgende
Definition. Definition.
\begin{defn}[Separable und inseparable Polynome] \begin{defn}[Separable und inseparable Polynome]
@ -288,7 +288,7 @@ werden.
\begin{bsp} \begin{bsp}
Sei $K = 𝔽_p(t) = Q\bigl( 𝔽_p[t] \bigr)$. Nach dem Sei $K = 𝔽_p(t) = Q\bigl( 𝔽_p[t] \bigr)$. Nach dem
Satz~\vref{Satz_Eisenstein_Kriterium} (``Eisenstein-Kriterium'') ist Satz~\vref{Satz_Eisenstein_Kriterium} („Eisenstein-Kriterium“) ist
\begin{equation*} \begin{equation*}
f = x^p-t ∈ K[x] f = x^p-t ∈ K[x]
\end{equation*} \end{equation*}
@ -347,7 +347,7 @@ Erweiterungen kennen. Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf.
$σ : K(a) → L$. $σ : K(a) → L$.
\end{lemma} \end{lemma}
\begin{proof} \begin{proof}
Ich erinnere an die Beobachtungen~\ref{beob:p1} und \vref{beob:p2}: jeder Ich erinnere an die Beobachtungen~\ref{beob:p1} und \vref{beob:p2}: Jeder
potenzielle $K$-Morphismus $σ$ bildet $a$ auf eine der $m$ Nullstellen von $f$ potenzielle $K$-Morphismus $σ$ bildet $a$ auf eine der $m$ Nullstellen von $f$
an, und ist durch dieses Bild eindeutig festgelegt. Jetzt müssen wir an, und ist durch dieses Bild eindeutig festgelegt. Jetzt müssen wir
lediglich noch zeigen, dass jede dieser $m$ verschiedenen Möglichkeiten lediglich noch zeigen, dass jede dieser $m$ verschiedenen Möglichkeiten
@ -370,8 +370,8 @@ Erweiterungen kennen. Die gesamte Diskussion baut auf folgendem Lemma auf.
Mit diesen Vorbereitungen können wir separable Abbildungen in präziser Art durch Mit diesen Vorbereitungen können wir separable Abbildungen in präziser Art durch
die Anzahl von $K$-Morphismen charakterisieren. Als Konsequenz erhalten wir die Anzahl von $K$-Morphismen charakterisieren. Als Konsequenz erhalten wir
eine Reihe von Sätzen, die wir für den Begriff der ``algebraischen eine Reihe von Sätzen, die wir für den Begriff der „algebraischen
Körpererweiterung'' in ganz ähnlicher Form schon kennen. Körpererweiterung“ in ganz ähnlicher Form schon kennen.
\begin{satz}\label{Satz_11_10} \begin{satz}\label{Satz_11_10}
Es sei $L/K$ eine endliche (also insbesondere: algebraische) Körpererweiterung Es sei $L/K$ eine endliche (also insbesondere: algebraische) Körpererweiterung
@ -424,8 +424,8 @@ Körpererweiterung'' in ganz ähnlicher Form schon kennen.
\subsection{Der separable Abschluss} \subsection{Der separable Abschluss}
Erinnern Sie sich an den ``algebraischen Abschluss einer Körpers in einem Erinnern Sie sich an den „algebraischen Abschluss eines Körpers in einem
Oberkörper'', den wir in Satz~\vref{satzdef:aaieO} eingeführt haben? Auch Oberkörper“, den wir in Satz~\vref{satzdef:aaieO} eingeführt haben? Auch
dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext dieser Satz und diese Definition lässt sich fast wortgleich in unseren Kontext
übertragen. übertragen.

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AlgebraZahlentheorie.tex
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@ -183,5 +183,5 @@ Dieser Text ist unter der Lizenz
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