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Stefan Kebekus
+9
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@@ -44,15 +44,15 @@ Wie sagt Mathlib das alles?
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Satz von Cauchy unten!). Das Lemma `IsPGroup.of_card` übersetzt
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unsere Voraussetzung `Nat.card G = p ^ m` dorthin.
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* „die auf einer endlichen Menge `M` operiert“: Eine Wirkung von `G`
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auf `M` ist eine Typklasse, `[MulAction G M]`; die Endlichkeit von
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`M` ist die Typklasse `[Finite M]`.
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* „die auf einer endlichen Menge $`M` operiert“: Eine Wirkung von
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$`G` auf $`M` ist eine Typklasse, `[MulAction G M]`; die
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Endlichkeit von $`M` ist die Typklasse `[Finite M]`.
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* Die Fixpunktmenge heißt `MulAction.fixedPoints G M`, und die
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Kongruenz $`|M| \equiv |M_0| \pmod{p}` schreibt sich
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`Nat.card M ≡ Nat.card (fixedPoints G M) [MOD p]`.
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Der Beweis im Skript zerlegt `M` in Bahnen und zitiert die
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Der Beweis im Skript zerlegt $`M` in Bahnen und zitiert die
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Bahnengleichung. Genau so beweist Mathlib die Aussage
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`IsPGroup.card_modEq_card_fixedPoints` — wir zitieren hier also
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einfach die Bibliothek, so wie das Skript an dieser Stelle Satz 17.2.1
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@@ -318,10 +318,11 @@ nur etwas anders organisiert.
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# Übungsaufgabe
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Das ist Satz 18.2.3 im Skript: _Es sei `p` eine Primzahl und `G` eine
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nichttriviale Gruppe, deren Ordnung eine p-Potenz ist. Dann ist das
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Zentrum von `G` nicht trivial._ Beweisen Sie das in Lean: Wenden Sie
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`key_lemma` auf die Konjugationswirkung von `G` auf sich selbst an —
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Das ist Satz 18.2.3 im Skript: _Es sei $`p` eine Primzahl und $`G`
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eine nichttriviale Gruppe, deren Ordnung eine $`p`-Potenz ist. Dann
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ist das Zentrum von $`G` nicht trivial._ Beweisen Sie das in Lean:
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Wenden Sie `key_lemma` auf die Konjugationswirkung von $`G` auf sich
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selbst an —
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oder finden Sie die Aussage in Mathlib. Öffnen Sie
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`AlgebraInLean/Cauchy.lean` im Übungs-Repository und ersetzen Sie das
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`sorry` durch einen Beweis.
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@@ -99,9 +99,9 @@ Die beiden Beweisschritte des Skripts stecken im Beweis von
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`Basis.smulTower`: Das „Einsetzen“ im Erzeugendensystem-Schritt und
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das „Umsortieren“ im Unabhängigkeits-Schritt werden dort durch die
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Komposition der Koordinatenabbildungen erledigt —
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`Basis.smulTower_repr` sagt, dass die (i,j)-Koordinate von `x` gerade
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die i-te Koordinate der j-ten Koordinate ist: exakt das `μᵢⱼ` aus dem
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Skript.
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`Basis.smulTower_repr` sagt, dass die $`(i,j)`-Koordinate von `x`
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gerade die $`i`-te Koordinate der $`j`-ten Koordinate ist: exakt das
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$`μ_{ij}` aus dem Skript.
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# Übungsaufgabe
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@@ -113,8 +113,8 @@ Mathlib bündelt die drei Verträglichkeiten zum Ringmorphismus
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`add_pow_char`. Die Beobachtung des Skripts — über einem
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Integritätsring ist der Frobenius injektiv, über einem endlichen
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Körper sogar bijektiv — führt zur Klassifikation endlicher Körper:
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Zu jeder Primzahlpotenz `p^n` gibt es genau einen Körper mit `p^n`
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Elementen. In Mathlib heißt er `GaloisField p n`.
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Zu jeder Primzahlpotenz $`p^n` gibt es genau einen Körper mit
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$`p^n` Elementen. In Mathlib heißt er `GaloisField p n`.
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# Übungsaufgabe
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+6
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@@ -30,12 +30,13 @@ Lean.
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* Ein Ideal in einem kommutativen Ring `R` ist ein Term
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`I : Ideal R`. Die beiden Bedingungen aus der Ideal-Definition des
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Skripts heißen `I.add_mem` (für alle `a, b ∈ I` ist `a+b ∈ I`) und
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Skripts heißen `I.add_mem` (für alle $`a, b \in I` ist
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$`a+b \in I`) und
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`I.mul_mem_left` (für alle $`r \in R` und $`a \in I` ist $`r \cdot a \in I`);
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außerdem ist `I.zero_mem : 0 ∈ I`.
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* Das von einer Menge `s` erzeugte Ideal ist `Ideal.span s`; ein
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_Hauptideal_ `(a)` ist also `Ideal.span {a}`. Die Beobachtung
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_Hauptideal_ $`(a)` ist also `Ideal.span {a}`. Die Beobachtung
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„Hauptideale und Teilbarkeit“ des Skripts ist das Lemma
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`Ideal.mem_span_singleton : b ∈ span {a} ↔ a ∣ b`.
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@@ -59,9 +60,9 @@ Satz 9.3.7 des Skripts, mit Beweis:
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Zwei Anmerkungen zur Übersetzung. Das „kleinste positive Element“
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liefert das Wohlordnungsprinzip, in Mathlib
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`Int.exists_least_of_bdd`. Und wo das Skript nur positive `b`
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`Int.exists_least_of_bdd`. Und wo das Skript nur positive $`b`
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behandelt (und den Rest dem Leser überlässt), nehmen wir gleich
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beliebige `b` — die Division mit Rest in Lean funktioniert für alle
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beliebige $`b` — die Division mit Rest in Lean funktioniert für alle
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ganzen Zahlen.
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```lean
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@@ -125,7 +126,7 @@ theorem int_hauptidealring (I : Ideal ℤ) :
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In Mathlib ist `IsPrincipalIdealRing ℤ` eine Instanz: ℤ ist ein
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euklidischer Ring, und `EuclideanDomain.to_principal_ideal_domain`
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führt genau unser Argument für beliebige euklidische Ringe. Damit
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ist auch der zweite Satz des Skript-Abschnitts abgedeckt: `K[x]` ist
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ist auch der zweite Satz des Skript-Abschnitts abgedeckt: $`K[x]` ist
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euklidisch (Division mit Rest, wobei der Grad die Rolle des Betrags
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übernimmt), also ein Hauptidealring. Auch der Hilbertsche Basissatz
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aus diesem Kapitel steht in Mathlib: `Polynomial.isNoetherianRing`.
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@@ -117,7 +117,8 @@ Man beachte, wie treu die Übersetzung ist. Die Fallunterscheidung
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„Falls … ist die Sache klar / Ansonsten …“ wird zu `by_cases`; das
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Zitat des Satzes von Lagrange wird zum Bibliothekslemma
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`Subgroup.card_subgroup_dvd_card`; und die Formulierung „die Ordnung
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von `ā`, also die Größe der von `ā` erzeugten Untergruppe“ ist genau
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von $`\overline{a}`, also die Größe der von $`\overline{a}`
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erzeugten Untergruppe“ ist genau
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das Umschreiben mit `Nat.card_zpowers`, das `orderOf u` mit der
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Mächtigkeit der von `u` erzeugten Untergruppe `Subgroup.zpowers u`
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identifiziert.
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@@ -27,14 +27,15 @@ Polynom-API kennen.
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* Der Polynomring über `R` heißt `Polynomial R`, mit der Notation
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`R[X]`. Die Variable ist `X`, das konstante Polynom zu `a : R` ist
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`C a`; ein Polynom wie `x³−2` schreibt sich also `X ^ 3 - C 2`.
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`C a`; ein Polynom wie $`x^3 - 2` schreibt sich also
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`X ^ 3 - C 2`.
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* Der k-te Koeffizient ist `f.coeff k`, der Grad `f.degree`.
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Achtung: `degree` hat Werte in `WithBot ℕ` — das Nullpolynom
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bekommt den Grad `⊥` („minus unendlich“, wie im Skript). Daneben
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gibt es `f.natDegree : ℕ`.
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* „f ist normiert“ (Leitkoeffizient 1) ist `f.Monic`; „f ist
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* „$`f` ist normiert“ (Leitkoeffizient 1) ist `f.Monic`; „$`f` ist
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irreduzibel“ ist `Irreducible f`; die Bedingung „ggT der
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Koeffizienten ist 1“ aus dem Eisenstein-Kriterium heißt
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`f.IsPrimitive` (kein Nichteinheits-Teiler in `R`).
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@@ -122,10 +123,10 @@ theorem xn_sub_r_irreduzibel (n : ℕ) (hn : 0 < n) (r : ℤ)
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Mathlibs Beweis des Eisenstein-Kriteriums folgt derselben Idee wie
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das Erklärvideo 9-1 des Skripts: Reduktion der Koeffizienten modulo
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`p`. Auch das Gauß-Kriterium aus dem ersten Teil des Kapitels steht
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$`p`. Auch das Gauß-Kriterium aus dem ersten Teil des Kapitels steht
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in Mathlib (Datei `Mathlib.RingTheory.Polynomial.GaussLemma`). Das
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zweite Beispiel des Skripts — `xⁿ − p` ist irreduzibel und deshalb
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das Minimalpolynom von `ⁿ√p` — greifen wir im Kapitel über
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zweite Beispiel des Skripts — $`x^n - p` ist irreduzibel und deshalb
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das Minimalpolynom von $`\sqrt[n]{p}` — greifen wir im Kapitel über
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Körpererweiterungen wieder auf.
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# Übungsaufgabe
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@@ -28,13 +28,14 @@ schließt den Kreis zum Anfang des Kurses.
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`legendreSym p a : ℤ`; es setzt eine `Fact (Nat.Prime p)`-Instanz
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voraus.
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* „`a` ist ein quadratischer Rest modulo `p`“ ist einfach
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* „$`a` ist ein quadratischer Rest modulo $`p`“ ist einfach
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`IsSquare (a : ZMod p)`.
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* Das Lean-Lernthema dieses Kapitels ist die Taktik `decide`:
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Aussagen über konkrete endliche Objekte — „ist 7 ein Quadrat in
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`𝔽₁₇`?“ — sind _entscheidbar_, und Lean darf die Antwort einfach
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ausrechnen. Das Ergebnis ist ein vollwertiger Beweis.
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$`\mathbb{F}_{17}`?“ — sind _entscheidbar_, und Lean darf die
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Antwort einfach ausrechnen. Das Ergebnis ist ein vollwertiger
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Beweis.
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# Das Reziprozitätsgesetz
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@@ -81,14 +82,14 @@ example : ¬ IsSquare (7 : ZMod 17) := by decide
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Das ist kein Widerspruch zum Skript, sondern Arbeitsteilung: Das
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Reziprozitätsgesetz macht die Rechnung für _Menschen_ effizient (und
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funktioniert auch bei riesigen Primzahlen); `decide` probiert stumpf
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alle Restklassen durch — für kleine `p` völlig in Ordnung.
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alle Restklassen durch — für kleine $`p` völlig in Ordnung.
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# Rückblick
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Damit endet der Kurs, wo er angefangen hat: Das Euler-Kriterium
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hinter dem Legendre-Symbol beruht darauf, dass `𝔽_p^*` zyklisch von
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Ordnung `p−1` ist — dieselbe Beobachtung, mit der wir im Kapitel über
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den kleinen Satz von Fermat gerechnet haben.
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hinter dem Legendre-Symbol beruht darauf, dass $`\mathbb{F}_p^*`
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zyklisch von Ordnung $`p-1` ist — dieselbe Beobachtung, mit der wir
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im Kapitel über den kleinen Satz von Fermat gerechnet haben.
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# Übungsaufgabe
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Reference in New Issue
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