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Lean4
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import VersoManual
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import Manual.Meta
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-- Minimal-Imports statt `import Mathlib`, ermittelt mit
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-- `#min_imports`.
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import Mathlib.Data.Nat.Prime.Int
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import Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.Criterion
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open Verso.Genre
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open Verso.Genre.Manual.InlineLean
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set_option pp.rawOnError true
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set_option verso.docstring.allowMissing true
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#doc (Manual) "Polynome und Irreduzibilität" =>
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%%%
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htmlSplit := .never
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tag := "polynome"
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file := "polynome"
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%%%
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Dieses Kapitel übersetzt die beiden Beispiele nach dem
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Eisenstein-Kriterium aus Kapitel 7 des Skripts nach Lean; das
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Kriterium selbst zitieren wir aus Mathlib. Nebenbei lernen wir die
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Polynom-API kennen.
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# Das Mathlib-Wörterbuch
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* Der Polynomring über `R` heißt `Polynomial R`, mit der Notation
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`R[X]`. Die Variable ist `X`, das konstante Polynom zu `a : R` ist
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`C a`; ein Polynom wie $`x^3 - 2` schreibt sich also
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`X ^ 3 - C 2`.
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* Der k-te Koeffizient ist `f.coeff k`, der Grad `f.degree`.
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Achtung: `degree` hat Werte in `WithBot ℕ` — das Nullpolynom
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bekommt den Grad `⊥` („minus unendlich“, wie im Skript). Daneben
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gibt es `f.natDegree : ℕ`.
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* „$`f` ist normiert“ (Leitkoeffizient 1) ist `f.Monic`; „$`f` ist
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irreduzibel“ ist `Irreducible f`; die Bedingung „ggT der
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Koeffizienten ist 1“ aus dem Eisenstein-Kriterium heißt
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`f.IsPrimitive` (kein Nichteinheits-Teiler in `R`).
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# Das Eisenstein-Kriterium
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Satz 7.2.1 des Skripts:
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> *Satz 7.2.1 (Eisenstein-Kriterium).* Es sei $`R` ein faktorieller
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Ring und es sei
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$`f = a_0 + a_1 \cdot x + \dots + a_n \cdot x^n \in R[x]` ein
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Polynom vom Grad $`n > 0`. Weiter sei
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$`\operatorname{ggT}(a_0, \dots, a_n) = 1`. Wenn es ein
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Primelement $`p \in R` gibt mit $`p \mid a_0`, $`p \mid a_1`, …,
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$`p \mid a_{n-1}` und $`p^2 \nmid a_0`, dann ist $`f` irreduzibel
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in $`R[x]`.
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In Mathlib heißt der Satz
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`Polynomial.irreducible_of_eisenstein_criterion`. Er ist dort über
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ein Primideal `P` statt eines Primelements $`p` formuliert — für uns
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ist `P` das Hauptideal $`(p)` aus dem letzten Kapitel, und „$`p`
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teilt $`a_k`“ wird zu `f.coeff k ∈ Ideal.span {p}`. Statt
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„$`p \nmid a_n`“ (was im Skript aus $`\operatorname{ggT} = 1` folgt)
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verlangt Mathlib direkt `f.leadingCoeff ∉ P`.
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# Erstes Beispiel: xⁿ − r
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> Das Polynom $`x^n - r \in \mathbb{Z}[x]` ist irreduzibel, wenn
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$`r` durch eine Primzahl $`p`, aber nicht durch $`p^2` teilbar
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ist.
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Das Skript lässt die Kontrolle der Eisenstein-Bedingungen als
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Kopfrechnung weg — in Lean führen wir sie aus und lernen dabei die
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Koeffizienten-API kennen: `coeff_sub`, `coeff_X_pow` und `coeff_C`
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berechnen die Koeffizienten von $`x^n - r`, nämlich $`a_n = 1`,
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$`a_0 = -r` und $`a_k = 0` sonst.
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```lean
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open Polynomial
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theorem xn_sub_r_irreduzibel (n : ℕ) (hn : 0 < n) (r : ℤ)
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(p : ℕ) (hp : p.Prime) (hpr : (p : ℤ) ∣ r)
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(hp2r : ¬ (p : ℤ) ^ 2 ∣ r) :
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Irreducible (X ^ n - C r) := by
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-- Das Primelement p des Skripts wird zum Primideal (p):
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have hprime : Prime (p : ℤ) :=
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Nat.prime_iff_prime_int.mp hp
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have hP : (Ideal.span {(p : ℤ)}).IsPrime :=
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(Ideal.span_singleton_prime hprime.ne_zero).mpr hprime
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-- Grad und Leitkoeffizient von f = xⁿ − r:
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have hmonic : (X ^ n - C r).Monic :=
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monic_X_pow_sub_C r hn.ne'
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have hdeg := degree_X_pow_sub_C hn r
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apply irreducible_of_eisenstein_criterion hP
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-- „p ∤ aₙ“: Der Leitkoeffizient ist 1, und p ∤ 1, weil
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-- p keine Einheit ist.
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· rw [hmonic.leadingCoeff, Ideal.mem_span_singleton]
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exact fun h => hprime.not_isUnit (isUnit_of_dvd_one h)
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-- „p|a₀, …, p|a_{n−1}“: Unterhalb von Grad n sind die
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-- Koeffizienten −r (bei k = 0) und 0 (sonst) — beide
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-- durch p teilbar.
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· intro k hk
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have hkn : k < n := by
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rw [hdeg] at hk
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exact_mod_cast hk
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rw [coeff_sub, coeff_X_pow, if_neg hkn.ne, coeff_C,
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Ideal.mem_span_singleton]
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rcases eq_or_ne k 0 with h0 | h0
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· subst h0
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simpa using hpr
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· simp [h0]
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-- „… vom Grad n > 0.“
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· rw [hdeg]
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exact_mod_cast hn
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-- „p² ∤ a₀“: Der konstante Koeffizient ist −r.
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· rw [Ideal.span_singleton_pow, Ideal.mem_span_singleton,
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coeff_sub, coeff_X_pow, if_neg hn.ne, coeff_C,
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if_pos rfl, zero_sub, dvd_neg]
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exact hp2r
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-- „ggT(a₀, …, aₙ) = 1“: f ist normiert, also primitiv.
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· exact hmonic.isPrimitive
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```
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# Bemerkungen
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Mathlibs Beweis des Eisenstein-Kriteriums folgt derselben Idee wie
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das Erklärvideo 9-1 des Skripts: Reduktion der Koeffizienten modulo
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$`p`. Auch das Gauß-Kriterium aus dem ersten Teil des Kapitels steht
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in Mathlib (Datei `Mathlib.RingTheory.Polynomial.GaussLemma`). Das
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zweite Beispiel des Skripts — $`x^n - p` ist irreduzibel und deshalb
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das Minimalpolynom von $`\sqrt[n]{p}` — greifen wir im Kapitel über
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Körpererweiterungen wieder auf.
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# Übungsaufgabe
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Genau dieses zweite Beispiel ist die Übung:
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> Das Polynom $`x^n - p \in \mathbb{Z}[x]` ist für jede Primzahl
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$`p` irreduzibel.
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Wenden Sie `xn_sub_r_irreduzibel` mit `r = p` an. Zu zeigen bleibt
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$`p^2 \nmid p`: Aus $`p = p^2 \cdot c` folgt durch Kürzen
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$`1 = p \cdot c` — dann wäre $`p` eine Einheit, im Widerspruch zur
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Primalität. Nützlich sind
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`mul_left_cancel₀`, `isUnit_of_dvd_one` und `Prime.not_isUnit`.
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Öffnen Sie `AlgebraInLean/Polynomials.lean` und ersetzen Sie das
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`sorry` durch einen Beweis.
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```lean
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theorem xn_sub_p_irreduzibel (n : ℕ) (hn : 0 < n) (p : ℕ)
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(hp : p.Prime) :
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Irreducible (X ^ n - C (p : ℤ)) := by
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sorry
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```
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