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Lean4
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import VersoManual
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import Manual.Meta
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-- Minimal-Imports statt `import Mathlib`: ermittelt mit
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-- `#min_imports`, ergänzt um die Taktik `ring`.
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import Mathlib.Algebra.Field.ZMod
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import Mathlib.Data.Nat.Choose.Dvd
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import Mathlib.Data.Nat.Choose.Sum
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import Mathlib.Tactic.Ring
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open Verso.Genre
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open Verso.Genre.Manual.InlineLean
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set_option pp.rawOnError true
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set_option verso.docstring.allowMissing true
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#doc (Manual) "Endliche Körper und der Frobenius" =>
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%%%
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htmlSplit := .never
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tag := "frobenius"
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file := "frobenius"
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%%%
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Dieses Kapitel übersetzt den Satz über den Frobenius-Endomorphismus
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aus Kapitel 14 des Skripts Satz für Satz nach Lean — den „Traum jedes
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Studienanfängers“: $`(a+b)^p = a^p + b^p`.
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# Das Mathlib-Wörterbuch
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* „$`R` hat Charakteristik $`p`“ ist die Typklasse `CharP R p`.
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Das entscheidende Lemma ist `CharP.cast_eq_zero`: Das Bild von
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$`p` in $`R` ist Null.
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* Binomialkoeffizienten heißen `Nat.choose`; die binomische Formel
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ist `add_pow`, eine Summe über `Finset.range`. Endliche Summen und
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ihre Umformungen sind das Lean-Lernthema dieses Kapitels.
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# Der Frobenius-Endomorphismus
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Satz und Definition 14.2.2 des Skripts:
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> *Satz und Definition 14.2.2 (Frobenius-Endomorphismus).* Es sei
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$`p` eine Primzahl und es sei $`R` ein kommutativer Ring mit Eins
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der Charakteristik $`p`. Dann ist die Abbildung
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$`F : R \to R`, $`a \mapsto a^p` ein Ringmorphismus.
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> _Beweis._ Die Verträglichkeit mit der Multiplikation ist klar,
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weil $`R` kommutativ ist: $`(a \cdot b)^p = a^p \cdot b^p`.
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Ebenso ist $`F(1) = 1`. Interessant ist nur die Verträglichkeit
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mit der Addition. … Die binomische Formel gilt in jedem
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kommutativen Ring, also ist
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$`(a+b)^p = \sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} \cdot a^k \cdot b^{p-k}`.
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Für alle Indizes $`0 < k < p` ist der Binomialkoeffizient
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$`\binom{p}{k}` ein Vielfaches von $`p` …. Weil $`R` die
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Charakteristik $`p` hat, ist $`p = 0` in $`R`, und alle diese
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Summanden verschwinden. Übrig bleiben nur die Summanden für
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$`k = 0` und $`k = p`.
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```lean
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theorem frobenius_mul {R : Type*} [CommRing R] (p : ℕ)
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(a b : R) : (a * b) ^ p = a ^ p * b ^ p :=
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mul_pow a b p
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theorem frobenius_add {R : Type*} [CommRing R] (p : ℕ)
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[Fact p.Prime] [CharP R p] (a b : R) :
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(a + b) ^ p = a ^ p + b ^ p := by
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have hp : p.Prime := Fact.out
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-- „Die binomische Formel gilt in jedem kommutativen
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-- Ring, also ist
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-- (a+b)^p = ∑ₖ (p über k)·a^k·b^{p−k}.“
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rw [add_pow]
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-- „Für alle Indizes 0 < k < p ist der
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-- Binomialkoeffizient (p über k) ein Vielfaches von p
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-- …. Weil R die Charakteristik p hat, ist p = 0 in
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-- R, und alle diese Summanden verschwinden.“
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have hmid : ∀ k ∈ Finset.Ioo 0 p,
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a ^ k * b ^ (p - k) * (p.choose k : R) = 0 := by
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intro k hk
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obtain ⟨hk0, hkp⟩ := Finset.mem_Ioo.mp hk
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obtain ⟨c, hc⟩ :=
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hp.dvd_choose_self (by omega) hkp
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rw [hc]
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push_cast
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rw [CharP.cast_eq_zero R p]
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ring
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-- „Übrig bleiben nur die Summanden für k = 0 und k = p.“
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have hsplit : Finset.range (p + 1)
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= {0, p} ∪ Finset.Ioo 0 p := by
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ext k
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simp only [Finset.mem_range, Finset.mem_union,
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Finset.mem_insert, Finset.mem_singleton,
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Finset.mem_Ioo]
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omega
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have hdisj : Disjoint ({0, p} : Finset ℕ)
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(Finset.Ioo 0 p) := by
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rw [Finset.disjoint_left]
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intro k hk hk'
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simp only [Finset.mem_insert,
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Finset.mem_singleton] at hk
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simp only [Finset.mem_Ioo] at hk'
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omega
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rw [hsplit, Finset.sum_union hdisj,
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Finset.sum_pair (Ne.symm hp.ne_zero),
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Finset.sum_eq_zero hmid, add_zero]
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-- „(a+b)^p = (p über 0)·a⁰·b^p + (p über p)·a^p·b⁰
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-- = a^p + b^p.“
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simp [Nat.choose_zero_right, Nat.choose_self, add_comm]
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```
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# Bemerkungen
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Mathlib bündelt die drei Verträglichkeiten zum Ringmorphismus
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`frobenius R p : R →+* R`; die Additivität heißt dort
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`add_pow_char`. Die Beobachtung des Skripts — über einem
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Integritätsring ist der Frobenius injektiv, über einem endlichen
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Körper sogar bijektiv — führt zur Klassifikation endlicher Körper:
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Zu jeder Primzahlpotenz $`p^n` gibt es genau einen Körper mit
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$`p^n` Elementen. In Mathlib heißt er `GaloisField p n`.
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# Übungsaufgabe
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Der Frobenius des Körpers $`\mathbb{F}_p` ist die Identität: Für
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jedes $`a \in \mathbb{F}_p` ist $`a^p = a`. Das ist ein alter
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Bekannter — der kleine
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Satz von Fermat aus unserem dritten Kapitel! In Mathlib heißt er
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`ZMod.pow_card`. Öffnen Sie `AlgebraInLean/Frobenius.lean` und
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ersetzen Sie das `sorry` durch einen Beweis.
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```lean
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theorem frobenius_zmod (p : ℕ) [Fact p.Prime]
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(a : ZMod p) : a ^ p = a := by
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sorry
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```
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