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@@ -213,3 +213,10 @@ nullstellenfrei
 Dualitätsabbildungen
 Quotientengarbe
 polstellenfrei
+Bergmanraum
+Bergman
+Tschenstochau
+Parsevalsche
+Parseval
+Rosières-aux-Salines
+Hilbertraumes

09.tex

@@ -51,6 +51,8 @@ surjektiv?  Und wie geht diese Sequenz dann weiter?  Beide Fragen werden durch
 das Lemma von Dolbeault\footnote{Pierre Dolbeault (* 10.~Oktober 1924 in
 Frankreich; † 12.~Juni 2015) war ein französischer Mathematiker.} beantwortet.
 
+\sideremark{Vorlesung 13}
+
 \begin{lemma}[Dolbeault-Lemma]\label{lem:8-2-2}%
   Gegeben eine Zahl $r ∈ ℝ⁺ ∪ \{∞\}$, betrachte die offene Kreisscheibe
   $Δ=B_r(0) ⊆ ℂ$.  Für jede komplexwertige Funktion $g ∈ ℰ(Δ)$ existiert eine

11.tex

@@ -4,8 +4,6 @@
 \chapter{Der Endlichkeitssatz}
 \label{chap:11}
 
-\sideremark{Vorlesung 13}
-
 In den vorangegangenen Kapiteln haben wir Kohomologiegruppen definiert und in
 einfachen Fällen berechnet.  Für die weitere Theorie ist es entscheidend, dass
 diese Gruppen auf kompakten Riemannschen Flächen endlich-dimensional sind.  Das

12.tex

@@ -56,11 +56,11 @@ quadratintegrierbaren holomorphen Funktionen.
 \begin{hsg}
   In der Situation von Definition~\ref{def:12-1-2} rechne man Folgendes nach.
   \begin{itemize}
-    \item Die Menge $L²(U,𝒪_ℂ)$ ist ein komplexer Untervektorraum des
-      komplexen Vektorraums $𝒪_ℂ(U)$.
+    \item Die Menge $L²(U,𝒪_ℂ)$ ist ein komplexer Untervektorraum des komplexen
+      Vektorraums $𝒪_ℂ(U)$.
 
-    \item Die Abbildung $\langle • , • \rangle: L²(U,𝒪_ℂ) ⨯ L²(U,𝒪_ℂ) → ℂ$
-      ist ein komplexes (=unitäres) Skalarprodukt.
+    \item Die Abbildung $\langle • , • \rangle: L²(U,𝒪_ℂ) ⨯ L²(U,𝒪_ℂ) → ℂ$ ist
+      ein komplexes (=unitäres) Skalarprodukt.
 
     \item Die Abbildung
       \[
@@ -147,19 +147,20 @@ Kreisscheibe ist.
 \end{konsequenz}
 
 \begin{bemerkung}[Parsevalsche Gleichung]
-  Die Formel $\|f\|_{L²(U)}² = \sum_{n=0}^∞ |c_n|²$ aus \ref{il:11-1-5-3} ist als
-  \emph{Parsevalsche Gleichung}\index{Parsevalsche Gleichung}\footnote{Marc-Antoine
-  Parseval (* 27.~April 1755 in Rosières-aux-Salines; † 16.~August 1836 in Paris)
-  war ein französischer Mathematiker.} bekannt.  Sie lässt sich als
-  unendlich-dimensionale Variante des Satzes von Pythagoras auffassen.
+  Die Formel $\|f\|_{L²(U)}² = \sum_{n=0}^∞ |c_n|²$ aus \ref{il:11-1-5-3} ist
+  als \emph{Parsevalsche Gleichung}\index{Parsevalsche
+  Gleichung}\footnote{Marc-Antoine Parseval (* 27.~April 1755 in
+  Rosières-aux-Salines; † 16.~August 1836 in Paris) war ein französischer
+  Mathematiker.} bekannt.  Sie lässt sich als unendlich-dimensionale Variante
+  des Satzes von Pythagoras auffassen.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{proof}[Beweis von Konsequenz~\ref{kons:11-1-5}]
   Eigenschaft~\ref{il:11-1-5-1} gilt nach Lemma~\ref{lem:11-1-3} wegen
   Konstruktion der $e_n$.  Um Eigenschaft~\ref{il:11-1-5-2} zu beweisen, sei
-  eine Funktion $f ∈ L²(U,𝒪_ℂ)$ gegeben.  Ich erinnere daran, dass die
-  Funktion $f$ dann auch holomorph ist, $f ∈ 𝒪_ℂ(U)$, und deshalb auf der
-  Kreisscheibe $U$ als Potenzreihe dargestellt werden kann,
+  eine Funktion $f ∈ L²(U,𝒪_ℂ)$ gegeben.  Ich erinnere daran, dass die Funktion
+  $f$ dann auch holomorph ist, $f ∈ 𝒪_ℂ(U)$, und deshalb auf der Kreisscheibe
+  $U$ als Potenzreihe dargestellt werden kann,
   \[
     f(z) = \sum_{n=0}^∞ a_n(z-a)^n = \sum_{n=0}^∞ a_n\frac{\sqrt{π}R^{n+1}}{\sqrt{n+1}}\,e_n.
   \]
@@ -324,14 +325,13 @@ Vollständigkeit, indem wir die $L²$-Norm mit der Supremumsnorm vergleichen.
   \[
     \int_U |f-f_m|²\,dx\,dy \le \liminf_{n→∞}\int_U |f_n-f_m|²\,dx\,dy < ε².
   \]
-  Das zeigt, dass $f - f_m ∈ L²(U,𝒪_ℂ)$ ist.  Da $f_m∈ L²(U,𝒪_ℂ)$ war, ist auch $f
-  ∈ L²(U,𝒪_ℂ)$.
+  Das zeigt, dass $f - f_m ∈ L²(U,𝒪_ℂ)$ ist.  Da $f_m∈ L²(U,𝒪_ℂ)$ war, ist
+  auch $f ∈ L²(U,𝒪_ℂ)$.
 \end{proof}
 
 \begin{bemerkung}
   In der Sprache der Funktionalanalysis zeigt Konsequenz~\ref{kons:11-1-5}, dass
-  die $(e_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Hilbertbasis des Hilbertraumes $L²(U,𝒪_ℂ)$
-  bilden.
+  die $(e_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Hilbertbasis des Hilbertraumes $L²(U,𝒪_ℂ)$ bilden.
 \end{bemerkung}
 
 
@@ -347,8 +347,8 @@ wir eigentlich zeigen wollen.
     X_ε ⊂ L²(U,𝒪_ℂ)
   \]
   von endlicher Kodimension\footnote{Endliche Kodimension bedeutet, dass der
-  Quotientenvektorraum $L²(U,𝒪_ℂ)/X_ε$ endlich-dimensional ist.}, sodass für alle
-  $g ∈ X_ε$ die Ungleichung
+  Quotientenvektorraum $L²(U,𝒪_ℂ)/X_ε$ endlich-dimensional ist.}, sodass für
+  alle $g ∈ X_ε$ die Ungleichung
   \[
     \|g\|_{L²(V,𝒪_ℂ)}\le ε\,\|g\|_{L²(U,𝒪_ℂ)}
   \]