Working

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -60,3 +60,31 @@ Determinanten-Multiplikationssatz
 Komplexifizierung
 komplexifizierten
 komplexifizierte
+Quadriken
+Quadrik
+Grund-Quadriken
+Vereinfachungsschritten
+Koniken
+Perge
+Hyperbelbahnen
+Konik
+Auxerre
+Loviscach
+psycho-akustisches
+SciKit
+Funktionalgleichung
+Schönhage-Strassen-Algorithmus
+Schönhage
+Strassen
+Thurstone
+Allport
+Odbert
+kulturstabile
+Stryker
+Gallup-Test
+OCEAN-Modell
+PCA
+massebehafteter
+Sylvester
+Hurwitz-Kriteriums
+Hurwitz-Kriterium

.vscode/ltex.disabledRules.de-DE.txt

@@ -1 +1,2 @@
 KARDINALZAHLEN
+DE_COMPOUND_COHERENCY

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -54,3 +54,6 @@
 {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qder von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q stabilisiert wird“.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QRechnen Sie nach, dass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QProd.\\E$"}
 {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qin \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QStandardskalarprodukt Folgern Sie mithilfe von Beispiel \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q messerscharf, dass die Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q genau dann selbstadjungiert ist, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine symmetrische oder Hermitesche Matrix ist.\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWie kommt man auf die Zahl „fünf“?.\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\Q… und weiter?.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Skalare \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind alle reell.\\E$"}

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.en-US.txt

@@ -0,0 +1,2 @@
+{"rule":"ADMIT_ENJOY_VB","sentence":"^\\QConverting risks to be represented as those to factor loadings (or multipliers) provides assessments and understanding beyond that available to simply collectively viewing risks to individual 30-500 buckets.\\E$"}
+{"rule":"MORFOLOGIK_RULE_EN_US","sentence":"^\\QConverting risks to be represented as those to factor loadings (or multipliers) provides assessments and understanding beyond that available to simply collectively viewing risks to individual 30-500 buckets.\\E$"}

11-Hauptachsen.tex

@@ -4,21 +4,21 @@
 \chapter{Hauptachsentransformation}
 
 \sideremark{Vorlesung 16}Dieser Abschnitt passt eigentlich gar nicht in das
-Kapitel ``Euklidische und Hermitesche Vektorräume'', denn hier geht es nicht um
+Kapitel „Euklidische und Hermitesche Vektorräume“, denn hier geht es nicht um
 reelle oder komplexe Vektorräume mit Skalarprodukt, sondern um reelle oder
 komplexe Vektorräume mit Skalarprodukt mit einer beliebigen symmetrischen oder
 Hermiteschen Form, die nicht notwendigerweise ein Skalarprodukt ist.
 Funktioniert die Methode von Gram-Schmidt dann immer noch?  Die Antwort ist:
-``fast''.  Durch eine geeignete Abwandlung der Methode erhalten wir den
-folgenden Satz: die Matrix einer symmetrischen oder Hermiteschen Form lässt sich
-immer in besonders einfache Gestalt bringen!
+„fast“.  Durch eine geeignete Abwandlung der Methode erhalten wir den folgenden
+Satz: die Matrix einer symmetrischen oder Hermiteschen Form lässt sich immer in
+besonders einfache Gestalt bringen!
 
-\begin{satz}[Satz über die Hauptachsentransformation]\label{satz:11-0-1}
+\begin{satz}[Satz über die Hauptachsentransformation]\label{satz:11-0-1}%
   Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über $k=ℝ$ oder über $k=ℂ$ und
   es sei $s: V ⨯ V → k$ eine symmetrische oder Hermitesche Form.  Weiter sei
   $\mathcal{A}$ eine angeordnete Basis von $V$ und $A = \Mat_{\mathcal{A}}(s)$
-  die zugehörende Matrix.  Dann gibt es eine Basis $\mathcal{B} ⊂ V$, so
-  dass Folgendes gilt.
+  die zugehörende Matrix.  Dann gibt es eine Basis $\mathcal{B} ⊂ V$, sodass
+  Folgendes gilt.
   \begin{enumerate}
   \item Die Matrix $B := \Mat_{\mathcal{B}}(s)$ ist diagonal,
     \[
@@ -27,7 +27,7 @@ immer in besonders einfache Gestalt bringen!
         λ_1 && 0\\
         &\ddots\\
         0 && λ_n
-      \end{pmatrix}
+      \end{pmatrix}.
     \]
     
   \item Die Koordinatenwechselmatrix
@@ -42,20 +42,20 @@ immer in besonders einfache Gestalt bringen!
 \end{proof}
 
 \begin{notation}[Hauptachsen und Hauptachsentransformation]
-  In der Situation von Satz~\ref{satz:11-0-1} schreibe
-  $\mathcal B = \{ \vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$.  Dann nennt man die von den
-  Vektoren $\vec{v}_{•}$ aufgespannten 1-dimensionalen Untervektorräume
-  von $V$ die \emph{Hauptachsen}\index{Hauptachsen} von $s$.  Den Wechsel von
-  der Basis $\mathcal{A}$ zur Basis $\mathcal{B}$ bezeichnet man als
+  In der Situation von Satz \ref{satz:11-0-1} schreibe $\mathcal B = \{
+  \vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$.  Dann nennt man die von den Vektoren $\vec{v}_•$
+  aufgespannten 1-dimensionalen Untervektorräume von $V$ die
+  \emph{Hauptachsen}\index{Hauptachsen} von $s$.  Den Wechsel von der Basis
+  $\mathcal{A}$ zur Basis $\mathcal{B}$ bezeichnet man als
   \emph{Hauptachsentransformation}\index{Hauptachsentransformation}.
 \end{notation}
 
 Der Satz über die Hauptachsentransformation und sein (konstruktiver!) Beweis
-haben viele Anwendungen.  Wir stellen hier lediglich fest, dass das Satz ein
+haben viele Anwendungen.  Wir stellen hier lediglich fest, dass der Satz ein
 sehr bequemes Kriterium dafür liefert, dass eine gegebene Form positiv definit
 ist.
 
-\begin{kor}[Kriterium für positive Definitheit]\label{cor:11-0-3}
+\begin{kor}[Kriterium für positive Definitheit]\label{cor:11-0-3}%
   In der Situation von Satz~\ref{satz:11-0-1} sind folgende Aussagen äquivalent.
   \begin{enumerate}
   \item Die Form $s$ ist positiv definit.
@@ -63,40 +63,44 @@ ist.
   \end{enumerate}
 \end{kor}
 
-Die Aussage ``Alle Eigenwerte von $A$ sind größer als Null'' ist sinnvoll, weil
+Die Aussage „Alle Eigenwerte von $A$ sind größer als Null“ ist sinnvoll, weil
 wir nach Satz~\ref{satz:11-0-1} ja schon wissen, dass alle Eigenwerte reell
 sind.
 
 \begin{proof}[Beweis von Korollar~\ref{cor:11-0-3}]
-  Wir wissen bereits, dass eine Basis $\mathcal{B}$ existiert, sodass
-  $B = \Mat_{\mathcal{B}}(s)$ diagonal ist und dieselben Eigenwerte $λ_i$ wie
-  $A$ hat.  Es ist aber klar, dass die durch $B$ definierte Form auf $ℝ^n$
-  bzw.  $ℂ^n$ positiv definit ist genau dann, wenn alle diese Eigenwerte $λ_i$
-  größer als Null sind.
+  Wir wissen bereits, dass eine Basis $\mathcal{B}$ existiert, sodass $B =
+  \Mat_{\mathcal{B}}(s)$ diagonal ist und dieselben Eigenwerte $λ_i$ wie $A$
+  hat.  Es ist aber klar, dass die durch $B$ definierte Form auf $ℝ^n$ bzw.
+  $ℂ^n$ positiv definit ist genau dann, wenn alle diese Eigenwerte $λ_i$ größer
+  als Null sind.
 \end{proof}
 
-Korollar~\ref{cor:11-0-3} sagt insbesondere, dass die Eigenschaft ``alle
-Eigenwerte von $A$ sind größer als Null'' nicht von der Wahl der Basis
-$\mathcal A$ abhängt\footnote{Vielleicht sind Sie an dieser Stelle ein wenig
-  verwirrt, weil Sie meinen ``Die Eigenwerte einer Matrix hängen doch sowieso
-  nie von der Wahl der Basis ab.'' Überlegen Sie sich aber, was Sie mit ``einer
-  Matrix'' meinen.  Vielleicht denken Sie an den Fall, wo man einen
-  Endomorphismus eines Vektorraumes hat, eine Basis wählt und dann die Matrix
-  des Endomorphismus betrachtet.  Dann hängen die Eigenwerte tatsächlich nicht
-  von der Wahl der Basis ab.  Hier machen wir aber etwas ganz Anderes: wir
-  betrachten nicht die Matrix eines Endomorphismus, sondern die Matrix einer
-  Form.}.  Der folgende Satz verallgemeinert diese Beobachtung: auch wenn $s$
-nicht unbedingt positiv definit ist, hängt die Wahl der positiven/negativen
-Eigenwerte nicht von der Wahl der Basis ab.  Der Satz~\ref{satz:11-0-5} heißt
-``Trägheitssatz'', weil er in der klassischen Mechanik, wo es um die Bewegung
-massebehafteter (=träger) starrer Körper geht, eine besondere Rolle spielt.  Ich
-komme im folgenden Kapitel noch einmal auf diesen Punkt zurück.
+Korollar~\ref{cor:11-0-3} sagt insbesondere, dass die Eigenschaft „alle
+Eigenwerte von $A$ sind größer als Null“ nicht von der Wahl der Basis $\mathcal
+A$ abhängt\footnote{Vielleicht sind Sie an dieser Stelle ein wenig verwirrt,
+weil Sie meinen „Die Eigenwerte einer Matrix hängen doch sowieso nie von der
+Wahl der Basis ab.“ Überlegen Sie sich aber, was Sie mit „einer Matrix“ meinen.
+Vielleicht denken Sie an den Fall, wo man einen Endomorphismus eines
+Vektorraumes hat, eine Basis wählt und dann die Matrix des Endomorphismus
+betrachtet.  Dann hängen die Eigenwerte tatsächlich nicht von der Wahl der Basis
+ab.  Hier machen wir aber etwas ganz Anderes: wir betrachten nicht die Matrix
+eines Endomorphismus, sondern die Matrix einer Form.}.  Der folgende Satz
+verallgemeinert diese Beobachtung: auch wenn $s$ nicht unbedingt positiv definit
+ist, hängt die Wahl der positiven/negativen Eigenwerte nicht von der Wahl der
+Basis ab.  Der Satz~\ref{satz:11-0-5} heißt „Trägheitssatz“, weil er in der
+klassischen Mechanik, wo es um die Bewegung massebehafteter (=träger) starrer
+Körper geht, eine besondere Rolle spielt.  Ich komme im folgenden Kapitel noch
+einmal auf diesen Punkt zurück.
 
-\begin{satz}[Trägheitssatz von Sylvester\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/James_Joseph_Sylvester}{James Joseph Sylvester} (* 3.  September 1814 in London; † 15.  März 1897 in Londen) war ein britischer Mathematiker.  Er war der erste gläubige Jude, der zum Studium in Cambridge zugelassen wurde.  }]\label{satz:11-0-5}
-  Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über $k=ℝ$ oder über $k=ℂ$ und
-  es sei $s: V ⨯ V → k$ eine symmetrische oder Hermitesche Form.  Weiter seien
-  $\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2 ⊂ V$ zwei angeordnete Basen mit zugehörenden
-  Matrizen $A_{•} = \Mat_{\mathcal{A}_{•}}(s)$.  Dann gilt folgendes.
+\begin{satz}[Trägheitssatz von
+  Sylvester\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/James_Joseph_Sylvester}{James
+  Joseph Sylvester} (* 3.~September 1814 in London; † 15.~März 1897 in London)
+  war ein britischer Mathematiker.  Er war der erste gläubige Jude, der zum
+  Studium in Cambridge zugelassen wurde.}]\label{satz:11-0-5} Es sei $V$ ein
+  endlich-dimensionaler Vektorraum über $k=ℝ$ oder über $k=ℂ$ und es sei $s: V ⨯
+  V → k$ eine symmetrische oder Hermitesche Form.  Weiter seien $\mathcal{A}_1,
+  \mathcal{A}_2 ⊂ V$ zwei angeordnete Basen mit zugehörenden Matrizen $A_• =
+  \Mat_{\mathcal{A}_•}(s)$.  Dann gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
   \item Die Anzahlen der positiven Eigenwerte von $A_1$ und $A_2$ sind gleich.
 
@@ -113,16 +117,16 @@ komme im folgenden Kapitel noch einmal auf diesen Punkt zurück.
 
 Der Trägheitssatz von Sylvester stellt sicher, dass folgende Definition sinnvoll ist.
 
-\begin{defn}[Index und Signatur]\label{def:11-0-5}
+\begin{defn}[Index und Signatur]\label{def:11-0-5}%
   Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über $k=ℝ$ oder über $k=ℂ$ und
-  es sei $s: V ⨯ V → k$ eine symmetrische oder Hermitesche Form.  Dann nennt man
-  wird die Anzahl der positiver Eigenwerte als \emph{Index von $s$}\index{Index
-    einer Form} bezeichnet.  Die Differenz
+  es sei $s: V ⨯ V → k$ eine symmetrische oder Hermitesche Form.  Die Anzahl der
+  positiven Eigenwerte wird als \emph{Index von $s$}\index{Index einer Form}
+  bezeichnet.  Die Differenz
   \[
     \text{Anzahl positiver Eigenwerte - Anzahl negativer Eigenwerte}
   \]
-  wird die \emph{Signatur von $s$}\index{Signatur einer
-    Form} genannt.  Der Untervektorraum
+  wird die \emph{Signatur von $s$}\index{Signatur einer Form} genannt.  Der
+  Untervektorraum
   \[
     V⁰_s := \{ \vec{v} ∈ V \:|\: s(\vec{v}, \vec{w}) = 0 \text{ für alle }
     \vec{w} ∈ V \} ⊆ V
@@ -164,14 +168,14 @@ Matrix positive definit ist.
     \end{pmatrix}
     ∈ \Mat(m⨯ m, k).
   \]
-  Dann gilt: die Matrix $A$ ist genau dann positiv definit, wenn für alle $m$
+  Dann gilt: Die Matrix $A$ ist genau dann positiv definit, wenn für alle $m$
   gilt, dass $\det A_m > 0$ ist.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   Der Beweis involviert ein wenig unangenehme Rechnerei.  Sie finden einen
   Beweis, den ich selbst auch nicht besser bringen könnte, auf Seite 9 des
   \href{http://www.blu7.com/Skripte/Lineare_Algebra_II_SS02_Skript.pdf}{Skriptes
-    von Kollegen Klaus Hulek aus Hannover}.
+  von Kollegen Klaus Hulek aus Hannover}.
 \end{proof}
 
 Sie finden im Internet viele gute Erklärvideos zur Anwendung des
@@ -182,11 +186,11 @@ Hurwitz-Kriteriums.  Zum Beispiel
   In Klausuren und mündlichen Prüfungen sehe ich immer wieder Studenten, die das
   Hurwitz-Kriterium falsch anwenden, wenn gezeigt werden soll, dass eine Matrix
   \emph{negativ} definit ist.  Setzten Sie sich \emph{sofort} hin und zeigen Sie
-  mit Hilfe eines Gegenbeispiels, dass die Aussage ``die Matrix $A$ ist genau
-  dann negativ definit, wenn für alle $m$ gilt, dass $\det A_m < 0$ ist''
-  einfach nicht stimmt.  Bonusfrage: natürlich kann man das Hurwitz-Kriterium
-  verwenden, um eine Matrix auf negative Definitheit zu testen.  Wie muss ich
-  das richtig machen?
+  mithilfe eines Gegenbeispiels, dass die Aussage „die Matrix $A$ ist genau dann
+  negativ definit, wenn für alle $m$ gilt, dass $\det A_m < 0$ ist“ einfach
+  nicht stimmt.  Bonusfrage: Natürlich kann man das Hurwitz-Kriterium verwenden,
+  um eine Matrix auf negative Definitheit zu testen.  Wie muss ich das richtig
+  machen?
 \end{bemerkung}
 
 % !TEX root = LineareAlgebra2

12-Anwendungen.tex

@@ -4,14 +4,14 @@
 \chapter{Anwendungen}
 
 \sideremark{Vorlesung 17}Haben Sie schon einmal nachts wach im Bett gelegen,
-weil Sie unbedingt eine symmetrische Matrix mit Hilfe eines orthogonalen
+weil Sie unbedingt eine symmetrische Matrix mithilfe eines orthogonalen
 Basiswechsels diagonalisieren wollten?  Drängt es Sie, die Koeffizienten von
-Linearkombinationen mit Hilfe von Skalarprodukten auszurechnen?
+Linearkombinationen mithilfe von Skalarprodukten auszurechnen?
 
-Die Begriffe und Methoden des laufenden Kapitels über ``Euklidische und
-Hermitesche Vektorräume'' haben enorm viele Anwendungen.  Tatsächlich handelt es
-sich bei vielen der heißen Themen zu ``Machine Learning'', ``Collective
-Intelligence'' oder ``Artificial Intelligence'' um relativ einfache Methoden der
+Die Begriffe und Methoden des laufenden Kapitels über „Euklidische und
+Hermitesche Vektorräume“ haben enorm viele Anwendungen.  Tatsächlich handelt es
+sich bei vielen der heißen Themen zu „Machine Learning“, „Collective
+Intelligence“ oder „Artificial Intelligence“ um relativ einfache Methoden der
 linearen Algebra, die bei unserem Stand der Debatte sehr gut verstehen können --
 schauen Sie sich bei \href{https://www.kaggle.com}{kaggle} um, wo es eine
 unendliche Menge von hervorragenden Tutorials, Erklärvideos, Projektvorschlägen
@@ -26,11 +26,11 @@ machen, können aber nicht sinnvoll geprüft werden.
 
 \section{Reelle Quadriken}
 
-Die erste ``Anwendung'' ist immer noch ziemlich theoretisch und stammt
-mindestens aus der hellenistischen Antike, also etwa der Zeit Alexander des
-Großen.  Vielleicht war die Sache aber auch schon zu babylonischer Zeit bekannt,
+Die erste „Anwendung“ ist immer noch ziemlich theoretisch und stammt mindestens
+aus der hellenistischen Antike, also etwa der Zeit Alexander des Großen.
+Vielleicht war die Sache aber auch schon zu babylonischer Zeit bekannt,
 \href{https://www.ams.org/notices/200809/tx080901076p.pdf}{wo Mathematik eine
-  große Rolle spielte}.  Es geht um folgende Situation.
+große Rolle spielte}.  Es geht um folgende Situation.
 
 \begin{situation}[Quadrik im $ℝ^n$]\label{sit:12-1-1}
   Gegeben sei der $ℝ^n$ mit Koordinatenfunktionen $x_1, …, x_n$ und ein
@@ -50,15 +50,15 @@ Großen.  Vielleicht war die Sache aber auch schon zu babylonischer Zeit bekannt
 
 Wir stellen in diesem Kapitel die Frage, was wir über die Geometrie von reellen
 Quadriken sagen können.  Es ist klar, dass das Bild einer Quadrik unter einer
-lineare Abbildung oder Translation wieder eine Quadrik ist.  Deshalb fragen wir
+linearen Abbildung oder Translation wieder eine Quadrik ist.  Deshalb fragen wir
 genauer: Wie sieht $Q$ aus nach geeigneter Wahl von Koordinaten und nach
 Translationen?  Wir formulieren die Frage präziser und führen die folgende
 Notation ein.
 
-\begin{defn}[Affine Abbildung]\label{def:12-1-3}
-  Es sei $k$ ein Körper und $V, W$ zwei $k$-Vektorräume.  Eine Abbildung
-  $Φ : V → W$ heißt \emph{affin}\index{affine Abbildung}, falls es eine lineare
-  Abbildung $φ : V → W$ und einen Vektor $\vec{w} ∈ W$ gibt, so dass für alle
+\begin{defn}[Affine Abbildung]\label{def:12-1-3}%
+  Es sei $k$ ein Körper und $V, W$ zwei $k$-Vektorräume.  Eine Abbildung $Φ : V
+  → W$ heißt \emph{affin}\index{affine Abbildung}, falls es eine lineare
+  Abbildung $φ : V → W$ und einen Vektor $\vec{w} ∈ W$ gibt, sodass für alle
   $\vec{v} ∈ V$ die Gleichung $Φ(\vec{v}) = φ(\vec{v}) + \vec{w}$ gilt.
 \end{defn}
 
@@ -73,24 +73,24 @@ Damit können wir unsere Frage präzise formulieren.
 
 \begin{frage}
   Gegeben sei Situation~\ref{sit:12-1-1}.  Gibt es dann eine bijektive, affine
-  Abbildung $Φ : ℝ^n → ℝ^n$, so dass das Bild von $Q$ unter der
-  Abbildung $Φ$ eine Quadrik von besonders einfacher Gestalt ist?  Gibt es
-  eine (kleine) Mengen von ``Grund-Quadriken'' aus denen alle anderen durch
-  affine Transformation (wie zum Beispiel: Translation, Drehung, Streckung,
+  Abbildung $Φ : ℝ^n → ℝ^n$, sodass das Bild von $Q$ unter der Abbildung $Φ$
+  eine Quadrik von besonders einfacher Gestalt ist?  Gibt es eine (kleine)
+  Mengen von „Grund-Quadriken“ aus denen alle anderen durch affine
+  Transformation (wie zum Beispiel: Translation, Drehung, Streckung,
   Verschiebung, …) entstehen?
 \end{frage}
 
 
-Die Antwort ist natürlich ``ja'', aber Sie haben ja zum Glück noch nicht weiter
+Die Antwort ist natürlich „ja“, aber Sie haben ja zum Glück noch nicht weiter
 nach vorn geblättert.  Sie kennen ähnliche Fragen aus der Schule.  Bei der
 Diskussion der Kongruenz von Dreiecken betrachtet man Dreiecke statt Quadriken
 und abstandserhaltende Abbildungen statt affiner Abbildungen.
 
 
-\subsection{Vereinfachung von Quadratischen Gleichungen}
+\subsection{Vereinfachung von quadratischen Gleichungen}
 
-Wir bleibe in Situation~\ref{sit:12-1-1} und werden jetzt eine Reihe von
-bijektiven, affinen Abbildungen finden, so dass die Gleichung (der Bilder von)
+Wir bleiben in Situation~\ref{sit:12-1-1} und werden jetzt eine Reihe von
+bijektiven, affinen Abbildungen finden, sodass die Gleichung (der Bilder von)
 $Q$ immer einfacher wird.  Wie immer gibt es viel Material im Internet; ein
 Student wies mich auf
 \href{https://www.youtube.com/watch?v=wYJAggfstyI}{folgendes Video} hin.
@@ -125,15 +125,15 @@ Witz ist aber, dass wir die symmetrische Matrix $A$ diagonalisieren können!
 
 \subsubsection{Schritt 2: Eliminierung der gemischten Terme}
 
-Wir wissen: es existiert eine orthogonale $n⨯n$-Matrix $W$, so dass die
+Wir wissen: es existiert eine orthogonale $n⨯n$-Matrix $W$, sodass die
 Produktmatrix $W^t·A·W$ diagonal ist.  Es sei $Q^{(1)}$ das Bild von $Q$ unter
-der bijektiven linearen Abbildung $\vec{x} ↦ W^{-1}·\vec{x}$.  Dann gilt
-für alle $\vec{x} ∈ ℝ^n$:
+der bijektiven linearen Abbildung $\vec{x} ↦ W^{-1}·\vec{x}$.  Dann gilt für
+alle $\vec{x} ∈ ℝ^n$:
 \begin{align*}
   \vec{x} ∈ Q^{(1)} & ⇔ W·\vec{x} ∈ Q \\
                       & ⇔ f(W·\vec{x}) = 0 \\
                       & ⇔ (W·\vec{x})^t·A·(W·\vec{x}) + 2 \vec{b} · (W·\vec{x}) + f_0 = 0 \\
-                      & ⇔ \vec{x}^{\:t}·(W^t·A·W)·\vec{x} + 2 (\vec{b}·W)·\vec{x} + f_0 = 0
+                      & ⇔ \vec{x}^{\:t}·(W^t·A·W)·\vec{x} + 2 (\vec{b}·W)·\vec{x} + f_0 = 0.
 \end{align*}
 Wir erkennen zum einen, dass die Bildmenge $Q^{(1)}$ wieder eine Quadrik ist.
 Die Gleichung $f^{(1)}$ der Quadrik $Q^{(1)}$ ist besonders einfach, weil es
@@ -169,8 +169,9 @@ gilt für alle $\vec{x} ∈ ℝ^n$:
   \vec{x} ∈ Q^{(2)} & ⇔ φ^{-1}(\vec{x}) ∈ Q^{(1)} \\
                   & ⇔ \sum_{i=1}^r
                     a^{(1)}_i·\left(x_i-\frac{b^{(1)}_i}{a^{(1)}_i}
-                    \right)² + 2 · \sum_{i=1}^r b^{(1)}_i·\left(x_i-\frac{b^{(1)}_i}{a^{(1)}_i} \right) + 2·\sum_{i=r+1}^n b^{(1)}_i·x_i + c^{(1)} = 0 \\
-                  & ⇔ \sum_{i=1}^r a^{(1)}_i·x_i² + 2·\sum_{i=r+1}^n b^{(1)}_i·x_i + d^{(1)} = 0
+                    \right)² + 2 · \sum_{i=1}^r b^{(1)}_i·\left(x_i-\frac{b^{(1)}_i}{a^{(1)}_i} \right)\\
+                  & \qquad + 2·\sum_{i=r+1}^n b^{(1)}_i·x_i + c^{(1)} = 0 \\
+                  & ⇔ \sum_{i=1}^r a^{(1)}_i·x_i² + 2·\sum_{i=r+1}^n b^{(1)}_i·x_i + d^{(1)} = 0.
 \end{align*}
 Die Bildmenge $Q^{(2)}$ ist also wieder eine Quadrik, gegeben durch ein Polynom
 \[
@@ -193,7 +194,7 @@ Diese Konstruktion ist nur relevant, falls mindestens eines der $b^{(2)}_i$
 ungleich Null ist.  Falls alle $b^{(2)}_i$ verschwinden, machen wir in diesem
 Schritt nichts und setzen
 \[
-  Q^{(3)} := Q^{(2)}, \quad f^{(3)} := f^{(2)}, \quad a^{(3)}_i := a^{(2)}_i, \quad b^{(3)}_i := b^{(2)}_i, \quad c^{(3)} := c^{(2)}
+  Q^{(3)} := Q^{(2)}, \quad f^{(3)} := f^{(2)}, \quad a^{(3)}_i := a^{(2)}_i, \quad b^{(3)}_i := b^{(2)}_i, \quad c^{(3)} := c^{(2)}.
 \]
 Ansonsten können wir nach umnummerieren der Variable annehmen, dass
 $b^{(2)}_{r+1} \ne 0$ ist.  Betrachte dann die affine Bijektion
@@ -213,15 +214,15 @@ gilt für alle $\vec{x} ∈ ℝ^n$:
   \vec{x} ∈ Q^{(3)} & ⇔ φ^{-1}(\vec{x}) ∈ Q^{(2)} \\
                       & ⇔ \sum_{i=1}^r a^{(2)}_i·x²_i + 2·b^{(2)}_{r+1}·X + 2·\sum_{i=r+2}^n b^{(2)}_i·x_i + c^{(2)} = 0 \\
                       & \qquad\qquad\qquad \text{wobei } X = \left(\frac{-c^{(2)}}{2·b^{(2)}_{r+1}} - \frac{1}{b^{(2)}_{r+1}}·x_{r+1} - \sum_{j=r+2}^n \frac{b^{(2)}_j}{b^{(2)}_{r+1}}·x_j \right) \\
-                      & ⇔ \sum_{i=1}^r a^{(2)}_i·x²_i - 2·x_{r+1} = 0
+                      & ⇔ \sum_{i=1}^r a^{(2)}_i·x²_i - 2·x_{r+1} = 0.
 \end{align*}
-In jedem Fall gilt: die Bildmenge $Q^{(3)}$ ist also wieder eine Quadrik,
+In jedem Fall gilt: Die Bildmenge $Q^{(3)}$ ist also wieder eine Quadrik,
 gegeben durch ein Polynom
 \[
-  f^{(3)}(\vec{x}) = \sum_{i=1}^r a^{(3)}_i·x_i² + b^{(3)}_{r+1}·x_{r+1} + c^{(3)}
+  f^{(3)}(\vec{x}) = \sum_{i=1}^r a^{(3)}_i·x_i² + b^{(3)}_{r+1}·x_{r+1} + c^{(3)},
 \]
-wobei $b^{(3)}_{r+1} ∈ \{0,-2\}$ und $c^{(3)} ∈ \{0, -1\}$ ist.  Weiterhin
-gilt: $b^{(3)}_{r+1} \ne 0 ⇒ c^{(3)} = 0$.
+wobei $b^{(3)}_{r+1} ∈ \{0,-2\}$ und $c^{(3)} ∈ \{0, -1\}$ ist.  Weiterhin gilt:
+$b^{(3)}_{r+1} \ne 0 ⇒ c^{(3)} = 0$.
 
 
 \subsubsection{Schritt 5: Skalierung}
@@ -259,10 +260,10 @@ $b^{(4)}_{r+1} \ne 0 ⇒ c^{(4)} = 0$.
 Insgesamt haben wir mit den oben genannten Vereinfachungsschritten jetzt
 folgenden Satz bewiesen.
 
-\begin{satz}[Klassifikation der Quadriken]\label{satz:12-1-6}
+\begin{satz}[Klassifikation der Quadriken]\label{satz:12-1-6}%
   In Situation~\ref{sit:12-1-1} gibt es Zahlen $r$, $k$ gibt es eine bijektive,
-  affine Abbildung $Φ : ℝ^n → ℝ^n$, so dass das Bild von $Q$
-  Nullstellenmenge einer der folgenden Gleichungen ist
+  affine Abbildung $Φ : ℝ^n → ℝ^n$, sodass das Bild von $Q$ Nullstellenmenge
+  einer der folgenden Gleichungen ist
   \begin{enumerate}
   \item $x_1² + x_2² + … + x_r² - x_{r+1}² - … - x_k²$
     
@@ -286,12 +287,11 @@ Satzes~\ref{satz:12-1-6} erhalten wir eine Klassifikation der Koniken.
 
 \begin{kor}[Klassifikation der Koniken des Appollonius von
   Perge\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Apollonios_von_Perge}{Appollonius
-      von Perge} (* ca.  265 v.  Chr.  in Perge; † ca.  190 v.  Chr.  in Alexandria)
-    war ein antiker griechischer Mathematiker, bekannt für sein Buch über
-    Kegelschnitte.}]
-  Betrachte Situation~\ref{sit:12-1-1} im Falle $n = 2$.  Dann gibt es eine
-  bijektive, affine Abbildung $Φ : ℝ^n → ℝ^n$, so dass das Bild von $Q$
-  Nullstellenmenge einer der folgenden Gleichungen ist
+  von Perge} (* ca.~265 v.~Chr.~in Perge; † ca.~190 v.~Chr.~in Alexandria) war
+  ein antiker griechischer Mathematiker, bekannt für sein Buch über
+  Kegelschnitte.}] Betrachte Situation~\ref{sit:12-1-1} im Falle $n = 2$.  Dann
+  gibt es eine bijektive, affine Abbildung $Φ : ℝ^n → ℝ^n$, sodass das Bild von
+  $Q$ Nullstellenmenge einer der folgenden Gleichungen ist
   \begin{enumerate}
   \item $x² = 0:$ Doppelgerade \label{Q.1}
 
@@ -444,10 +444,10 @@ Satzes~\ref{satz:12-1-6} erhalten wir eine Klassifikation der Koniken.
 
 \begin{itemize}
 \item In der Schule haben wir gelernt, das Koniken auftreten, wenn sich Körper
-  im Schwerefeld bewegen.  Wir kenne die Wurfparabel, die elliptischen
-  Umlaufbahnen von Planeten um die Sonne und die Hyperbelbahnen von die
-  Satelliten beim Vorbeiflug an einem Himmelskörper.  Wieso treten hier
-  eigentlich Koniken auf?
+  im Schwerefeld bewegen.  Wir kennen die Wurfparabel, die elliptischen
+  Umlaufbahnen von Planeten um die Sonne und die Hyperbelbahnen von Satelliten
+  beim Vorbeiflug an einem Himmelskörper.  Wieso treten hier eigentlich Koniken
+  auf?
 
 \item Wir diskutieren in diesem Abschnitt reelle Quadriken.  Ich behaupte, dass
   ähnliche Konstruktionen über den komplexen Zahlen die Gleichungen noch weiter
@@ -460,7 +460,7 @@ Satzes~\ref{satz:12-1-6} erhalten wir eine Klassifikation der Koniken.
 
 Schreiben Sie ein Computerprogramm, das für eine gegebene Konik sofort eine
 vereinfachende affine Transformation liefert.  Stellen Sie die Transformation
-graphisch dar, vielleicht mit automatisch generierten Videos die zeigen, wie es
+grafisch dar, vielleicht mit automatisch generierten Videos die zeigen, wie es
 zu den Vereinfachungen kommt.
 
 
@@ -468,21 +468,21 @@ zu den Vereinfachungen kommt.
 
 \sideremark{Vorlesung 18}Ich erkläre in diesem Abschnitt die
 Fourier-Transformation\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier}{Jean
-    Baptiste Joseph Fourier} (* 21.  März 1768 bei Auxerre; † 16.  Mai 1830 in
-  Paris) war ein französischer Mathematiker und Physiker.} und nenne einige
-Anwendungen.  Die Fourier-Transformation ist für die Praxis vielleicht das
-wichtigste Stück Mathematik überhaupt\footnote{Sie selbst verwenden solche
-  Transformationen ununterbrochen -- haben Sie schon einmal ein Mobiltelefon
-  benutzt?  Oder sind Sie vielleicht in einem Auto gefahren?  Oder haben Sie einen
-  Klang gehört?}.  Manche Kollegen sprechen sogar von der ``fünften
-Grundrechenart''.  Ich komme im Abschnitt~\ref{ssec:Rechen} darauf zurück.
+Baptiste Joseph Fourier} (* 21.~März 1768 bei Auxerre; † 16.~Mai 1830 in Paris)
+war ein französischer Mathematiker und Physiker.} und nenne einige Anwendungen.
+Die Fourier-Transformation ist für die Praxis vielleicht das wichtigste Stück
+Mathematik überhaupt\footnote{Sie selbst verwenden solche Transformationen
+ununterbrochen -- haben Sie schon einmal ein Mobiltelefon benutzt?  Oder sind
+Sie vielleicht in einem Auto gefahren?  Oder haben Sie einen Klang gehört?}.
+Manche Kollegen sprechen sogar von der „fünften Grundrechenart“.  Ich komme im
+Abschnitt~\ref{ssec:Rechen} darauf zurück.
 
 In Internet finden Sie sehr viel Material zum Thema.  Ich empfehle dieses
 \href{https://www.youtube.com/watch?v=vA9dfINW4Rg}{Video vom MIT}.  Die
 Fachhochschule Hamburg hat ebenfalls ein nettes
-\href{https://www.youtube.com/watch?v=oKWW8aWAdag}{Video} (``Warum die
+\href{https://www.youtube.com/watch?v=oKWW8aWAdag}{Video} („Warum die
 Fourier-Analysis in den Anwendungen so wichtig ist und welche grundlegende Idee
-dahinter steht'').  Jörn Loviscach, mein persönlicher Held, hat natürlich auch
+dahinter steht“).  Jörn Loviscach, mein persönlicher Held, hat natürlich auch
 ein \href{https://av.tib.eu/media/10335}{Video}, ebenso auch Daniel Jung
 (\href{https://www.youtube.com/watch?v=mMsa1uBHd9k}{$→$Link}).  Wenn Sie ein
 wenig im Internet suchen, finden Sie noch sehr viel mehr Material.
@@ -495,9 +495,9 @@ betrachte den der Vektorraum $V = \cC⁰([-π,π], ℝ)$ der reellwertigen steti
 Funktionen auf dem Intervall $[-π,π] ⊂ ℝ$.  Wir haben schon gesehen, dass die
 Abbildung
 \[
-  \langle •, • \rangle : V ⨯ V → ℝ, \quad (f, g) ↦ \frac{1}{π}·\int^{π}_{-π} f(t) · g(t) dt.
+  \langle •, • \rangle : V ⨯ V → ℝ, \quad (f, g) ↦ \frac{1}{π}·\int^{π}_{-π} f(t) · g(t) dt
 \]
-ein Skalarprodukt ist.  Rechnen Sie sofort mit Hilfe der bekannten
+ein Skalarprodukt ist.  Rechnen Sie sofort mithilfe der bekannten
 Additionstheoreme für Sinus und Kosinus nach, dass für alle positiven Zahlen $n$
 und $m$ aus $ℕ$ die folgenden Gleichungen gelten:
 \[
@@ -521,21 +521,21 @@ eine orthonormale Teilmenge des Euklidischen Vektorraumes $\bigl( V, \langle •
 
 \subsubsection{Rekonstruktion von Funktionen}
 
-Es sei jetzt $F := \langle \mathcal{F} \rangle ⊆ V$ der von
-$\mathcal{F}$ erzeugte Untervektorraum.  Wenn ich jetzt irgendeine Funktion
-$f ∈ F$ habe, dann kann ich die Zahlen
+Es sei jetzt $F := \langle \mathcal{F} \rangle ⊆ V$ der von $\mathcal{F}$
+erzeugte Untervektorraum.  Wenn ich jetzt irgendeine Funktion $f ∈ F$ habe, dann
+kann ich die Zahlen
 \begin{equation}\label{eq:12-2-0-1}
   a_n := \left\langle f, \sin(n·x) \right\rangle, \quad
   b_n := \left\langle f, \cos(n·x) \right\rangle, \quad
   c := \left\langle f, \frac{1}{\sqrt{2}} \right\rangle
 \end{equation}
-ausrechnen und erhalte die Gleichung:
+ausrechnen und erhalte die Gleichung
 \begin{equation}\label{eq:12-2-0-2}
-  f = \frac{c}{\sqrt{2}} + \sum_{n=1}^∞ \bigl( a_n·\sin(n·x) + b_n·\sin(n·x) \bigr)
+  f = \frac{c}{\sqrt{2}} + \sum_{n=1}^∞ \bigl( a_n·\sin(n·x) + b_n·\sin(n·x) \bigr).
 \end{equation}
 Beachte dabei, dass nur endlich viele der Zahlen $a_n$, $b_n$ von Null
-verschieden sind, so dass auf der rechten Seite der
-Gleichung~\eqref{eq:12-2-0-2} tatsächlich nur eine endliche Summe steht.
+verschieden sind, sodass auf der rechten Seite der Gleichung~\eqref{eq:12-2-0-2}
+tatsächlich nur eine endliche Summe steht.
 
 
 \subsection{Fourier-Reihen}
@@ -576,13 +576,13 @@ zeigt wie man eine Sprungfunktion annähert.
 
 Weitere Beispiele gibt es bei
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe#Beispiele}{Wikipedia} und in
-diesem phantastischem
+diesem fantastischem
 \href{https://www.youtube.com/watch?v=lL0oUZGMhXc}{Erklärvideo vom MIT}.
 Vielleicht schauen sie auch einmal in
 \href{https://av.tib.eu/media/10336}{dieses Video} oder in
 \href{https://www.youtube.com/watch?v=spUNpyF58BY}{dieses}.  Sie finden im
 Internet auch eine \href{https://www.google.com/search?q=fourier+applet}{große
-  Zahl von Applets}, bei denen man direkt mit den Näherungen spielen kann.
+Zahl von Applets}, bei denen man direkt mit den Näherungen spielen kann.
 
 \begin{figure}
   \centering
@@ -602,7 +602,7 @@ Funktionen mit Periode $2π$.  Man kann ähnliche Konstruktionen auch für nahez
 beliebige Funktionen machen.  Allerdings erhält man statt der
 Fourier-Koeffizienten
 \[
-  a_n := \frac{1}{π}·\int^{π}_{-π} f(t) · \sin(n·t) dt.
+  a_n := \frac{1}{π}·\int^{π}_{-π} f(t) · \sin(n·t) dt
 \]
 dann eine Fourier-Transformierte, die man sinnvollerweise in komplexen Zahlen
 schreibt
@@ -617,38 +617,38 @@ wird dann die Formel
 \[
   f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}}·\int_{-∞}^{∞} F(t)·e^{-itx}dt.
 \]
-Die Funktion $F$ nennt man ``Fourier-Transformierte'' oder
-``Spektrum''.  Spektren gibt es in der reellen Welt überall zum Beispiel in
-unserem Ohr.  Das Ohr ist ein ``Spektralapparat'', der auf mechanische Weise die
-Fourier-Transformation der eingehenden Schallwelle berechnet und zum Gehirn
-weiterleitet.  Wenn man Akustik verstehen will, muss man Fourier-Transformation
-verstehen.  Dann kann man super-interessante Sachen machen.
+Die Funktion $F$ nennt man „Fourier-Transformierte“ oder „Spektrum“.  Spektren
+gibt es in der reellen Welt überall zum Beispiel in unserem Ohr.  Das Ohr ist
+ein „Spektralapparat“, der auf mechanische Weise die Fourier-Transformation der
+eingehenden Schallwelle berechnet und zum Gehirn weiterleitet.  Wenn man Akustik
+verstehen will, muss man Fourier-Transformation verstehen.  Dann kann man
+super-interessante Sachen machen.
 \begin{itemize}
 \item Um Klangdaten zu analysieren (etwa um mit dem Computer Sprache zu
   analysieren), schaue man sich die Fourier-Transformation an.  Es ist mit
-  diesen Methoden nicht schwierig, ein kleine Computerprogramm zu bauen, dass
-  ein gesprochenes ``e'' von einem ``a'' unterscheidet.  Suchen Sie im Internet
-  nach ``Python'' und ``SciKit'', dann finden Sie alles, was sie brauchen.
+  diesen Methoden nicht schwierig, ein kleines Computerprogramm zu bauen, dass
+  ein gesprochenes „e“ von einem „a“ unterscheidet.  Suchen Sie im Internet nach
+  „Python“ und „SciKit“, dann finden Sie alles, was sie brauchen.
 
 \item Wenn ich das Spektrum eines Klanges berechnen kann, ist es super-einfach,
   interessante Sound-Effekte zu programmieren.  Zum Beispiel kann ich ein
-  Programm machen, das ein Musikstück schneller abspielt ohne die Tonhöhe zu
+  Programm machen, das ein Musikstück schneller abspielt, ohne die Tonhöhe zu
   verändern.
 
 \item Da sich das Gehirn nur für das Spektrum interessiert, muss ich mir das
   Spektrum anschauen, wenn ich erkennen will, welche Teile eines Klanges für das
   Gehirn interessant sind.  Das bekannte Dateiformat MP3 funktioniert so: schaue
   das Spektrum an, verwende ein mathematisch beschriebenes Modell der
-  akustischen Wahrnehmung von Tonsignalen (``psycho-akustisches Modell'') und
-  erkenne die Teile des Spektrums die für das Gehirn uninteressant sind.  Lasse
-  diese Teile des Spektrums weg, um die Dateigröße zu verkleinern ohne den Klang
-  wesentlich zu verschlechtern.
+  akustischen Wahrnehmung von Tonsignalen („psycho-akustisches Modell“) und
+  erkenne die Teile des Spektrums, die für das Gehirn uninteressant sind.  Lasse
+  diese Teile des Spektrums weg, um die Dateigröße zu verkleinern, ohne den
+  Klang wesentlich zu verschlechtern.
 \end{itemize}
 
 Die Fourier-Transformation tritt aber noch an vielen anderen Stellen auf:
 Signaltechnik, Analyse von Schwingungen in den Ingenieurswissenschaften, und in
 der Elektronik.  Sie ist aber auch die Grundlage der Quantenmechanik.  Die
-``Heisenbergsche Unschärferelation'', über die Philosophen viel schreiben, ist
+„Heisenbergsche Unschärferelation“, über die Philosophen viel schreiben, ist
 eine simple Funktionalgleichung, die zwischen den Funktionen $f$ und $F$ gilt!
 
 
@@ -656,31 +656,31 @@ eine simple Funktionalgleichung, die zwischen den Funktionen $f$ und $F$ gilt!
 \label{ssec:Rechen}
 
 Ich habe von Kollegen aus der Physik gehört, die Fourier-Transformation sei
-wegen ihrer Wichtigkeit die ``fünfte Grundrechenart''.  Das ist natürlich
-falsch.  Tatsache ist, dass moderne Prozessoren die
-``\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_Fourier_transform}{schnelle
-  Fouriertransformation}'' extrem effizient ausführen können.  Sehr viele
-elektronischen Geräten enthalten zusätzlich Spezialchips zur
-Fouriertransformation.  Damit lässt sie die Fourier-Transformation so effizient
-implementieren, dass Computer die Multiplikation ganzer Zahlen mit Hilfe von
-Fourier-Transformation durchführen; Multiplikation ist also nur noch eine
-Anwendung der schnellen Fouriertransformation.
+wegen ihrer Wichtigkeit die „fünfte Grundrechenart“.  Das ist natürlich falsch.
+Tatsache ist, dass moderne Prozessoren die
+„\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_Fourier_transform}{schnelle
+Fouriertransformation}“ extrem effizient ausführen können.  Viele elektronische
+Geräte enthalten zusätzlich Spezialchips zur Fouriertransformation.  Damit lässt
+sie die Fourier-Transformation so effizient implementieren, dass Computer die
+Multiplikation ganzer Zahlen mithilfe von Fourier-Transformation durchführen;
+Multiplikation ist also nur noch eine Anwendung der schnellen
+Fouriertransformation.
 
 \begin{quote}
   Der Schönhage-Strassen-Algorithmus ist ein Algorithmus zur Multiplikation
   zweier großer ganzer Zahlen.  Er wurde 1971 von Arnold Schönhage und Volker
-  Strassen entwickelt.  Der Algorithmus basiert auf einer sehr schnellen Variante
-  der diskreten schnellen Fourier-Transformation sowie einem geschickten Wechsel
-  zwischen der Restklassen- und der zyklischen Arithmetik in endlichen
-  Zahlenringen.
+  Strassen entwickelt.  Der Algorithmus basiert auf einer sehr schnellen
+  Variante der diskreten schnellen Fourier-Transformation sowie einem
+  geschickten Wechsel zwischen der Restklassen- und der zyklischen Arithmetik in
+  endlichen Zahlenringen.
 
   -- \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Sch%C3%B6nhage%E2%80%93Strassen_algorithm}{Wikipedia}
 \end{quote}
 
 Schauen Sie sich auch einmal
 \href{https://aimath.org/news/congruentnumbers/howtomultiply.html}{diesen
-  Artikel} an.  Die Grundrechenarten im 21 Jahrhundert sind also nicht ``plus,
-minus, mal, geteilt'' sondern ``plus, minus, Fourier-Transformation''.
+Artikel} an.  Die Grundrechenarten im 21.~Jahrhundert sind also nicht „plus,
+minus, mal, geteilt“, sondern „plus, minus, Fourier-Transformation“.
 
 
 \subsection{Warum Sinus und Kosinus}
@@ -688,7 +688,7 @@ minus, mal, geteilt'' sondern ``plus, minus, Fourier-Transformation''.
 Sie fragen sich vielleicht, was das besondere an Sinus und Kosinus ist?  Warum
 sind diese beiden Funktionen so wichtig?  Eine Antwort ist: weil viele
 natürliche Prozesse (wie etwa unser Gehör) aus Sinus und Kosinus basieren.  Es
-gibt aber noch andere Funktionen, mit denen man etwas ähnliches machen kann, zum
+gibt aber noch andere Funktionen, mit denen man etwas Ähnliches machen kann, zum
 Beispiel die
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelfl%C3%A4chenfunktionen}{Kugelflächenfunktionen},
   die die quantenmechanischen Gleichungen zur Beschreibung von
@@ -708,10 +708,9 @@ von Menschen fünf-dimensional ist?
   Bei den Big Five (auch Fünf-Faktoren-Modell, FFM) handelt es sich um ein
   Modell der Persönlichkeitspsychologie.  Im Englischen wird es auch als
   OCEAN-Modell bezeichnet (nach den entsprechenden Anfangsbuchstaben Openness,
-  Conscientiousness, Extraversion, Agreeableness, Neuroticism).
-  
-  Ihm zufolge existieren fünf Hauptdimensionen der Persönlichkeit und jeder
-  Mensch lässt sich auf folgenden Skalen einordnen:
+  \foreignlanguage{english}{Conscientiousness, Extraversion, Agreeableness,
+  Neuroticism}). Dem Modell zufolge existieren fünf Hauptdimensionen der
+  Persönlichkeit und jeder Mensch lässt sich auf folgenden Skalen einordnen:
 
   \begin{itemize}
   \item Offenheit für Erfahrungen (Aufgeschlossenheit),
@@ -739,43 +738,43 @@ von Menschen fünf-dimensional ist?
   --- \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Big_Five_(Psychologie)}{Wikipedia}
 \end{quote}
 
-Die Frage nach der Persönlichkeit mag ein bischen theoretisch vorkommen, ist
+Die Frage nach der Persönlichkeit mag ein bisschen theoretisch vorkommen, ist
 aber für Sie von großem praktischen Belang; Datenanalyse-Firmen verdienen viel
 Geld damit, die fünf Koordinaten Ihrer Persönlichkeit für zahlende Kundschaft zu
-ermitteln --- suchen Sie im Internet nach den Worten ``Stryker'',
-``Bewerbungsgespräch'' und ``Gallup-Test'' um zu sehen, was ich meine.
+ermitteln --- suchen Sie im Internet nach den Worten „Stryker“,
+„Bewerbungsgespräch“ und „Gallup-Test“ um zu sehen, was ich meine.
 
 
-\subsection{Wie kommt man auf die Zahl ``fünf''?}
+\subsection{Wie kommt man auf die Zahl „fünf“?}
 
 Bis über die Schmerzgrenze hinaus übermäßig vereinfacht gesagt, so.
 
 \begin{itemize}
-\item Nimm eine Liste aller möglichen Adjektive der Englischen Sprache, die sich
-  auf ``Persönlichkeit'' beziehen -- bei Wikipedia ist von 18.000 Begriffen die
+\item Nimm eine Liste aller möglichen Adjektive der englischen Sprache, die sich
+  auf „Persönlichkeit“ beziehen -- bei Wikipedia ist von 18.000 Begriffen die
   Rede.
   
 \item Nimm eine möglichst große Gruppe von $P$ Probanden und messe für jeden
   Probanden, wie stark die einzelnen Adjektive ausgeprägt sind.  Wir erhalten
   für jeden Probanden $p ∈ P$ einen Vektor im $\vec{v}_p ∈ ℝ^{18000}$.
   
-\item Stelle fest, dass es einen fünf-dimensionalen Vektorraum
-  $V ⊂ ℝ^{18000}$ gibt, so dass die Vektoren $(\vec{v}_p)_{p ∈ P}$ im
-  Wesentlichen alle in $V$ liegen.
+\item Stelle fest, dass es einen fünf-dimensionalen Vektorraum $V ⊂ ℝ^{18000}$
+  gibt, sodass die Vektoren $(\vec{v}_p)_{p ∈ P}$ im Wesentlichen alle in $V$
+  liegen.
   
 \item Stelle auch fest, dass es keinen vier-dimensionalen Untervektorraum mit
   diesen Eigenschaften gibt.
 \end{itemize}
 
 Die Frage ist, wie man den Vektorraum $V$ jetzt praktisch findet; das ist die
-Aufgabe der ``Hauptkomponentenanalyse''.  Kurz gesagt berechnet man für je zwei
+Aufgabe der „Hauptkomponentenanalyse“.  Kurz gesagt berechnet man für je zwei
 Adjektive $a_i$ und $a_j$ die Kovarianz $a_{ij}$.
 
 \begin{quote}
   Kovarianz: Der Wert dieser Kenngröße macht tendenzielle Aussagen darüber, ob
   hohe Werte der einen Zufallsvariablen eher mit hohen oder eher mit niedrigen
-  Werten der anderen Zufallsvariablen einhergehen.  Die Kovarianz ist ein Maß für
-  die Assoziation zwischen zwei Zufallsvariablen.
+  Werten der anderen Zufallsvariablen einhergehen.  Die Kovarianz ist ein Maß
+  für die Assoziation zwischen zwei Zufallsvariablen.
 
   --- \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Kovarianz_(Stochastik)}{Wikipedia}
 \end{quote}
@@ -800,16 +799,16 @@ Zahlen stehen; alle anderen Zahlen sind vom Betrag recht klein.
 \subsection{… und weiter?}
 
 Hauptkomponentenanalyse wird in fast jedem Bereich der empirischen
-Wissenschaften verwendet.  Suchen Sie im Internet nach ``Hauptkomponentenanalyse
-und Sportwissenschaft''.  Wikipedia nennt unter anderem noch folgende Beispiele.
+Wissenschaften verwendet.  Suchen Sie im Internet nach „Hauptkomponentenanalyse
+und Sportwissenschaft“.  Wikipedia nennt unter anderem noch folgende Beispiele.
 \begin{itemize}
 \item Wendet man die Hauptkomponentenanalyse auf das Kaufverhalten von
   Konsumenten an, gibt es möglicherweise latente Faktoren wie sozialer Status,
   Alter oder Familienstand, die bestimmte Käufe motivieren.  Hier könnte man
   durch gezielte Werbung die Kauflust entsprechend kanalisieren.
   
-\item Hat man ein statistisches Modell mit sehr vielen Merkmalen, könnte mit
-  Hilfe der Hauptkomponentenanalyse gegebenenfalls die Zahl der Variablen im
+\item Hat man ein statistisches Modell mit sehr vielen Merkmalen, kann man
+  mithilfe der Hauptkomponentenanalyse gegebenenfalls die Zahl der Variablen im
   Modell reduziert werden, was meistens die Modellqualität steigert.
   
 \item Anwendung findet die Hauptkomponentenanalyse auch in der Bildverarbeitung
@@ -817,17 +816,18 @@ und Sportwissenschaft''.  Wikipedia nennt unter anderem noch folgende Beispiele.
   analysieren und Rückschlüsse daraus ziehen.
   
 \item Ein weiteres Gebiet ist die Künstliche Intelligenz, zusammen mit den
-  Neuronalen Netzen.  Dort dient die PCA zur Merkmalstrennung im Rahmen der
+  neuronalen Netzen.  Dort dient die PCA zur Merkmals-Trennung im Rahmen der
   automatischen Klassifizierung bzw.  in der Mustererkennung.
 
-\item In quantitative finance, principal component analysis can be directly
-  applied to the risk management of interest rate derivative portfolios.  Trading
-  multiple swap instruments which are usually a function of 30-500 other market
-  quotable swap instruments is sought to be reduced to usually 3 or 4 principal
-  components, representing the path of interest rates on a macro
-  basis.  Converting risks to be represented as those to factor loadings (or
-  multipliers) provides assessments and understanding beyond that available to
-  simply collectively viewing risks to individual 30-500 buckets.
+\item \foreignlanguage{english}{In quantitative finance, principal component
+  analysis can be directly applied to the risk management of interest rate
+  derivative portfolios.  Trading multiple swap instruments which are usually a
+  function of 30-500 other market quotable swap instruments is sought to be
+  reduced to usually 3 or 4 principal components, representing the path of
+  interest rates on a macro basis.  Converting risks to be represented as those
+  to factor loadings (or multipliers) provides assessments and understanding
+  beyond that available to simply collectively viewing risks to individual
+  30-500 buckets.}
 \end{itemize}
 
 % !TEX root = LineareAlgebra2