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.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt
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.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt
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@ -88,3 +88,5 @@ massebehafteter
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Sylvester
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Hurwitz-Kriteriums
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Hurwitz-Kriterium
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Determinantenabbildung
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Eindeutigkeitsbeweis
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.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
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3
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
vendored
@ -57,3 +57,6 @@
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{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWie kommt man auf die Zahl „fünf“?.\\E$"}
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{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\Q… und weiter?.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Skalare \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind alle reell.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QEs sei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Körper, es seien \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zwei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Vektorräume und es seien lineare Funktionale \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gegeben.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann existiert genau eine lineare Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q das folgende Diagramm kommutiert: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, kanon.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann existiert genau eine Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q das folgende Diagramm kommutiert: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, kanon.\\E$"}
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@ -4,9 +4,9 @@
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\chapter{Bilineare und multilineare Abbildungen}
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\sideremark{Vorlesung 20}Ich beende die Vorlesung mit einem Kapitel über
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``multilineare Algebra''. In diesem Kapitel werden wir multilineare Abbildungen
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„multilineare Algebra“. In diesem Kapitel werden wir multilineare Abbildungen
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und multilineare Algebra systematisch einführen. Der zentrale Begriff ist das
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``Tensorprodukt''. Bevor wir richtig ``multi'' werden, diskutiere ich erst noch
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„Tensorprodukt“. Bevor wir richtig „multi“ werden, diskutiere ich erst noch
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einmal bilineare Abbildungen und Funktionen. Einige Beispiele für Bilinearität
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kennen Sie schon.
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@ -20,7 +20,7 @@ Die folgende Definition sollte jetzt keine Überraschung mehr sein.
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\begin{defn}[Bilineare Abbildungen]
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Es sei $k$ ein Körper und es seien $U$, $V$ und $W$ drei $k$-Vektorräume. Eine
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\emph{bilineare Abbildung}\index{bilineare Abbildung} ist eine Abbildung
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$s: U ⨯ V → W$, so dass Folgendes gilt.
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$s: U ⨯ V → W$, sodass Folgendes gilt.
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\begin{description}
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\item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle
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$\vec{u}_1, \vec{u}_2 ∈ U, \vec{v} ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt
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@ -67,14 +67,14 @@ Beispiele für bilineare Abbildungen kennen wir in Hülle und Fülle.
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\subsection*{Multilineare Abbildungen}
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Sie können es sich sicher schon denken: multilineare Abbildungen sind
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Abbildungen $V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → W$, so dass …. Ich habe vom Tippen
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Abbildungen $V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → W$, sodass …. Ich habe vom Tippen
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schon wunde Finger und verlasse mich darauf, dass Sie die Definition selbst
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zusammenbekommen. Auch hier kennen wir schon mindestens ein Beispiel.
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\begin{bsp}[$n$-lineare Funktion]
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Betrachte die Determinantenabbildung
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\[
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\det : \Mat(n⨯ n, k) → k.
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\det : \Mat(n ⨯ n, k) → k.
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\]
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Indem wir Matrizen als Folge von Spaltenvektoren schreiben, können wir den
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Vektorraum der $n ⨯ n$-Matrizen mit dem Vektorraum
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@ -5,12 +5,12 @@
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\section{Definitionen}
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Ganz am Anfang der Vorlesung LA1 haben wir unter der Überschrift ``Beispiele für
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Vektorräume'' eine Methode kennen gelernt, wie man aus einem $k$-Vektorraum $V$
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neue $k$-Vektorräume macht: der Vektorraum $V ⨯ V$ ist die Menge der
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geordneten Paare von Vektoren; die Vektoraddition und skalare Multiplikation
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erfolgt komponentenweise. Alternativ könnte ich $V ⨯ V$ auch so
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definieren: der Vektorraum $V ⨯ V$ ist die Menge der Abbildungen
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Ganz am Anfang der Vorlesung LA1 haben wir unter der Überschrift „Beispiele für
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Vektorräume“ eine Methode kennengelernt, wie man aus einem $k$-Vektorraum $V$
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neue $k$-Vektorräume macht: Der Vektorraum $V ⨯ V$ ist die Menge der geordneten
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||||
Paare von Vektoren; die Vektoraddition und skalare Multiplikation erfolgt
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komponentenweise. Alternativ könnte ich $V ⨯ V$ auch so definieren: Der
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Vektorraum $V ⨯ V$ ist die Menge der Abbildungen
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\[
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\{1, 2 \} → V
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\]
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@ -21,7 +21,7 @@ $V ⨯ \{\vec{0}\}$ und $\{\vec{0}\} ⨯ V$, die beide ganz offensichtlich
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isomorph zu $V$ sind. Zusätzlich gibt es eine Zerlegung von $V ⨯ V$ als
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direkte Summe,
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\[
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||||
V ⨯ V = \bigl(V ⨯ \{\vec{0}\}\bigr) ⊕ \bigl(\{\vec{0}\} ⨯ V\bigr),
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V ⨯ V = \bigl(V ⨯ \{\vec{0}\}\bigr) ⊕ \bigl(\{\vec{0}\} ⨯ V\bigr).
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\]
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Dieselbe Konstruktion funktioniert natürlich genau so für Paare aus drei oder
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mehr Komponenten. Ich erhalte so Vektorräume
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@ -32,8 +32,8 @@ Das Ziel in diesem Abschnitt ist, diese Konstruktion in zwei Richtungen zu
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verallgemeinern.
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\begin{itemize}
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\item Zum einen geht es darum, Paaren von unterschiedlichen Vektorräumen
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zuzulassen, also etwas wie ``$V_1 ⨯ V_2$'' zu definieren
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||||
\item Zum anderen möchte ich die Konstruktion statt auch für unendlich viele
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zuzulassen, also etwas wie „$V_1 ⨯ V_2$“ zu definieren.
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\item Zum anderen möchte ich die Konstruktion auch für unendlich viele
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Komponenten durchzuführen.
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\end{itemize}
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Der Witz ist, dass es im unendlichen Fall zwei unterschiedliche Konstruktionen
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@ -63,34 +63,34 @@ gibt, die auch unterschiedliche Ergebnisse liefern.
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\end{bemerkung}
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\begin{notation}
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Wenn in der Situation von Definition~\ref{def:14-1-1} alle $k$- Vektorräume
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$V_i$ gleich sind, wenn es also einen $k$-Vektorraum $V$ gibt, so dass für
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||||
alle $i ∈ I$ die Gleichheit $V = V_i$ gilt, dann schreibt man auch
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||||
Wenn in der Situation von Definition~\ref{def:14-1-1} alle $k$-Vektorräume
|
||||
$V_i$ gleich sind, wenn es also einen $k$-Vektorraum $V$ gibt, sodass für alle
|
||||
$i ∈ I$ die Gleichheit $V = V_i$ gilt, dann schreibt man auch
|
||||
\[
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||||
V^I := \prod_{i ∈ I} V \quad\text{und}\quad V^{(I)} := \bigoplus_{i ∈ I} V.
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\]
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||||
Für den Fall, dass $I = ∅$ die leere Menge ist, ist in der Literatur oft
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$V^∅ = V^{(∅)} = \{ \vec{0}_V \}$ definiert.
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||||
Für den Fall, dass $I = ∅$ die leere Menge ist, ist in der Literatur oft $V^∅
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= V^{(∅)} = \{ \vec{0}_V \}$ definiert.
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||||
\end{notation}
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||||
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||||
\begin{notation}[Frei erzeugte Vektorräume, Einheitsvektoren]\label{not:14-1-5}
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||||
\begin{notation}[Frei erzeugte Vektorräume, Einheitsvektoren]\label{not:14-1-5}%
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Es sei $k$ ein Körper und es sei $I$ eine Menge. Im Spezialfall, wo $V = k$
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ist, nennt man $k^I$ auch den \emph{von der Menge $I$ frei erzeugten
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Vektorraum}\index{frei erzeugter Vektorraum}. Gegeben ein Element $j ∈ I$,
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betrachte den Vektor
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\[
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||||
\vec{e}_j := (δ_{ij})_{i ∈ I} ∈ k^{(I)} ⊆ k^I
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||||
\vec{e}_j := (δ_{ij})_{i ∈ I} ∈ k^{(I)} ⊆ k^I.
|
||||
\]
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||||
Die so definierten Vektoren $\vec{e}_i$ heißen
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||||
\emph{Einheitsvektoren}\index{Einheitsvektoren}.
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||||
\end{notation}
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||||
\begin{aufgabe}\label{auf:14-1-6}
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||||
\begin{aufgabe}\label{auf:14-1-6}%
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In der Situation von Notation~\ref{not:14-1-5}: beweisen Sie im Detail, dass
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die Menge der Einheitsvektoren eine Basis des Vektorraums $k^{(I)}$ ist.
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Finden Sie ein Beispiel, für das die die Menge der Einheitsvektoren keine
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Basis des Vektorraums $k^I$ ist. Bemerken Sie, dass der Raum $k^I$
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phantastisch viel größer ist als der Raum $k^{(I)}$.
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fantastisch viel größer ist als der Raum $k^{(I)}$.
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\end{aufgabe}
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@ -125,11 +125,11 @@ eindeutig festgelegt.
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In der Situation von Definition~\ref{def:14-1-1} sei $W$ ein
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||||
$k$-Vektorraum. Weiter sei für jeden Index $i ∈ I$ eine lineare Abbildung
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$\varphi_i: V_i → W$ gegeben. Dann existiert genau eine lineare Abbildung
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$\varphi: \bigoplus_{j ∈ I} V_j → W$, so dass für alle $i ∈ I$ das folgende
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$\varphi: \bigoplus_{j ∈ I} V_j → W$, sodass für alle $i ∈ I$ das folgende
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Diagramm kommutiert:
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\[
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\begin{tikzcd}[column sep=3cm]
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V_i \ar[d, equals] \ar[r, "ι_i\text{, kanon. Injektion}"] & \bigoplus_{j ∈ I} V_j \ar[d, "∃! \varphi"]\\
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||||
V_i \ar[d, equals] \ar[r, "ι_i\text{, kanon.~Injektion}"] & \bigoplus_{j ∈ I} V_j \ar[d, "∃! \varphi"]\\
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||||
V_i \ar[r, "\varphi_i"'] & W .
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||||
\end{tikzcd}
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\]
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@ -139,11 +139,11 @@ eindeutig festgelegt.
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$\varphi$ beweisen. Wie immer beweisen wir die Eindeutigkeit zuerst. Seien
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also zwei lineare Abbildungen $\varphi_1$ und $\varphi_2$ mit den
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Eigenschaften des Satzes gegeben. Gegeben einen Index $i$ und einen Vektor
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$\vec{v} ∈ V_i$, ist klar, was die Abbildungen $\varphi_{•}$ mit den
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||||
$\vec{v} ∈ V_i$, ist klar, was die Abbildungen $\varphi_•$ mit den
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Bildvektoren $ι_i(\vec{v})$ machen müssen, denn aus der Kommutativität des
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Diagramm folgt:
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Diagramms folgt:
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\[
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\varphi_{•} \bigl(ι_i(\vec{v}) \bigr) = \varphi_i(\vec{v}).
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||||
\varphi_• \bigl(ι_i(\vec{v}) \bigr) = \varphi_i(\vec{v}).
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\]
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Also ist schon einmal
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$\varphi_1 \bigl(ι_i(\vec{v}) \bigr) = \varphi_2 \bigl(ι_i(\vec{v}) \bigr)$.
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@ -154,14 +154,14 @@ eindeutig festgelegt.
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alle Vektoren $\vec{η} ∈ ⊕ V_j$ gilt. Also ist
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$\varphi_1 = \varphi_2$ und Eindeutigkeit ist gezeigt.
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Wie immer sagt und der Eindeutigkeitsbeweis sofort auch, warum $\varphi$
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||||
existiert: wir können es angeben! Setzen Sie dazu
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||||
Wie immer sagt uns der Eindeutigkeitsbeweis sofort auch, warum $\varphi$
|
||||
existiert: Wir können es angeben! Setzen Sie dazu
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\[
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\varphi: \bigoplus_{j ∈ I} V_j → W, \quad (\vec{v}_i)_{i ∈ I} ↦
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\sum_{i ∈ I} φ_i(\vec{v}_i)
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\]
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und rechen Sie als Hausaufgabe nach, dass dies eine wohldefinierte Abbildung
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ohne unendliche Summe ist, die linear ist und die die Diagramm kommutativ
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ohne unendliche Summe ist, die linear ist und die das Diagramm kommutativ
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macht.
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\end{proof}
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@ -175,11 +175,10 @@ eindeutig festgelegt.
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\end{defn}
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\begin{satz}[Universelle Eigenschaften des direkten Produkts]
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In der Situation von Definition~\ref{def:14-1-1} sei $W$ ein
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$k$-Vektorraum. Weiter sei für jeden Index $i ∈ I$ eine lineare Abbildung
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$\varphi_i: W → V_i$ gegeben. Dann existiert genau eine Abbildung
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$\varphi: W → \prod_{j ∈ I} V_j$, so dass für alle $i ∈ I$ das folgende
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Diagramm kommutiert:
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In der Situation von Definition~\ref{def:14-1-1} sei $W$ ein $k$-Vektorraum.
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||||
Weiter sei für jeden Index $i ∈ I$ eine lineare Abbildung $\varphi_i: W → V_i$
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gegeben. Dann existiert genau eine Abbildung $\varphi: W → \prod_{j ∈ I}
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V_j$, sodass für alle $i ∈ I$ das folgende Diagramm kommutiert:
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\[
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\begin{tikzcd}
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W \ar[d, equals] \ar[r, "∃! \varphi"] & \prod_j V_j \ar[d, "p_i\text{, kanon.\ Projektion}"]\\
|
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@ -194,26 +193,25 @@ eindeutig festgelegt.
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nämlich $\varphi(\vec{w}) = \left( \varphi_j(\vec{w}) \right)_{j ∈ I}$ sein.
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Damit ist die Eindeutigkeit schon gezeigt.
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Wie immer sagt und der
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Eindeutigkeitsbeweis sofort auch, warum $\varphi$ existiert: wir können es
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angeben! Setzen Sie dazu
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Wie immer sagt und der Eindeutigkeitsbeweis sofort auch, warum $\varphi$
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||||
existiert: Wir können es angeben! Setzen Sie dazu
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\[
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\varphi : W → \prod_j V_j, \quad \vec{w} ↦ \left( \varphi_j(\vec{w}) \right)_{j ∈ I}
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\]
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und rechen Sie als Hausaufgabe nach, dass dies eine lineare Abbildung ist, die
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die Diagramm kommutativ macht.
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||||
das Diagramm kommutativ macht.
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\end{proof}
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\section{Dualität}
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In der Vorlesung LA1 hatten wir schon gesehen, dass jeder endlich-dimensionale
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Vektorraum $V$ isomorph zu seinem Dualraum $V^*$ ist. Diese Fakt hatte den
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Schönheitsfehler, dass es keinen kanonischen Isomorphismus gab (jedenfalls
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solange nicht noch ein Skalarprodukt gewählt war). Ich hatte schon in LA1
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darauf hingewiesen, dass dies nicht das einzige Problem ist.
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||||
Vektorraum $V$ isomorph zu seinem Dualraum $V^*$ ist. Dieser Fakt hatte den
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||||
Schönheitsfehler, dass es keinen kanonischen Isomorphismus gab (jedenfalls so
|
||||
lange nicht noch ein Skalarprodukt gewählt war). Ich hatte schon in LA1 darauf
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hingewiesen, dass dies nicht das einzige Problem ist.
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\begin{satz}[Kanonischer Isomorphismus zwischen Dualraum der direkten Summe und direktem Produkt der Dualräume]\label{satz:14-3-1}
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\begin{satz}[Kanonischer Isomorphismus zwischen Dualraum der direkten Summe und direktem Produkt der Dualräume]\label{satz:14-3-1}%
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Es sei $k$ ein Körper, es sei $I$ eine Menge und es sei $(V_i)_{i ∈ I}$ eine
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Familie von $k$-Vektorräumen. Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus
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\[
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@ -224,7 +222,7 @@ darauf hingewiesen, dass dies nicht das einzige Problem ist.
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\begin{bemerkung}
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Schauen Sie sich noch einmal Aufgabe~\ref{auf:14-1-6} an. Erkennen Sie, dass
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Satz~\ref{satz:14-3-1} ihnen ein Beispiel für einen Vektorraum $V$ liefert,
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dessen Dualraum phantastisch viel größer ist als der Raum selbst.
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dessen Dualraum fantastisch viel größer ist als der Raum selbst.
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\end{bemerkung}
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:14-3-1}]
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