From b8152c61019e136d6653e94d6e91ebe7a182db72 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Mon, 30 Jun 2025 07:29:02 +0200 Subject: [PATCH] Update --- .vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt | 2 + .vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt | 3 + 13-multiLinear.tex | 10 +-- 14-direkteSumme.tex | 82 ++++++++++----------- 4 files changed, 50 insertions(+), 47 deletions(-) diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index 368a8fe..64b75a0 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -88,3 +88,5 @@ massebehafteter Sylvester Hurwitz-Kriteriums Hurwitz-Kriterium +Determinantenabbildung +Eindeutigkeitsbeweis diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index 0aea522..56bc37d 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -57,3 +57,6 @@ {"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWie kommt man auf die Zahl „fünf“?.\\E$"} {"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\Q… und weiter?.\\E$"} {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Skalare \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind alle reell.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QEs sei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Körper, es seien \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zwei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Vektorräume und es seien lineare Funktionale \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gegeben.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann existiert genau eine lineare Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q das folgende Diagramm kommutiert: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, kanon.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann existiert genau eine Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q das folgende Diagramm kommutiert: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, kanon.\\E$"} diff --git a/13-multiLinear.tex b/13-multiLinear.tex index 536b54b..6e5d16c 100644 --- a/13-multiLinear.tex +++ b/13-multiLinear.tex @@ -4,9 +4,9 @@ \chapter{Bilineare und multilineare Abbildungen} \sideremark{Vorlesung 20}Ich beende die Vorlesung mit einem Kapitel über -``multilineare Algebra''. In diesem Kapitel werden wir multilineare Abbildungen +„multilineare Algebra“. In diesem Kapitel werden wir multilineare Abbildungen und multilineare Algebra systematisch einführen. Der zentrale Begriff ist das -``Tensorprodukt''. Bevor wir richtig ``multi'' werden, diskutiere ich erst noch +„Tensorprodukt“. Bevor wir richtig „multi“ werden, diskutiere ich erst noch einmal bilineare Abbildungen und Funktionen. Einige Beispiele für Bilinearität kennen Sie schon. @@ -20,7 +20,7 @@ Die folgende Definition sollte jetzt keine Überraschung mehr sein. \begin{defn}[Bilineare Abbildungen] Es sei $k$ ein Körper und es seien $U$, $V$ und $W$ drei $k$-Vektorräume. Eine \emph{bilineare Abbildung}\index{bilineare Abbildung} ist eine Abbildung - $s: U ⨯ V → W$, so dass Folgendes gilt. + $s: U ⨯ V → W$, sodass Folgendes gilt. \begin{description} \item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle $\vec{u}_1, \vec{u}_2 ∈ U, \vec{v} ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt @@ -67,14 +67,14 @@ Beispiele für bilineare Abbildungen kennen wir in Hülle und Fülle. \subsection*{Multilineare Abbildungen} Sie können es sich sicher schon denken: multilineare Abbildungen sind -Abbildungen $V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → W$, so dass …. Ich habe vom Tippen +Abbildungen $V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → W$, sodass …. Ich habe vom Tippen schon wunde Finger und verlasse mich darauf, dass Sie die Definition selbst zusammenbekommen. Auch hier kennen wir schon mindestens ein Beispiel. \begin{bsp}[$n$-lineare Funktion] Betrachte die Determinantenabbildung \[ - \det : \Mat(n⨯ n, k) → k. + \det : \Mat(n ⨯ n, k) → k. \] Indem wir Matrizen als Folge von Spaltenvektoren schreiben, können wir den Vektorraum der $n ⨯ n$-Matrizen mit dem Vektorraum diff --git a/14-direkteSumme.tex b/14-direkteSumme.tex index 5f1ab07..ae13f38 100644 --- a/14-direkteSumme.tex +++ b/14-direkteSumme.tex @@ -5,12 +5,12 @@ \section{Definitionen} -Ganz am Anfang der Vorlesung LA1 haben wir unter der Überschrift ``Beispiele für -Vektorräume'' eine Methode kennen gelernt, wie man aus einem $k$-Vektorraum $V$ -neue $k$-Vektorräume macht: der Vektorraum $V ⨯ V$ ist die Menge der -geordneten Paare von Vektoren; die Vektoraddition und skalare Multiplikation -erfolgt komponentenweise. Alternativ könnte ich $V ⨯ V$ auch so -definieren: der Vektorraum $V ⨯ V$ ist die Menge der Abbildungen +Ganz am Anfang der Vorlesung LA1 haben wir unter der Überschrift „Beispiele für +Vektorräume“ eine Methode kennengelernt, wie man aus einem $k$-Vektorraum $V$ +neue $k$-Vektorräume macht: Der Vektorraum $V ⨯ V$ ist die Menge der geordneten +Paare von Vektoren; die Vektoraddition und skalare Multiplikation erfolgt +komponentenweise. Alternativ könnte ich $V ⨯ V$ auch so definieren: Der +Vektorraum $V ⨯ V$ ist die Menge der Abbildungen \[ \{1, 2 \} → V \] @@ -21,7 +21,7 @@ $V ⨯ \{\vec{0}\}$ und $\{\vec{0}\} ⨯ V$, die beide ganz offensichtlich isomorph zu $V$ sind. Zusätzlich gibt es eine Zerlegung von $V ⨯ V$ als direkte Summe, \[ - V ⨯ V = \bigl(V ⨯ \{\vec{0}\}\bigr) ⊕ \bigl(\{\vec{0}\} ⨯ V\bigr), + V ⨯ V = \bigl(V ⨯ \{\vec{0}\}\bigr) ⊕ \bigl(\{\vec{0}\} ⨯ V\bigr). \] Dieselbe Konstruktion funktioniert natürlich genau so für Paare aus drei oder mehr Komponenten. Ich erhalte so Vektorräume @@ -32,8 +32,8 @@ Das Ziel in diesem Abschnitt ist, diese Konstruktion in zwei Richtungen zu verallgemeinern. \begin{itemize} \item Zum einen geht es darum, Paaren von unterschiedlichen Vektorräumen - zuzulassen, also etwas wie ``$V_1 ⨯ V_2$'' zu definieren -\item Zum anderen möchte ich die Konstruktion statt auch für unendlich viele + zuzulassen, also etwas wie „$V_1 ⨯ V_2$“ zu definieren. +\item Zum anderen möchte ich die Konstruktion auch für unendlich viele Komponenten durchzuführen. \end{itemize} Der Witz ist, dass es im unendlichen Fall zwei unterschiedliche Konstruktionen @@ -63,34 +63,34 @@ gibt, die auch unterschiedliche Ergebnisse liefern. \end{bemerkung} \begin{notation} - Wenn in der Situation von Definition~\ref{def:14-1-1} alle $k$- Vektorräume - $V_i$ gleich sind, wenn es also einen $k$-Vektorraum $V$ gibt, so dass für - alle $i ∈ I$ die Gleichheit $V = V_i$ gilt, dann schreibt man auch + Wenn in der Situation von Definition~\ref{def:14-1-1} alle $k$-Vektorräume + $V_i$ gleich sind, wenn es also einen $k$-Vektorraum $V$ gibt, sodass für alle + $i ∈ I$ die Gleichheit $V = V_i$ gilt, dann schreibt man auch \[ V^I := \prod_{i ∈ I} V \quad\text{und}\quad V^{(I)} := \bigoplus_{i ∈ I} V. \] - Für den Fall, dass $I = ∅$ die leere Menge ist, ist in der Literatur oft - $V^∅ = V^{(∅)} = \{ \vec{0}_V \}$ definiert. + Für den Fall, dass $I = ∅$ die leere Menge ist, ist in der Literatur oft $V^∅ + = V^{(∅)} = \{ \vec{0}_V \}$ definiert. \end{notation} -\begin{notation}[Frei erzeugte Vektorräume, Einheitsvektoren]\label{not:14-1-5} +\begin{notation}[Frei erzeugte Vektorräume, Einheitsvektoren]\label{not:14-1-5}% Es sei $k$ ein Körper und es sei $I$ eine Menge. Im Spezialfall, wo $V = k$ ist, nennt man $k^I$ auch den \emph{von der Menge $I$ frei erzeugten - Vektorraum}\index{frei erzeugter Vektorraum}. Gegeben ein Element $j ∈ I$, + Vektorraum}\index{frei erzeugter Vektorraum}. Gegeben ein Element $j ∈ I$, betrachte den Vektor \[ - \vec{e}_j := (δ_{ij})_{i ∈ I} ∈ k^{(I)} ⊆ k^I + \vec{e}_j := (δ_{ij})_{i ∈ I} ∈ k^{(I)} ⊆ k^I. \] Die so definierten Vektoren $\vec{e}_i$ heißen \emph{Einheitsvektoren}\index{Einheitsvektoren}. \end{notation} -\begin{aufgabe}\label{auf:14-1-6} +\begin{aufgabe}\label{auf:14-1-6}% In der Situation von Notation~\ref{not:14-1-5}: beweisen Sie im Detail, dass die Menge der Einheitsvektoren eine Basis des Vektorraums $k^{(I)}$ ist. Finden Sie ein Beispiel, für das die die Menge der Einheitsvektoren keine Basis des Vektorraums $k^I$ ist. Bemerken Sie, dass der Raum $k^I$ - phantastisch viel größer ist als der Raum $k^{(I)}$. + fantastisch viel größer ist als der Raum $k^{(I)}$. \end{aufgabe} @@ -125,11 +125,11 @@ eindeutig festgelegt. In der Situation von Definition~\ref{def:14-1-1} sei $W$ ein $k$-Vektorraum. Weiter sei für jeden Index $i ∈ I$ eine lineare Abbildung $\varphi_i: V_i → W$ gegeben. Dann existiert genau eine lineare Abbildung - $\varphi: \bigoplus_{j ∈ I} V_j → W$, so dass für alle $i ∈ I$ das folgende + $\varphi: \bigoplus_{j ∈ I} V_j → W$, sodass für alle $i ∈ I$ das folgende Diagramm kommutiert: \[ \begin{tikzcd}[column sep=3cm] - V_i \ar[d, equals] \ar[r, "ι_i\text{, kanon. Injektion}"] & \bigoplus_{j ∈ I} V_j \ar[d, "∃! \varphi"]\\ + V_i \ar[d, equals] \ar[r, "ι_i\text{, kanon.~Injektion}"] & \bigoplus_{j ∈ I} V_j \ar[d, "∃! \varphi"]\\ V_i \ar[r, "\varphi_i"'] & W . \end{tikzcd} \] @@ -139,11 +139,11 @@ eindeutig festgelegt. $\varphi$ beweisen. Wie immer beweisen wir die Eindeutigkeit zuerst. Seien also zwei lineare Abbildungen $\varphi_1$ und $\varphi_2$ mit den Eigenschaften des Satzes gegeben. Gegeben einen Index $i$ und einen Vektor - $\vec{v} ∈ V_i$, ist klar, was die Abbildungen $\varphi_{•}$ mit den + $\vec{v} ∈ V_i$, ist klar, was die Abbildungen $\varphi_•$ mit den Bildvektoren $ι_i(\vec{v})$ machen müssen, denn aus der Kommutativität des - Diagramm folgt: + Diagramms folgt: \[ - \varphi_{•} \bigl(ι_i(\vec{v}) \bigr) = \varphi_i(\vec{v}). + \varphi_• \bigl(ι_i(\vec{v}) \bigr) = \varphi_i(\vec{v}). \] Also ist schon einmal $\varphi_1 \bigl(ι_i(\vec{v}) \bigr) = \varphi_2 \bigl(ι_i(\vec{v}) \bigr)$. @@ -154,14 +154,14 @@ eindeutig festgelegt. alle Vektoren $\vec{η} ∈ ⊕ V_j$ gilt. Also ist $\varphi_1 = \varphi_2$ und Eindeutigkeit ist gezeigt. - Wie immer sagt und der Eindeutigkeitsbeweis sofort auch, warum $\varphi$ - existiert: wir können es angeben! Setzen Sie dazu + Wie immer sagt uns der Eindeutigkeitsbeweis sofort auch, warum $\varphi$ + existiert: Wir können es angeben! Setzen Sie dazu \[ \varphi: \bigoplus_{j ∈ I} V_j → W, \quad (\vec{v}_i)_{i ∈ I} ↦ \sum_{i ∈ I} φ_i(\vec{v}_i) \] und rechen Sie als Hausaufgabe nach, dass dies eine wohldefinierte Abbildung - ohne unendliche Summe ist, die linear ist und die die Diagramm kommutativ + ohne unendliche Summe ist, die linear ist und die das Diagramm kommutativ macht. \end{proof} @@ -175,11 +175,10 @@ eindeutig festgelegt. \end{defn} \begin{satz}[Universelle Eigenschaften des direkten Produkts] - In der Situation von Definition~\ref{def:14-1-1} sei $W$ ein - $k$-Vektorraum. Weiter sei für jeden Index $i ∈ I$ eine lineare Abbildung - $\varphi_i: W → V_i$ gegeben. Dann existiert genau eine Abbildung - $\varphi: W → \prod_{j ∈ I} V_j$, so dass für alle $i ∈ I$ das folgende - Diagramm kommutiert: + In der Situation von Definition~\ref{def:14-1-1} sei $W$ ein $k$-Vektorraum. + Weiter sei für jeden Index $i ∈ I$ eine lineare Abbildung $\varphi_i: W → V_i$ + gegeben. Dann existiert genau eine Abbildung $\varphi: W → \prod_{j ∈ I} + V_j$, sodass für alle $i ∈ I$ das folgende Diagramm kommutiert: \[ \begin{tikzcd} W \ar[d, equals] \ar[r, "∃! \varphi"] & \prod_j V_j \ar[d, "p_i\text{, kanon.\ Projektion}"]\\ @@ -194,26 +193,25 @@ eindeutig festgelegt. nämlich $\varphi(\vec{w}) = \left( \varphi_j(\vec{w}) \right)_{j ∈ I}$ sein. Damit ist die Eindeutigkeit schon gezeigt. - Wie immer sagt und der - Eindeutigkeitsbeweis sofort auch, warum $\varphi$ existiert: wir können es - angeben! Setzen Sie dazu + Wie immer sagt und der Eindeutigkeitsbeweis sofort auch, warum $\varphi$ + existiert: Wir können es angeben! Setzen Sie dazu \[ \varphi : W → \prod_j V_j, \quad \vec{w} ↦ \left( \varphi_j(\vec{w}) \right)_{j ∈ I} \] und rechen Sie als Hausaufgabe nach, dass dies eine lineare Abbildung ist, die - die Diagramm kommutativ macht. + das Diagramm kommutativ macht. \end{proof} \section{Dualität} In der Vorlesung LA1 hatten wir schon gesehen, dass jeder endlich-dimensionale -Vektorraum $V$ isomorph zu seinem Dualraum $V^*$ ist. Diese Fakt hatte den -Schönheitsfehler, dass es keinen kanonischen Isomorphismus gab (jedenfalls -solange nicht noch ein Skalarprodukt gewählt war). Ich hatte schon in LA1 -darauf hingewiesen, dass dies nicht das einzige Problem ist. +Vektorraum $V$ isomorph zu seinem Dualraum $V^*$ ist. Dieser Fakt hatte den +Schönheitsfehler, dass es keinen kanonischen Isomorphismus gab (jedenfalls so +lange nicht noch ein Skalarprodukt gewählt war). Ich hatte schon in LA1 darauf +hingewiesen, dass dies nicht das einzige Problem ist. -\begin{satz}[Kanonischer Isomorphismus zwischen Dualraum der direkten Summe und direktem Produkt der Dualräume]\label{satz:14-3-1} +\begin{satz}[Kanonischer Isomorphismus zwischen Dualraum der direkten Summe und direktem Produkt der Dualräume]\label{satz:14-3-1}% Es sei $k$ ein Körper, es sei $I$ eine Menge und es sei $(V_i)_{i ∈ I}$ eine Familie von $k$-Vektorräumen. Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus \[ @@ -224,7 +222,7 @@ darauf hingewiesen, dass dies nicht das einzige Problem ist. \begin{bemerkung} Schauen Sie sich noch einmal Aufgabe~\ref{auf:14-1-6} an. Erkennen Sie, dass Satz~\ref{satz:14-3-1} ihnen ein Beispiel für einen Vektorraum $V$ liefert, - dessen Dualraum phantastisch viel größer ist als der Raum selbst. + dessen Dualraum fantastisch viel größer ist als der Raum selbst. \end{bemerkung} \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:14-3-1}]