Update

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -88,3 +88,5 @@ massebehafteter
 Sylvester
 Hurwitz-Kriteriums
 Hurwitz-Kriterium
+Determinantenabbildung
+Eindeutigkeitsbeweis

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -57,3 +57,6 @@
 {"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWie kommt man auf die Zahl „fünf“?.\\E$"}
 {"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\Q… und weiter?.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Skalare \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind alle reell.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QEs sei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Körper, es seien \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zwei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Vektorräume und es seien lineare Funktionale \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gegeben.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann existiert genau eine lineare Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q das folgende Diagramm kommutiert: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, kanon.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann existiert genau eine Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q das folgende Diagramm kommutiert: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, kanon.\\E$"}

13-multiLinear.tex

@@ -4,9 +4,9 @@
 \chapter{Bilineare und multilineare Abbildungen}
 
 \sideremark{Vorlesung 20}Ich beende die Vorlesung mit einem Kapitel über
-``multilineare Algebra''.  In diesem Kapitel werden wir multilineare Abbildungen
+„multilineare Algebra“.  In diesem Kapitel werden wir multilineare Abbildungen
 und multilineare Algebra systematisch einführen.  Der zentrale Begriff ist das
-``Tensorprodukt''.  Bevor wir richtig ``multi'' werden, diskutiere ich erst noch
+„Tensorprodukt“.  Bevor wir richtig „multi“ werden, diskutiere ich erst noch
 einmal bilineare Abbildungen und Funktionen.  Einige Beispiele für Bilinearität
 kennen Sie schon.
 

14-direkteSumme.tex

@@ -5,12 +5,12 @@
 
 \section{Definitionen}
 
-Ganz am Anfang der Vorlesung LA1 haben wir unter der Überschrift ``Beispiele für
+Ganz am Anfang der Vorlesung LA1 haben wir unter der Überschrift „Beispiele für
-Vektorräume'' eine Methode kennen gelernt, wie man aus einem $k$-Vektorraum $V$
+Vektorräume“ eine Methode kennengelernt, wie man aus einem $k$-Vektorraum $V$
-neue $k$-Vektorräume macht: der Vektorraum $V ⨯ V$ ist die Menge der
+neue $k$-Vektorräume macht: Der Vektorraum $V ⨯ V$ ist die Menge der geordneten
-geordneten Paare von Vektoren; die Vektoraddition und skalare Multiplikation
+Paare von Vektoren; die Vektoraddition und skalare Multiplikation erfolgt
-erfolgt komponentenweise.  Alternativ könnte ich $V ⨯ V$ auch so
+komponentenweise.  Alternativ könnte ich $V ⨯ V$ auch so definieren: Der
-definieren: der Vektorraum $V ⨯ V$ ist die Menge der Abbildungen
+Vektorraum $V ⨯ V$ ist die Menge der Abbildungen
 \[
   \{1, 2 \} → V
 \]
@@ -21,7 +21,7 @@ $V ⨯ \{\vec{0}\}$ und $\{\vec{0}\} ⨯ V$, die beide ganz offensichtlich
 isomorph zu $V$ sind.  Zusätzlich gibt es eine Zerlegung von $V ⨯ V$ als
 direkte Summe,
 \[
-  V ⨯ V = \bigl(V ⨯ \{\vec{0}\}\bigr) ⊕ \bigl(\{\vec{0}\} ⨯ V\bigr),
+  V ⨯ V = \bigl(V ⨯ \{\vec{0}\}\bigr) ⊕ \bigl(\{\vec{0}\} ⨯ V\bigr).
 \]
 Dieselbe Konstruktion funktioniert natürlich genau so für Paare aus drei oder
 mehr Komponenten.  Ich erhalte so Vektorräume
@@ -32,8 +32,8 @@ Das Ziel in diesem Abschnitt ist, diese Konstruktion in zwei Richtungen zu
 verallgemeinern.
 \begin{itemize}
 \item Zum einen geht es darum, Paaren von unterschiedlichen Vektorräumen
-  zuzulassen, also etwas wie ``$V_1 ⨯ V_2$'' zu definieren
+  zuzulassen, also etwas wie „$V_1 ⨯ V_2$“ zu definieren.
-\item Zum anderen möchte ich die Konstruktion statt auch für unendlich viele
+\item Zum anderen möchte ich die Konstruktion auch für unendlich viele
   Komponenten durchzuführen.
 \end{itemize}
 Der Witz ist, dass es im unendlichen Fall zwei unterschiedliche Konstruktionen
@@ -64,33 +64,33 @@ gibt, die auch unterschiedliche Ergebnisse liefern.
 
 \begin{notation}
   Wenn in der Situation von Definition~\ref{def:14-1-1} alle $k$-Vektorräume
-  $V_i$ gleich sind, wenn es also einen $k$-Vektorraum $V$ gibt, so dass für
+  $V_i$ gleich sind, wenn es also einen $k$-Vektorraum $V$ gibt, sodass für alle
-  alle $i ∈ I$ die Gleichheit $V = V_i$ gilt, dann schreibt man auch
+  $i ∈ I$ die Gleichheit $V = V_i$ gilt, dann schreibt man auch
   \[
     V^I := \prod_{i ∈ I} V \quad\text{und}\quad V^{(I)} := \bigoplus_{i ∈ I} V.
   \]
-  Für den Fall, dass $I = ∅$ die leere Menge ist, ist in der Literatur oft
+  Für den Fall, dass $I = ∅$ die leere Menge ist, ist in der Literatur oft $V^∅
-  $V^∅ = V^{(∅)} = \{ \vec{0}_V \}$ definiert.
+  = V^{(∅)} = \{ \vec{0}_V \}$ definiert.
 \end{notation}
 
-\begin{notation}[Frei erzeugte Vektorräume, Einheitsvektoren]\label{not:14-1-5}
+\begin{notation}[Frei erzeugte Vektorräume, Einheitsvektoren]\label{not:14-1-5}%
   Es sei $k$ ein Körper und es sei $I$ eine Menge.  Im Spezialfall, wo $V = k$
   ist, nennt man $k^I$ auch den \emph{von der Menge $I$ frei erzeugten
   Vektorraum}\index{frei erzeugter Vektorraum}.  Gegeben ein Element $j ∈ I$,
   betrachte den Vektor
   \[
-    \vec{e}_j := (δ_{ij})_{i ∈ I} ∈ k^{(I)} ⊆ k^I
+    \vec{e}_j := (δ_{ij})_{i ∈ I} ∈ k^{(I)} ⊆ k^I.
   \]
   Die so definierten Vektoren $\vec{e}_i$ heißen
   \emph{Einheitsvektoren}\index{Einheitsvektoren}.
 \end{notation}
 
-\begin{aufgabe}\label{auf:14-1-6}
+\begin{aufgabe}\label{auf:14-1-6}%
   In der Situation von Notation~\ref{not:14-1-5}: beweisen Sie im Detail, dass
   die Menge der Einheitsvektoren eine Basis des Vektorraums $k^{(I)}$ ist.
   Finden Sie ein Beispiel, für das die die Menge der Einheitsvektoren keine
   Basis des Vektorraums $k^I$ ist.  Bemerken Sie, dass der Raum $k^I$
-  phantastisch viel größer ist als der Raum $k^{(I)}$.
+  fantastisch viel größer ist als der Raum $k^{(I)}$.
 \end{aufgabe}
 
 
@@ -129,7 +129,7 @@ eindeutig festgelegt.
   Diagramm kommutiert:
   \[
     \begin{tikzcd}[column sep=3cm]
-      V_i \ar[d, equals] \ar[r, "ι_i\text{, kanon.  Injektion}"] & \bigoplus_{j ∈ I} V_j \ar[d, "∃!  \varphi"]\\
+      V_i \ar[d, equals] \ar[r, "ι_i\text{, kanon.~Injektion}"] & \bigoplus_{j ∈ I} V_j \ar[d, "∃!  \varphi"]\\
       V_i \ar[r, "\varphi_i"'] & W .
     \end{tikzcd}
   \]
@@ -139,11 +139,11 @@ eindeutig festgelegt.
   $\varphi$ beweisen.  Wie immer beweisen wir die Eindeutigkeit zuerst.  Seien
   also zwei lineare Abbildungen $\varphi_1$ und $\varphi_2$ mit den
   Eigenschaften des Satzes gegeben.  Gegeben einen Index $i$ und einen Vektor
-  $\vec{v} ∈ V_i$, ist klar, was die Abbildungen $\varphi_{•}$ mit den
+  $\vec{v} ∈ V_i$, ist klar, was die Abbildungen $\varphi_•$ mit den
   Bildvektoren $ι_i(\vec{v})$ machen müssen, denn aus der Kommutativität des
-  Diagramm folgt:
+  Diagramms folgt:
   \[
-    \varphi_{•} \bigl(ι_i(\vec{v}) \bigr) = \varphi_i(\vec{v}).
+    \varphi_• \bigl(ι_i(\vec{v}) \bigr) = \varphi_i(\vec{v}).
   \]
   Also ist schon einmal
   $\varphi_1 \bigl(ι_i(\vec{v}) \bigr) = \varphi_2 \bigl(ι_i(\vec{v}) \bigr)$.
@@ -154,14 +154,14 @@ eindeutig festgelegt.
   alle Vektoren $\vec{η} ∈ ⊕ V_j$ gilt.  Also ist
   $\varphi_1 = \varphi_2$ und Eindeutigkeit ist gezeigt.
 
-  Wie immer sagt und der Eindeutigkeitsbeweis sofort auch, warum $\varphi$
+  Wie immer sagt uns der Eindeutigkeitsbeweis sofort auch, warum $\varphi$
-  existiert: wir können es angeben!  Setzen Sie dazu
+  existiert: Wir können es angeben!  Setzen Sie dazu
   \[
     \varphi: \bigoplus_{j ∈ I} V_j → W, \quad (\vec{v}_i)_{i ∈ I} ↦
     \sum_{i ∈ I} φ_i(\vec{v}_i)
   \]
   und rechen Sie als Hausaufgabe nach, dass dies eine wohldefinierte Abbildung
-  ohne unendliche Summe ist, die linear ist und die die Diagramm kommutativ
+  ohne unendliche Summe ist, die linear ist und die das Diagramm kommutativ
   macht.
 \end{proof}
 
@@ -175,11 +175,10 @@ eindeutig festgelegt.
 \end{defn}
   
 \begin{satz}[Universelle Eigenschaften des direkten Produkts]
-  In der Situation von Definition~\ref{def:14-1-1} sei $W$ ein
+  In der Situation von Definition~\ref{def:14-1-1} sei $W$ ein $k$-Vektorraum.
-  $k$-Vektorraum.  Weiter sei für jeden Index $i ∈ I$ eine lineare Abbildung
+  Weiter sei für jeden Index $i ∈ I$ eine lineare Abbildung $\varphi_i: W → V_i$
-  $\varphi_i: W → V_i$ gegeben.  Dann existiert genau eine Abbildung
+  gegeben.  Dann existiert genau eine Abbildung $\varphi: W → \prod_{j ∈ I}
-  $\varphi: W → \prod_{j ∈ I} V_j$, so dass für alle $i ∈ I$ das folgende
+  V_j$, sodass für alle $i ∈ I$ das folgende Diagramm kommutiert:
-  Diagramm kommutiert:
   \[
     \begin{tikzcd}
       W \ar[d, equals] \ar[r, "∃!  \varphi"] & \prod_j V_j \ar[d, "p_i\text{, kanon.\ Projektion}"]\\
@@ -194,26 +193,25 @@ eindeutig festgelegt.
   nämlich $\varphi(\vec{w}) = \left( \varphi_j(\vec{w}) \right)_{j ∈ I}$ sein.
   Damit ist die Eindeutigkeit schon gezeigt.
 
-  Wie immer sagt und der
+  Wie immer sagt und der Eindeutigkeitsbeweis sofort auch, warum $\varphi$
-  Eindeutigkeitsbeweis sofort auch, warum $\varphi$ existiert: wir können es
+  existiert: Wir können es angeben!  Setzen Sie dazu
-  angeben!  Setzen Sie dazu
   \[
     \varphi : W → \prod_j V_j, \quad \vec{w} ↦ \left( \varphi_j(\vec{w}) \right)_{j ∈ I}
   \]
   und rechen Sie als Hausaufgabe nach, dass dies eine lineare Abbildung ist, die
-  die Diagramm kommutativ macht.
+  das Diagramm kommutativ macht.
 \end{proof}
 
 
 \section{Dualität}
 
 In der Vorlesung LA1 hatten wir schon gesehen, dass jeder endlich-dimensionale
-Vektorraum $V$ isomorph zu seinem Dualraum $V^*$ ist.  Diese Fakt hatte den
+Vektorraum $V$ isomorph zu seinem Dualraum $V^*$ ist.  Dieser Fakt hatte den
-Schönheitsfehler, dass es keinen kanonischen Isomorphismus gab (jedenfalls
+Schönheitsfehler, dass es keinen kanonischen Isomorphismus gab (jedenfalls so
-solange nicht noch ein Skalarprodukt gewählt war).  Ich hatte schon in LA1
+lange nicht noch ein Skalarprodukt gewählt war).  Ich hatte schon in LA1 darauf
-darauf hingewiesen, dass dies nicht das einzige Problem ist.
+hingewiesen, dass dies nicht das einzige Problem ist.
 
-\begin{satz}[Kanonischer Isomorphismus zwischen Dualraum der direkten Summe und direktem Produkt der Dualräume]\label{satz:14-3-1}
+\begin{satz}[Kanonischer Isomorphismus zwischen Dualraum der direkten Summe und direktem Produkt der Dualräume]\label{satz:14-3-1}%
   Es sei $k$ ein Körper, es sei $I$ eine Menge und es sei $(V_i)_{i ∈ I}$ eine
   Familie von $k$-Vektorräumen.  Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus
   \[
@@ -224,7 +222,7 @@ darauf hingewiesen, dass dies nicht das einzige Problem ist.
 \begin{bemerkung}
   Schauen Sie sich noch einmal Aufgabe~\ref{auf:14-1-6} an.  Erkennen Sie, dass
   Satz~\ref{satz:14-3-1} ihnen ein Beispiel für einen Vektorraum $V$ liefert,
-  dessen Dualraum phantastisch viel größer ist als der Raum selbst.
+  dessen Dualraum fantastisch viel größer ist als der Raum selbst.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:14-3-1}]