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a3081c8e56
5
.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt
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5
.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt
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@ -41,3 +41,8 @@ Bytestrings
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Bilinearität
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Semilinearität
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Sesquilinearlinearform
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Cayley
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Sequilinearform
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Dualräumen
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Hom-Räumen
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Maximumsnorm
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7
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
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7
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
vendored
@ -33,3 +33,10 @@
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{"rule":"KOMMA_VOR_ERLAEUTERUNG","sentence":"^\\QBeachten Sie, dass jeder komplexe Vektorraum immer auch ein reeller Vektorraum ist, also bildet die Menge der Sesquilinearformen insbesondere einen reellen Vektorraum.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (* 24. Dezember 1822 in Dieuze, Lothringen; † 14. Januar 1901 in Paris) war ein französischer Mathematiker.\\E$"}
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{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWill ich das wirklich wissen?.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QArthur Cayley (* 16. August 1821 in Richmond upon Thames, Surrey; † 26. Januar 1895 in Cambridge) war ein englischer Mathematiker.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QSir William Rowan Hamilton (* 4. August 1805 in Dublin; † 2. September 1865 in Dunsink bei Dublin) war ein irischer Mathematiker und Physiker, der vor allem für seine Beiträge zur Mechanik und für seine Einführung und Untersuchung der Quaternionen bekannt ist.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QSir William Rowan Hamilton (* 4. August 1805 in Dublin; † 2. September 1865 in Dunsink bei Dublin) war ein irischer Mathematiker und Physiker, der vor allem für seine Beiträge zur Mechanik und für seine Einführung und Untersuchung der Quaternionen bekannt ist.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Absolute Homogenität] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Dreiecksungleichung] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q [Positive Definitheit] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann ergibt sich \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, womit der Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung beendet ist.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Positive Definitheit] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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@ -82,6 +82,18 @@ des endlichen Körpers $𝔽_2$.
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\]
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\end{beobachtung}
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Der Satz von Cayley\footnote{Arthur Cayley (* 16.~August 1821 in Richmond upon
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Thames, Surrey; † 26.~Januar 1895 in Cambridge) war ein englischer Mathematiker.
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Er befasste sich mit sehr vielen Gebieten der Mathematik von der Analysis,
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Algebra, Geometrie bis zur Astronomie und Mechanik, ist aber vor allem für seine
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Rolle bei der Einführung des abstrakten Gruppenkonzepts
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bekannt.}-Hamilton\footnote{Sir William Rowan Hamilton (* 4.~August 1805 in
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Dublin; † 2.~September 1865 in Dunsink bei Dublin) war ein irischer Mathematiker
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und Physiker, der vor allem für seine Beiträge zur Mechanik und für seine
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Einführung und Untersuchung der Quaternionen bekannt ist.} sagt, dass jeder
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Endomorphismus Nullstelle seines eigenen charakteristischen Polynoms ist. Wie
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cool ist das?
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\begin{satz}[Satz von Cayley-Hamilton]\label{satz:CayleyHamilton}
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In Situation~\ref{sit:4-0-1} sei $χ_f(t) ∈ k[t]$ das charakteristische
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Polynom des Endomorphismus $f$. Dann ist
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@ -94,9 +106,6 @@ des endlichen Körpers $𝔽_2$.
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Der Satz von Cayley-Hamilton funktioniert genau so für Matrizen.
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\end{bemerkung}
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Kurz formuliert: Der Satz von Cayley-Hamilton sagt, dass jeder Endomorphismus
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Nullstelle seines eigenen charakteristischen Polynoms ist. Wie cool ist das?
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:CayleyHamilton}]
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Der Satz von Cayley-Hamilton gilt für beliebige Körper $k$. Der vollständige
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Beweis verwendet aber Begriffe der Algebra (den „algebraischen Abschluss eines
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@ -5,42 +5,41 @@
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\label{sec:7}
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\sideremark{Vorlesung 10}Wir haben im Kapitel~\ref{chap:eukl} das
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Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$ kennen gelernt. Im
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Kapitel~\ref{sec:bskalar} haben wir diesen Begriff auf beliebige
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(endlich-dimensionale) reelle und komplexe Vektorräume verallgemeinert. In
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diesem Kapitel möchte ich Vektorräume mit Skalarprodukt systematisch diskutieren,
|
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und Begriffe wie ``Norm'', ``Abstand'', ``Metrik'' und ``Orthogonalität'', die
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wir zuerst am Beispiel des $ℝ^n$ kennen gelernt haben, jetzt in größerer
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Allgemeinheit systematisch einführen. Zuerst einmal kommen jede Menge
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Definitionen und eine langweilige Rechnung, deshalb auch im Moment kein
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Erklärvideo.
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Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$ kennengelernt. Im Kapitel~\ref{sec:bskalar}
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haben wir diesen Begriff auf beliebige (endlich-dimensionale) reelle und
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komplexe Vektorräume verallgemeinert. In diesem Kapitel möchte ich Vektorräume
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mit Skalarprodukt systematisch diskutieren, und Begriffe wie „Norm“, „Abstand“,
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„Metrik“ und „Orthogonalität“, die wir zuerst am Beispiel des $ℝ^n$
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||||
kennengelernt haben, jetzt in größerer Allgemeinheit systematisch einführen.
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Zuerst einmal kommen jede Menge Definitionen und eine langweilige Rechnung,
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deshalb auch im Moment kein Erklärvideo.
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\begin{defn}[Euklidische und unitäre Vektorräume]
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Ein reeller Vektorraum zusammen mit einem Skalarprodukt (=positiv definiter
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symmetrischer Bilinearform) heißt \emph{Euklidischer
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Vektorraum}\index{Euklidischer Vektorraum}. Ein komplexer Vektorraum
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||||
zusammen mit einem Skalarprodukt (=positiv definiter Hermitescher
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||||
Sequilinearform) heißt \emph{unitärer Vektorraum}\index{unitär!Vektorraum}.
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||||
Vektorraum}\index{Euklidischer Vektorraum}. Ein komplexer Vektorraum zusammen
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||||
mit einem Skalarprodukt (=positiv definiter Hermitescher Sequilinearform)
|
||||
heißt \emph{unitärer Vektorraum}\index{unitär!Vektorraum}.
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\end{defn}
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\section{Normen auf Vektorräumen}
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In Abschnitt~\ref{sec:end} hatten wir die Euklidische Norm und den Euklidische
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||||
Abstand auf dem $ℝ^n$ definiert. Jetzt machen wir das allgemein, für
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||||
beliebige reelle oder komplexe Vektorräume, und für beliebige Mengen.
|
||||
Abstand auf dem $ℝ^n$ definiert. Jetzt machen wir das allgemein, für beliebige
|
||||
reelle oder komplexe Vektorräume, und für beliebige Mengen.
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||||
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||||
\begin{erinnerung}[Betrag einer komplexen Zahl]
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||||
Gegeben eine komplexe Zahl $λ = a+b·i ∈ ℂ$, dann nennen wir die reelle Zahl
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$\sqrt{a²+b²} = \sqrt{λ\overline{λ}}$ die \emph{Norm von $λ$}\index{Norm!einer
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||||
komplexen Zahl} oder \emph{Betrag von $λ$}\index{Betrag einer komplexen
|
||||
Zahl} oder \emph{Absolutbetrag von $λ$}\index{Absolutbetrag einer komplexen
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||||
Zahl}. Man schreibt auch $\|λ\|$ oder $|λ|$.
|
||||
komplexen Zahl} oder \emph{Betrag von $λ$}\index{Betrag einer komplexen Zahl}
|
||||
oder \emph{Absolutbetrag von $λ$}\index{Absolutbetrag einer komplexen Zahl}.
|
||||
Man schreibt auch $\|λ\|$ oder $|λ|$.
|
||||
\end{erinnerung}
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||||
\begin{defn}[Norm auf komplexen oder reellen Vektorraum]\label{def:norm}
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||||
\begin{defn}[Norm auf komplexen oder reellen Vektorraum]\label{def:norm}%
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||||
Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$ und es sei $V$ ein $k$-Vektorraum.
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||||
Eine \emph{Norm}\index{Norm} auf ist eine Abbildung $\| · \|: V → ℝ$, so dass
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||||
Eine \emph{Norm}\index{Norm} auf ist eine Abbildung $\| · \|: V → ℝ$, sodass
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folgende Eigenschaften gelten.
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\begin{description}
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||||
\item[Absolute Homogenität] Für alle $\vec{x} ∈ V$ und alle $λ ∈ k$ gilt:
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@ -55,15 +54,15 @@ beliebige reelle oder komplexe Vektorräume, und für beliebige Mengen.
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||||
\end{defn}
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||||
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||||
\begin{notation}[Normierte Vektorräume]
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||||
\index{normiert!Vektorraum}Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$.
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||||
Ein normierter $k$-Vektorraum $\bigl( V, \|•\|\bigr)$ ist ein
|
||||
$k$-Vektorraum $V$ zusammen mit einer Norm $\|•\|$.
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||||
\index{normiert!Vektorraum}Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$. Ein
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||||
normierter $k$-Vektorraum $\bigl( V, \|•\|\bigr)$ ist ein $k$-Vektorraum $V$
|
||||
zusammen mit einer Norm $\|•\|$.
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||||
\end{notation}
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||||
|
||||
\begin{notation}[Normierte Vektorräume]
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||||
\index{normiert!Vektor}Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$. und es
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||||
sei $\bigl( V, \|•\|\bigr)$ ein normierter $k$-Vektorraum. Ein Vektor
|
||||
$\vec{v} ∈ V$ heißt \emph{normiert}, falls $\|\vec{v}\| = 1$ ist.
|
||||
\index{normiert!Vektor}Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$. und es sei
|
||||
$\bigl( V, \|•\|\bigr)$ ein normierter $k$-Vektorraum. Ein Vektor $\vec{v} ∈
|
||||
V$ heißt \emph{normiert}, falls $\|\vec{v}\| = 1$ ist.
|
||||
\end{notation}
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Wir halten gleich zwei wesentliche Eigenschaften von Normen fest, die
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@ -92,9 +91,9 @@ unmittelbar aus der Definition folgen.
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\subsection{Beispiele: Normen, die von Skalarprodukten kommen}
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Als erstes und wichtigstes Beispiel von Normen möchte ich zeigen, dass jedes
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Als Erstes und wichtigstes Beispiel von Normen möchte ich zeigen, dass jedes
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Skalarprodukt auf einem Vektorraum eine Norm induziert. Also liefern die
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Skalarprodukte, die wir in Abschnitt~\ref{sec:skalar} kennen gelernt haben,
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||||
Skalarprodukte, die wir in Abschnitt~\ref{sec:skalar} kennengelernt haben,
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sofort Beispiele für Normen.
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\begin{satz}[Skalarprodukt induziert Norm]\label{satz:sin}
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@ -108,28 +107,26 @@ sofort Beispiele für Normen.
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Der Beweis des Satzes~\ref{satz:sin}, den wir weiter unten geben, ist eine
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||||
ziemliche Rechnerei. Der Beweis verwendet die folgende wichtige Ungleichung,
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die sie vielleicht aus der Vorlesung ``Analysis'' schon kennen.
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die sie vielleicht aus der Vorlesung „Analysis“ schon kennen.
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\begin{satz}[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]
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Sei V unitär oder euklidisch. Dann gilt für alle $\vec{x}, \vec{y}
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||||
∈ V$
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||||
Sei V unitär oder euklidisch. Dann gilt für alle $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$
|
||||
\[
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||||
|\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle| ≤ \sqrt{\langle \vec{x},
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||||
\vec{x} \rangle} \sqrt{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle} .
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||||
\]
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||||
\end{satz}
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||||
\begin{proof}[Beweis durch unangenehme Rechnerei]
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||||
Seien $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$ gegeben und es sei $λ$ ein Skalar. Für
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$\vec{y} = \vec{0}$ ist die Aussage klar. Sei also $\vec{y} ≠ 0$. Dann ist
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||||
wegen positiver Definitheit der Hermiteschen Form
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||||
Seien $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$ gegeben und es sei $λ$ ein Skalar. Für $\vec{y}
|
||||
= \vec{0}$ ist die Aussage klar. Sei also $\vec{y} ≠ 0$. Dann ist wegen
|
||||
positiver Definitheit der Hermiteschen Form
|
||||
\begin{align*}
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||||
0 ≤ \langle \vec{x} - λ·\vec{y}, \vec{x} - λ·\vec{y} \rangle &= \langle \vec{x}, \vec{x} - λ·\vec{y} \rangle - λ·\langle\vec{y},\vec{x}- λ·\vec{y}\rangle\\
|
||||
&= \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle - \overline{λ}·\langle \vec{x}, \vec{y}\rangle - λ· \langle \vec{y}, \vec{x}\rangle + λ \overline{λ}· \langle \vec{y}, \vec{y} \rangle\\
|
||||
&= \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle - \overline{λ}·\overline{\langle \vec{y}, \vec{x}\rangle} - λ·\langle \vec{y}, \vec{x}\rangle + |λ|²·\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle.
|
||||
\end{align*}
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||||
Jetzt betrachte den Spezialfall wo
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||||
$λ= \frac{\overline{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle}}{\langle \vec{y},
|
||||
\vec{y} \rangle}$ ist. Dann ergibt sich
|
||||
Jetzt betrachte den Spezialfall wo $λ= \frac{\overline{\langle \vec{y},
|
||||
\vec{x} \rangle}}{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle}$ ist. Dann ergibt sich
|
||||
\begin{align*}
|
||||
&& 0 &≤ \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle - \frac{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle}{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle}· \overline{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle} - \frac{\overline{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle}}{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle}· \langle \vec{y}, \vec{x} \rangle + \frac{|\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle|²}{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle²}·\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle\\
|
||||
⇒ && 0 &≤ \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle· \langle \vec{y}, \vec{y} \rangle - |\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle|² - |\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle|² + |\langle \vec{y}, \vec{x}\rangle|²\\
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||||
@ -140,10 +137,10 @@ die sie vielleicht aus der Vorlesung ``Analysis'' schon kennen.
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:sin}]
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||||
Um zu zeigen, dass die Abbildung $\|•\| : V → ℝ$ aus
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Satz~\ref{satz:sin} tatsächlich eine Norm ist, müssen wir die drei
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||||
Eigenschaften ``absolute Homogenität'', ``Dreiecksungleichung'' und ``positive
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||||
Definitheit'' zeigen. Auf geht's.
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||||
Um zu zeigen, dass die Abbildung $\|•\| : V → ℝ$ aus Satz~\ref{satz:sin}
|
||||
tatsächlich eine Norm ist, müssen wir die drei Eigenschaften „absolute
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||||
Homogenität“, „Dreiecksungleichung“ und „positive Definitheit“ zeigen. Auf
|
||||
geht's.
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||||
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||||
\bigskip\noindent\emph{Absolute Homogenität.} Es sei $\vec{x} ∈ V$ irgendein
|
||||
Vektor und es sei $λ$ irgendein Skalar. Dann ist
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||||
@ -156,7 +153,7 @@ die sie vielleicht aus der Vorlesung ``Analysis'' schon kennen.
|
||||
Damit ist die absolute Homogenität gezeigt.
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||||
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||||
\bigskip\noindent\emph{Dreiecksungleichung.} Es seien $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$
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||||
beliebige Vektoren. Dann folgt mit Hilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung
|
||||
beliebige Vektoren. Dann folgt mithilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung
|
||||
folgendes.
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||||
\begin{align*}
|
||||
\| \vec{x} + \vec{y} \|² &= \langle \vec{x}+\vec{y}, \vec{x}+\vec{y} \rangle\\
|
||||
@ -181,9 +178,9 @@ die in der angewandten Mathematik und in der Analysis schrecklich wichtig sind.
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||||
Ich diskutiere hier nur den einfachsten Fall und verzichte auf alle Beweise (die
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||||
ein wenig Analysis voraussetzen).
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||||
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||||
\begin{bsp}[Operatornorm]\label{bsp:opNorm}
|
||||
Es seien $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ und $\bigl( W, \|•\|_W\bigr)$
|
||||
zwei endlich-dimensionale, normierte, reelle Vektorräume. Dann definiert die
|
||||
\begin{bsp}[Operatornorm]\label{bsp:opNorm}%
|
||||
Es seien $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ und $\bigl( W, \|•\|_W\bigr)$ zwei
|
||||
endlich-dimensionale, normierte, reelle Vektorräume. Dann definiert die
|
||||
Abbildung
|
||||
\[
|
||||
\|•\|_{\operatorname{op}} : \Hom_{ℝ}(V,W) → ℝ, \quad %
|
||||
@ -219,7 +216,7 @@ Es gibt noch einige weitere Beispiele für Normen, die nicht offensichtlich von
|
||||
Skalarprodukten kommen. Ich nenne (wieder ohne Beweis) zwei der bekanntesten
|
||||
Beispiele.
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Manhattan-Norm]\label{bsp:manhatNorm}
|
||||
\begin{bsp}[Manhattan-Norm]\label{bsp:manhatNorm}%
|
||||
Die Manhattan-Norm auf dem Vektorraum $ℝ^n$ ist gegeben als
|
||||
\[
|
||||
\| • \|_1 : ℝ^n → ℝ, \quad
|
||||
@ -240,29 +237,29 @@ Beispiele.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Einschränkungen von Normen]
|
||||
Es sei $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ ein normierter Vektorraum und $U ⊆ V$
|
||||
sei ein Untervektorraum. Dann ist die Einschränkung $\|•\|_V|_W$ eine Norma
|
||||
auf $W$.
|
||||
Es sei $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ ein normierter Vektorraum und $U ⊆ V$ sei ein
|
||||
Untervektorraum. Dann ist die Einschränkung $\|•\|_V|_W$ eine Norma auf $W$.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Metriken}
|
||||
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||||
\sideremark{Vorlesung 11}Genau wie in Abschnitt~\ref{sec:end} können wir mit
|
||||
Hilfe einer Norm einen Begriff von ``Abstand'' oder ``Metrik'' definieren. Der
|
||||
Begriff ``Metrik'' ist aber viel allgemeiner und hat nichts mit Vektorräumen zu
|
||||
\sideremark{Vorlesung 11}Genau wie in Abschnitt~\ref{sec:end} können wir
|
||||
mithilfe einer Norm einen Begriff von „Abstand“ oder „Metrik“ definieren. Der
|
||||
Begriff „Metrik“ ist aber viel allgemeiner und hat nichts mit Vektorräumen zu
|
||||
tun; wir definieren Metriken ganz allgemein auf beliebigen Mengen.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Metrik]
|
||||
Sei $M$ eine Menge. Eine Metrik\index{Metrik} auf $M$ ist eine Abbildung
|
||||
$d: M ⨯ M → ℝ$, so dass Folgendes gilt.
|
||||
Sei $M$ eine Menge. Eine Metrik\index{Metrik} auf $M$ ist eine Abbildung $d:
|
||||
M ⨯ M → ℝ$, sodass Folgendes gilt.
|
||||
\begin{description}
|
||||
\item[Symmetrie] Für alle $x, y ∈ M$ gilt: $d(x,y) = d(y,x)$.
|
||||
|
||||
\item[Dreiecksungleichung] Für alle $x, y, z ∈ M$ gilt: $d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)$
|
||||
\item[Dreiecksungleichung] Für alle $x, y, z ∈ M$ gilt: $d(x,z) ≤ d(x,y) +
|
||||
d(y,z)$
|
||||
|
||||
\item[Positive Definitheit] Für alle $x, y ∈ M$ gilt: $d(x,x) ≥ 0$. Zusätzlich
|
||||
gilt: $d(x,y) = 0 ⇔ x = y$.
|
||||
\item[Positive Definitheit] Für alle $x, y ∈ M$ gilt: $d(x,x) ≥ 0$.
|
||||
Zusätzlich gilt: $d(x,y) = 0 ⇔ x = y$.
|
||||
\end{description}
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
|
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