From a3081c8e56880b3aaf570e339973f1fa08abd6b7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Tue, 13 May 2025 15:03:58 +0200 Subject: [PATCH] Cleanup --- .vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt | 5 + .vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt | 7 ++ 04-Cayley-Hamilton.tex | 15 ++- 07-Euclidian-Unitary.tex | 109 ++++++++++---------- 4 files changed, 77 insertions(+), 59 deletions(-) diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index 60c1d94..87c5040 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -41,3 +41,8 @@ Bytestrings Bilinearität Semilinearität Sesquilinearlinearform +Cayley +Sequilinearform +Dualräumen +Hom-Räumen +Maximumsnorm diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index fa788fd..d4737fa 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -33,3 +33,10 @@ {"rule":"KOMMA_VOR_ERLAEUTERUNG","sentence":"^\\QBeachten Sie, dass jeder komplexe Vektorraum immer auch ein reeller Vektorraum ist, also bildet die Menge der Sesquilinearformen insbesondere einen reellen Vektorraum.\\E$"} {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (* 24. Dezember 1822 in Dieuze, Lothringen; † 14. Januar 1901 in Paris) war ein französischer Mathematiker.\\E$"} {"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWill ich das wirklich wissen?.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QArthur Cayley (* 16. August 1821 in Richmond upon Thames, Surrey; † 26. Januar 1895 in Cambridge) war ein englischer Mathematiker.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QSir William Rowan Hamilton (* 4. August 1805 in Dublin; † 2. September 1865 in Dunsink bei Dublin) war ein irischer Mathematiker und Physiker, der vor allem für seine Beiträge zur Mechanik und für seine Einführung und Untersuchung der Quaternionen bekannt ist.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QSir William Rowan Hamilton (* 4. August 1805 in Dublin; † 2. September 1865 in Dunsink bei Dublin) war ein irischer Mathematiker und Physiker, der vor allem für seine Beiträge zur Mechanik und für seine Einführung und Untersuchung der Quaternionen bekannt ist.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Absolute Homogenität] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Dreiecksungleichung] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q [Positive Definitheit] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann ergibt sich \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, womit der Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung beendet ist.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Positive Definitheit] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} diff --git a/04-Cayley-Hamilton.tex b/04-Cayley-Hamilton.tex index de08dea..749c1e8 100644 --- a/04-Cayley-Hamilton.tex +++ b/04-Cayley-Hamilton.tex @@ -82,6 +82,18 @@ des endlichen Körpers $𝔽_2$. \] \end{beobachtung} +Der Satz von Cayley\footnote{Arthur Cayley (* 16.~August 1821 in Richmond upon +Thames, Surrey; † 26.~Januar 1895 in Cambridge) war ein englischer Mathematiker. +Er befasste sich mit sehr vielen Gebieten der Mathematik von der Analysis, +Algebra, Geometrie bis zur Astronomie und Mechanik, ist aber vor allem für seine +Rolle bei der Einführung des abstrakten Gruppenkonzepts +bekannt.}-Hamilton\footnote{Sir William Rowan Hamilton (* 4.~August 1805 in +Dublin; † 2.~September 1865 in Dunsink bei Dublin) war ein irischer Mathematiker +und Physiker, der vor allem für seine Beiträge zur Mechanik und für seine +Einführung und Untersuchung der Quaternionen bekannt ist.} sagt, dass jeder +Endomorphismus Nullstelle seines eigenen charakteristischen Polynoms ist. Wie +cool ist das? + \begin{satz}[Satz von Cayley-Hamilton]\label{satz:CayleyHamilton} In Situation~\ref{sit:4-0-1} sei $χ_f(t) ∈ k[t]$ das charakteristische Polynom des Endomorphismus $f$. Dann ist @@ -94,9 +106,6 @@ des endlichen Körpers $𝔽_2$. Der Satz von Cayley-Hamilton funktioniert genau so für Matrizen. \end{bemerkung} -Kurz formuliert: Der Satz von Cayley-Hamilton sagt, dass jeder Endomorphismus -Nullstelle seines eigenen charakteristischen Polynoms ist. Wie cool ist das? - \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:CayleyHamilton}] Der Satz von Cayley-Hamilton gilt für beliebige Körper $k$. Der vollständige Beweis verwendet aber Begriffe der Algebra (den „algebraischen Abschluss eines diff --git a/07-Euclidian-Unitary.tex b/07-Euclidian-Unitary.tex index 99ccaf5..7a6ca2a 100644 --- a/07-Euclidian-Unitary.tex +++ b/07-Euclidian-Unitary.tex @@ -5,42 +5,41 @@ \label{sec:7} \sideremark{Vorlesung 10}Wir haben im Kapitel~\ref{chap:eukl} das -Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$ kennen gelernt. Im -Kapitel~\ref{sec:bskalar} haben wir diesen Begriff auf beliebige -(endlich-dimensionale) reelle und komplexe Vektorräume verallgemeinert. In -diesem Kapitel möchte ich Vektorräume mit Skalarprodukt systematisch diskutieren, -und Begriffe wie ``Norm'', ``Abstand'', ``Metrik'' und ``Orthogonalität'', die -wir zuerst am Beispiel des $ℝ^n$ kennen gelernt haben, jetzt in größerer -Allgemeinheit systematisch einführen. Zuerst einmal kommen jede Menge -Definitionen und eine langweilige Rechnung, deshalb auch im Moment kein -Erklärvideo. +Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$ kennengelernt. Im Kapitel~\ref{sec:bskalar} +haben wir diesen Begriff auf beliebige (endlich-dimensionale) reelle und +komplexe Vektorräume verallgemeinert. In diesem Kapitel möchte ich Vektorräume +mit Skalarprodukt systematisch diskutieren, und Begriffe wie „Norm“, „Abstand“, +„Metrik“ und „Orthogonalität“, die wir zuerst am Beispiel des $ℝ^n$ +kennengelernt haben, jetzt in größerer Allgemeinheit systematisch einführen. +Zuerst einmal kommen jede Menge Definitionen und eine langweilige Rechnung, +deshalb auch im Moment kein Erklärvideo. \begin{defn}[Euklidische und unitäre Vektorräume] Ein reeller Vektorraum zusammen mit einem Skalarprodukt (=positiv definiter symmetrischer Bilinearform) heißt \emph{Euklidischer - Vektorraum}\index{Euklidischer Vektorraum}. Ein komplexer Vektorraum - zusammen mit einem Skalarprodukt (=positiv definiter Hermitescher - Sequilinearform) heißt \emph{unitärer Vektorraum}\index{unitär!Vektorraum}. + Vektorraum}\index{Euklidischer Vektorraum}. Ein komplexer Vektorraum zusammen + mit einem Skalarprodukt (=positiv definiter Hermitescher Sequilinearform) + heißt \emph{unitärer Vektorraum}\index{unitär!Vektorraum}. \end{defn} \section{Normen auf Vektorräumen} In Abschnitt~\ref{sec:end} hatten wir die Euklidische Norm und den Euklidische -Abstand auf dem $ℝ^n$ definiert. Jetzt machen wir das allgemein, für -beliebige reelle oder komplexe Vektorräume, und für beliebige Mengen. +Abstand auf dem $ℝ^n$ definiert. Jetzt machen wir das allgemein, für beliebige +reelle oder komplexe Vektorräume, und für beliebige Mengen. \begin{erinnerung}[Betrag einer komplexen Zahl] Gegeben eine komplexe Zahl $λ = a+b·i ∈ ℂ$, dann nennen wir die reelle Zahl $\sqrt{a²+b²} = \sqrt{λ\overline{λ}}$ die \emph{Norm von $λ$}\index{Norm!einer - komplexen Zahl} oder \emph{Betrag von $λ$}\index{Betrag einer komplexen - Zahl} oder \emph{Absolutbetrag von $λ$}\index{Absolutbetrag einer komplexen - Zahl}. Man schreibt auch $\|λ\|$ oder $|λ|$. + komplexen Zahl} oder \emph{Betrag von $λ$}\index{Betrag einer komplexen Zahl} + oder \emph{Absolutbetrag von $λ$}\index{Absolutbetrag einer komplexen Zahl}. + Man schreibt auch $\|λ\|$ oder $|λ|$. \end{erinnerung} -\begin{defn}[Norm auf komplexen oder reellen Vektorraum]\label{def:norm} +\begin{defn}[Norm auf komplexen oder reellen Vektorraum]\label{def:norm}% Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$ und es sei $V$ ein $k$-Vektorraum. - Eine \emph{Norm}\index{Norm} auf ist eine Abbildung $\| · \|: V → ℝ$, so dass + Eine \emph{Norm}\index{Norm} auf ist eine Abbildung $\| · \|: V → ℝ$, sodass folgende Eigenschaften gelten. \begin{description} \item[Absolute Homogenität] Für alle $\vec{x} ∈ V$ und alle $λ ∈ k$ gilt: @@ -55,15 +54,15 @@ beliebige reelle oder komplexe Vektorräume, und für beliebige Mengen. \end{defn} \begin{notation}[Normierte Vektorräume] - \index{normiert!Vektorraum}Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$. - Ein normierter $k$-Vektorraum $\bigl( V, \|•\|\bigr)$ ist ein - $k$-Vektorraum $V$ zusammen mit einer Norm $\|•\|$. + \index{normiert!Vektorraum}Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$. Ein + normierter $k$-Vektorraum $\bigl( V, \|•\|\bigr)$ ist ein $k$-Vektorraum $V$ + zusammen mit einer Norm $\|•\|$. \end{notation} \begin{notation}[Normierte Vektorräume] - \index{normiert!Vektor}Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$. und es - sei $\bigl( V, \|•\|\bigr)$ ein normierter $k$-Vektorraum. Ein Vektor - $\vec{v} ∈ V$ heißt \emph{normiert}, falls $\|\vec{v}\| = 1$ ist. + \index{normiert!Vektor}Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$. und es sei + $\bigl( V, \|•\|\bigr)$ ein normierter $k$-Vektorraum. Ein Vektor $\vec{v} ∈ + V$ heißt \emph{normiert}, falls $\|\vec{v}\| = 1$ ist. \end{notation} Wir halten gleich zwei wesentliche Eigenschaften von Normen fest, die @@ -92,9 +91,9 @@ unmittelbar aus der Definition folgen. \subsection{Beispiele: Normen, die von Skalarprodukten kommen} -Als erstes und wichtigstes Beispiel von Normen möchte ich zeigen, dass jedes +Als Erstes und wichtigstes Beispiel von Normen möchte ich zeigen, dass jedes Skalarprodukt auf einem Vektorraum eine Norm induziert. Also liefern die -Skalarprodukte, die wir in Abschnitt~\ref{sec:skalar} kennen gelernt haben, +Skalarprodukte, die wir in Abschnitt~\ref{sec:skalar} kennengelernt haben, sofort Beispiele für Normen. \begin{satz}[Skalarprodukt induziert Norm]\label{satz:sin} @@ -108,28 +107,26 @@ sofort Beispiele für Normen. Der Beweis des Satzes~\ref{satz:sin}, den wir weiter unten geben, ist eine ziemliche Rechnerei. Der Beweis verwendet die folgende wichtige Ungleichung, -die sie vielleicht aus der Vorlesung ``Analysis'' schon kennen. +die sie vielleicht aus der Vorlesung „Analysis“ schon kennen. \begin{satz}[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung] - Sei V unitär oder euklidisch. Dann gilt für alle $\vec{x}, \vec{y} - ∈ V$ + Sei V unitär oder euklidisch. Dann gilt für alle $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$ \[ |\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle| ≤ \sqrt{\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle} \sqrt{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle} . \] \end{satz} \begin{proof}[Beweis durch unangenehme Rechnerei] - Seien $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$ gegeben und es sei $λ$ ein Skalar. Für - $\vec{y} = \vec{0}$ ist die Aussage klar. Sei also $\vec{y} ≠ 0$. Dann ist - wegen positiver Definitheit der Hermiteschen Form + Seien $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$ gegeben und es sei $λ$ ein Skalar. Für $\vec{y} + = \vec{0}$ ist die Aussage klar. Sei also $\vec{y} ≠ 0$. Dann ist wegen + positiver Definitheit der Hermiteschen Form \begin{align*} 0 ≤ \langle \vec{x} - λ·\vec{y}, \vec{x} - λ·\vec{y} \rangle &= \langle \vec{x}, \vec{x} - λ·\vec{y} \rangle - λ·\langle\vec{y},\vec{x}- λ·\vec{y}\rangle\\ &= \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle - \overline{λ}·\langle \vec{x}, \vec{y}\rangle - λ· \langle \vec{y}, \vec{x}\rangle + λ \overline{λ}· \langle \vec{y}, \vec{y} \rangle\\ &= \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle - \overline{λ}·\overline{\langle \vec{y}, \vec{x}\rangle} - λ·\langle \vec{y}, \vec{x}\rangle + |λ|²·\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle. \end{align*} - Jetzt betrachte den Spezialfall wo - $λ= \frac{\overline{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle}}{\langle \vec{y}, - \vec{y} \rangle}$ ist. Dann ergibt sich + Jetzt betrachte den Spezialfall wo $λ= \frac{\overline{\langle \vec{y}, + \vec{x} \rangle}}{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle}$ ist. Dann ergibt sich \begin{align*} && 0 &≤ \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle - \frac{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle}{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle}· \overline{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle} - \frac{\overline{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle}}{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle}· \langle \vec{y}, \vec{x} \rangle + \frac{|\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle|²}{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle²}·\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle\\ ⇒ && 0 &≤ \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle· \langle \vec{y}, \vec{y} \rangle - |\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle|² - |\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle|² + |\langle \vec{y}, \vec{x}\rangle|²\\ @@ -140,10 +137,10 @@ die sie vielleicht aus der Vorlesung ``Analysis'' schon kennen. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:sin}] - Um zu zeigen, dass die Abbildung $\|•\| : V → ℝ$ aus - Satz~\ref{satz:sin} tatsächlich eine Norm ist, müssen wir die drei - Eigenschaften ``absolute Homogenität'', ``Dreiecksungleichung'' und ``positive - Definitheit'' zeigen. Auf geht's. + Um zu zeigen, dass die Abbildung $\|•\| : V → ℝ$ aus Satz~\ref{satz:sin} + tatsächlich eine Norm ist, müssen wir die drei Eigenschaften „absolute + Homogenität“, „Dreiecksungleichung“ und „positive Definitheit“ zeigen. Auf + geht's. \bigskip\noindent\emph{Absolute Homogenität.} Es sei $\vec{x} ∈ V$ irgendein Vektor und es sei $λ$ irgendein Skalar. Dann ist @@ -156,7 +153,7 @@ die sie vielleicht aus der Vorlesung ``Analysis'' schon kennen. Damit ist die absolute Homogenität gezeigt. \bigskip\noindent\emph{Dreiecksungleichung.} Es seien $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$ - beliebige Vektoren. Dann folgt mit Hilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung + beliebige Vektoren. Dann folgt mithilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgendes. \begin{align*} \| \vec{x} + \vec{y} \|² &= \langle \vec{x}+\vec{y}, \vec{x}+\vec{y} \rangle\\ @@ -181,9 +178,9 @@ die in der angewandten Mathematik und in der Analysis schrecklich wichtig sind. Ich diskutiere hier nur den einfachsten Fall und verzichte auf alle Beweise (die ein wenig Analysis voraussetzen). -\begin{bsp}[Operatornorm]\label{bsp:opNorm} - Es seien $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ und $\bigl( W, \|•\|_W\bigr)$ - zwei endlich-dimensionale, normierte, reelle Vektorräume. Dann definiert die +\begin{bsp}[Operatornorm]\label{bsp:opNorm}% + Es seien $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ und $\bigl( W, \|•\|_W\bigr)$ zwei + endlich-dimensionale, normierte, reelle Vektorräume. Dann definiert die Abbildung \[ \|•\|_{\operatorname{op}} : \Hom_{ℝ}(V,W) → ℝ, \quad % @@ -219,7 +216,7 @@ Es gibt noch einige weitere Beispiele für Normen, die nicht offensichtlich von Skalarprodukten kommen. Ich nenne (wieder ohne Beweis) zwei der bekanntesten Beispiele. -\begin{bsp}[Manhattan-Norm]\label{bsp:manhatNorm} +\begin{bsp}[Manhattan-Norm]\label{bsp:manhatNorm}% Die Manhattan-Norm auf dem Vektorraum $ℝ^n$ ist gegeben als \[ \| • \|_1 : ℝ^n → ℝ, \quad @@ -240,29 +237,29 @@ Beispiele. \end{bsp} \begin{bsp}[Einschränkungen von Normen] - Es sei $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ ein normierter Vektorraum und $U ⊆ V$ - sei ein Untervektorraum. Dann ist die Einschränkung $\|•\|_V|_W$ eine Norma - auf $W$. + Es sei $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ ein normierter Vektorraum und $U ⊆ V$ sei ein + Untervektorraum. Dann ist die Einschränkung $\|•\|_V|_W$ eine Norma auf $W$. \end{bsp} \section{Metriken} -\sideremark{Vorlesung 11}Genau wie in Abschnitt~\ref{sec:end} können wir mit -Hilfe einer Norm einen Begriff von ``Abstand'' oder ``Metrik'' definieren. Der -Begriff ``Metrik'' ist aber viel allgemeiner und hat nichts mit Vektorräumen zu +\sideremark{Vorlesung 11}Genau wie in Abschnitt~\ref{sec:end} können wir +mithilfe einer Norm einen Begriff von „Abstand“ oder „Metrik“ definieren. Der +Begriff „Metrik“ ist aber viel allgemeiner und hat nichts mit Vektorräumen zu tun; wir definieren Metriken ganz allgemein auf beliebigen Mengen. \begin{defn}[Metrik] - Sei $M$ eine Menge. Eine Metrik\index{Metrik} auf $M$ ist eine Abbildung - $d: M ⨯ M → ℝ$, so dass Folgendes gilt. + Sei $M$ eine Menge. Eine Metrik\index{Metrik} auf $M$ ist eine Abbildung $d: + M ⨯ M → ℝ$, sodass Folgendes gilt. \begin{description} \item[Symmetrie] Für alle $x, y ∈ M$ gilt: $d(x,y) = d(y,x)$. - \item[Dreiecksungleichung] Für alle $x, y, z ∈ M$ gilt: $d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)$ + \item[Dreiecksungleichung] Für alle $x, y, z ∈ M$ gilt: $d(x,z) ≤ d(x,y) + + d(y,z)$ - \item[Positive Definitheit] Für alle $x, y ∈ M$ gilt: $d(x,x) ≥ 0$. Zusätzlich - gilt: $d(x,y) = 0 ⇔ x = y$. + \item[Positive Definitheit] Für alle $x, y ∈ M$ gilt: $d(x,x) ≥ 0$. + Zusätzlich gilt: $d(x,y) = 0 ⇔ x = y$. \end{description} \end{defn}