Cleanup

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -41,3 +41,8 @@ Bytestrings
 Bilinearität
 Semilinearität
 Sesquilinearlinearform
+Cayley
+Sequilinearform
+Dualräumen
+Hom-Räumen
+Maximumsnorm

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -33,3 +33,10 @@
 {"rule":"KOMMA_VOR_ERLAEUTERUNG","sentence":"^\\QBeachten Sie, dass jeder komplexe Vektorraum immer auch ein reeller Vektorraum ist, also bildet die Menge der Sesquilinearformen insbesondere einen reellen Vektorraum.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (* 24. Dezember 1822 in Dieuze, Lothringen; † 14. Januar 1901 in Paris) war ein französischer Mathematiker.\\E$"}
 {"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWill ich das wirklich wissen?.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QArthur Cayley (* 16. August 1821 in Richmond upon Thames, Surrey; † 26. Januar 1895 in Cambridge) war ein englischer Mathematiker.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QSir William Rowan Hamilton (* 4. August 1805 in Dublin; † 2. September 1865 in Dunsink bei Dublin) war ein irischer Mathematiker und Physiker, der vor allem für seine Beiträge zur Mechanik und für seine Einführung und Untersuchung der Quaternionen bekannt ist.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QSir William Rowan Hamilton (* 4. August 1805 in Dublin; † 2. September 1865 in Dunsink bei Dublin) war ein irischer Mathematiker und Physiker, der vor allem für seine Beiträge zur Mechanik und für seine Einführung und Untersuchung der Quaternionen bekannt ist.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Absolute Homogenität] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Dreiecksungleichung] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q [Positive Definitheit] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann ergibt sich \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, womit der Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung beendet ist.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Positive Definitheit] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}

04-Cayley-Hamilton.tex

@@ -82,6 +82,18 @@ des endlichen Körpers $𝔽_2$.
   \]
 \end{beobachtung}
 
+Der Satz von Cayley\footnote{Arthur Cayley (* 16.~August 1821 in Richmond upon
+Thames, Surrey; † 26.~Januar 1895 in Cambridge) war ein englischer Mathematiker.
+Er befasste sich mit sehr vielen Gebieten der Mathematik von der Analysis,
+Algebra, Geometrie bis zur Astronomie und Mechanik, ist aber vor allem für seine
+Rolle bei der Einführung des abstrakten Gruppenkonzepts
+bekannt.}-Hamilton\footnote{Sir William Rowan Hamilton (* 4.~August 1805 in
+Dublin; † 2.~September 1865 in Dunsink bei Dublin) war ein irischer Mathematiker
+und Physiker, der vor allem für seine Beiträge zur Mechanik und für seine
+Einführung und Untersuchung der Quaternionen bekannt ist.} sagt, dass jeder
+Endomorphismus Nullstelle seines eigenen charakteristischen Polynoms ist.  Wie
+cool ist das?
+
 \begin{satz}[Satz von Cayley-Hamilton]\label{satz:CayleyHamilton}
   In Situation~\ref{sit:4-0-1} sei $χ_f(t) ∈ k[t]$ das charakteristische
   Polynom des Endomorphismus $f$.  Dann ist
@@ -94,9 +106,6 @@ des endlichen Körpers $𝔽_2$.
   Der Satz von Cayley-Hamilton funktioniert genau so für Matrizen.
 \end{bemerkung}
 
-Kurz formuliert: Der Satz von Cayley-Hamilton sagt, dass jeder Endomorphismus
-Nullstelle seines eigenen charakteristischen Polynoms ist.  Wie cool ist das?
-
 \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:CayleyHamilton}]
   Der Satz von Cayley-Hamilton gilt für beliebige Körper $k$.  Der vollständige
   Beweis verwendet aber Begriffe der Algebra (den „algebraischen Abschluss eines

07-Euclidian-Unitary.tex

@@ -5,40 +5,39 @@
 \label{sec:7}
 
 \sideremark{Vorlesung 10}Wir haben im Kapitel~\ref{chap:eukl} das
-Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$ kennen gelernt.  Im
+Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$ kennengelernt.  Im Kapitel~\ref{sec:bskalar}
-Kapitel~\ref{sec:bskalar} haben wir diesen Begriff auf beliebige
+haben wir diesen Begriff auf beliebige (endlich-dimensionale) reelle und
-(endlich-dimensionale) reelle und komplexe Vektorräume verallgemeinert.  In
+komplexe Vektorräume verallgemeinert.  In diesem Kapitel möchte ich Vektorräume
-diesem Kapitel möchte ich Vektorräume mit Skalarprodukt systematisch diskutieren,
+mit Skalarprodukt systematisch diskutieren, und Begriffe wie „Norm“, „Abstand“,
-und Begriffe wie ``Norm'', ``Abstand'', ``Metrik'' und ``Orthogonalität'', die
+„Metrik“ und „Orthogonalität“, die wir zuerst am Beispiel des $ℝ^n$
-wir zuerst am Beispiel des $ℝ^n$ kennen gelernt haben, jetzt in größerer
+kennengelernt haben, jetzt in größerer Allgemeinheit systematisch einführen.
-Allgemeinheit systematisch einführen.  Zuerst einmal kommen jede Menge
+Zuerst einmal kommen jede Menge Definitionen und eine langweilige Rechnung,
-Definitionen und eine langweilige Rechnung, deshalb auch im Moment kein
+deshalb auch im Moment kein Erklärvideo.
-Erklärvideo.
 
 \begin{defn}[Euklidische und unitäre Vektorräume]
   Ein reeller Vektorraum zusammen mit einem Skalarprodukt (=positiv definiter
   symmetrischer Bilinearform) heißt \emph{Euklidischer
-    Vektorraum}\index{Euklidischer Vektorraum}.  Ein komplexer Vektorraum
+  Vektorraum}\index{Euklidischer Vektorraum}.  Ein komplexer Vektorraum zusammen
-  zusammen mit einem Skalarprodukt (=positiv definiter Hermitescher
+  mit einem Skalarprodukt (=positiv definiter Hermitescher Sequilinearform)
-  Sequilinearform) heißt \emph{unitärer Vektorraum}\index{unitär!Vektorraum}.
+  heißt \emph{unitärer Vektorraum}\index{unitär!Vektorraum}.
 \end{defn}
 
 
 \section{Normen auf Vektorräumen}
 
 In Abschnitt~\ref{sec:end} hatten wir die Euklidische Norm und den Euklidische
-Abstand auf dem $ℝ^n$ definiert.  Jetzt machen wir das allgemein, für
+Abstand auf dem $ℝ^n$ definiert.  Jetzt machen wir das allgemein, für beliebige
-beliebige reelle oder komplexe Vektorräume, und für beliebige Mengen.
+reelle oder komplexe Vektorräume, und für beliebige Mengen.
 
 \begin{erinnerung}[Betrag einer komplexen Zahl]
   Gegeben eine komplexe Zahl $λ = a+b·i ∈ ℂ$, dann nennen wir die reelle Zahl
   $\sqrt{a²+b²} = \sqrt{λ\overline{λ}}$ die \emph{Norm von $λ$}\index{Norm!einer
-    komplexen Zahl} oder \emph{Betrag von $λ$}\index{Betrag einer komplexen
+  komplexen Zahl} oder \emph{Betrag von $λ$}\index{Betrag einer komplexen Zahl}
-    Zahl} oder \emph{Absolutbetrag von $λ$}\index{Absolutbetrag einer komplexen
+  oder \emph{Absolutbetrag von $λ$}\index{Absolutbetrag einer komplexen Zahl}.
-    Zahl}.  Man schreibt auch $\|λ\|$ oder $|λ|$.
+  Man schreibt auch $\|λ\|$ oder $|λ|$.
 \end{erinnerung}
 
-\begin{defn}[Norm auf komplexen oder reellen Vektorraum]\label{def:norm}
+\begin{defn}[Norm auf komplexen oder reellen Vektorraum]\label{def:norm}%
   Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$ und es sei $V$ ein $k$-Vektorraum.
   Eine \emph{Norm}\index{Norm} auf ist eine Abbildung $\| · \|: V → ℝ$, sodass
   folgende Eigenschaften gelten.
@@ -55,15 +54,15 @@ beliebige reelle oder komplexe Vektorräume, und für beliebige Mengen.
 \end{defn}
 
 \begin{notation}[Normierte Vektorräume]
-  \index{normiert!Vektorraum}Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$.
+  \index{normiert!Vektorraum}Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$. Ein
-  Ein normierter $k$-Vektorraum $\bigl( V, \|•\|\bigr)$ ist ein
+  normierter $k$-Vektorraum $\bigl( V, \|•\|\bigr)$ ist ein $k$-Vektorraum $V$
-  $k$-Vektorraum $V$ zusammen mit einer Norm $\|•\|$.
+  zusammen mit einer Norm $\|•\|$.
 \end{notation}
 
 \begin{notation}[Normierte Vektorräume]
-  \index{normiert!Vektor}Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$.  und es
+  \index{normiert!Vektor}Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$.  und es sei
-  sei $\bigl( V, \|•\|\bigr)$ ein normierter $k$-Vektorraum.  Ein Vektor
+  $\bigl( V, \|•\|\bigr)$ ein normierter $k$-Vektorraum.  Ein Vektor $\vec{v} ∈
-  $\vec{v} ∈ V$ heißt \emph{normiert}, falls $\|\vec{v}\| = 1$ ist.
+  V$ heißt \emph{normiert}, falls $\|\vec{v}\| = 1$ ist.
 \end{notation}
 
 Wir halten gleich zwei wesentliche Eigenschaften von Normen fest, die
@@ -92,7 +91,7 @@ unmittelbar aus der Definition folgen.
 
 \subsection{Beispiele: Normen, die von Skalarprodukten kommen}
 
-Als erstes und wichtigstes Beispiel von Normen möchte ich zeigen, dass jedes
+Als Erstes und wichtigstes Beispiel von Normen möchte ich zeigen, dass jedes
 Skalarprodukt auf einem Vektorraum eine Norm induziert.  Also liefern die
 Skalarprodukte, die wir in Abschnitt~\ref{sec:skalar} kennengelernt haben,
 sofort Beispiele für Normen.
@@ -108,28 +107,26 @@ sofort Beispiele für Normen.
 
 Der Beweis des Satzes~\ref{satz:sin}, den wir weiter unten geben, ist eine
 ziemliche Rechnerei.  Der Beweis verwendet die folgende wichtige Ungleichung,
-die sie vielleicht aus der Vorlesung ``Analysis'' schon kennen.
+die sie vielleicht aus der Vorlesung „Analysis“ schon kennen.
 
 \begin{satz}[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]
-  Sei V unitär oder euklidisch.  Dann gilt für alle $\vec{x}, \vec{y}
+  Sei V unitär oder euklidisch.  Dann gilt für alle $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$
-  ∈ V$
   \[
     |\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle| ≤ \sqrt{\langle \vec{x},
       \vec{x} \rangle} \sqrt{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle} .
   \]
 \end{satz}
 \begin{proof}[Beweis durch unangenehme Rechnerei]
-  Seien $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$ gegeben und es sei $λ$ ein Skalar.  Für
+  Seien $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$ gegeben und es sei $λ$ ein Skalar.  Für $\vec{y}
-  $\vec{y} = \vec{0}$ ist die Aussage klar.  Sei also $\vec{y} ≠ 0$.  Dann ist
+  = \vec{0}$ ist die Aussage klar.  Sei also $\vec{y} ≠ 0$.  Dann ist wegen
-  wegen positiver Definitheit der Hermiteschen Form
+  positiver Definitheit der Hermiteschen Form
   \begin{align*}
     0 ≤ \langle \vec{x} - λ·\vec{y}, \vec{x} - λ·\vec{y} \rangle &= \langle \vec{x}, \vec{x} - λ·\vec{y} \rangle - λ·\langle\vec{y},\vec{x}- λ·\vec{y}\rangle\\
                                                                  &= \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle - \overline{λ}·\langle \vec{x}, \vec{y}\rangle - λ· \langle \vec{y}, \vec{x}\rangle + λ \overline{λ}· \langle \vec{y}, \vec{y} \rangle\\
                                                                  &= \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle - \overline{λ}·\overline{\langle \vec{y}, \vec{x}\rangle} - λ·\langle \vec{y}, \vec{x}\rangle + |λ|²·\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle.
   \end{align*}
-  Jetzt betrachte den Spezialfall wo
+  Jetzt betrachte den Spezialfall wo $λ= \frac{\overline{\langle \vec{y},
-  $λ= \frac{\overline{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle}}{\langle \vec{y},
+  \vec{x} \rangle}}{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle}$ ist.  Dann ergibt sich
-    \vec{y} \rangle}$ ist.  Dann ergibt sich
   \begin{align*}
     && 0 &≤ \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle - \frac{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle}{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle}· \overline{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle} - \frac{\overline{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle}}{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle}· \langle \vec{y}, \vec{x} \rangle + \frac{|\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle|²}{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle²}·\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle\\
     ⇒ && 0 &≤ \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle· \langle \vec{y}, \vec{y} \rangle - |\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle|² - |\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle|² + |\langle \vec{y}, \vec{x}\rangle|²\\
@@ -140,10 +137,10 @@ die sie vielleicht aus der Vorlesung ``Analysis'' schon kennen.
 \end{proof}
 
 \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:sin}]
-  Um zu zeigen, dass die Abbildung $\|•\| : V → ℝ$ aus
+  Um zu zeigen, dass die Abbildung $\|•\| : V → ℝ$ aus Satz~\ref{satz:sin}
-  Satz~\ref{satz:sin} tatsächlich eine Norm ist, müssen wir die drei
+  tatsächlich eine Norm ist, müssen wir die drei Eigenschaften „absolute
-  Eigenschaften ``absolute Homogenität'', ``Dreiecksungleichung'' und ``positive
+  Homogenität“, „Dreiecksungleichung“ und „positive Definitheit“ zeigen.  Auf
-  Definitheit'' zeigen.  Auf geht's.
+  geht's.
 
   \bigskip\noindent\emph{Absolute Homogenität.} Es sei $\vec{x} ∈ V$ irgendein
   Vektor und es sei $λ$ irgendein Skalar.  Dann ist
@@ -156,7 +153,7 @@ die sie vielleicht aus der Vorlesung ``Analysis'' schon kennen.
   Damit ist die absolute Homogenität gezeigt.
 
   \bigskip\noindent\emph{Dreiecksungleichung.} Es seien $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$
-  beliebige Vektoren.  Dann folgt mit Hilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung
+  beliebige Vektoren.  Dann folgt mithilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung
   folgendes.
   \begin{align*}
     \| \vec{x} + \vec{y} \|² &= \langle \vec{x}+\vec{y}, \vec{x}+\vec{y} \rangle\\
@@ -181,9 +178,9 @@ die in der angewandten Mathematik und in der Analysis schrecklich wichtig sind.
 Ich diskutiere hier nur den einfachsten Fall und verzichte auf alle Beweise (die
 ein wenig Analysis voraussetzen).
 
-\begin{bsp}[Operatornorm]\label{bsp:opNorm}
+\begin{bsp}[Operatornorm]\label{bsp:opNorm}%
-  Es seien $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ und $\bigl( W, \|•\|_W\bigr)$
+  Es seien $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ und $\bigl( W, \|•\|_W\bigr)$ zwei
-  zwei endlich-dimensionale, normierte, reelle Vektorräume.  Dann definiert die
+  endlich-dimensionale, normierte, reelle Vektorräume.  Dann definiert die
   Abbildung
   \[
     \|•\|_{\operatorname{op}} : \Hom_{ℝ}(V,W) → ℝ, \quad %
@@ -219,7 +216,7 @@ Es gibt noch einige weitere Beispiele für Normen, die nicht offensichtlich von
 Skalarprodukten kommen.  Ich nenne (wieder ohne Beweis) zwei der bekanntesten
 Beispiele.
 
-\begin{bsp}[Manhattan-Norm]\label{bsp:manhatNorm}
+\begin{bsp}[Manhattan-Norm]\label{bsp:manhatNorm}%
   Die Manhattan-Norm auf dem Vektorraum $ℝ^n$ ist gegeben als
   \[
     \| • \|_1 : ℝ^n → ℝ, \quad
@@ -240,29 +237,29 @@ Beispiele.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Einschränkungen von Normen]
-  Es sei $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ ein normierter Vektorraum und $U ⊆ V$
+  Es sei $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ ein normierter Vektorraum und $U ⊆ V$ sei ein
-  sei ein Untervektorraum.  Dann ist die Einschränkung $\|•\|_V|_W$ eine Norma
+  Untervektorraum.  Dann ist die Einschränkung $\|•\|_V|_W$ eine Norma auf $W$.
-  auf $W$.
 \end{bsp}
 
 
 \section{Metriken}
 
-\sideremark{Vorlesung 11}Genau wie in Abschnitt~\ref{sec:end} können wir mit
+\sideremark{Vorlesung 11}Genau wie in Abschnitt~\ref{sec:end} können wir
-Hilfe einer Norm einen Begriff von ``Abstand'' oder ``Metrik'' definieren.  Der
+mithilfe einer Norm einen Begriff von „Abstand“ oder „Metrik“ definieren. Der
-Begriff ``Metrik'' ist aber viel allgemeiner und hat nichts mit Vektorräumen zu
+Begriff „Metrik“ ist aber viel allgemeiner und hat nichts mit Vektorräumen zu
 tun; wir definieren Metriken ganz allgemein auf beliebigen Mengen.
 
 \begin{defn}[Metrik]
-  Sei $M$ eine Menge.  Eine Metrik\index{Metrik} auf $M$ ist eine Abbildung
+  Sei $M$ eine Menge.  Eine Metrik\index{Metrik} auf $M$ ist eine Abbildung $d:
-  $d: M ⨯ M → ℝ$, so dass Folgendes gilt.
+  M ⨯ M → ℝ$, sodass Folgendes gilt.
   \begin{description}
   \item[Symmetrie] Für alle $x, y ∈ M$ gilt: $d(x,y) = d(y,x)$.
     
-  \item[Dreiecksungleichung] Für alle $x, y, z ∈ M$ gilt: $d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)$
+  \item[Dreiecksungleichung] Für alle $x, y, z ∈ M$ gilt: $d(x,z) ≤ d(x,y) +
+  d(y,z)$
 
-  \item[Positive Definitheit] Für alle $x, y ∈ M$ gilt: $d(x,x) ≥ 0$.  Zusätzlich
+  \item[Positive Definitheit] Für alle $x, y ∈ M$ gilt: $d(x,x) ≥ 0$.
-    gilt: $d(x,y) = 0 ⇔ x = y$.
+    Zusätzlich gilt: $d(x,y) = 0 ⇔ x = y$.
   \end{description}
 \end{defn}