Fix errors

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -19,3 +19,11 @@ Quotientenvektorraums
 Erzeugendensystem
 Quotientenvektorräume
 Repräsentantenniveau
+Jordanscher
+Matrixexponential
+Matrixexponentials
+Einsetzungsabbildung
+Cayley-Hamilton
+TFAE
+Jordanblocks
+Einsetzungsmorphismus

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -7,3 +7,6 @@
 {"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDieses Skript zur Vorlesung „Lineare Algebra II“ wird im Laufe des Sommersemester 2020 ständig weiter geschrieben.\\E$"}
 {"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDieses Skript zur Vorlesung „Lineare Algebra II“ wird im Laufe des Sommersemester 2025 ständig weiter geschrieben.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWir beweisen Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nach einigen Vorbereitungen im Abschnitt ssec:pjnf.\\E$"}
+{"rule":"DE_COMPOUND_COHERENCY","sentence":"^\\QAls nächstes überlegen wir uns, wie die Potenzen von beliebigen Jordan-Blöcken ausrechnen.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIch wiederhole die Warnung aus „Lineare Algebra I“.\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qden Grad des Polynoms, in Formeln \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}

02-Jordan.tex

@@ -626,8 +626,7 @@ zur „dualen Partition“ übergehen.
   eine Basis des Quotientenraums $\factor{V^p}{V^{p-1}}$ bilden.  Schreibe jetzt
   die Vektoren
   \[
-    \overline{f}(\vec w_1), …, \overline{f}(\vec w_a), \vec v^p_1, …, \vec
+    f(\vec w_1), …, f(\vec w_a), \vec v^p_1, …, \vec v^p_{m_p-a}
-    v^p_{m_p-a}
   \]
   in die $p$.te Spalte des Diagramms.  Nach Punkt~\ref{il:2-3-4-2} von
   Proposition~\ref{prop:2-3-4} kommen alle diese Vektoren aus $V^p$.

03-Anwendungen.tex

@@ -78,14 +78,14 @@ macht die Formel kurz und in der Praxis gut berechenbar.
 \end{lem}
 
 \begin{proof}[Beweis als Übungsaufgabe]
-  Schreibe wieder einmal $J(λ,n) = λ·\Id_{n⨯ n} + J(0,n)$ und
+  Schreibe wieder einmal $J(λ,n) = λ·\Id_{n⨯n} + J(0,n)$ und
   \[
-    J(λ,n)^p =\bigl( λ·\Id_{n⨯ n} + J(0,n) \bigr)^p
+    J(λ,n)^p =\bigl( λ·\Id_{n⨯n} + J(0,n) \bigr)^p
   \]
-  Beachten Sie, dass die Matrizen $λ·\Id_{n⨯ n}$ und $J(0,n)$ kommutieren,
+  Beachten Sie, dass die Matrizen $λ·\Id_{n⨯n}$ und $J(0,n)$ kommutieren,
   dass also die Gleichheit
   \[
-    λ·\Id_{n⨯ n}·J(0,n) = λ·J(0,n)·\Id_{n⨯ n}
+    λ·\Id_{n⨯n}·J(0,n) = λ·J(0,n)·\Id_{n⨯n}
   \]
   gilt!  Benutzen Sie das, um jetzt genau wie in der Analysis-Vorlesung die
   binomische Formel~\eqref{eq:binomi} per Induktion nach $p$ zu zeigen.
@@ -116,10 +116,10 @@ macht die Formel kurz und in der Praxis gut berechenbar.
 \end{beobachtung}
 
 \begin{beobachtung}[Hohe Potenzen von komplexen Matrizen]
-  Es sei $A$ eine beliebige quadratische $(n⨯ n)$-Matrix über den komplexen
+  Es sei $A$ eine beliebige quadratische $(n⨯n)$-Matrix über den komplexen
-  Zahlen.  Wir wissen nach Kapitel~\ref{chapt:Jordan}, wie wir halbwegs effizient
+  Zahlen.  Wir wissen nach Kapitel~\ref{chapt:Jordan}, wie wir halbwegs
-  eine invertierbare Matrix $S ∈ GL_n(ℂ)$ finden, so dass $B := S·A·S^{-1}$
+  effizient eine invertierbare Matrix $S ∈ GL_n(ℂ)$ finden, sodass $B :=
-  Jordansche Normalform hat.  Dann ist $A = S^{-1}·B·S$ und
+  S·A·S^{-1}$ Jordansche Normalform hat.  Dann ist $A = S^{-1}·B·S$ und
   \[
     A^p = S^{-1}·B·\underbrace{S·S^{-1}}_{= \Id}·B·\underbrace{S·S^{-1}}_{= \Id}·B·S ⋯ S^{-1}·B·S = S^{-1}·B^p·S.
   \]
@@ -131,9 +131,9 @@ macht die Formel kurz und in der Praxis gut berechenbar.
 
 \subsection{Wiederholung}
 
-In der Vorlesung Analysis haben Sie die Exponentialfunktion kennen gelernt,
+In der Vorlesung Analysis haben Sie die Exponentialfunktion kennengelernt,
 \[
-  \exp : ℝ → ℝ, \quad t ↦ \sum_{n=0}^∞ \frac{t^n}{n!}
+  \exp : ℝ → ℝ, \quad t ↦ \sum_{n=0}^∞ \frac{t^n}{n!}.
 \]
 Wahrscheinlich kennen Sie auch schon die komplexe Exponentialfunktion und
 wissen, dass für jede reelle Zahl $t$ gilt
@@ -148,30 +148,30 @@ Falls nicht, ist jetzt eine gute Gelegenheit, diese Dinge auf
 
 Ich verallgemeinere die Exponentialfunktion jetzt, die Beweise in diesem Abschnitt
 überlasse ich aber den Kollegen von der Analysis.  Gegeben eine
-$(n⨯ n)$-Matrix $A$ über den komplexen Zahlen, definiere ich
+$(n⨯n)$-Matrix $A$ über den komplexen Zahlen, definiere ich
 \[
   \exp(A) := \sum_{n=0}^∞ \frac{1}{n!}·A^n.
 \]
-Dabei sei $A⁰$ stets die $(n⨯ n)$-Einheitsmatrix.  Diese Reihe konvergiert
+Dabei sei $A⁰$ stets die $(n⨯n)$-Einheitsmatrix.  Diese Reihe konvergiert in
-in dem Sinne, dass jeder einzelne der $n²$ vielen Matrixeinträge konvergiert --
+dem Sinne, dass jeder einzelne der $n²$ vielen Matrixeinträge konvergiert --
 natürlich lässt sich noch viel mehr sagen: absolute Konvergenz, Konvergenz in
 Operatornorm, ….  Ich erhalte so eine Abbildung
 \[
-  \exp : \Mat_{n⨯ n}(ℂ) → \Mat_{n⨯ n}(ℂ), \quad A ↦ \sum_{n=0}^∞ \frac{1}{n!}·A^n
+  \exp : \Mat_{n⨯n}(ℂ) → \Mat_{n⨯n}(ℂ), \quad A ↦ \sum_{n=0}^∞ \frac{1}{n!}·A^n,
 \]
 die in der Literatur oft Matrixexponential\index{Matrixexponential} genannt
 wird.  Sie finden weitere Erläuterungen und erste Beispiele bei
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixexponential}{Wikipedia}.
 
 \begin{bsp}
-  Es sei $A$ eine komplexe $(n⨯ n)$-Diagonalmatrix,
+  Es sei $A$ eine komplexe $(n⨯n)$-Diagonalmatrix,
   \[
     A = \begin{pmatrix}
       λ_1 & & & 0 \\
       & λ_2 & \\
       & & \ddots \\
       0 & & & λ_n
-    \end{pmatrix}
+    \end{pmatrix}.
   \]
   Dann ist
   \[
@@ -192,15 +192,14 @@ wird.  Sie finden weitere Erläuterungen und erste Beispiele bei
     \]
 \end{bsp}
 
-Etwas
+Etwas weitergehende Beispiele finden Sie als
-weitergehende Beispiele finden Sie als
 \href{http://www.iam.uni-bonn.de/fileadmin/Mathphys/15SS_ODEs/06-matrixexponential.pdf}{Beispiel
-  1.4.  in diesem Seminarvortrag}.  Ich nenne ohne Beweis einige Eigenschaften des
+1.4.  in diesem Seminarvortrag}.  Ich nenne ohne Beweis einige Eigenschaften des
 Matrixexponentials.
 
 \begin{fakt}[Elementare Fakten zum Matrixpotential]
-  Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl weiter seien $A$ und $B$ zwei komplexe
+  Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl weiter seien $A$ und $B$ zwei komplexe $(n⨯
-  $(n⨯ n)$-Matrizen.
+  n)$-Matrizen.
   \begin{enumerate}
   \item\label{il:3-2-3-1} Falls $A$ und $B$ kommutieren (falls also $AB=BA$
     ist), dann gilt
@@ -208,8 +207,8 @@ Matrixexponentials.
       \exp(A+B)=\exp(A)·\exp(B).
     \]
 
-  \item\label{il:3-2-3-2} Für jede invertierbare, komplexe $(n⨯ n)$-Matrix
+  \item\label{il:3-2-3-2} Für jede invertierbare, komplexe $(n⨯n)$-Matrix $S$
-    $S$ ist
+    ist
     \[
       \exp(S·A·S^{-1}) = S·\exp(A)·S^{-1} \eqno \qed
     \]
@@ -217,40 +216,40 @@ Matrixexponentials.
 \end{fakt}
 
 \begin{beobachtung}
-  Wenn $A$ irgendeine komplexe $(n⨯ n)$-Matrix ist, dann kommutieren die
+  Wenn $A$ irgendeine komplexe $(n⨯n)$-Matrix ist, dann kommutieren die Matrizen
-  Matrizen $A$ und $-A$ offenbar.  Also ist nach Punkt~\ref{il:3-2-3-1}
+  $A$ und $-A$ offenbar.  Also ist nach Punkt~\ref{il:3-2-3-1}
   \[
-    \Id_{n⨯ n} = \exp(0) = \exp \bigl(A+(-A) \bigr) = \exp(A) · \exp(-A).
+    \Id_{n⨯n} = \exp(0) = \exp \bigl(A+(-A) \bigr) = \exp(A) · \exp(-A).
   \]
   Es folgt, dass das Matrixexponential $\exp(A)$ für jede komplexe
-  $(n⨯ n)$-Matrix $A$ stets invertierbar ist, und dass
+  $(n⨯n)$-Matrix $A$ stets invertierbar ist, und dass $\exp(A)^{-1} = \exp(-A)$
-  $\exp(A)^{-1} = \exp(-A)$ gilt.
+  gilt.
 \end{beobachtung}
 
 Insgesamt sollten Sie mit den Beobachtungen aus Abschnitt~\ref{sec:hohePot}
 jetzt ganz gut in der Lage sein, beliebige Matrixexponentials auszurechnen.
 
 
-\section{Lineare, homogene Differentialgleichungssysteme}
+\section{Lineare, homogene Differenzialgleichungssysteme}
 
 \subsection{Erinnerung}
 
-Sie haben lineare, homogene Differentialgleichungen wahrscheinlich schon in der
+Sie haben lineare, homogene Differenzialgleichungen wahrscheinlich schon in der
-Schule kennen gelernt.  Gegeben sind Zahlen $a$ und $y_0$ aus $ℝ$.  Gesucht ist
+Schule kennengelernt.  Gegeben sind Zahlen $a$ und $y_0$ aus $ℝ$.  Gesucht ist
-eine differenzierbare Funktion $y : ℝ → ℝ$, so dass für alle $t ∈ ℝ$
+eine differenzierbare Funktion $y : ℝ → ℝ$, sodass für alle $t ∈ ℝ$ gilt: $y'(t)
-gilt: $y'(t) = a·y(t)$.  Außerdem soll $y(0) = y_0$ sein.  Aus der Vorlesung
+= a·y(t)$.  Außerdem soll $y(0) = y_0$ sein.  Aus der Vorlesung Analysis wissen
-Analysis wissen Sie, dass es nur eine solche Funktion gibt:
+Sie, dass es nur eine solche Funktion gibt:
 $$
 y(t) = \exp(t·a)·y_0.
 $$
 Dasselbe funktioniert genau so mit komplexen Zahlen.
 
 
-\subsection{Lineare, homogene Differentialgleichungssysteme}
+\subsection{Lineare, homogene Differenzialgleichungssysteme}
 
-Gegeben sei jetzt eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine komplexe $(n⨯ n)$-Matrix $A$
+Gegeben sei jetzt eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine komplexe $(n⨯n)$-Matrix $A$ und ein
-und ein Vektor $\vec{y}_0 ∈ ℂ^n$.  Gesucht sind $n$ differenzierbare
+Vektor $\vec{y}_0 ∈ ℂ^n$.  Gesucht sind $n$ differenzierbare Funktionen $y_1$,
-Funktionen $y_1$, …, $y_n : ℂ → ℂ$, so dass für alle $t ∈ ℂ$ gilt:
+…, $y_n : ℂ → ℂ$, sodass für alle $t ∈ ℂ$ gilt:
 \[
   \begin{pmatrix}
     y'_1(t) \\
@@ -265,7 +264,7 @@ Funktionen $y_1$, …, $y_n : ℂ → ℂ$, so dass für alle $t ∈ ℂ$ gilt:
     y_2(t) \\
     \vdots \\
     y_n(t)
-  \end{pmatrix}
+  \end{pmatrix}.
 \]
 Außerdem soll
 \[
@@ -279,8 +278,8 @@ Außerdem soll
 \]
 sein.
 
-\begin{fakt}[Lösungsformel für lineare, homogene Differentialgleichungssysteme]\label{fakt:3-3-1}
+\begin{fakt}[Lösungsformel für lineare, homogene Differentialgleichungssysteme]\label{fakt:3-3-1}%
-  Diese Problem hat genau eine Lösung.  Die Funktionen $y_1$, …, $y_n$ sind
+  Dieses Problem hat genau eine Lösung.  Die Funktionen $y_1$, …, $y_n$ sind
   gegeben als
   \[
     \begin{pmatrix}
@@ -299,12 +298,12 @@ sein.
 \end{bsp}
 
 
-\subsection{Differentialgleichungen höherer Ordnung}
+\subsection{Differenzialgleichungen höherer Ordnung}
 
 Ich erkläre an einem Beispiel, wie man mit unseren Methoden eine
-Differentialgleichung höherer Ordnung löst.  Gegeben seien Zahlen $a$, $b$ und
+Differenzialgleichung höherer Ordnung löst.  Gegeben seien Zahlen $a$, $b$ und
-$c$ sowie $y_0$, $y'_0$ und $y''_0$.  Gesucht ist eine Funktion
+$c$ sowie $y_0$, $y'_0$ und $y''_0$.  Gesucht ist eine Funktion $y : ℝ → ℝ$,
-$y : ℝ → ℝ$, so dass für alle $t ∈ ℝ$ gilt:
+sodass für alle $t ∈ ℝ$ gilt:
 \begin{equation}\label{eq:3-3-2-1}
   y'''(t) = a·y(t)+b·y'(t)+c·y''(t).
 \end{equation}
@@ -344,9 +343,9 @@ dieser Formulierung stellt sich \eqref{eq:3-3-2-1} wie folgt dar.
     y_0 \\
     y'_0 \\
     y''_0
-  \end{pmatrix}
+  \end{pmatrix}.
 \]
-Nach der Lösungsformel für lineare, homogene Differentialgleichungssysteme,
+Nach der Lösungsformel für lineare, homogene Differenzialgleichungssysteme,
 Fakt~\ref{fakt:3-3-1}, können wir diese DGL jetzt aber lösen.
 
 \begin{bsp}

04-Cayley-Hamilton.tex

@@ -18,9 +18,8 @@ In der Situation~\ref{sit:4-0-1} gibt es noch mehr Endomorphismen, zum Beispiel
   f⁰ = \Id_V, \quad f², \quad f³, \quad\text{oder}\quad f⁵-7·f²+12·f-5·f⁰.
 \]
 Das funktioniert natürlich nicht nur mit den Polynomen $x⁰$, $x²$, $x³$ und
-$x⁵-7·x²+12·x-5$ sondern ganz allgemein.  Die passende Definition kommt
+$x⁵-7·x²+12·x-5$, sondern ganz allgemein.  Die passende Definition kommt sofort,
-sofort, aber zuerst erinnern wir uns an eine einige Definition zum Thema
+aber zuerst erinnern wir uns an eine einige Definitionen zum Thema „Polynome“.
-``Polynome''.
 
 \begin{defn}[Polynome]
   Gegeben einen Körper $k$, dann bezeichne mit $k[t]$ die Menge der Polynome mit
@@ -45,15 +44,15 @@ sofort, aber zuerst erinnern wir uns an eine einige Definition zum Thema
   Es ist $t²+π·t- \sqrt{2} ∈ ℝ[t]$, aber nicht in $ℚ[t]$.
 \end{bsp}
 
-Ich wiederhole die Warnung aus ``Lineare Algebra I''.  Wie wir in der Schule
+Ich wiederhole die Warnung aus „Lineare Algebra I“.  Wie wir in der Schule
-gelernt haben, liefert jedes Polynom $p(t) ∈ k[t]$ eine Abbildung $k → k$,
+gelernt haben, liefert jedes Polynom $p(t) ∈ k[t]$ eine Abbildung $k → k$, $λ ↦
-$λ ↦ p(λ)$, die man oft irreführenderweise ebenfalls mit $p$
+p(λ)$, die man oft irreführenderweise ebenfalls mit $p$ bezeichnet.  Beachten
-bezeichnet.  Beachten Sie aber, dass Polynome zwar Abbildungen liefern, aber
+Sie aber, dass Polynome zwar Abbildungen liefern, aber keine Abbildungen sind!
-keine Abbildungen sind!  Wenn $𝔽_2$ der bekannte Körper mit zwei Elementen ist,
+Wenn $𝔽_2$ der bekannte Körper mit zwei Elementen ist, dann sind die Polynome
-dann sind die Polynome $t$, $t²$, $t³$, … alle unterschiedlich (denn sie haben
+$t$, $t²$, $t³$, … alle unterschiedlich (denn sie haben ja unterschiedlichen
-ja unterschiedlichen Grad).  Die zugehörigen Abbildungen sind aber alle gleich.
+Grad).  Die zugehörigen Abbildungen sind aber alle gleich. Insgesamt gibt es
-Insgesamt gibt es unendliche viele Polynome, aber natürlich nur endlich viele
+unendliche viele Polynome, aber natürlich nur endlich viele Selbstabbildungen
-Selbstabbildungen des endlichen Körpers $𝔽_2$.
+des endlichen Körpers $𝔽_2$.
 
 \begin{defn}[Einsetzungsabbildung für Endomorphismen]
   In Situation~\ref{sit:4-0-1} sei ein Polynom $p(t) = \sum_{i=0}^n a_i·tⁱ$ aus
@@ -68,17 +67,16 @@ Selbstabbildungen des endlichen Körpers $𝔽_2$.
   \]
   genannt
   \emph{Einsetzungsabbildung}\index{Einsetzungsabbildung!Endomorphismen}.
-  Gegeben eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine $(n⨯ n)$-Matrix $A$ mit Einträgen in
+  Gegeben eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine $(n⨯n)$-Matrix $A$ mit Einträgen in $k$ und
-  $k$ und ein ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$ definieren wir völlig analog eine
+  ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$ definieren wir völlig analog eine Matrix $p(A)$ und
-  Matrix $p(A)$ und eine
+  eine \emph{Einsetzungsabbildung}\index{Einsetzungsabbildung!Matrizen} $s: k[t]
-  \emph{Einsetzungsabbildung}\index{Einsetzungsabbildung!Matrizen}
+  → \Mat(n⨯n, k)$ durch $s(A) = p(A)$.
-  $s: k[t] → \Mat(n⨯ n, k)$ durch $s(A) = p(A)$.
 \end{defn}
 
-\begin{beobachtung}[Einsetzungsabbildung bei ähnlichen Matrizen]\label{beob:4-0-6}
+\begin{beobachtung}[Einsetzungsabbildung bei ähnlichen Matrizen]\label{beob:4-0-6}%
-  Gegeben eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine $(n⨯ n)$-Matrix $A$ mit Einträgen in
+  Gegeben eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine $(n⨯n)$-Matrix $A$ mit Einträgen in $k$ und
-  $k$ und ein ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$.  Wenn wir noch eine invertierbare
+  ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$.  Wenn wir noch eine invertierbare Matrix $S ∈
-  Matrix $S ∈ GL_n(k)$ haben, dann ist
+  GL_n(k)$ haben, dann ist
   \[
     p(S·A·S^{-1}) = S·p(A)·S^{-1}.
   \]
@@ -108,22 +106,22 @@ Nullstelle seines eigenen charakteristischen Polynoms ist.  Wie cool ist das?
 
 Wir bleiben in Situation~\ref{sit:4-0-1}.  Dann wissen wir schon, dass $f$ eine
 Nullstelle von $χ_f$ ist.  Wir fragen uns, ob es nicht noch ein einfacheres
-Polynom $p(t) ∈ k[t]$ gibt, so dass $p(f) = 0$ ist.  Und nein, wir wollen nicht
+Polynom $p(t) ∈ k[t]$ gibt, sodass $p(f) = 0$ ist.  Und nein, wir wollen nicht
 das Nullpolynom betrachten.
 
-\begin{beobachtung}\label{beob:4-0-7}
+\begin{beobachtung}\label{beob:4-0-7}%
   In Situation~\ref{sit:4-0-1}, wenn ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$ gegeben ist mit
-  $p(f) = 0$ und wenn $λ ∈ k ∖ \{0\}$ dann ist $q := λ·p$ auch wieder
+  $p(f) = 0$ und wenn $λ ∈ k ∖ \{0\}$ dann ist $q := λ·p$ auch wieder ein
-  ein Polynom und $q(f) = 0$.  Konsequenz: bei unserer Suche nach möglichst
+  Polynom und $q(f) = 0$.  Konsequenz: bei unserer Suche nach möglichst
   einfachen Polynomen können wir immer annehmen, dass der Leitkoeffizient gleich
   1 ist.
 \end{beobachtung}
 
-\begin{beobachtung}\label{beob:4-0-8}
+\begin{beobachtung}\label{beob:4-0-8}%
   In Situation~\ref{sit:4-0-1} seien $p_1(t)$ und $p_2(t) ∈ k[t]$ zwei
-  unterschiedliche Polynome mit $p_1(f) = p_2(f) = 0$.  Angenommen, die Grade von
+  unterschiedliche Polynome mit $p_1(f) = p_2(f) = 0$.  Angenommen, die Grade
-  $p_1$ und $p_2$ seien gleich und beide Polynome seien normiert.  Setzt
+  von $p_1$ und $p_2$ seien gleich und beide Polynome seien normiert.  Setzt $q
-  $q := p_1-p_2$.  Dann gilt Folgendes.
+  := p_1-p_2$.  Dann gilt Folgendes.
   \begin{itemize}
   \item Das Polynome $q$ ist nicht das Nullpolynom.
   \item Es ist $q(f) = p_1(f) - p_2(f) = 0 - 0 = 0 ∈ \End(V)$.
@@ -151,7 +149,7 @@ Diese Beobachtungen legen folgende Definition nahe.
   Beobachtung~\ref{beob:4-0-7} und der Satz~\ref{satz:CayleyHamilton} von
   Cayley-Hamilton sagen, dass Minimalpolynome für jeden Endomorphismus und für
   jede quadratische Matrix existieren.  Beobachtung~\ref{beob:4-0-8} sagt, dass
-  dies Minimalpolynome eindeutig bestimmt ist.
+  das Minimalpolynom eindeutig bestimmt ist.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bsp}
@@ -162,9 +160,9 @@ Diese Beobachtungen legen folgende Definition nahe.
       5 & 1 & 0 \\
       0 & 5 & 0 \\
       0 & 0 & 5
-    \end{pmatrix}
+    \end{pmatrix}.
   \]
-  Da die Matrix $A$ kein Vielfaches von $\Id_{3⨯ 3}$, ist das
+  Da die Matrix $A$ kein Vielfaches von $\Id_{3⨯3}$, ist das
   Minimalpolynom von $A$ ganz sicher nicht linear.  Auf der anderen Seite ist
   \[
     A² =
@@ -172,9 +170,9 @@ Diese Beobachtungen legen folgende Definition nahe.
       25 & 10 & 0 \\
       0 & 25 & 0 \\
       0 & 0 & 25
-    \end{pmatrix}
+    \end{pmatrix}.
   \]
-  Also ist $A²-10·A+25·\Id_{3⨯ 3} = 0$.  Also ist
+  Also ist $A²-10·A+25·\Id_{3⨯3} = 0$.  Also ist
   $p(t) = t²-10·t+25 = (t-5)²$ ein normiertes Polynom, das $A$ als Nullstelle
   hat.  Das muss dann wohl das Minimalpolynom sein.
 \end{bsp}
@@ -190,13 +188,13 @@ Diese Beobachtungen legen folgende Definition nahe.
   Minimalpolynom.
 \end{beobachtung}
 
-Der folgenden Satz liefern eine erste Beschreibung des Minimalpolynoms.
+Der folgende Satz liefert eine erste Beschreibung des Minimalpolynoms.
 
 \begin{satz}[Andere Polynome mit $f$ als Nullstelle]
   In Situation~\ref{sit:4-0-1} sei $p(t)$ das Minimalpolynom von $f$, und $q(t)$
-  sei ein weiteres, nicht-verschwindendes Polynom, das $f$ als Nullstelle
+  sei ein weiteres, nicht-verschwindendes Polynom, das $f$ als Nullstelle hat.
-  hat.  Dann ist $q$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms $p$.  Das bedeutet: es
+  Dann ist $q$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms $p$.  Das bedeutet: Es gibt
-  gibt ein Polynom $r(t)$, so dass $q(t) = r(t)·p(t)$ ist.
+  ein Polynom $r(t)$, sodass $q(t) = r(t)·p(t)$ ist.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   Ich führe einen Widerspruchsbeweis und nehme an, die Aussage sei falsch.  Dann
@@ -207,9 +205,9 @@ Der folgenden Satz liefern eine erste Beschreibung des Minimalpolynoms.
   \item Der Grad von $q$ ist minimal unter den Graden aller Polynome, die $f$
     als Nullstelle haben und die kein Vielfaches von $p$ sind.
   \end{enumerate}
-  Dann ist ganz klar per Definition von ``Minimalpolynom'' $\deg q ≥ \deg
+  Dann ist ganz klar per Definition von „Minimalpolynom“ $\deg q ≥ \deg p$.  Es
-  p$.  Es sei $d := \deg q - \deg p$.  Man beachte, dass $t^d·p$ ebenfalls
+  sei $d := \deg q - \deg p$.  Man beachte, dass $t^d·p$ ebenfalls normiert ist
-  normiert ist und $f$ als Nullstelle hat.  Also hat
+  und $f$ als Nullstelle hat.  Also hat
   \[
     r(t) = q(t) - t^d·p(t)
   \]
@@ -220,8 +218,8 @@ Der folgenden Satz liefern eine erste Beschreibung des Minimalpolynoms.
 \end{proof}
 
 \begin{satz}[Nullstellen des Minimalpolynoms]
-  Es sei $k$ eine Körper, $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix mit Werten in $k$ und
+  Es sei $k$ ein Körper, $A$ eine $(n⨯n)$-Matrix mit Werten in $k$ und $λ ∈ k$.
-  $λ ∈ k$.  TFAE:
+  TFAE:
   \begin{enumerate}
   \item Das Skalar $λ$ ist ein Eigenwert von $A$.
     
@@ -239,7 +237,7 @@ Der folgenden Satz liefern eine erste Beschreibung des Minimalpolynoms.
 vollständig beantworten.
 
 \begin{satz}[Beschreibung des Minimalpolynoms über $ℂ$]
-  Es sei $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix über den komplexen Zahlen.  Bezeichne die
+  Es sei $A$ eine $(n⨯n)$-Matrix über den komplexen Zahlen.  Bezeichne die
   Eigenwerte von $A$ mit $λ_1$, …, $λ_d$ und schreibe für jeden Index $i$
   \[
     m_i := \text{Länge des längsten Jordanblocks zum Eigenwert } λ_i.