From 3bd5ccd104832507528e9aee76beaac6fdc1ca7b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Mon, 5 May 2025 10:33:28 +0200 Subject: [PATCH] Fix errors --- .vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt | 8 ++ .vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt | 3 + 02-Jordan.tex | 3 +- 03-Anwendungen.tex | 93 ++++++++++----------- 04-Cayley-Hamilton.tex | 86 ++++++++++--------- 5 files changed, 100 insertions(+), 93 deletions(-) diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index 50018e6..c553c03 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -19,3 +19,11 @@ Quotientenvektorraums Erzeugendensystem Quotientenvektorräume Repräsentantenniveau +Jordanscher +Matrixexponential +Matrixexponentials +Einsetzungsabbildung +Cayley-Hamilton +TFAE +Jordanblocks +Einsetzungsmorphismus diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index 2354a5f..863d79d 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -7,3 +7,6 @@ {"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDieses Skript zur Vorlesung „Lineare Algebra II“ wird im Laufe des Sommersemester 2020 ständig weiter geschrieben.\\E$"} {"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDieses Skript zur Vorlesung „Lineare Algebra II“ wird im Laufe des Sommersemester 2025 ständig weiter geschrieben.\\E$"} {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWir beweisen Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nach einigen Vorbereitungen im Abschnitt ssec:pjnf.\\E$"} +{"rule":"DE_COMPOUND_COHERENCY","sentence":"^\\QAls nächstes überlegen wir uns, wie die Potenzen von beliebigen Jordan-Blöcken ausrechnen.\\E$"} +{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIch wiederhole die Warnung aus „Lineare Algebra I“.\\E$"} +{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qden Grad des Polynoms, in Formeln \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} diff --git a/02-Jordan.tex b/02-Jordan.tex index c536218..c5d6794 100644 --- a/02-Jordan.tex +++ b/02-Jordan.tex @@ -626,8 +626,7 @@ zur „dualen Partition“ übergehen. eine Basis des Quotientenraums $\factor{V^p}{V^{p-1}}$ bilden. Schreibe jetzt die Vektoren \[ - \overline{f}(\vec w_1), …, \overline{f}(\vec w_a), \vec v^p_1, …, \vec - v^p_{m_p-a} + f(\vec w_1), …, f(\vec w_a), \vec v^p_1, …, \vec v^p_{m_p-a} \] in die $p$.te Spalte des Diagramms. Nach Punkt~\ref{il:2-3-4-2} von Proposition~\ref{prop:2-3-4} kommen alle diese Vektoren aus $V^p$. diff --git a/03-Anwendungen.tex b/03-Anwendungen.tex index f8f15cf..06be572 100644 --- a/03-Anwendungen.tex +++ b/03-Anwendungen.tex @@ -78,14 +78,14 @@ macht die Formel kurz und in der Praxis gut berechenbar. \end{lem} \begin{proof}[Beweis als Übungsaufgabe] - Schreibe wieder einmal $J(λ,n) = λ·\Id_{n⨯ n} + J(0,n)$ und + Schreibe wieder einmal $J(λ,n) = λ·\Id_{n⨯n} + J(0,n)$ und \[ - J(λ,n)^p =\bigl( λ·\Id_{n⨯ n} + J(0,n) \bigr)^p + J(λ,n)^p =\bigl( λ·\Id_{n⨯n} + J(0,n) \bigr)^p \] - Beachten Sie, dass die Matrizen $λ·\Id_{n⨯ n}$ und $J(0,n)$ kommutieren, + Beachten Sie, dass die Matrizen $λ·\Id_{n⨯n}$ und $J(0,n)$ kommutieren, dass also die Gleichheit \[ - λ·\Id_{n⨯ n}·J(0,n) = λ·J(0,n)·\Id_{n⨯ n} + λ·\Id_{n⨯n}·J(0,n) = λ·J(0,n)·\Id_{n⨯n} \] gilt! Benutzen Sie das, um jetzt genau wie in der Analysis-Vorlesung die binomische Formel~\eqref{eq:binomi} per Induktion nach $p$ zu zeigen. @@ -116,10 +116,10 @@ macht die Formel kurz und in der Praxis gut berechenbar. \end{beobachtung} \begin{beobachtung}[Hohe Potenzen von komplexen Matrizen] - Es sei $A$ eine beliebige quadratische $(n⨯ n)$-Matrix über den komplexen - Zahlen. Wir wissen nach Kapitel~\ref{chapt:Jordan}, wie wir halbwegs effizient - eine invertierbare Matrix $S ∈ GL_n(ℂ)$ finden, so dass $B := S·A·S^{-1}$ - Jordansche Normalform hat. Dann ist $A = S^{-1}·B·S$ und + Es sei $A$ eine beliebige quadratische $(n⨯n)$-Matrix über den komplexen + Zahlen. Wir wissen nach Kapitel~\ref{chapt:Jordan}, wie wir halbwegs + effizient eine invertierbare Matrix $S ∈ GL_n(ℂ)$ finden, sodass $B := + S·A·S^{-1}$ Jordansche Normalform hat. Dann ist $A = S^{-1}·B·S$ und \[ A^p = S^{-1}·B·\underbrace{S·S^{-1}}_{= \Id}·B·\underbrace{S·S^{-1}}_{= \Id}·B·S ⋯ S^{-1}·B·S = S^{-1}·B^p·S. \] @@ -131,9 +131,9 @@ macht die Formel kurz und in der Praxis gut berechenbar. \subsection{Wiederholung} -In der Vorlesung Analysis haben Sie die Exponentialfunktion kennen gelernt, +In der Vorlesung Analysis haben Sie die Exponentialfunktion kennengelernt, \[ - \exp : ℝ → ℝ, \quad t ↦ \sum_{n=0}^∞ \frac{t^n}{n!} + \exp : ℝ → ℝ, \quad t ↦ \sum_{n=0}^∞ \frac{t^n}{n!}. \] Wahrscheinlich kennen Sie auch schon die komplexe Exponentialfunktion und wissen, dass für jede reelle Zahl $t$ gilt @@ -148,30 +148,30 @@ Falls nicht, ist jetzt eine gute Gelegenheit, diese Dinge auf Ich verallgemeinere die Exponentialfunktion jetzt, die Beweise in diesem Abschnitt überlasse ich aber den Kollegen von der Analysis. Gegeben eine -$(n⨯ n)$-Matrix $A$ über den komplexen Zahlen, definiere ich +$(n⨯n)$-Matrix $A$ über den komplexen Zahlen, definiere ich \[ \exp(A) := \sum_{n=0}^∞ \frac{1}{n!}·A^n. \] -Dabei sei $A⁰$ stets die $(n⨯ n)$-Einheitsmatrix. Diese Reihe konvergiert -in dem Sinne, dass jeder einzelne der $n²$ vielen Matrixeinträge konvergiert -- +Dabei sei $A⁰$ stets die $(n⨯n)$-Einheitsmatrix. Diese Reihe konvergiert in +dem Sinne, dass jeder einzelne der $n²$ vielen Matrixeinträge konvergiert -- natürlich lässt sich noch viel mehr sagen: absolute Konvergenz, Konvergenz in Operatornorm, …. Ich erhalte so eine Abbildung \[ - \exp : \Mat_{n⨯ n}(ℂ) → \Mat_{n⨯ n}(ℂ), \quad A ↦ \sum_{n=0}^∞ \frac{1}{n!}·A^n + \exp : \Mat_{n⨯n}(ℂ) → \Mat_{n⨯n}(ℂ), \quad A ↦ \sum_{n=0}^∞ \frac{1}{n!}·A^n, \] die in der Literatur oft Matrixexponential\index{Matrixexponential} genannt wird. Sie finden weitere Erläuterungen und erste Beispiele bei \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixexponential}{Wikipedia}. \begin{bsp} - Es sei $A$ eine komplexe $(n⨯ n)$-Diagonalmatrix, + Es sei $A$ eine komplexe $(n⨯n)$-Diagonalmatrix, \[ A = \begin{pmatrix} λ_1 & & & 0 \\ & λ_2 & \\ & & \ddots \\ 0 & & & λ_n - \end{pmatrix} + \end{pmatrix}. \] Dann ist \[ @@ -192,15 +192,14 @@ wird. Sie finden weitere Erläuterungen und erste Beispiele bei \] \end{bsp} -Etwas -weitergehende Beispiele finden Sie als +Etwas weitergehende Beispiele finden Sie als \href{http://www.iam.uni-bonn.de/fileadmin/Mathphys/15SS_ODEs/06-matrixexponential.pdf}{Beispiel - 1.4. in diesem Seminarvortrag}. Ich nenne ohne Beweis einige Eigenschaften des +1.4. in diesem Seminarvortrag}. Ich nenne ohne Beweis einige Eigenschaften des Matrixexponentials. \begin{fakt}[Elementare Fakten zum Matrixpotential] - Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl weiter seien $A$ und $B$ zwei komplexe - $(n⨯ n)$-Matrizen. + Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl weiter seien $A$ und $B$ zwei komplexe $(n⨯ + n)$-Matrizen. \begin{enumerate} \item\label{il:3-2-3-1} Falls $A$ und $B$ kommutieren (falls also $AB=BA$ ist), dann gilt @@ -208,8 +207,8 @@ Matrixexponentials. \exp(A+B)=\exp(A)·\exp(B). \] - \item\label{il:3-2-3-2} Für jede invertierbare, komplexe $(n⨯ n)$-Matrix - $S$ ist + \item\label{il:3-2-3-2} Für jede invertierbare, komplexe $(n⨯n)$-Matrix $S$ + ist \[ \exp(S·A·S^{-1}) = S·\exp(A)·S^{-1} \eqno \qed \] @@ -217,40 +216,40 @@ Matrixexponentials. \end{fakt} \begin{beobachtung} - Wenn $A$ irgendeine komplexe $(n⨯ n)$-Matrix ist, dann kommutieren die - Matrizen $A$ und $-A$ offenbar. Also ist nach Punkt~\ref{il:3-2-3-1} + Wenn $A$ irgendeine komplexe $(n⨯n)$-Matrix ist, dann kommutieren die Matrizen + $A$ und $-A$ offenbar. Also ist nach Punkt~\ref{il:3-2-3-1} \[ - \Id_{n⨯ n} = \exp(0) = \exp \bigl(A+(-A) \bigr) = \exp(A) · \exp(-A). + \Id_{n⨯n} = \exp(0) = \exp \bigl(A+(-A) \bigr) = \exp(A) · \exp(-A). \] Es folgt, dass das Matrixexponential $\exp(A)$ für jede komplexe - $(n⨯ n)$-Matrix $A$ stets invertierbar ist, und dass - $\exp(A)^{-1} = \exp(-A)$ gilt. + $(n⨯n)$-Matrix $A$ stets invertierbar ist, und dass $\exp(A)^{-1} = \exp(-A)$ + gilt. \end{beobachtung} Insgesamt sollten Sie mit den Beobachtungen aus Abschnitt~\ref{sec:hohePot} jetzt ganz gut in der Lage sein, beliebige Matrixexponentials auszurechnen. -\section{Lineare, homogene Differentialgleichungssysteme} +\section{Lineare, homogene Differenzialgleichungssysteme} \subsection{Erinnerung} -Sie haben lineare, homogene Differentialgleichungen wahrscheinlich schon in der -Schule kennen gelernt. Gegeben sind Zahlen $a$ und $y_0$ aus $ℝ$. Gesucht ist -eine differenzierbare Funktion $y : ℝ → ℝ$, so dass für alle $t ∈ ℝ$ -gilt: $y'(t) = a·y(t)$. Außerdem soll $y(0) = y_0$ sein. Aus der Vorlesung -Analysis wissen Sie, dass es nur eine solche Funktion gibt: +Sie haben lineare, homogene Differenzialgleichungen wahrscheinlich schon in der +Schule kennengelernt. Gegeben sind Zahlen $a$ und $y_0$ aus $ℝ$. Gesucht ist +eine differenzierbare Funktion $y : ℝ → ℝ$, sodass für alle $t ∈ ℝ$ gilt: $y'(t) += a·y(t)$. Außerdem soll $y(0) = y_0$ sein. Aus der Vorlesung Analysis wissen +Sie, dass es nur eine solche Funktion gibt: $$ y(t) = \exp(t·a)·y_0. $$ Dasselbe funktioniert genau so mit komplexen Zahlen. -\subsection{Lineare, homogene Differentialgleichungssysteme} +\subsection{Lineare, homogene Differenzialgleichungssysteme} -Gegeben sei jetzt eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine komplexe $(n⨯ n)$-Matrix $A$ -und ein Vektor $\vec{y}_0 ∈ ℂ^n$. Gesucht sind $n$ differenzierbare -Funktionen $y_1$, …, $y_n : ℂ → ℂ$, so dass für alle $t ∈ ℂ$ gilt: +Gegeben sei jetzt eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine komplexe $(n⨯n)$-Matrix $A$ und ein +Vektor $\vec{y}_0 ∈ ℂ^n$. Gesucht sind $n$ differenzierbare Funktionen $y_1$, +…, $y_n : ℂ → ℂ$, sodass für alle $t ∈ ℂ$ gilt: \[ \begin{pmatrix} y'_1(t) \\ @@ -265,7 +264,7 @@ Funktionen $y_1$, …, $y_n : ℂ → ℂ$, so dass für alle $t ∈ ℂ$ gilt: y_2(t) \\ \vdots \\ y_n(t) - \end{pmatrix} + \end{pmatrix}. \] Außerdem soll \[ @@ -279,8 +278,8 @@ Außerdem soll \] sein. -\begin{fakt}[Lösungsformel für lineare, homogene Differentialgleichungssysteme]\label{fakt:3-3-1} - Diese Problem hat genau eine Lösung. Die Funktionen $y_1$, …, $y_n$ sind +\begin{fakt}[Lösungsformel für lineare, homogene Differentialgleichungssysteme]\label{fakt:3-3-1}% + Dieses Problem hat genau eine Lösung. Die Funktionen $y_1$, …, $y_n$ sind gegeben als \[ \begin{pmatrix} @@ -299,12 +298,12 @@ sein. \end{bsp} -\subsection{Differentialgleichungen höherer Ordnung} +\subsection{Differenzialgleichungen höherer Ordnung} Ich erkläre an einem Beispiel, wie man mit unseren Methoden eine -Differentialgleichung höherer Ordnung löst. Gegeben seien Zahlen $a$, $b$ und -$c$ sowie $y_0$, $y'_0$ und $y''_0$. Gesucht ist eine Funktion -$y : ℝ → ℝ$, so dass für alle $t ∈ ℝ$ gilt: +Differenzialgleichung höherer Ordnung löst. Gegeben seien Zahlen $a$, $b$ und +$c$ sowie $y_0$, $y'_0$ und $y''_0$. Gesucht ist eine Funktion $y : ℝ → ℝ$, +sodass für alle $t ∈ ℝ$ gilt: \begin{equation}\label{eq:3-3-2-1} y'''(t) = a·y(t)+b·y'(t)+c·y''(t). \end{equation} @@ -344,9 +343,9 @@ dieser Formulierung stellt sich \eqref{eq:3-3-2-1} wie folgt dar. y_0 \\ y'_0 \\ y''_0 - \end{pmatrix} + \end{pmatrix}. \] -Nach der Lösungsformel für lineare, homogene Differentialgleichungssysteme, +Nach der Lösungsformel für lineare, homogene Differenzialgleichungssysteme, Fakt~\ref{fakt:3-3-1}, können wir diese DGL jetzt aber lösen. \begin{bsp} diff --git a/04-Cayley-Hamilton.tex b/04-Cayley-Hamilton.tex index a05183e..e26b16b 100644 --- a/04-Cayley-Hamilton.tex +++ b/04-Cayley-Hamilton.tex @@ -18,9 +18,8 @@ In der Situation~\ref{sit:4-0-1} gibt es noch mehr Endomorphismen, zum Beispiel f⁰ = \Id_V, \quad f², \quad f³, \quad\text{oder}\quad f⁵-7·f²+12·f-5·f⁰. \] Das funktioniert natürlich nicht nur mit den Polynomen $x⁰$, $x²$, $x³$ und -$x⁵-7·x²+12·x-5$ sondern ganz allgemein. Die passende Definition kommt -sofort, aber zuerst erinnern wir uns an eine einige Definition zum Thema -``Polynome''. +$x⁵-7·x²+12·x-5$, sondern ganz allgemein. Die passende Definition kommt sofort, +aber zuerst erinnern wir uns an eine einige Definitionen zum Thema „Polynome“. \begin{defn}[Polynome] Gegeben einen Körper $k$, dann bezeichne mit $k[t]$ die Menge der Polynome mit @@ -45,15 +44,15 @@ sofort, aber zuerst erinnern wir uns an eine einige Definition zum Thema Es ist $t²+π·t- \sqrt{2} ∈ ℝ[t]$, aber nicht in $ℚ[t]$. \end{bsp} -Ich wiederhole die Warnung aus ``Lineare Algebra I''. Wie wir in der Schule -gelernt haben, liefert jedes Polynom $p(t) ∈ k[t]$ eine Abbildung $k → k$, -$λ ↦ p(λ)$, die man oft irreführenderweise ebenfalls mit $p$ -bezeichnet. Beachten Sie aber, dass Polynome zwar Abbildungen liefern, aber -keine Abbildungen sind! Wenn $𝔽_2$ der bekannte Körper mit zwei Elementen ist, -dann sind die Polynome $t$, $t²$, $t³$, … alle unterschiedlich (denn sie haben -ja unterschiedlichen Grad). Die zugehörigen Abbildungen sind aber alle gleich. -Insgesamt gibt es unendliche viele Polynome, aber natürlich nur endlich viele -Selbstabbildungen des endlichen Körpers $𝔽_2$. +Ich wiederhole die Warnung aus „Lineare Algebra I“. Wie wir in der Schule +gelernt haben, liefert jedes Polynom $p(t) ∈ k[t]$ eine Abbildung $k → k$, $λ ↦ +p(λ)$, die man oft irreführenderweise ebenfalls mit $p$ bezeichnet. Beachten +Sie aber, dass Polynome zwar Abbildungen liefern, aber keine Abbildungen sind! +Wenn $𝔽_2$ der bekannte Körper mit zwei Elementen ist, dann sind die Polynome +$t$, $t²$, $t³$, … alle unterschiedlich (denn sie haben ja unterschiedlichen +Grad). Die zugehörigen Abbildungen sind aber alle gleich. Insgesamt gibt es +unendliche viele Polynome, aber natürlich nur endlich viele Selbstabbildungen +des endlichen Körpers $𝔽_2$. \begin{defn}[Einsetzungsabbildung für Endomorphismen] In Situation~\ref{sit:4-0-1} sei ein Polynom $p(t) = \sum_{i=0}^n a_i·tⁱ$ aus @@ -68,17 +67,16 @@ Selbstabbildungen des endlichen Körpers $𝔽_2$. \] genannt \emph{Einsetzungsabbildung}\index{Einsetzungsabbildung!Endomorphismen}. - Gegeben eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine $(n⨯ n)$-Matrix $A$ mit Einträgen in - $k$ und ein ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$ definieren wir völlig analog eine - Matrix $p(A)$ und eine - \emph{Einsetzungsabbildung}\index{Einsetzungsabbildung!Matrizen} - $s: k[t] → \Mat(n⨯ n, k)$ durch $s(A) = p(A)$. + Gegeben eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine $(n⨯n)$-Matrix $A$ mit Einträgen in $k$ und + ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$ definieren wir völlig analog eine Matrix $p(A)$ und + eine \emph{Einsetzungsabbildung}\index{Einsetzungsabbildung!Matrizen} $s: k[t] + → \Mat(n⨯n, k)$ durch $s(A) = p(A)$. \end{defn} -\begin{beobachtung}[Einsetzungsabbildung bei ähnlichen Matrizen]\label{beob:4-0-6} - Gegeben eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine $(n⨯ n)$-Matrix $A$ mit Einträgen in - $k$ und ein ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$. Wenn wir noch eine invertierbare - Matrix $S ∈ GL_n(k)$ haben, dann ist +\begin{beobachtung}[Einsetzungsabbildung bei ähnlichen Matrizen]\label{beob:4-0-6}% + Gegeben eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine $(n⨯n)$-Matrix $A$ mit Einträgen in $k$ und + ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$. Wenn wir noch eine invertierbare Matrix $S ∈ + GL_n(k)$ haben, dann ist \[ p(S·A·S^{-1}) = S·p(A)·S^{-1}. \] @@ -108,22 +106,22 @@ Nullstelle seines eigenen charakteristischen Polynoms ist. Wie cool ist das? Wir bleiben in Situation~\ref{sit:4-0-1}. Dann wissen wir schon, dass $f$ eine Nullstelle von $χ_f$ ist. Wir fragen uns, ob es nicht noch ein einfacheres -Polynom $p(t) ∈ k[t]$ gibt, so dass $p(f) = 0$ ist. Und nein, wir wollen nicht +Polynom $p(t) ∈ k[t]$ gibt, sodass $p(f) = 0$ ist. Und nein, wir wollen nicht das Nullpolynom betrachten. -\begin{beobachtung}\label{beob:4-0-7} +\begin{beobachtung}\label{beob:4-0-7}% In Situation~\ref{sit:4-0-1}, wenn ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$ gegeben ist mit - $p(f) = 0$ und wenn $λ ∈ k ∖ \{0\}$ dann ist $q := λ·p$ auch wieder - ein Polynom und $q(f) = 0$. Konsequenz: bei unserer Suche nach möglichst + $p(f) = 0$ und wenn $λ ∈ k ∖ \{0\}$ dann ist $q := λ·p$ auch wieder ein + Polynom und $q(f) = 0$. Konsequenz: bei unserer Suche nach möglichst einfachen Polynomen können wir immer annehmen, dass der Leitkoeffizient gleich 1 ist. \end{beobachtung} -\begin{beobachtung}\label{beob:4-0-8} +\begin{beobachtung}\label{beob:4-0-8}% In Situation~\ref{sit:4-0-1} seien $p_1(t)$ und $p_2(t) ∈ k[t]$ zwei - unterschiedliche Polynome mit $p_1(f) = p_2(f) = 0$. Angenommen, die Grade von - $p_1$ und $p_2$ seien gleich und beide Polynome seien normiert. Setzt - $q := p_1-p_2$. Dann gilt Folgendes. + unterschiedliche Polynome mit $p_1(f) = p_2(f) = 0$. Angenommen, die Grade + von $p_1$ und $p_2$ seien gleich und beide Polynome seien normiert. Setzt $q + := p_1-p_2$. Dann gilt Folgendes. \begin{itemize} \item Das Polynome $q$ ist nicht das Nullpolynom. \item Es ist $q(f) = p_1(f) - p_2(f) = 0 - 0 = 0 ∈ \End(V)$. @@ -151,7 +149,7 @@ Diese Beobachtungen legen folgende Definition nahe. Beobachtung~\ref{beob:4-0-7} und der Satz~\ref{satz:CayleyHamilton} von Cayley-Hamilton sagen, dass Minimalpolynome für jeden Endomorphismus und für jede quadratische Matrix existieren. Beobachtung~\ref{beob:4-0-8} sagt, dass - dies Minimalpolynome eindeutig bestimmt ist. + das Minimalpolynom eindeutig bestimmt ist. \end{bemerkung} \begin{bsp} @@ -162,9 +160,9 @@ Diese Beobachtungen legen folgende Definition nahe. 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 - \end{pmatrix} + \end{pmatrix}. \] - Da die Matrix $A$ kein Vielfaches von $\Id_{3⨯ 3}$, ist das + Da die Matrix $A$ kein Vielfaches von $\Id_{3⨯3}$, ist das Minimalpolynom von $A$ ganz sicher nicht linear. Auf der anderen Seite ist \[ A² = @@ -172,9 +170,9 @@ Diese Beobachtungen legen folgende Definition nahe. 25 & 10 & 0 \\ 0 & 25 & 0 \\ 0 & 0 & 25 - \end{pmatrix} + \end{pmatrix}. \] - Also ist $A²-10·A+25·\Id_{3⨯ 3} = 0$. Also ist + Also ist $A²-10·A+25·\Id_{3⨯3} = 0$. Also ist $p(t) = t²-10·t+25 = (t-5)²$ ein normiertes Polynom, das $A$ als Nullstelle hat. Das muss dann wohl das Minimalpolynom sein. \end{bsp} @@ -190,13 +188,13 @@ Diese Beobachtungen legen folgende Definition nahe. Minimalpolynom. \end{beobachtung} -Der folgenden Satz liefern eine erste Beschreibung des Minimalpolynoms. +Der folgende Satz liefert eine erste Beschreibung des Minimalpolynoms. \begin{satz}[Andere Polynome mit $f$ als Nullstelle] In Situation~\ref{sit:4-0-1} sei $p(t)$ das Minimalpolynom von $f$, und $q(t)$ - sei ein weiteres, nicht-verschwindendes Polynom, das $f$ als Nullstelle - hat. Dann ist $q$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms $p$. Das bedeutet: es - gibt ein Polynom $r(t)$, so dass $q(t) = r(t)·p(t)$ ist. + sei ein weiteres, nicht-verschwindendes Polynom, das $f$ als Nullstelle hat. + Dann ist $q$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms $p$. Das bedeutet: Es gibt + ein Polynom $r(t)$, sodass $q(t) = r(t)·p(t)$ ist. \end{satz} \begin{proof} Ich führe einen Widerspruchsbeweis und nehme an, die Aussage sei falsch. Dann @@ -207,9 +205,9 @@ Der folgenden Satz liefern eine erste Beschreibung des Minimalpolynoms. \item Der Grad von $q$ ist minimal unter den Graden aller Polynome, die $f$ als Nullstelle haben und die kein Vielfaches von $p$ sind. \end{enumerate} - Dann ist ganz klar per Definition von ``Minimalpolynom'' $\deg q ≥ \deg - p$. Es sei $d := \deg q - \deg p$. Man beachte, dass $t^d·p$ ebenfalls - normiert ist und $f$ als Nullstelle hat. Also hat + Dann ist ganz klar per Definition von „Minimalpolynom“ $\deg q ≥ \deg p$. Es + sei $d := \deg q - \deg p$. Man beachte, dass $t^d·p$ ebenfalls normiert ist + und $f$ als Nullstelle hat. Also hat \[ r(t) = q(t) - t^d·p(t) \] @@ -220,8 +218,8 @@ Der folgenden Satz liefern eine erste Beschreibung des Minimalpolynoms. \end{proof} \begin{satz}[Nullstellen des Minimalpolynoms] - Es sei $k$ eine Körper, $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix mit Werten in $k$ und - $λ ∈ k$. TFAE: + Es sei $k$ ein Körper, $A$ eine $(n⨯n)$-Matrix mit Werten in $k$ und $λ ∈ k$. + TFAE: \begin{enumerate} \item Das Skalar $λ$ ist ein Eigenwert von $A$. @@ -239,7 +237,7 @@ Der folgenden Satz liefern eine erste Beschreibung des Minimalpolynoms. vollständig beantworten. \begin{satz}[Beschreibung des Minimalpolynoms über $ℂ$] - Es sei $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix über den komplexen Zahlen. Bezeichne die + Es sei $A$ eine $(n⨯n)$-Matrix über den komplexen Zahlen. Bezeichne die Eigenwerte von $A$ mit $λ_1$, …, $λ_d$ und schreibe für jeden Index $i$ \[ m_i := \text{Länge des längsten Jordanblocks zum Eigenwert } λ_i.