diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt
index 50018e6..c553c03 100644
--- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt
+++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt
@@ -19,3 +19,11 @@ Quotientenvektorraums
Erzeugendensystem
Quotientenvektorräume
Repräsentantenniveau
+Jordanscher
+Matrixexponential
+Matrixexponentials
+Einsetzungsabbildung
+Cayley-Hamilton
+TFAE
+Jordanblocks
+Einsetzungsmorphismus
diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
index 2354a5f..863d79d 100644
--- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
+++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
@@ -7,3 +7,6 @@
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDieses Skript zur Vorlesung „Lineare Algebra II“ wird im Laufe des Sommersemester 2020 ständig weiter geschrieben.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDieses Skript zur Vorlesung „Lineare Algebra II“ wird im Laufe des Sommersemester 2025 ständig weiter geschrieben.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWir beweisen Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nach einigen Vorbereitungen im Abschnitt ssec:pjnf.\\E$"}
+{"rule":"DE_COMPOUND_COHERENCY","sentence":"^\\QAls nächstes überlegen wir uns, wie die Potenzen von beliebigen Jordan-Blöcken ausrechnen.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIch wiederhole die Warnung aus „Lineare Algebra I“.\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qden Grad des Polynoms, in Formeln \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
diff --git a/02-Jordan.tex b/02-Jordan.tex
index c536218..c5d6794 100644
--- a/02-Jordan.tex
+++ b/02-Jordan.tex
@@ -626,8 +626,7 @@ zur „dualen Partition“ übergehen.
eine Basis des Quotientenraums $\factor{V^p}{V^{p-1}}$ bilden. Schreibe jetzt
die Vektoren
\[
- \overline{f}(\vec w_1), …, \overline{f}(\vec w_a), \vec v^p_1, …, \vec
- v^p_{m_p-a}
+ f(\vec w_1), …, f(\vec w_a), \vec v^p_1, …, \vec v^p_{m_p-a}
\]
in die $p$.te Spalte des Diagramms. Nach Punkt~\ref{il:2-3-4-2} von
Proposition~\ref{prop:2-3-4} kommen alle diese Vektoren aus $V^p$.
diff --git a/03-Anwendungen.tex b/03-Anwendungen.tex
index f8f15cf..06be572 100644
--- a/03-Anwendungen.tex
+++ b/03-Anwendungen.tex
@@ -78,14 +78,14 @@ macht die Formel kurz und in der Praxis gut berechenbar.
\end{lem}
\begin{proof}[Beweis als Übungsaufgabe]
- Schreibe wieder einmal $J(λ,n) = λ·\Id_{n⨯ n} + J(0,n)$ und
+ Schreibe wieder einmal $J(λ,n) = λ·\Id_{n⨯n} + J(0,n)$ und
\[
- J(λ,n)^p =\bigl( λ·\Id_{n⨯ n} + J(0,n) \bigr)^p
+ J(λ,n)^p =\bigl( λ·\Id_{n⨯n} + J(0,n) \bigr)^p
\]
- Beachten Sie, dass die Matrizen $λ·\Id_{n⨯ n}$ und $J(0,n)$ kommutieren,
+ Beachten Sie, dass die Matrizen $λ·\Id_{n⨯n}$ und $J(0,n)$ kommutieren,
dass also die Gleichheit
\[
- λ·\Id_{n⨯ n}·J(0,n) = λ·J(0,n)·\Id_{n⨯ n}
+ λ·\Id_{n⨯n}·J(0,n) = λ·J(0,n)·\Id_{n⨯n}
\]
gilt! Benutzen Sie das, um jetzt genau wie in der Analysis-Vorlesung die
binomische Formel~\eqref{eq:binomi} per Induktion nach $p$ zu zeigen.
@@ -116,10 +116,10 @@ macht die Formel kurz und in der Praxis gut berechenbar.
\end{beobachtung}
\begin{beobachtung}[Hohe Potenzen von komplexen Matrizen]
- Es sei $A$ eine beliebige quadratische $(n⨯ n)$-Matrix über den komplexen
- Zahlen. Wir wissen nach Kapitel~\ref{chapt:Jordan}, wie wir halbwegs effizient
- eine invertierbare Matrix $S ∈ GL_n(ℂ)$ finden, so dass $B := S·A·S^{-1}$
- Jordansche Normalform hat. Dann ist $A = S^{-1}·B·S$ und
+ Es sei $A$ eine beliebige quadratische $(n⨯n)$-Matrix über den komplexen
+ Zahlen. Wir wissen nach Kapitel~\ref{chapt:Jordan}, wie wir halbwegs
+ effizient eine invertierbare Matrix $S ∈ GL_n(ℂ)$ finden, sodass $B :=
+ S·A·S^{-1}$ Jordansche Normalform hat. Dann ist $A = S^{-1}·B·S$ und
\[
A^p = S^{-1}·B·\underbrace{S·S^{-1}}_{= \Id}·B·\underbrace{S·S^{-1}}_{= \Id}·B·S ⋯ S^{-1}·B·S = S^{-1}·B^p·S.
\]
@@ -131,9 +131,9 @@ macht die Formel kurz und in der Praxis gut berechenbar.
\subsection{Wiederholung}
-In der Vorlesung Analysis haben Sie die Exponentialfunktion kennen gelernt,
+In der Vorlesung Analysis haben Sie die Exponentialfunktion kennengelernt,
\[
- \exp : ℝ → ℝ, \quad t ↦ \sum_{n=0}^∞ \frac{t^n}{n!}
+ \exp : ℝ → ℝ, \quad t ↦ \sum_{n=0}^∞ \frac{t^n}{n!}.
\]
Wahrscheinlich kennen Sie auch schon die komplexe Exponentialfunktion und
wissen, dass für jede reelle Zahl $t$ gilt
@@ -148,30 +148,30 @@ Falls nicht, ist jetzt eine gute Gelegenheit, diese Dinge auf
Ich verallgemeinere die Exponentialfunktion jetzt, die Beweise in diesem Abschnitt
überlasse ich aber den Kollegen von der Analysis. Gegeben eine
-$(n⨯ n)$-Matrix $A$ über den komplexen Zahlen, definiere ich
+$(n⨯n)$-Matrix $A$ über den komplexen Zahlen, definiere ich
\[
\exp(A) := \sum_{n=0}^∞ \frac{1}{n!}·A^n.
\]
-Dabei sei $A⁰$ stets die $(n⨯ n)$-Einheitsmatrix. Diese Reihe konvergiert
-in dem Sinne, dass jeder einzelne der $n²$ vielen Matrixeinträge konvergiert --
+Dabei sei $A⁰$ stets die $(n⨯n)$-Einheitsmatrix. Diese Reihe konvergiert in
+dem Sinne, dass jeder einzelne der $n²$ vielen Matrixeinträge konvergiert --
natürlich lässt sich noch viel mehr sagen: absolute Konvergenz, Konvergenz in
Operatornorm, …. Ich erhalte so eine Abbildung
\[
- \exp : \Mat_{n⨯ n}(ℂ) → \Mat_{n⨯ n}(ℂ), \quad A ↦ \sum_{n=0}^∞ \frac{1}{n!}·A^n
+ \exp : \Mat_{n⨯n}(ℂ) → \Mat_{n⨯n}(ℂ), \quad A ↦ \sum_{n=0}^∞ \frac{1}{n!}·A^n,
\]
die in der Literatur oft Matrixexponential\index{Matrixexponential} genannt
wird. Sie finden weitere Erläuterungen und erste Beispiele bei
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixexponential}{Wikipedia}.
\begin{bsp}
- Es sei $A$ eine komplexe $(n⨯ n)$-Diagonalmatrix,
+ Es sei $A$ eine komplexe $(n⨯n)$-Diagonalmatrix,
\[
A = \begin{pmatrix}
λ_1 & & & 0 \\
& λ_2 & \\
& & \ddots \\
0 & & & λ_n
- \end{pmatrix}
+ \end{pmatrix}.
\]
Dann ist
\[
@@ -192,15 +192,14 @@ wird. Sie finden weitere Erläuterungen und erste Beispiele bei
\]
\end{bsp}
-Etwas
-weitergehende Beispiele finden Sie als
+Etwas weitergehende Beispiele finden Sie als
\href{http://www.iam.uni-bonn.de/fileadmin/Mathphys/15SS_ODEs/06-matrixexponential.pdf}{Beispiel
- 1.4. in diesem Seminarvortrag}. Ich nenne ohne Beweis einige Eigenschaften des
+1.4. in diesem Seminarvortrag}. Ich nenne ohne Beweis einige Eigenschaften des
Matrixexponentials.
\begin{fakt}[Elementare Fakten zum Matrixpotential]
- Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl weiter seien $A$ und $B$ zwei komplexe
- $(n⨯ n)$-Matrizen.
+ Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl weiter seien $A$ und $B$ zwei komplexe $(n⨯
+ n)$-Matrizen.
\begin{enumerate}
\item\label{il:3-2-3-1} Falls $A$ und $B$ kommutieren (falls also $AB=BA$
ist), dann gilt
@@ -208,8 +207,8 @@ Matrixexponentials.
\exp(A+B)=\exp(A)·\exp(B).
\]
- \item\label{il:3-2-3-2} Für jede invertierbare, komplexe $(n⨯ n)$-Matrix
- $S$ ist
+ \item\label{il:3-2-3-2} Für jede invertierbare, komplexe $(n⨯n)$-Matrix $S$
+ ist
\[
\exp(S·A·S^{-1}) = S·\exp(A)·S^{-1} \eqno \qed
\]
@@ -217,40 +216,40 @@ Matrixexponentials.
\end{fakt}
\begin{beobachtung}
- Wenn $A$ irgendeine komplexe $(n⨯ n)$-Matrix ist, dann kommutieren die
- Matrizen $A$ und $-A$ offenbar. Also ist nach Punkt~\ref{il:3-2-3-1}
+ Wenn $A$ irgendeine komplexe $(n⨯n)$-Matrix ist, dann kommutieren die Matrizen
+ $A$ und $-A$ offenbar. Also ist nach Punkt~\ref{il:3-2-3-1}
\[
- \Id_{n⨯ n} = \exp(0) = \exp \bigl(A+(-A) \bigr) = \exp(A) · \exp(-A).
+ \Id_{n⨯n} = \exp(0) = \exp \bigl(A+(-A) \bigr) = \exp(A) · \exp(-A).
\]
Es folgt, dass das Matrixexponential $\exp(A)$ für jede komplexe
- $(n⨯ n)$-Matrix $A$ stets invertierbar ist, und dass
- $\exp(A)^{-1} = \exp(-A)$ gilt.
+ $(n⨯n)$-Matrix $A$ stets invertierbar ist, und dass $\exp(A)^{-1} = \exp(-A)$
+ gilt.
\end{beobachtung}
Insgesamt sollten Sie mit den Beobachtungen aus Abschnitt~\ref{sec:hohePot}
jetzt ganz gut in der Lage sein, beliebige Matrixexponentials auszurechnen.
-\section{Lineare, homogene Differentialgleichungssysteme}
+\section{Lineare, homogene Differenzialgleichungssysteme}
\subsection{Erinnerung}
-Sie haben lineare, homogene Differentialgleichungen wahrscheinlich schon in der
-Schule kennen gelernt. Gegeben sind Zahlen $a$ und $y_0$ aus $ℝ$. Gesucht ist
-eine differenzierbare Funktion $y : ℝ → ℝ$, so dass für alle $t ∈ ℝ$
-gilt: $y'(t) = a·y(t)$. Außerdem soll $y(0) = y_0$ sein. Aus der Vorlesung
-Analysis wissen Sie, dass es nur eine solche Funktion gibt:
+Sie haben lineare, homogene Differenzialgleichungen wahrscheinlich schon in der
+Schule kennengelernt. Gegeben sind Zahlen $a$ und $y_0$ aus $ℝ$. Gesucht ist
+eine differenzierbare Funktion $y : ℝ → ℝ$, sodass für alle $t ∈ ℝ$ gilt: $y'(t)
+= a·y(t)$. Außerdem soll $y(0) = y_0$ sein. Aus der Vorlesung Analysis wissen
+Sie, dass es nur eine solche Funktion gibt:
$$
y(t) = \exp(t·a)·y_0.
$$
Dasselbe funktioniert genau so mit komplexen Zahlen.
-\subsection{Lineare, homogene Differentialgleichungssysteme}
+\subsection{Lineare, homogene Differenzialgleichungssysteme}
-Gegeben sei jetzt eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine komplexe $(n⨯ n)$-Matrix $A$
-und ein Vektor $\vec{y}_0 ∈ ℂ^n$. Gesucht sind $n$ differenzierbare
-Funktionen $y_1$, …, $y_n : ℂ → ℂ$, so dass für alle $t ∈ ℂ$ gilt:
+Gegeben sei jetzt eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine komplexe $(n⨯n)$-Matrix $A$ und ein
+Vektor $\vec{y}_0 ∈ ℂ^n$. Gesucht sind $n$ differenzierbare Funktionen $y_1$,
+…, $y_n : ℂ → ℂ$, sodass für alle $t ∈ ℂ$ gilt:
\[
\begin{pmatrix}
y'_1(t) \\
@@ -265,7 +264,7 @@ Funktionen $y_1$, …, $y_n : ℂ → ℂ$, so dass für alle $t ∈ ℂ$ gilt:
y_2(t) \\
\vdots \\
y_n(t)
- \end{pmatrix}
+ \end{pmatrix}.
\]
Außerdem soll
\[
@@ -279,8 +278,8 @@ Außerdem soll
\]
sein.
-\begin{fakt}[Lösungsformel für lineare, homogene Differentialgleichungssysteme]\label{fakt:3-3-1}
- Diese Problem hat genau eine Lösung. Die Funktionen $y_1$, …, $y_n$ sind
+\begin{fakt}[Lösungsformel für lineare, homogene Differentialgleichungssysteme]\label{fakt:3-3-1}%
+ Dieses Problem hat genau eine Lösung. Die Funktionen $y_1$, …, $y_n$ sind
gegeben als
\[
\begin{pmatrix}
@@ -299,12 +298,12 @@ sein.
\end{bsp}
-\subsection{Differentialgleichungen höherer Ordnung}
+\subsection{Differenzialgleichungen höherer Ordnung}
Ich erkläre an einem Beispiel, wie man mit unseren Methoden eine
-Differentialgleichung höherer Ordnung löst. Gegeben seien Zahlen $a$, $b$ und
-$c$ sowie $y_0$, $y'_0$ und $y''_0$. Gesucht ist eine Funktion
-$y : ℝ → ℝ$, so dass für alle $t ∈ ℝ$ gilt:
+Differenzialgleichung höherer Ordnung löst. Gegeben seien Zahlen $a$, $b$ und
+$c$ sowie $y_0$, $y'_0$ und $y''_0$. Gesucht ist eine Funktion $y : ℝ → ℝ$,
+sodass für alle $t ∈ ℝ$ gilt:
\begin{equation}\label{eq:3-3-2-1}
y'''(t) = a·y(t)+b·y'(t)+c·y''(t).
\end{equation}
@@ -344,9 +343,9 @@ dieser Formulierung stellt sich \eqref{eq:3-3-2-1} wie folgt dar.
y_0 \\
y'_0 \\
y''_0
- \end{pmatrix}
+ \end{pmatrix}.
\]
-Nach der Lösungsformel für lineare, homogene Differentialgleichungssysteme,
+Nach der Lösungsformel für lineare, homogene Differenzialgleichungssysteme,
Fakt~\ref{fakt:3-3-1}, können wir diese DGL jetzt aber lösen.
\begin{bsp}
diff --git a/04-Cayley-Hamilton.tex b/04-Cayley-Hamilton.tex
index a05183e..e26b16b 100644
--- a/04-Cayley-Hamilton.tex
+++ b/04-Cayley-Hamilton.tex
@@ -18,9 +18,8 @@ In der Situation~\ref{sit:4-0-1} gibt es noch mehr Endomorphismen, zum Beispiel
f⁰ = \Id_V, \quad f², \quad f³, \quad\text{oder}\quad f⁵-7·f²+12·f-5·f⁰.
\]
Das funktioniert natürlich nicht nur mit den Polynomen $x⁰$, $x²$, $x³$ und
-$x⁵-7·x²+12·x-5$ sondern ganz allgemein. Die passende Definition kommt
-sofort, aber zuerst erinnern wir uns an eine einige Definition zum Thema
-``Polynome''.
+$x⁵-7·x²+12·x-5$, sondern ganz allgemein. Die passende Definition kommt sofort,
+aber zuerst erinnern wir uns an eine einige Definitionen zum Thema „Polynome“.
\begin{defn}[Polynome]
Gegeben einen Körper $k$, dann bezeichne mit $k[t]$ die Menge der Polynome mit
@@ -45,15 +44,15 @@ sofort, aber zuerst erinnern wir uns an eine einige Definition zum Thema
Es ist $t²+π·t- \sqrt{2} ∈ ℝ[t]$, aber nicht in $ℚ[t]$.
\end{bsp}
-Ich wiederhole die Warnung aus ``Lineare Algebra I''. Wie wir in der Schule
-gelernt haben, liefert jedes Polynom $p(t) ∈ k[t]$ eine Abbildung $k → k$,
-$λ ↦ p(λ)$, die man oft irreführenderweise ebenfalls mit $p$
-bezeichnet. Beachten Sie aber, dass Polynome zwar Abbildungen liefern, aber
-keine Abbildungen sind! Wenn $𝔽_2$ der bekannte Körper mit zwei Elementen ist,
-dann sind die Polynome $t$, $t²$, $t³$, … alle unterschiedlich (denn sie haben
-ja unterschiedlichen Grad). Die zugehörigen Abbildungen sind aber alle gleich.
-Insgesamt gibt es unendliche viele Polynome, aber natürlich nur endlich viele
-Selbstabbildungen des endlichen Körpers $𝔽_2$.
+Ich wiederhole die Warnung aus „Lineare Algebra I“. Wie wir in der Schule
+gelernt haben, liefert jedes Polynom $p(t) ∈ k[t]$ eine Abbildung $k → k$, $λ ↦
+p(λ)$, die man oft irreführenderweise ebenfalls mit $p$ bezeichnet. Beachten
+Sie aber, dass Polynome zwar Abbildungen liefern, aber keine Abbildungen sind!
+Wenn $𝔽_2$ der bekannte Körper mit zwei Elementen ist, dann sind die Polynome
+$t$, $t²$, $t³$, … alle unterschiedlich (denn sie haben ja unterschiedlichen
+Grad). Die zugehörigen Abbildungen sind aber alle gleich. Insgesamt gibt es
+unendliche viele Polynome, aber natürlich nur endlich viele Selbstabbildungen
+des endlichen Körpers $𝔽_2$.
\begin{defn}[Einsetzungsabbildung für Endomorphismen]
In Situation~\ref{sit:4-0-1} sei ein Polynom $p(t) = \sum_{i=0}^n a_i·tⁱ$ aus
@@ -68,17 +67,16 @@ Selbstabbildungen des endlichen Körpers $𝔽_2$.
\]
genannt
\emph{Einsetzungsabbildung}\index{Einsetzungsabbildung!Endomorphismen}.
- Gegeben eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine $(n⨯ n)$-Matrix $A$ mit Einträgen in
- $k$ und ein ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$ definieren wir völlig analog eine
- Matrix $p(A)$ und eine
- \emph{Einsetzungsabbildung}\index{Einsetzungsabbildung!Matrizen}
- $s: k[t] → \Mat(n⨯ n, k)$ durch $s(A) = p(A)$.
+ Gegeben eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine $(n⨯n)$-Matrix $A$ mit Einträgen in $k$ und
+ ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$ definieren wir völlig analog eine Matrix $p(A)$ und
+ eine \emph{Einsetzungsabbildung}\index{Einsetzungsabbildung!Matrizen} $s: k[t]
+ → \Mat(n⨯n, k)$ durch $s(A) = p(A)$.
\end{defn}
-\begin{beobachtung}[Einsetzungsabbildung bei ähnlichen Matrizen]\label{beob:4-0-6}
- Gegeben eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine $(n⨯ n)$-Matrix $A$ mit Einträgen in
- $k$ und ein ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$. Wenn wir noch eine invertierbare
- Matrix $S ∈ GL_n(k)$ haben, dann ist
+\begin{beobachtung}[Einsetzungsabbildung bei ähnlichen Matrizen]\label{beob:4-0-6}%
+ Gegeben eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine $(n⨯n)$-Matrix $A$ mit Einträgen in $k$ und
+ ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$. Wenn wir noch eine invertierbare Matrix $S ∈
+ GL_n(k)$ haben, dann ist
\[
p(S·A·S^{-1}) = S·p(A)·S^{-1}.
\]
@@ -108,22 +106,22 @@ Nullstelle seines eigenen charakteristischen Polynoms ist. Wie cool ist das?
Wir bleiben in Situation~\ref{sit:4-0-1}. Dann wissen wir schon, dass $f$ eine
Nullstelle von $χ_f$ ist. Wir fragen uns, ob es nicht noch ein einfacheres
-Polynom $p(t) ∈ k[t]$ gibt, so dass $p(f) = 0$ ist. Und nein, wir wollen nicht
+Polynom $p(t) ∈ k[t]$ gibt, sodass $p(f) = 0$ ist. Und nein, wir wollen nicht
das Nullpolynom betrachten.
-\begin{beobachtung}\label{beob:4-0-7}
+\begin{beobachtung}\label{beob:4-0-7}%
In Situation~\ref{sit:4-0-1}, wenn ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$ gegeben ist mit
- $p(f) = 0$ und wenn $λ ∈ k ∖ \{0\}$ dann ist $q := λ·p$ auch wieder
- ein Polynom und $q(f) = 0$. Konsequenz: bei unserer Suche nach möglichst
+ $p(f) = 0$ und wenn $λ ∈ k ∖ \{0\}$ dann ist $q := λ·p$ auch wieder ein
+ Polynom und $q(f) = 0$. Konsequenz: bei unserer Suche nach möglichst
einfachen Polynomen können wir immer annehmen, dass der Leitkoeffizient gleich
1 ist.
\end{beobachtung}
-\begin{beobachtung}\label{beob:4-0-8}
+\begin{beobachtung}\label{beob:4-0-8}%
In Situation~\ref{sit:4-0-1} seien $p_1(t)$ und $p_2(t) ∈ k[t]$ zwei
- unterschiedliche Polynome mit $p_1(f) = p_2(f) = 0$. Angenommen, die Grade von
- $p_1$ und $p_2$ seien gleich und beide Polynome seien normiert. Setzt
- $q := p_1-p_2$. Dann gilt Folgendes.
+ unterschiedliche Polynome mit $p_1(f) = p_2(f) = 0$. Angenommen, die Grade
+ von $p_1$ und $p_2$ seien gleich und beide Polynome seien normiert. Setzt $q
+ := p_1-p_2$. Dann gilt Folgendes.
\begin{itemize}
\item Das Polynome $q$ ist nicht das Nullpolynom.
\item Es ist $q(f) = p_1(f) - p_2(f) = 0 - 0 = 0 ∈ \End(V)$.
@@ -151,7 +149,7 @@ Diese Beobachtungen legen folgende Definition nahe.
Beobachtung~\ref{beob:4-0-7} und der Satz~\ref{satz:CayleyHamilton} von
Cayley-Hamilton sagen, dass Minimalpolynome für jeden Endomorphismus und für
jede quadratische Matrix existieren. Beobachtung~\ref{beob:4-0-8} sagt, dass
- dies Minimalpolynome eindeutig bestimmt ist.
+ das Minimalpolynom eindeutig bestimmt ist.
\end{bemerkung}
\begin{bsp}
@@ -162,9 +160,9 @@ Diese Beobachtungen legen folgende Definition nahe.
5 & 1 & 0 \\
0 & 5 & 0 \\
0 & 0 & 5
- \end{pmatrix}
+ \end{pmatrix}.
\]
- Da die Matrix $A$ kein Vielfaches von $\Id_{3⨯ 3}$, ist das
+ Da die Matrix $A$ kein Vielfaches von $\Id_{3⨯3}$, ist das
Minimalpolynom von $A$ ganz sicher nicht linear. Auf der anderen Seite ist
\[
A² =
@@ -172,9 +170,9 @@ Diese Beobachtungen legen folgende Definition nahe.
25 & 10 & 0 \\
0 & 25 & 0 \\
0 & 0 & 25
- \end{pmatrix}
+ \end{pmatrix}.
\]
- Also ist $A²-10·A+25·\Id_{3⨯ 3} = 0$. Also ist
+ Also ist $A²-10·A+25·\Id_{3⨯3} = 0$. Also ist
$p(t) = t²-10·t+25 = (t-5)²$ ein normiertes Polynom, das $A$ als Nullstelle
hat. Das muss dann wohl das Minimalpolynom sein.
\end{bsp}
@@ -190,13 +188,13 @@ Diese Beobachtungen legen folgende Definition nahe.
Minimalpolynom.
\end{beobachtung}
-Der folgenden Satz liefern eine erste Beschreibung des Minimalpolynoms.
+Der folgende Satz liefert eine erste Beschreibung des Minimalpolynoms.
\begin{satz}[Andere Polynome mit $f$ als Nullstelle]
In Situation~\ref{sit:4-0-1} sei $p(t)$ das Minimalpolynom von $f$, und $q(t)$
- sei ein weiteres, nicht-verschwindendes Polynom, das $f$ als Nullstelle
- hat. Dann ist $q$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms $p$. Das bedeutet: es
- gibt ein Polynom $r(t)$, so dass $q(t) = r(t)·p(t)$ ist.
+ sei ein weiteres, nicht-verschwindendes Polynom, das $f$ als Nullstelle hat.
+ Dann ist $q$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms $p$. Das bedeutet: Es gibt
+ ein Polynom $r(t)$, sodass $q(t) = r(t)·p(t)$ ist.
\end{satz}
\begin{proof}
Ich führe einen Widerspruchsbeweis und nehme an, die Aussage sei falsch. Dann
@@ -207,9 +205,9 @@ Der folgenden Satz liefern eine erste Beschreibung des Minimalpolynoms.
\item Der Grad von $q$ ist minimal unter den Graden aller Polynome, die $f$
als Nullstelle haben und die kein Vielfaches von $p$ sind.
\end{enumerate}
- Dann ist ganz klar per Definition von ``Minimalpolynom'' $\deg q ≥ \deg
- p$. Es sei $d := \deg q - \deg p$. Man beachte, dass $t^d·p$ ebenfalls
- normiert ist und $f$ als Nullstelle hat. Also hat
+ Dann ist ganz klar per Definition von „Minimalpolynom“ $\deg q ≥ \deg p$. Es
+ sei $d := \deg q - \deg p$. Man beachte, dass $t^d·p$ ebenfalls normiert ist
+ und $f$ als Nullstelle hat. Also hat
\[
r(t) = q(t) - t^d·p(t)
\]
@@ -220,8 +218,8 @@ Der folgenden Satz liefern eine erste Beschreibung des Minimalpolynoms.
\end{proof}
\begin{satz}[Nullstellen des Minimalpolynoms]
- Es sei $k$ eine Körper, $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix mit Werten in $k$ und
- $λ ∈ k$. TFAE:
+ Es sei $k$ ein Körper, $A$ eine $(n⨯n)$-Matrix mit Werten in $k$ und $λ ∈ k$.
+ TFAE:
\begin{enumerate}
\item Das Skalar $λ$ ist ein Eigenwert von $A$.
@@ -239,7 +237,7 @@ Der folgenden Satz liefern eine erste Beschreibung des Minimalpolynoms.
vollständig beantworten.
\begin{satz}[Beschreibung des Minimalpolynoms über $ℂ$]
- Es sei $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix über den komplexen Zahlen. Bezeichne die
+ Es sei $A$ eine $(n⨯n)$-Matrix über den komplexen Zahlen. Bezeichne die
Eigenwerte von $A$ mit $λ_1$, …, $λ_d$ und schreibe für jeden Index $i$
\[
m_i := \text{Länge des längsten Jordanblocks zum Eigenwert } λ_i.