kebekus/LineareAlgebra2
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Stefan Kebekus 2025-07-16 09:47:03 +02:00
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@ -108,3 +108,4 @@ Zerlegungsgleichheit
Invarianteneigenschaft Invarianteneigenschaft
Quotientenvektorraum Quotientenvektorraum
Kebekus Kebekus
Multilinearform

14
17-wedge.tex
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@ -27,15 +27,15 @@ beschränken, die alternierend sind.
s : \underbrace{V ⨯ ⋯ ⨯ V}_{n ⨯} → W s : \underbrace{V ⨯ ⋯ ⨯ V}_{n ⨯} → W
\] \]
heißt \emph{alternierend}\index{alternierende multilineare heißt \emph{alternierend}\index{alternierende multilineare
Abbildung}\index{multilineare Abbildung!alternierend} falls die Gleichung Abbildung}\index{multilineare Abbildung!alternierend}, falls die Gleichung
\begin{equation}\label{eq:dfjgh} \begin{equation}\label{eq:dfjgh}
s(\vec{v}_1, …, \vec{v}_n) = \vec{0}_W s(\vec{v}_1, …, \vec{v}_n) = \vec{0}_W
\end{equation} \end{equation}
für jedes Tupel $(\vec{v}_1, …, \vec{v}_n)$ von Vektoren gilt, in dem ein für jedes Tupel $(\vec{v}_1, …, \vec{v}_n)$ von Vektoren gilt, in dem ein
Vektor mal auftritt. Formell: die multilineare Abbildung $s$ heißt Vektor mehr als ein mal auftritt. Formell: die multilineare Abbildung $s$
alternierend falls die Gleichung~\eqref{eq:dfjgh} für jedes Tupel $(\vec{v}_1, heißt alternierend, falls die Gleichung~\eqref{eq:dfjgh} für jedes Tupel
…, \vec{v}_n)$ von Vektoren gilt, für das es zwei unterschiedliche Indizes $i $(\vec{v}_1, …, \vec{v}_n)$ von Vektoren gilt, für das es zwei
\ne j$ gibt mit $\vec{v}_i = \vec{v}_j$. unterschiedliche Indizes $i \ne j$ gibt mit $\vec{v}_i = \vec{v}_j$.
\end{defn} \end{defn}
\begin{beobachtung} \begin{beobachtung}
@ -269,8 +269,8 @@ wohldefiniert ist! Jetzt definieren wir die äußere Algebra.
\begin{bemerkung} \begin{bemerkung}
Die Tensoralgebra ist praktisch immer unendlich-dimensional. Im Gegensatz Die Tensoralgebra ist praktisch immer unendlich-dimensional. Im Gegensatz
dazu ist bei der Konstruktion der äußeren Algebra $Λ^n V = \{\vec{0}\}$ sobald dazu ist bei der Konstruktion der äußeren Algebra $Λ^n V = \{\vec{0}\}$,
$n>\dim V$ ist. Also ist sobald $n>\dim V$ ist. Also ist
\[ \[
\dim T = \sum_{n=0}^{\dim V} {\dim V \choose n} \overset{\text{binomi}}{=} \dim T = \sum_{n=0}^{\dim V} {\dim V \choose n} \overset{\text{binomi}}{=}
2^{\dim V}. 2^{\dim V}.