Fix lingo
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1c5823c039
9
.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt
vendored
9
.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt
vendored
@ -27,3 +27,12 @@ Cayley-Hamilton
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TFAE
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Jordanblocks
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Einsetzungsmorphismus
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Abstandserhaltende
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abstandserhaltend
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metrikerhaltend
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abstandserhaltenden
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abstandserhaltender
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abstandserhaltende
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Definitheit
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ONB
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Kronecker-Delta
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7
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
vendored
7
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
vendored
@ -10,3 +10,10 @@
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{"rule":"DE_COMPOUND_COHERENCY","sentence":"^\\QAls nächstes überlegen wir uns, wie die Potenzen von beliebigen Jordan-Blöcken ausrechnen.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIch wiederhole die Warnung aus „Lineare Algebra I“.\\E$"}
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{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qden Grad des Polynoms, in Formeln \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität im ersten Argument] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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||||
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität im zweiten Argument] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Positive Definitheit] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Satz des Pythagoras] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+$"}
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{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QDann gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Pythagoras \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist abstandserhaltend \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QKpte.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität im zweiten Argument] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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@ -7,12 +7,12 @@
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\section{Die Euklidische Norm und der Euklidische Abstand}
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\label{sec:end}
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\sideremark{Vorlesung 7}Bislang hatten wir in der Vorlesung ``nur'' Vektorräume
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\sideremark{Vorlesung 7}Bislang hatten wir in der Vorlesung „nur“ Vektorräume
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und lineare Abbildungen betrachtet. Viele Vektorräume, die einem in der freien
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Wildbahn begegnen haben aber noch mehr Struktur: es existiert oft ein Begriff
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von ``Länge'' oder ``Norm'' eines Vektors. Ich diskutiere diesen Begriff zuerst
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anhand der bekannten Euklidischen Länge des $ℝ^n$. Später diskutieren wir
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dann beliebige Vektorräume.
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von „Länge“ oder „Norm“ eines Vektors. Ich diskutiere diesen Begriff zuerst
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anhand der bekannten Euklidischen Länge des $ℝ^n$. Später diskutieren wir dann
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beliebige Vektorräume.
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\begin{defn}[Euklidische Norm auf dem $ℝ^n$]
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Die Abbildung
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@ -49,17 +49,16 @@ Konkret rechnet man also $\|x-y\| = \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i-y_i)²}$.
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\section{Abstandserhaltende Abbildungen}
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Ähnlich wie bei den linearen Abbildungen (die die Struktur des Vektorraumes
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Ähnlich wie bei den linearen Abbildungen (welche die Struktur des Vektorraumes
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respektieren) interessiere ich mich für Abbildungen, die die Euklidische Norm
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beziehungsweise den Euklidischen Abstand respektieren.
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\begin{defn}
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine Abbildung $φ: ℝ^n → ℝ^n$ heißt
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\emph{abstandserhaltend bezüglich der Euklidischen
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Norm}\index{abstandserhaltende Abbildung|see{metrikerhaltende Abbildung}}
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oder \emph{metrikerhaltend bezüglich der Euklidischen
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Norm}\index{metrikerhaltende Abbildung!bezüglich der Euklidischen Norm},
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falls gilt:
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Norm}\index{abstandserhaltende Abbildung|see{metrikerhaltende Abbildung}} oder
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\emph{metrikerhaltend bezüglich der Euklidischen Norm}\index{metrikerhaltende
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Abbildung!bezüglich der Euklidischen Norm}, falls gilt:
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\[
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d \bigl( φ(\vec{x}), φ(\vec{y}) \bigr) = d(\vec{x},\vec{y}), \quad \text{für alle } \vec{x},
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\vec{y} ∈ ℝ^n.
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@ -87,8 +86,8 @@ Wir nennen gleich einige einfache Eigenschaften von abstandserhaltenden
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Abbildungen.
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\begin{lem}[Einfache Eigenschaften abstandserhaltender Abbildungen]
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $φ: ℝ^n → ℝ^n$ sei abstandserhaltend
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bezüglich der Euklidischen Norm. Dann gilt Folgendes.
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||||
Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $φ: ℝ^n → ℝ^n$ sei abstandserhaltend bezüglich
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der Euklidischen Norm. Dann gilt Folgendes.
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:5-2-4-1} Die Abbildung $φ$ ist bijektiv.
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@ -102,20 +101,20 @@ Abbildungen.
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\end{enumerate}
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\end{lem}
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\begin{proof}
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Wir beweisen die Teilaussage ``$φ$ ist injektiv'' von \ref{il:5-2-4-1}:
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angenommen $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$ seien zwei Vektoren mit
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$φ(\vec{v}_1) = φ(\vec{v}_2)$. Dann ist
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||||
Wir beweisen die Teilaussage „$φ$ ist injektiv“ von \ref{il:5-2-4-1}:
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||||
angenommen $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$ seien zwei Vektoren mit $φ(\vec{v}_1) =
|
||||
φ(\vec{v}_2)$. Dann ist
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\[
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d(\vec{v}_1,\vec{v}_2) = d\bigl( φ(\vec{v}_1), φ(\vec{v}_2) \bigr) = 0.
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\]
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Also ist $\vec{v}_1 = \vec{v}_2$, was zu beweisen war. Die Teilaussage `` $φ$
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ist surjektiv'' beweise ich nicht. Die Beweise von \ref{il:5-2-4-2} und
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||||
Also ist $\vec{v}_1 = \vec{v}_2$, was zu beweisen war. Die Teilaussage „$φ$
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||||
ist surjektiv“ beweise ich nicht. Die Beweise von \ref{il:5-2-4-2} und
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\ref{il:5-2-4-3} lasse ich Ihnen als Übungsaufgabe.
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\end{proof}
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\begin{kor}[Abstandserhaltenden Abbildungen bilden Gruppe]\label{kor:5-2-5}
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Die abstandserhaltenden Abbildungen bilden mit der Verknüpfung eine
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Untergruppe der Gruppe der bijektiven Selbstabbildungen $\Bij(ℝ^n)$. \qed
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Abstandserhaltende Abbildungen bilden mit der Verknüpfung eine Untergruppe der
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Gruppe der bijektiven Selbstabbildungen $\Bij(ℝ^n)$. \qed
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\end{kor}
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@ -131,16 +130,16 @@ enorm.
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abstandserhaltende Abbildung und $\vec{c} := φ(\vec{0})$. Dann ist die
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Abbildung
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\[
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ψ: ℝ^n → ℝ^n, \quad \vec{x} ↦ φ(\vec{x}) - \vec{c} .
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ψ: ℝ^n → ℝ^n, \quad \vec{x} ↦ φ(\vec{x}) - \vec{c}
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\]
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wieder abstandserhaltend. Zusätzlich gilt: $ψ(\vec{0}) = \vec{0}$.
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\end{beobachtung}
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Um alle abstandserhaltenden Abbildungen zu kennen, genügt es also, diejenigen
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abstandserhaltenden Abbildungen zu verstehen, die den Nullvektor wieder auf den
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Nullvektor abbilden. Solche Abbildungen heißen ``orthogonale Transformation''.
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Nullvektor abbilden. Solche Abbildungen heißen „orthogonale Transformation“.
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\begin{defn}[Orthogonale Transformation]\label{defn-orthoTraf}
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\begin{defn}[Orthogonale Transformation]\label{defn-orthoTraf}%
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine \emph{orthogonale Transformation des $ℝ^n$
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||||
bezüglich des Euklidischen Abstands}\index{Transformation des
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$ℝ^n$!orthogonal bezüglich des Euklidischen Abstands} ist eine
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@ -162,10 +161,10 @@ Transformation eine Gruppe bilden.
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\end{defn}
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\section{Das Standard-Skalarprodukt auf dem $ℝ^n$}
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\section{Das Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$}
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Wir wollen alle orthogonalen Transformationen beschreiben. Das wesentliche
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Hilfsmittel dabei ist das ``Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$.
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Hilfsmittel dabei ist das „Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$“.
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\begin{defn}[Standardskalarprodukt $ℝ^n$]
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Die Abbildung
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@ -197,30 +196,30 @@ Beweis. Vielleicht beweisen Sie zu Übungszwecken die eine oder andere
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Eigenschaft einmal selbst?
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\begin{lem}[Einfache Eigenschaften des Standard-Skalarprodukts]
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Dann gilt folgendes:
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Dann gilt Folgendes.
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\begin{description}
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\item[Linearität im ersten Argument] Für alle $\vec{x}, \vec{y}$ und
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$\vec{z} ∈ ℝ^n$ und alle $λ ∈ ℝ$ gilt
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\[
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\langle \vec{x} + λ·\vec{y}, \vec{z} \rangle = \langle \vec{x}, \vec{z}
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||||
\rangle + λ·\langle \vec{y}, \vec{z} \rangle
|
||||
\rangle + λ·\langle \vec{y}, \vec{z} \rangle.
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\]
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||||
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||||
\item[Linearität im zweiten Argument] Für alle $\vec{x}, \vec{y}$ und
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||||
$\vec{z} ∈ ℝ^n$ und alle $λ ∈ ℝ$ gilt
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||||
\[
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||||
\langle \vec{x}, \vec{y} + λ·\vec{z} \rangle = \langle \vec{x}, \vec{y}
|
||||
\rangle + λ·\langle \vec{x}, \vec{z} \rangle
|
||||
\rangle + λ·\langle \vec{x}, \vec{z} \rangle.
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\]
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||||
\item[Positive Definitheit] Für alle $\vec{x} ∈ ℝ^n$ gilt
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$\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle ≥ 0$. Außerdem gilt
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$\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle = 0 ⇔ \vec{x} = \vec{0}$.
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||||
\item[Positive Definitheit] Für alle $\vec{x} ∈ ℝ^n$ gilt $\langle \vec{x},
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||||
\vec{x} \rangle ≥ 0$. Außerdem gilt $\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle = 0 ⇔
|
||||
\vec{x} = \vec{0}$.
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||||
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||||
\item[Symmetrie] Für alle $\vec{x}$ und $\vec{y} ∈ ℝ^n$ gilt
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||||
$\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle = \langle \vec{y}, \vec{x} \rangle$.
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||||
\item[Satz von Pythagoras]\index{Pythagoras!für $ℝ^n$} Für alle $\vec{x}$
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||||
\item[Satz des Pythagoras]\index{Pythagoras!für $ℝ^n$} Für alle $\vec{x}$
|
||||
und $\vec{y} ∈ ℝ^n$ gilt
|
||||
\[
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||||
\| \vec{x} + \vec{y} \|² = \| \vec{x} \|² + 2·\langle \vec{x}, \vec{y}
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||||
@ -242,9 +241,9 @@ scheint.
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||||
\begin{defn}[Orthonormalbasis]
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Eine Basis $\{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\} ⊂ ℝ^n$ heißt \emph{Orthonormalbasis
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bezüglich des Standardskalarprodukts}\index{Orthonormalbasis} (unter
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Freunden: ONB), falls für alle $i, j$ gilt, dass
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||||
$\langle \vec{v}_i, \vec{v}_j \rangle = δ_{ij}$, wobei $δ_{ij}$ wie üblich das
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||||
Kronecker-Delta bezeichnet.
|
||||
Freunden: ONB), falls für alle $i, j$ gilt, dass $\langle \vec{v}_i,
|
||||
\vec{v}_j \rangle = δ_{ij}$, wobei $δ_{ij}$ wie üblich das Kronecker-Delta
|
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bezeichnet.
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\end{defn}
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\begin{bsp}
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@ -296,12 +295,12 @@ Eine Menge, wie wir sofort sehen werden.
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&= -\frac{1}{2} \Bigl( d(\vec{x},\vec{y})² - d \bigl(\vec{x},\vec{0}\bigr)² - d\bigl(\vec{y},\vec{0}\bigr)² \Bigr) && \text{Definition}\\
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||||
&= -\frac{1}{2} \Bigl( d\bigl(φ(\vec{x}),φ(\vec{y})\bigr)² - d\bigl(φ(\vec{x}),\vec{0}\bigr)² - d\bigl(φ(\vec{y}),\vec{0}\bigr)² \Bigr) && φ\text{ ist abstandserhaltend}\\
|
||||
&= -\frac{1}{2} \Bigl( \| φ(\vec{x}) - φ(\vec{y}) \|² - \| φ(\vec{x}) \|² - \|-φ(\vec{y}) \|² \Bigr) && \text{Definition}\\
|
||||
&= -\bigl\langle φ(\vec{x}), -φ(\vec{y}) \bigr\rangle = \bigl\langle φ(\vec{x}), φ(\vec{y}) \bigr\rangle. && \text{Pythagoras}
|
||||
&= -\bigl\langle φ(\vec{x}), -φ(\vec{y}) \bigr\rangle = \bigl\langle φ(\vec{x}), φ(\vec{y}) \bigr\rangle. && \text{Pythagoras.}
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\end{align*}
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Damit ist das Lemma bewiesen.
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\end{proof}
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\begin{lem}[Bild von ONB unter orthogonaler Transformation ist ONB]\label{claim:5-4-8}
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\begin{lem}[Bild von ONB unter orthogonaler Transformation ist ONB]\label{claim:5-4-8}%
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Es sei $φ: ℝ^n → ℝ^n$ eine orthogonale Transformation des $ℝ^n$ bezüglich des
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Euklidischen Abstands und es sei $\vec{v}_1, …, \vec{v}_n$ eine
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||||
Orthonormalbasis des $ℝ^n$. Dann ist $φ(\vec{v}_1), …, φ(\vec{v}_n)$ wieder
|
||||
@ -315,9 +314,9 @@ Eine Menge, wie wir sofort sehen werden.
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||||
\section{Beschreibung der orthogonalen Transformationen}
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\label{sec:5-5}
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||||
Mit Hilfe unserer Vorbereitungen können wir jetzt die orthogonalen
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||||
Transformationen des $ℝ^n$ (und damit auch die abstandserhaltenden
|
||||
Abbildungen) vollständig beschreiben.
|
||||
Mithilfe unserer Vorbereitungen können wir jetzt die orthogonalen
|
||||
Transformationen des $ℝ^n$ (und damit auch die abstandserhaltenden Abbildungen)
|
||||
vollständig beschreiben.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Linearität orthogonaler Transformationen]\label{satz:5-5-1}
|
||||
Es sei $φ: ℝ^n → ℝ^n$ eine orthogonale Transformation des $ℝ^n$ bezüglich des
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||||
@ -337,7 +336,7 @@ Abbildungen) vollständig beschreiben.
|
||||
η_j(\vec{x}+λ·\vec{y}) &= \langle φ(\vec{x} + λ·\vec{y}), \vec{v}_j \rangle \\
|
||||
&= \langle φ(\vec{x} + λ·\vec{y}), φ(\vec{e}_j) \rangle\\
|
||||
&= \langle \vec{x} + λ·\vec{y}, \vec{e}_j \rangle && \text{Lemma~\ref{lem:5-4-7}} \\
|
||||
&= \langle \vec{x}, \vec{e}_j \rangle + λ·\langle \vec{y}, \vec{e}_j \rangle && \text{Linearität in der 2. Kpte.}\\
|
||||
&= \langle \vec{x}, \vec{e}_j \rangle + λ·\langle \vec{y}, \vec{e}_j \rangle && \text{Linearität in der 2.~Kpte.}\\
|
||||
&= \langle φ(\vec{x}), φ(\vec{e}_j) \rangle + λ·\langle φ(\vec{y}), φ(\vec{e}_j) \rangle && \text{Lemma~\ref{lem:5-4-7}} \\
|
||||
&= \langle φ(\vec{x}), \vec{v}_j \rangle + λ·\langle φ(\vec{y}), \vec{v}_j \rangle \\
|
||||
&= η_j(\vec{x}) + λ·η_j(\vec{y}).
|
||||
@ -374,8 +373,8 @@ keine Gleichungssysteme und keinen langwierigen Gauß-Algorithmus.
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||||
\emph{Gruppe der orthogonalen Matrizen}\index{orthogonale Gruppe!Matrizen}.
|
||||
\end{defn}
|
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||||
Es ist üblich, die Gruppe der orthogonalen Matrizen auch kurz mit ``orthogonale
|
||||
Gruppe'' zu bezeichnen, obwohl sich das mit der Definition~\vref{def:5-3-3}
|
||||
überschneidet. Um Verwirrung zu vermeiden bevorzuge ich die ausführliche Form.
|
||||
Es ist üblich, die Gruppe der orthogonalen Matrizen auch kurz mit „orthogonale
|
||||
Gruppe“ zu bezeichnen, obwohl sich das mit der Definition~\vref{def:5-3-3}
|
||||
überschneidet. Um Verwirrung zu vermeiden, bevorzuge ich die ausführliche Form.
|
||||
|
||||
% !TEX root = LineareAlgebra2
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||||
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