diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index c553c03..531f116 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -27,3 +27,12 @@ Cayley-Hamilton TFAE Jordanblocks Einsetzungsmorphismus +Abstandserhaltende +abstandserhaltend +metrikerhaltend +abstandserhaltenden +abstandserhaltender +abstandserhaltende +Definitheit +ONB +Kronecker-Delta diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index 863d79d..56314b5 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -10,3 +10,10 @@ {"rule":"DE_COMPOUND_COHERENCY","sentence":"^\\QAls nächstes überlegen wir uns, wie die Potenzen von beliebigen Jordan-Blöcken ausrechnen.\\E$"} {"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIch wiederhole die Warnung aus „Lineare Algebra I“.\\E$"} {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qden Grad des Polynoms, in Formeln \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität im ersten Argument] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität im zweiten Argument] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Positive Definitheit] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Satz des Pythagoras] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+$"} +{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QDann gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Pythagoras \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist abstandserhaltend \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QKpte.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität im zweiten Argument] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} diff --git a/05-Skalarprodukt-im-Rn.tex b/05-Skalarprodukt-im-Rn.tex index 6ead8d4..bd7b253 100644 --- a/05-Skalarprodukt-im-Rn.tex +++ b/05-Skalarprodukt-im-Rn.tex @@ -7,12 +7,12 @@ \section{Die Euklidische Norm und der Euklidische Abstand} \label{sec:end} -\sideremark{Vorlesung 7}Bislang hatten wir in der Vorlesung ``nur'' Vektorräume +\sideremark{Vorlesung 7}Bislang hatten wir in der Vorlesung „nur“ Vektorräume und lineare Abbildungen betrachtet. Viele Vektorräume, die einem in der freien Wildbahn begegnen haben aber noch mehr Struktur: es existiert oft ein Begriff -von ``Länge'' oder ``Norm'' eines Vektors. Ich diskutiere diesen Begriff zuerst -anhand der bekannten Euklidischen Länge des $ℝ^n$. Später diskutieren wir -dann beliebige Vektorräume. +von „Länge“ oder „Norm“ eines Vektors. Ich diskutiere diesen Begriff zuerst +anhand der bekannten Euklidischen Länge des $ℝ^n$. Später diskutieren wir dann +beliebige Vektorräume. \begin{defn}[Euklidische Norm auf dem $ℝ^n$] Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Die Abbildung @@ -49,17 +49,16 @@ Konkret rechnet man also $\|x-y\| = \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i-y_i)²}$. \section{Abstandserhaltende Abbildungen} -Ähnlich wie bei den linearen Abbildungen (die die Struktur des Vektorraumes +Ähnlich wie bei den linearen Abbildungen (welche die Struktur des Vektorraumes respektieren) interessiere ich mich für Abbildungen, die die Euklidische Norm beziehungsweise den Euklidischen Abstand respektieren. \begin{defn} Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine Abbildung $φ: ℝ^n → ℝ^n$ heißt \emph{abstandserhaltend bezüglich der Euklidischen - Norm}\index{abstandserhaltende Abbildung|see{metrikerhaltende Abbildung}} - oder \emph{metrikerhaltend bezüglich der Euklidischen - Norm}\index{metrikerhaltende Abbildung!bezüglich der Euklidischen Norm}, - falls gilt: + Norm}\index{abstandserhaltende Abbildung|see{metrikerhaltende Abbildung}} oder + \emph{metrikerhaltend bezüglich der Euklidischen Norm}\index{metrikerhaltende + Abbildung!bezüglich der Euklidischen Norm}, falls gilt: \[ d \bigl( φ(\vec{x}), φ(\vec{y}) \bigr) = d(\vec{x},\vec{y}), \quad \text{für alle } \vec{x}, \vec{y} ∈ ℝ^n. @@ -87,8 +86,8 @@ Wir nennen gleich einige einfache Eigenschaften von abstandserhaltenden Abbildungen. \begin{lem}[Einfache Eigenschaften abstandserhaltender Abbildungen] - Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $φ: ℝ^n → ℝ^n$ sei abstandserhaltend - bezüglich der Euklidischen Norm. Dann gilt Folgendes. + Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $φ: ℝ^n → ℝ^n$ sei abstandserhaltend bezüglich + der Euklidischen Norm. Dann gilt Folgendes. \begin{enumerate} \item\label{il:5-2-4-1} Die Abbildung $φ$ ist bijektiv. @@ -102,20 +101,20 @@ Abbildungen. \end{enumerate} \end{lem} \begin{proof} - Wir beweisen die Teilaussage ``$φ$ ist injektiv'' von \ref{il:5-2-4-1}: - angenommen $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$ seien zwei Vektoren mit - $φ(\vec{v}_1) = φ(\vec{v}_2)$. Dann ist + Wir beweisen die Teilaussage „$φ$ ist injektiv“ von \ref{il:5-2-4-1}: + angenommen $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$ seien zwei Vektoren mit $φ(\vec{v}_1) = + φ(\vec{v}_2)$. Dann ist \[ d(\vec{v}_1,\vec{v}_2) = d\bigl( φ(\vec{v}_1), φ(\vec{v}_2) \bigr) = 0. \] - Also ist $\vec{v}_1 = \vec{v}_2$, was zu beweisen war. Die Teilaussage `` $φ$ - ist surjektiv'' beweise ich nicht. Die Beweise von \ref{il:5-2-4-2} und + Also ist $\vec{v}_1 = \vec{v}_2$, was zu beweisen war. Die Teilaussage „$φ$ + ist surjektiv“ beweise ich nicht. Die Beweise von \ref{il:5-2-4-2} und \ref{il:5-2-4-3} lasse ich Ihnen als Übungsaufgabe. \end{proof} \begin{kor}[Abstandserhaltenden Abbildungen bilden Gruppe]\label{kor:5-2-5} - Die abstandserhaltenden Abbildungen bilden mit der Verknüpfung eine - Untergruppe der Gruppe der bijektiven Selbstabbildungen $\Bij(ℝ^n)$. \qed + Abstandserhaltende Abbildungen bilden mit der Verknüpfung eine Untergruppe der + Gruppe der bijektiven Selbstabbildungen $\Bij(ℝ^n)$. \qed \end{kor} @@ -131,16 +130,16 @@ enorm. abstandserhaltende Abbildung und $\vec{c} := φ(\vec{0})$. Dann ist die Abbildung \[ - ψ: ℝ^n → ℝ^n, \quad \vec{x} ↦ φ(\vec{x}) - \vec{c} . + ψ: ℝ^n → ℝ^n, \quad \vec{x} ↦ φ(\vec{x}) - \vec{c} \] wieder abstandserhaltend. Zusätzlich gilt: $ψ(\vec{0}) = \vec{0}$. \end{beobachtung} Um alle abstandserhaltenden Abbildungen zu kennen, genügt es also, diejenigen abstandserhaltenden Abbildungen zu verstehen, die den Nullvektor wieder auf den -Nullvektor abbilden. Solche Abbildungen heißen ``orthogonale Transformation''. +Nullvektor abbilden. Solche Abbildungen heißen „orthogonale Transformation“. -\begin{defn}[Orthogonale Transformation]\label{defn-orthoTraf} +\begin{defn}[Orthogonale Transformation]\label{defn-orthoTraf}% Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine \emph{orthogonale Transformation des $ℝ^n$ bezüglich des Euklidischen Abstands}\index{Transformation des $ℝ^n$!orthogonal bezüglich des Euklidischen Abstands} ist eine @@ -162,10 +161,10 @@ Transformation eine Gruppe bilden. \end{defn} -\section{Das Standard-Skalarprodukt auf dem $ℝ^n$} +\section{Das Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$} Wir wollen alle orthogonalen Transformationen beschreiben. Das wesentliche -Hilfsmittel dabei ist das ``Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$. +Hilfsmittel dabei ist das „Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$“. \begin{defn}[Standardskalarprodukt $ℝ^n$] Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Die Abbildung @@ -197,30 +196,30 @@ Beweis. Vielleicht beweisen Sie zu Übungszwecken die eine oder andere Eigenschaft einmal selbst? \begin{lem}[Einfache Eigenschaften des Standard-Skalarprodukts] - Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Dann gilt folgendes: + Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Dann gilt Folgendes. \begin{description} \item[Linearität im ersten Argument] Für alle $\vec{x}, \vec{y}$ und $\vec{z} ∈ ℝ^n$ und alle $λ ∈ ℝ$ gilt \[ \langle \vec{x} + λ·\vec{y}, \vec{z} \rangle = \langle \vec{x}, \vec{z} - \rangle + λ·\langle \vec{y}, \vec{z} \rangle + \rangle + λ·\langle \vec{y}, \vec{z} \rangle. \] \item[Linearität im zweiten Argument] Für alle $\vec{x}, \vec{y}$ und $\vec{z} ∈ ℝ^n$ und alle $λ ∈ ℝ$ gilt \[ \langle \vec{x}, \vec{y} + λ·\vec{z} \rangle = \langle \vec{x}, \vec{y} - \rangle + λ·\langle \vec{x}, \vec{z} \rangle + \rangle + λ·\langle \vec{x}, \vec{z} \rangle. \] - \item[Positive Definitheit] Für alle $\vec{x} ∈ ℝ^n$ gilt - $\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle ≥ 0$. Außerdem gilt - $\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle = 0 ⇔ \vec{x} = \vec{0}$. + \item[Positive Definitheit] Für alle $\vec{x} ∈ ℝ^n$ gilt $\langle \vec{x}, + \vec{x} \rangle ≥ 0$. Außerdem gilt $\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle = 0 ⇔ + \vec{x} = \vec{0}$. \item[Symmetrie] Für alle $\vec{x}$ und $\vec{y} ∈ ℝ^n$ gilt $\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle = \langle \vec{y}, \vec{x} \rangle$. - \item[Satz von Pythagoras]\index{Pythagoras!für $ℝ^n$} Für alle $\vec{x}$ + \item[Satz des Pythagoras]\index{Pythagoras!für $ℝ^n$} Für alle $\vec{x}$ und $\vec{y} ∈ ℝ^n$ gilt \[ \| \vec{x} + \vec{y} \|² = \| \vec{x} \|² + 2·\langle \vec{x}, \vec{y} @@ -242,9 +241,9 @@ scheint. \begin{defn}[Orthonormalbasis] Eine Basis $\{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\} ⊂ ℝ^n$ heißt \emph{Orthonormalbasis bezüglich des Standardskalarprodukts}\index{Orthonormalbasis} (unter - Freunden: ONB), falls für alle $i, j$ gilt, dass - $\langle \vec{v}_i, \vec{v}_j \rangle = δ_{ij}$, wobei $δ_{ij}$ wie üblich das - Kronecker-Delta bezeichnet. + Freunden: ONB), falls für alle $i, j$ gilt, dass $\langle \vec{v}_i, + \vec{v}_j \rangle = δ_{ij}$, wobei $δ_{ij}$ wie üblich das Kronecker-Delta + bezeichnet. \end{defn} \begin{bsp} @@ -296,12 +295,12 @@ Eine Menge, wie wir sofort sehen werden. &= -\frac{1}{2} \Bigl( d(\vec{x},\vec{y})² - d \bigl(\vec{x},\vec{0}\bigr)² - d\bigl(\vec{y},\vec{0}\bigr)² \Bigr) && \text{Definition}\\ &= -\frac{1}{2} \Bigl( d\bigl(φ(\vec{x}),φ(\vec{y})\bigr)² - d\bigl(φ(\vec{x}),\vec{0}\bigr)² - d\bigl(φ(\vec{y}),\vec{0}\bigr)² \Bigr) && φ\text{ ist abstandserhaltend}\\ &= -\frac{1}{2} \Bigl( \| φ(\vec{x}) - φ(\vec{y}) \|² - \| φ(\vec{x}) \|² - \|-φ(\vec{y}) \|² \Bigr) && \text{Definition}\\ - &= -\bigl\langle φ(\vec{x}), -φ(\vec{y}) \bigr\rangle = \bigl\langle φ(\vec{x}), φ(\vec{y}) \bigr\rangle. && \text{Pythagoras} + &= -\bigl\langle φ(\vec{x}), -φ(\vec{y}) \bigr\rangle = \bigl\langle φ(\vec{x}), φ(\vec{y}) \bigr\rangle. && \text{Pythagoras.} \end{align*} Damit ist das Lemma bewiesen. \end{proof} -\begin{lem}[Bild von ONB unter orthogonaler Transformation ist ONB]\label{claim:5-4-8} +\begin{lem}[Bild von ONB unter orthogonaler Transformation ist ONB]\label{claim:5-4-8}% Es sei $φ: ℝ^n → ℝ^n$ eine orthogonale Transformation des $ℝ^n$ bezüglich des Euklidischen Abstands und es sei $\vec{v}_1, …, \vec{v}_n$ eine Orthonormalbasis des $ℝ^n$. Dann ist $φ(\vec{v}_1), …, φ(\vec{v}_n)$ wieder @@ -315,9 +314,9 @@ Eine Menge, wie wir sofort sehen werden. \section{Beschreibung der orthogonalen Transformationen} \label{sec:5-5} -Mit Hilfe unserer Vorbereitungen können wir jetzt die orthogonalen -Transformationen des $ℝ^n$ (und damit auch die abstandserhaltenden -Abbildungen) vollständig beschreiben. +Mithilfe unserer Vorbereitungen können wir jetzt die orthogonalen +Transformationen des $ℝ^n$ (und damit auch die abstandserhaltenden Abbildungen) +vollständig beschreiben. \begin{satz}[Linearität orthogonaler Transformationen]\label{satz:5-5-1} Es sei $φ: ℝ^n → ℝ^n$ eine orthogonale Transformation des $ℝ^n$ bezüglich des @@ -337,7 +336,7 @@ Abbildungen) vollständig beschreiben. η_j(\vec{x}+λ·\vec{y}) &= \langle φ(\vec{x} + λ·\vec{y}), \vec{v}_j \rangle \\ &= \langle φ(\vec{x} + λ·\vec{y}), φ(\vec{e}_j) \rangle\\ &= \langle \vec{x} + λ·\vec{y}, \vec{e}_j \rangle && \text{Lemma~\ref{lem:5-4-7}} \\ - &= \langle \vec{x}, \vec{e}_j \rangle + λ·\langle \vec{y}, \vec{e}_j \rangle && \text{Linearität in der 2. Kpte.}\\ + &= \langle \vec{x}, \vec{e}_j \rangle + λ·\langle \vec{y}, \vec{e}_j \rangle && \text{Linearität in der 2.~Kpte.}\\ &= \langle φ(\vec{x}), φ(\vec{e}_j) \rangle + λ·\langle φ(\vec{y}), φ(\vec{e}_j) \rangle && \text{Lemma~\ref{lem:5-4-7}} \\ &= \langle φ(\vec{x}), \vec{v}_j \rangle + λ·\langle φ(\vec{y}), \vec{v}_j \rangle \\ &= η_j(\vec{x}) + λ·η_j(\vec{y}). @@ -374,8 +373,8 @@ keine Gleichungssysteme und keinen langwierigen Gauß-Algorithmus. \emph{Gruppe der orthogonalen Matrizen}\index{orthogonale Gruppe!Matrizen}. \end{defn} -Es ist üblich, die Gruppe der orthogonalen Matrizen auch kurz mit ``orthogonale -Gruppe'' zu bezeichnen, obwohl sich das mit der Definition~\vref{def:5-3-3} -überschneidet. Um Verwirrung zu vermeiden bevorzuge ich die ausführliche Form. +Es ist üblich, die Gruppe der orthogonalen Matrizen auch kurz mit „orthogonale +Gruppe“ zu bezeichnen, obwohl sich das mit der Definition~\vref{def:5-3-3} +überschneidet. Um Verwirrung zu vermeiden, bevorzuge ich die ausführliche Form. % !TEX root = LineareAlgebra2