kebekus/LineareAlgebra2
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Stefan Kebekus 2025-05-07 14:17:36 +02:00
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@ -27,3 +27,12 @@ Cayley-Hamilton
TFAE TFAE
Jordanblocks Jordanblocks
Einsetzungsmorphismus Einsetzungsmorphismus
Abstandserhaltende
abstandserhaltend
metrikerhaltend
abstandserhaltenden
abstandserhaltender
abstandserhaltende
Definitheit
ONB
Kronecker-Delta

7
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt vendored
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@ -10,3 +10,10 @@
{"rule":"DE_COMPOUND_COHERENCY","sentence":"^\\QAls nächstes überlegen wir uns, wie die Potenzen von beliebigen Jordan-Blöcken ausrechnen.\\E$"} {"rule":"DE_COMPOUND_COHERENCY","sentence":"^\\QAls nächstes überlegen wir uns, wie die Potenzen von beliebigen Jordan-Blöcken ausrechnen.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIch wiederhole die Warnung aus „Lineare Algebra I“.\\E$"} {"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIch wiederhole die Warnung aus „Lineare Algebra I“.\\E$"}
{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qden Grad des Polynoms, in Formeln \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qden Grad des Polynoms, in Formeln \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität im ersten Argument] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität im zweiten Argument] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Positive Definitheit] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Satz des Pythagoras] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+$"}
{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QDann gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Pythagoras \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist abstandserhaltend \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QKpte.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität im zweiten Argument] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}

83
05-Skalarprodukt-im-Rn.tex
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@ -7,12 +7,12 @@
\section{Die Euklidische Norm und der Euklidische Abstand} \section{Die Euklidische Norm und der Euklidische Abstand}
\label{sec:end} \label{sec:end}
\sideremark{Vorlesung 7}Bislang hatten wir in der Vorlesung ``nur'' Vektorräume \sideremark{Vorlesung 7}Bislang hatten wir in der Vorlesung „nur“ Vektorräume
und lineare Abbildungen betrachtet. Viele Vektorräume, die einem in der freien und lineare Abbildungen betrachtet. Viele Vektorräume, die einem in der freien
Wildbahn begegnen haben aber noch mehr Struktur: es existiert oft ein Begriff Wildbahn begegnen haben aber noch mehr Struktur: es existiert oft ein Begriff
von ``Länge'' oder ``Norm'' eines Vektors. Ich diskutiere diesen Begriff zuerst von „Länge“ oder „Norm“ eines Vektors. Ich diskutiere diesen Begriff zuerst
anhand der bekannten Euklidischen Länge des $ℝ^n$. Später diskutieren wir anhand der bekannten Euklidischen Länge des $ℝ^n$. Später diskutieren wir dann
dann beliebige Vektorräume. beliebige Vektorräume.
\begin{defn}[Euklidische Norm auf dem $ℝ^n$] \begin{defn}[Euklidische Norm auf dem $ℝ^n$]
Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Die Abbildung Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Die Abbildung
@ -49,17 +49,16 @@ Konkret rechnet man also $\|x-y\| = \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i-y_i)²}$.
\section{Abstandserhaltende Abbildungen} \section{Abstandserhaltende Abbildungen}
Ähnlich wie bei den linearen Abbildungen (die die Struktur des Vektorraumes Ähnlich wie bei den linearen Abbildungen (welche die Struktur des Vektorraumes
respektieren) interessiere ich mich für Abbildungen, die die Euklidische Norm respektieren) interessiere ich mich für Abbildungen, die die Euklidische Norm
beziehungsweise den Euklidischen Abstand respektieren. beziehungsweise den Euklidischen Abstand respektieren.
\begin{defn} \begin{defn}
Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine Abbildung $φ: ℝ^n → ℝ^n$ heißt Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine Abbildung $φ: ℝ^n → ℝ^n$ heißt
\emph{abstandserhaltend bezüglich der Euklidischen \emph{abstandserhaltend bezüglich der Euklidischen
Norm}\index{abstandserhaltende Abbildung|see{metrikerhaltende Abbildung}} Norm}\index{abstandserhaltende Abbildung|see{metrikerhaltende Abbildung}} oder
oder \emph{metrikerhaltend bezüglich der Euklidischen \emph{metrikerhaltend bezüglich der Euklidischen Norm}\index{metrikerhaltende
Norm}\index{metrikerhaltende Abbildung!bezüglich der Euklidischen Norm}, Abbildung!bezüglich der Euklidischen Norm}, falls gilt:
falls gilt:
\[ \[
d \bigl( φ(\vec{x}), φ(\vec{y}) \bigr) = d(\vec{x},\vec{y}), \quad \text{für alle } \vec{x}, d \bigl( φ(\vec{x}), φ(\vec{y}) \bigr) = d(\vec{x},\vec{y}), \quad \text{für alle } \vec{x},
\vec{y} ∈ ℝ^n. \vec{y} ∈ ℝ^n.
@ -87,8 +86,8 @@ Wir nennen gleich einige einfache Eigenschaften von abstandserhaltenden
Abbildungen. Abbildungen.
\begin{lem}[Einfache Eigenschaften abstandserhaltender Abbildungen] \begin{lem}[Einfache Eigenschaften abstandserhaltender Abbildungen]
Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $φ: ℝ^n → ℝ^n$ sei abstandserhaltend Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $φ: ℝ^n → ℝ^n$ sei abstandserhaltend bezüglich
bezüglich der Euklidischen Norm. Dann gilt Folgendes. der Euklidischen Norm. Dann gilt Folgendes.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item\label{il:5-2-4-1} Die Abbildung $φ$ ist bijektiv. \item\label{il:5-2-4-1} Die Abbildung $φ$ ist bijektiv.
@ -102,20 +101,20 @@ Abbildungen.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{lem} \end{lem}
\begin{proof} \begin{proof}
Wir beweisen die Teilaussage ``$φ$ ist injektiv'' von \ref{il:5-2-4-1}: Wir beweisen die Teilaussage „$φ$ ist injektiv“ von \ref{il:5-2-4-1}:
angenommen $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$ seien zwei Vektoren mit angenommen $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$ seien zwei Vektoren mit $φ(\vec{v}_1) =
$φ(\vec{v}_1) = φ(\vec{v}_2)$. Dann ist φ(\vec{v}_2)$. Dann ist
\[ \[
d(\vec{v}_1,\vec{v}_2) = d\bigl( φ(\vec{v}_1), φ(\vec{v}_2) \bigr) = 0. d(\vec{v}_1,\vec{v}_2) = d\bigl( φ(\vec{v}_1), φ(\vec{v}_2) \bigr) = 0.
\] \]
Also ist $\vec{v}_1 = \vec{v}_2$, was zu beweisen war. Die Teilaussage `` $φ$ Also ist $\vec{v}_1 = \vec{v}_2$, was zu beweisen war. Die Teilaussage „$φ$
ist surjektiv'' beweise ich nicht. Die Beweise von \ref{il:5-2-4-2} und ist surjektiv“ beweise ich nicht. Die Beweise von \ref{il:5-2-4-2} und
\ref{il:5-2-4-3} lasse ich Ihnen als Übungsaufgabe. \ref{il:5-2-4-3} lasse ich Ihnen als Übungsaufgabe.
\end{proof} \end{proof}
\begin{kor}[Abstandserhaltenden Abbildungen bilden Gruppe]\label{kor:5-2-5} \begin{kor}[Abstandserhaltenden Abbildungen bilden Gruppe]\label{kor:5-2-5}
Die abstandserhaltenden Abbildungen bilden mit der Verknüpfung eine Abstandserhaltende Abbildungen bilden mit der Verknüpfung eine Untergruppe der
Untergruppe der Gruppe der bijektiven Selbstabbildungen $\Bij(ℝ^n)$. \qed Gruppe der bijektiven Selbstabbildungen $\Bij(ℝ^n)$. \qed
\end{kor} \end{kor}
@ -131,16 +130,16 @@ enorm.
abstandserhaltende Abbildung und $\vec{c} := φ(\vec{0})$. Dann ist die abstandserhaltende Abbildung und $\vec{c} := φ(\vec{0})$. Dann ist die
Abbildung Abbildung
\[ \[
ψ: ℝ^n → ℝ^n, \quad \vec{x} ↦ φ(\vec{x}) - \vec{c} . ψ: ℝ^n → ℝ^n, \quad \vec{x} ↦ φ(\vec{x}) - \vec{c}
\] \]
wieder abstandserhaltend. Zusätzlich gilt: $ψ(\vec{0}) = \vec{0}$. wieder abstandserhaltend. Zusätzlich gilt: $ψ(\vec{0}) = \vec{0}$.
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
Um alle abstandserhaltenden Abbildungen zu kennen, genügt es also, diejenigen Um alle abstandserhaltenden Abbildungen zu kennen, genügt es also, diejenigen
abstandserhaltenden Abbildungen zu verstehen, die den Nullvektor wieder auf den abstandserhaltenden Abbildungen zu verstehen, die den Nullvektor wieder auf den
Nullvektor abbilden. Solche Abbildungen heißen ``orthogonale Transformation''. Nullvektor abbilden. Solche Abbildungen heißen „orthogonale Transformation“.
\begin{defn}[Orthogonale Transformation]\label{defn-orthoTraf} \begin{defn}[Orthogonale Transformation]\label{defn-orthoTraf}%
Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine \emph{orthogonale Transformation des $ℝ^n$ Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine \emph{orthogonale Transformation des $ℝ^n$
bezüglich des Euklidischen Abstands}\index{Transformation des bezüglich des Euklidischen Abstands}\index{Transformation des
$ℝ^n$!orthogonal bezüglich des Euklidischen Abstands} ist eine $ℝ^n$!orthogonal bezüglich des Euklidischen Abstands} ist eine
@ -162,10 +161,10 @@ Transformation eine Gruppe bilden.
\end{defn} \end{defn}
\section{Das Standard-Skalarprodukt auf dem $ℝ^n$} \section{Das Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$}
Wir wollen alle orthogonalen Transformationen beschreiben. Das wesentliche Wir wollen alle orthogonalen Transformationen beschreiben. Das wesentliche
Hilfsmittel dabei ist das ``Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$. Hilfsmittel dabei ist das „Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$“.
\begin{defn}[Standardskalarprodukt $ℝ^n$] \begin{defn}[Standardskalarprodukt $ℝ^n$]
Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Die Abbildung Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Die Abbildung
@ -197,30 +196,30 @@ Beweis. Vielleicht beweisen Sie zu Übungszwecken die eine oder andere
Eigenschaft einmal selbst? Eigenschaft einmal selbst?
\begin{lem}[Einfache Eigenschaften des Standard-Skalarprodukts] \begin{lem}[Einfache Eigenschaften des Standard-Skalarprodukts]
Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Dann gilt folgendes: Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Dann gilt Folgendes.
\begin{description} \begin{description}
\item[Linearität im ersten Argument] Für alle $\vec{x}, \vec{y}$ und \item[Linearität im ersten Argument] Für alle $\vec{x}, \vec{y}$ und
$\vec{z} ∈ ℝ^n$ und alle $λ ∈ ℝ$ gilt $\vec{z} ∈ ℝ^n$ und alle $λ ∈ ℝ$ gilt
\[ \[
\langle \vec{x} + λ·\vec{y}, \vec{z} \rangle = \langle \vec{x}, \vec{z} \langle \vec{x} + λ·\vec{y}, \vec{z} \rangle = \langle \vec{x}, \vec{z}
\rangle + λ·\langle \vec{y}, \vec{z} \rangle \rangle + λ·\langle \vec{y}, \vec{z} \rangle.
\] \]
\item[Linearität im zweiten Argument] Für alle $\vec{x}, \vec{y}$ und \item[Linearität im zweiten Argument] Für alle $\vec{x}, \vec{y}$ und
$\vec{z} ∈ ℝ^n$ und alle $λ ∈ ℝ$ gilt $\vec{z} ∈ ℝ^n$ und alle $λ ∈ ℝ$ gilt
\[ \[
\langle \vec{x}, \vec{y} + λ·\vec{z} \rangle = \langle \vec{x}, \vec{y} \langle \vec{x}, \vec{y} + λ·\vec{z} \rangle = \langle \vec{x}, \vec{y}
\rangle + λ·\langle \vec{x}, \vec{z} \rangle \rangle + λ·\langle \vec{x}, \vec{z} \rangle.
\] \]
\item[Positive Definitheit] Für alle $\vec{x} ∈ ℝ^n$ gilt \item[Positive Definitheit] Für alle $\vec{x} ∈ ℝ^n$ gilt $\langle \vec{x},
$\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle ≥ 0$. Außerdem gilt \vec{x} \rangle ≥ 0$. Außerdem gilt $\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle = 0 ⇔
$\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle = 0 ⇔ \vec{x} = \vec{0}$. \vec{x} = \vec{0}$.
\item[Symmetrie] Für alle $\vec{x}$ und $\vec{y} ∈ ℝ^n$ gilt \item[Symmetrie] Für alle $\vec{x}$ und $\vec{y} ∈ ℝ^n$ gilt
$\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle = \langle \vec{y}, \vec{x} \rangle$. $\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle = \langle \vec{y}, \vec{x} \rangle$.
\item[Satz von Pythagoras]\index{Pythagoras!für $ℝ^n$} Für alle $\vec{x}$ \item[Satz des Pythagoras]\index{Pythagoras!für $ℝ^n$} Für alle $\vec{x}$
und $\vec{y} ∈ ℝ^n$ gilt und $\vec{y} ∈ ℝ^n$ gilt
\[ \[
\| \vec{x} + \vec{y} \|² = \| \vec{x} \|² + 2·\langle \vec{x}, \vec{y} \| \vec{x} + \vec{y} \|² = \| \vec{x} \|² + 2·\langle \vec{x}, \vec{y}
@ -242,9 +241,9 @@ scheint.
\begin{defn}[Orthonormalbasis] \begin{defn}[Orthonormalbasis]
Eine Basis $\{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\} ⊂ ℝ^n$ heißt \emph{Orthonormalbasis Eine Basis $\{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\} ⊂ ℝ^n$ heißt \emph{Orthonormalbasis
bezüglich des Standardskalarprodukts}\index{Orthonormalbasis} (unter bezüglich des Standardskalarprodukts}\index{Orthonormalbasis} (unter
Freunden: ONB), falls für alle $i, j$ gilt, dass Freunden: ONB), falls für alle $i, j$ gilt, dass $\langle \vec{v}_i,
$\langle \vec{v}_i, \vec{v}_j \rangle = δ_{ij}$, wobei $δ_{ij}$ wie üblich das \vec{v}_j \rangle = δ_{ij}$, wobei $δ_{ij}$ wie üblich das Kronecker-Delta
Kronecker-Delta bezeichnet. bezeichnet.
\end{defn} \end{defn}
\begin{bsp} \begin{bsp}
@ -296,12 +295,12 @@ Eine Menge, wie wir sofort sehen werden.
&= -\frac{1}{2} \Bigl( d(\vec{x},\vec{y})² - d \bigl(\vec{x},\vec{0}\bigr)² - d\bigl(\vec{y},\vec{0}\bigr)² \Bigr) && \text{Definition}\\ &= -\frac{1}{2} \Bigl( d(\vec{x},\vec{y})² - d \bigl(\vec{x},\vec{0}\bigr)² - d\bigl(\vec{y},\vec{0}\bigr)² \Bigr) && \text{Definition}\\
&= -\frac{1}{2} \Bigl( d\bigl(φ(\vec{x}),φ(\vec{y})\bigr)² - d\bigl(φ(\vec{x}),\vec{0}\bigr)² - d\bigl(φ(\vec{y}),\vec{0}\bigr)² \Bigr) && φ\text{ ist abstandserhaltend}\\ &= -\frac{1}{2} \Bigl( d\bigl(φ(\vec{x}),φ(\vec{y})\bigr)² - d\bigl(φ(\vec{x}),\vec{0}\bigr)² - d\bigl(φ(\vec{y}),\vec{0}\bigr)² \Bigr) && φ\text{ ist abstandserhaltend}\\
&= -\frac{1}{2} \Bigl( \| φ(\vec{x}) - φ(\vec{y}) \|² - \| φ(\vec{x}) \|² - \|-φ(\vec{y}) \|² \Bigr) && \text{Definition}\\ &= -\frac{1}{2} \Bigl( \| φ(\vec{x}) - φ(\vec{y}) \|² - \| φ(\vec{x}) \|² - \|-φ(\vec{y}) \|² \Bigr) && \text{Definition}\\
&= -\bigl\langle φ(\vec{x}), -φ(\vec{y}) \bigr\rangle = \bigl\langle φ(\vec{x}), φ(\vec{y}) \bigr\rangle. && \text{Pythagoras} &= -\bigl\langle φ(\vec{x}), -φ(\vec{y}) \bigr\rangle = \bigl\langle φ(\vec{x}), φ(\vec{y}) \bigr\rangle. && \text{Pythagoras.}
\end{align*} \end{align*}
Damit ist das Lemma bewiesen. Damit ist das Lemma bewiesen.
\end{proof} \end{proof}
\begin{lem}[Bild von ONB unter orthogonaler Transformation ist ONB]\label{claim:5-4-8} \begin{lem}[Bild von ONB unter orthogonaler Transformation ist ONB]\label{claim:5-4-8}%
Es sei $φ: ℝ^n → ℝ^n$ eine orthogonale Transformation des $ℝ^n$ bezüglich des Es sei $φ: ℝ^n → ℝ^n$ eine orthogonale Transformation des $ℝ^n$ bezüglich des
Euklidischen Abstands und es sei $\vec{v}_1, …, \vec{v}_n$ eine Euklidischen Abstands und es sei $\vec{v}_1, …, \vec{v}_n$ eine
Orthonormalbasis des $ℝ^n$. Dann ist $φ(\vec{v}_1), …, φ(\vec{v}_n)$ wieder Orthonormalbasis des $ℝ^n$. Dann ist $φ(\vec{v}_1), …, φ(\vec{v}_n)$ wieder
@ -315,9 +314,9 @@ Eine Menge, wie wir sofort sehen werden.
\section{Beschreibung der orthogonalen Transformationen} \section{Beschreibung der orthogonalen Transformationen}
\label{sec:5-5} \label{sec:5-5}
Mit Hilfe unserer Vorbereitungen können wir jetzt die orthogonalen Mithilfe unserer Vorbereitungen können wir jetzt die orthogonalen
Transformationen des $ℝ^n$ (und damit auch die abstandserhaltenden Transformationen des $ℝ^n$ (und damit auch die abstandserhaltenden Abbildungen)
Abbildungen) vollständig beschreiben. vollständig beschreiben.
\begin{satz}[Linearität orthogonaler Transformationen]\label{satz:5-5-1} \begin{satz}[Linearität orthogonaler Transformationen]\label{satz:5-5-1}
Es sei $φ: ℝ^n → ℝ^n$ eine orthogonale Transformation des $ℝ^n$ bezüglich des Es sei $φ: ℝ^n → ℝ^n$ eine orthogonale Transformation des $ℝ^n$ bezüglich des
@ -337,7 +336,7 @@ Abbildungen) vollständig beschreiben.
η_j(\vec{x}+λ·\vec{y}) &= \langle φ(\vec{x} + λ·\vec{y}), \vec{v}_j \rangle \\ η_j(\vec{x}+λ·\vec{y}) &= \langle φ(\vec{x} + λ·\vec{y}), \vec{v}_j \rangle \\
&= \langle φ(\vec{x} + λ·\vec{y}), φ(\vec{e}_j) \rangle\\ &= \langle φ(\vec{x} + λ·\vec{y}), φ(\vec{e}_j) \rangle\\
&= \langle \vec{x} + λ·\vec{y}, \vec{e}_j \rangle && \text{Lemma~\ref{lem:5-4-7}} \\ &= \langle \vec{x} + λ·\vec{y}, \vec{e}_j \rangle && \text{Lemma~\ref{lem:5-4-7}} \\
&= \langle \vec{x}, \vec{e}_j \rangle + λ·\langle \vec{y}, \vec{e}_j \rangle && \text{Linearität in der 2. Kpte.}\\ &= \langle \vec{x}, \vec{e}_j \rangle + λ·\langle \vec{y}, \vec{e}_j \rangle && \text{Linearität in der 2.~Kpte.}\\
&= \langle φ(\vec{x}), φ(\vec{e}_j) \rangle + λ·\langle φ(\vec{y}), φ(\vec{e}_j) \rangle && \text{Lemma~\ref{lem:5-4-7}} \\ &= \langle φ(\vec{x}), φ(\vec{e}_j) \rangle + λ·\langle φ(\vec{y}), φ(\vec{e}_j) \rangle && \text{Lemma~\ref{lem:5-4-7}} \\
&= \langle φ(\vec{x}), \vec{v}_j \rangle + λ·\langle φ(\vec{y}), \vec{v}_j \rangle \\ &= \langle φ(\vec{x}), \vec{v}_j \rangle + λ·\langle φ(\vec{y}), \vec{v}_j \rangle \\
&= η_j(\vec{x}) + λ·η_j(\vec{y}). &= η_j(\vec{x}) + λ·η_j(\vec{y}).
@ -374,8 +373,8 @@ keine Gleichungssysteme und keinen langwierigen Gauß-Algorithmus.
\emph{Gruppe der orthogonalen Matrizen}\index{orthogonale Gruppe!Matrizen}. \emph{Gruppe der orthogonalen Matrizen}\index{orthogonale Gruppe!Matrizen}.
\end{defn} \end{defn}
Es ist üblich, die Gruppe der orthogonalen Matrizen auch kurz mit ``orthogonale Es ist üblich, die Gruppe der orthogonalen Matrizen auch kurz mit „orthogonale
Gruppe'' zu bezeichnen, obwohl sich das mit der Definition~\vref{def:5-3-3} Gruppe“ zu bezeichnen, obwohl sich das mit der Definition~\vref{def:5-3-3}
überschneidet. Um Verwirrung zu vermeiden bevorzuge ich die ausführliche Form. überschneidet. Um Verwirrung zu vermeiden, bevorzuge ich die ausführliche Form.
% !TEX root = LineareAlgebra2 % !TEX root = LineareAlgebra2