Fehler verbessert

12.tex

@@ -205,7 +205,7 @@ unabhängiger Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden.
   \video{14-2}
 \end{proof}
 
-\begin{satz}[Primideale über gegebenen Ideal sind nicht ineinander enthalten]
+\begin{satz}[Primideale über gegebenen Ideal sind nicht ineinander enthalten]\label{satz:12-2-9}
   Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter sei $p ⊂
   A$ Primideal und es seien $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ Primideale über $p$.  Dann ist $q_1
   = q_2$.

13.tex

@@ -235,7 +235,7 @@ die längst überfällige Frage, was die Dimension des affinen Raums ist.
 
 \begin{aufgabe}
   Finden Sie einen geometrisch sinnvollen Nicht-Integritätsring in dem es zwei
-  unterschiedlich lange maximal lange Primidealketten gibt!  Tipp: die
+  unterschiedlich lange maximal lange Primidealketten gibt!  Tipp: Die
   verschiedenen irreduziblen Komponenten einer algebraischen Menge müssen nicht
   dieselbe Dimension haben.
 \end{aufgabe}
@@ -301,10 +301,29 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
   angenommen wird.  Also ist $\height p = d-α$.
 \end{bsp}
 
-\begin{kor}\label{kor:13-3-9}%
+\begin{bsp}\label{bsp:13-3-9}%
+  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter
+  seien $p ⊂ A$ und $q ⊂ B$ Primideale, sodass $q$ über $p$ liegt.
+  \begin{itemize}
+    \item Gegeben eine strikte Kette $q_0 ⊊ q_1 ⊊ ⋯
+    ⊊ q_m = q$ von Primidealen in $B$, so setze $p_i := q_i ∩ A$ und
+    erhalte eine Kette $p_0 ⊊ p_1 ⊊ ⋯ ⊊ p_m = p$
+    von Primidealen in $A$, die nach Satz~\ref{satz:12-2-9} strikt ist.
+    Insbesondere ist $\height p ≥ \height q$.
+
+    \item Gegeben sei eine strikte Kette $p_0 ⊊ p_1 ⊊ ⋯
+    ⊊ p_m = p$ von Primidealen in $A$.  Wenn $A$ normal ist, dann gibt
+    es nach Satz~\ref{satz:goingDown} (``Going Down'') eine strikte Kette $q_0
+    ⊊ q_1 ⊊ ⋯ ⊊ q_m = q$ von Primidealen in $B$,
+    wobei die $q_{•}$ über den $p_{•}$ liegen.  Insbesondere ist
+    $\height q ≥ \height p$.
+  \end{itemize}
+\end{bsp}
+
+\begin{kor}\label{kor:13-3-10}%
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $A$ ein
   Integritätsring der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$.  Gegeben ein Primideal $p ⊂
-  A$ ein Primideal, dann ist
+  A$, dann ist
   \[
     \dim A = \height(p) + \dim(A/p).
   \]
@@ -328,10 +347,12 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
   \item Das Ideal $q := p ∩ k[y_1, …, y_d]$ ist von der Form
     $q = (y_α, …, y_d)$, also ist
     \[
-      k[y_1, …,y_d]/q \simeq k[y_1, …, y_α]
+      k[y_1, …,y_d]/q \simeq k[\overline{y_1}, …, \overline{y_α}]
     \]
-    und dieser Ring hat die Dimension $α$.  Zusätzlich gilt nach
-    Beispiel~\ref{bsp:13-3-8} die Gleichung $\height q = d-α$.
+    und dieser Ring hat die Dimension $α$.
+    
+  \item Nach Beispiel~\ref{bsp:13-3-8} ist $\height q = d-α$.  Nach
+  Beispiel~\ref{bsp:13-3-9} ist $\height p = \height q$.
   \end{itemize}
   Zu guter Letzt: Da die Erweiterung $k[y_1, …,y_d]/q ⊂ k[x_1, …,x_n]/p$ nach
   Satz~\ref{satz:12-2-5} wieder ganz ist, haben die beiden Ringe die gleiche
@@ -343,7 +364,7 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
 \end{proof}
 
 \begin{warnung}[Dimensionsbegriff für beliebige Ringe]
-  In Korollar~\ref{kor:13-3-9} ist die Annahme, dass $A$ von der Form $A =
+  In Korollar~\ref{kor:13-3-10} ist die Annahme, dass $A$ von der Form $A =
   K[x_1, …,x_n]/I$ ist, absolut notwendig.  Für beliebige Ringe ist die Aussage
   des Korollars falsch!  Tatsächlich verhält sich der Begriff „Dimension“ für
   beliebige Ringe ziemlich kontra-intuitiv und ist in der Praxis einigermaßen
@@ -367,7 +388,7 @@ Beweis.
   $i$.  \qed
 \end{satz}
 
-Zusammen mit Korollar~\ref{kor:13-3-9} sagt der Krullsche Hauptidealsatz unter
+Zusammen mit Korollar~\ref{kor:13-3-10} sagt der Krullsche Hauptidealsatz unter
 anderem Folgendes: Sei $f ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{ 0\}$ ein Polynom.  Dann hat jede
 irreduzible Komponente von $V(f)$ die Dimension $n-1$.