Definition Krulldimension: Maximum -> Supremum, und Länge einer Primidealkette erklärt

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+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Die Sätze von Cohen-Seidenberg}
+
+\sideremark{Vorlesung 14}Wir teilen vermutlich alle das Gefühl, dass der affine
+Raum $𝔸¹$ und dass algebraische Kurven eindimensional seien, dass der Raum
+$𝔸²$ zweidimensional und dass $𝔸³$ dreidimensional ist.  Sie stimmen mir
+vermutlich auch zu, dass die Dimension einer affinen Varietät eine intrinsische
+Eigenschaft sein sollte.  In diesem Teil der Vorlesung möchte ich die Frage
+beantworten, wie man die Dimension einer Varietät jetzt genau definiert.
+
+
+\section{Die Krull-Dimension}
+
+Ich spanne Sie nicht lange auf die Folter.  Die Idee ist die: im Raum $𝔸³$
+finde ich eine Kette von irreduziblen Mengen der folgenden Form,
+\[
+  \text{Punkt} ⊊ \text{Gerade} ⊊ \text{Ebene} ⊊ 𝔸³.
+\]
+Diese Kette hat Länge drei\footnote{Länge = Anzahl der Inklusionszeichen}, das
+ist unsere Wunschdimension für $𝔸³$.  Außerdem kann man (=werden wir) beweisen,
+dass diese Kette maximal lang ist.  Anschaulich ist wahrscheinlich klar, dass es
+keine echte Zwischenvarietät zwischen der Gerade und der Ebene geben kann.  In
+unserer Korrespondenz zwischen Algebra und Geometrie gehören irreduzible Mengen
+zu Primidealen, das legt die folgende Definition nahe.
+
+\begin{defn}[Krullsche Dimension eines Ringes]
+  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Die \emph{Krullsche
+  Dimension}\index{Krullsche Dimension!eines
+  Ringes}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Krull}{Wolfgang
+  Krull} (* 26.  August 1899 in Baden-Baden; † 12.  April 1971 in Bonn) war ein
+  deutscher Mathematiker.  Sein Schwerpunkt war die kommutative Algebra.  Krull
+  studierte zunächst ab 1919 in Freiburg im Breisgau, später auch in Rostock und
+  Göttingen.  Nicht zu verwechseln mit Felix Krull, dem Hochstapler.} von $R$
+  ist das Supremum aller Längen von Ketten von Primidealen,
+  \[
+    P_0 ⊊ P_1 ⊊ P_2 ⊊ … ⊊ P_n.
+  \]
+  Die Länge einer Primidealkette ist dabei die Anzahl der echten Inklusionen, die in ihr vorkommen.
+\end{defn}
+
+\begin{defn}[Krullsche Dimension einer Varietät]
+  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $X ⊂ 𝔸^n_k$ sei eine
+  Untervarietät.  Die Krullsche Dimension des affinen Koordinatenringes $k[X]$
+  wird auch als Krullsche Dimension der Varietät $X$ bezeichnet.
+\end{defn}
+
+\begin{bemerkung}
+  Die Krullsche Dimension eines Ringes ist unendlich, wenn es eine unendlich
+  lange Kette von Primidealen gibt oder wenn zu jedem $n ∈ ℕ$ eine endliche
+  Kette der Länge $≥ n$ existiert.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bsp}[Der Punkt]
+  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper.  Der affine Koordinatenring
+  des Punktes $𝔸⁰_k$ ist der Körper $k$.  Dieser also nur das echte Ideal $(0)$
+  und somit die Dimension 0.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Der Zahlenstrahl]\label{bsp:12-1-5}%
+  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper.  Der affine Koordinatenring
+  des Punktes $𝔸¹_k$ ist der Polynomring $k[x]$, und das ist ein
+  Hauptidealring.  Die Primideale sind von der Form $(f)$, wobei $f ∈ k[x]$
+  irreduzibel ist.  Alle Ketten von Primidealen sind demnach von der Form
+  \[
+    (0) ⊊ (f) ⊊ k[x].
+  \]
+  Also ist $\dim 𝔸¹_k = \dim k[x] = 1$.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Die ganzen Zahlen]
+  Der Ring $ℤ$ ist ebenfalls ein Hauptidealring.  Wie oben ist $\dim ℤ = 1$.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Der affine Raum]\label{bsp:12-1-6}%
+  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper.  Der affine Koordinatenring
+  des affinen Raumes $𝔸^n_k$ ist der Polynomring $k[x_1, …, x_n]$.  Die Kette
+  \[
+    (0) ⊊ (x_1) ⊊ (x_1, x_2) ⊊ ⋯ ⊊
+    (x_1, …, x_n) ⊊ k[x_1, …, x_n]
+  \]
+  ist eine Kette von Primidealen, also ist $\dim 𝔸^n_k = \dim k[x_1, …, x_n] ≥
+  n$.
+\end{bsp}
+
+Vielleicht empfinden Sie das Beispiel~\ref{bsp:12-1-6} als … ein wenig
+unbefriedigend.  Natürlich ist die Dimension von $𝔸^n_k$ gleich $n$, aber das
+ist nicht völlig trivial zu zeigen.  Bis wir so weit sind, ist noch etwas
+Vorarbeit zu leisten.
+
+
+\section{Going up}
+
+Die folgenden Sätze werden in Algebra-Büchern und Skripten gern ohne jede
+geometrische Anschauung erklärt.  Ich selbst kann mir ohne geometrische
+Anschauung überhaupt nichts merken und diskutiere deshalb lieber erst einmal ein
+geometrisches Beispiel.
+
+\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 1]\label{bsp:12-2-1}%
+  Schauen Sie sich noch einmal Abbildung~\vref{fig:tc} an, wo die Knotenkurve $C
+  = \{ x³ + x² - y² \}$ dargestellt ist.  Natürlich sollte die Dimension der
+  Knotenkurve gleich eins sein.  Um das zu beweisen, möchte ich den affinen
+  Koordinatenring $B := k[C]$ (dessen Dimension ich ja wissen will) als
+  Erweiterung des affinen Koordinatenringes $A := k[x]$ verstehen --- der Ring
+  $A$ ist der affine Koordinatenring der $x$-Achse, dessen Dimension ich nach
+  Beispiel~\ref{bsp:12-1-5} ja schon kenne.  Die Erweiterung $A ⊂ B$ ist
+  endlich,\footnote{Ein System von Erzeugern ist zum Beispiel $\{1,y\}$} und
+  deshalb nach Korollar~\vref{kor:3-3-3} ganz.  Wir haben in
+  Abschnitt~\ref{sec:7-3}, dass zu dem Inklusionsmorphismus $A → B$ von affinen
+  Koordinatenringen ein Morphismus von Varietäten gehört.  In unserem Beispiel
+  ist dies einfach die orthogonale Projektion von $C$ auf die $x$-Achse,
+  \[
+    π: C → \{x\text{-Achse}\}, \quad (x,y) → x.
+  \]
+\end{bsp}
+
+In diesem Abschnitt werden wir zeigen, dass sich die Dimension von Ringen bei
+ganzen Ringerweiterungen nicht ändert.
+
+\begin{satz}[Dimension ist invariant unter ganzen Ringerweiterungen]\label{satz:12-2-2}%
+  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Dann ist $\dim A
+  = \dim B$.
+\end{satz}
+
+Um den Satz zu beweisen, müssen wir ganze Ringerweiterungen $A ⊂ B$ betrachten
+und uns überlegen, wie sich die Primideale in $A$ und die Primideale in $B$
+zueinander verhalten.
+
+\begin{notation}[Übereinander liegende Ideale]
+  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung und es seien $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$
+  Ideale.  Falls die Gleichheit $p = q ∩ A$ gilt, so sagt man, \emph{$q$ liegt
+  über $p$}.
+\end{notation}
+
+Das Beispiel mit der Knotenkurve erklärt, woher der eigentümliche Begriff
+„übereinander liegen“ kommt.
+
+\begin{bsp}[Die Dimension der Knotenkurve, Teil 2]
+  In Beispiel~\ref{bsp:12-2-1} sei $v = (v_x, v_y)$ ein Punkt der Kurve $C$, mit
+  zugehörendem maximalen Ideal $q ⊂ B$.  Dann ist das Ideal $p := q ∩ A$ wieder
+  ein maximales Ideal, nämlich $p = (x-v_x) ⊂ A$.  Dies ist das maximale Ideal
+  des Punktes $π(v)$.
+\end{bsp}
+
+Der erste Satz von
+Cohen\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Irvin_Cohen}{Irvin Sol Cohen}
+(* 1917; † 14.~Februar 1955) war ein US-amerikanischer
+Mathematiker.}-Seidenberg\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Abraham_Seidenberg}{Abraham
+Seidenberg} (* 2.~Juni 1916 in Washington, D.C.; † 3.~Mai 1988 in Mailand) war
+ein US-amerikanischer Mathematiker.} betrachtet eine ganze Ringerweiterung $A ⊂
+B$ und vergleicht die Dimensionen, indem man zu jeder Kette von Primidealen $p_•
+⊂ A$ eine Kette von Primidealen $q_• ⊂ B$ konstruiert, wobei die $q_•$ jeweils
+über den $p_•$ liegen.  Der Satz, der als „Going up“ bekannt ist, impliziert
+dann sehr schnell, dass die Dimensionen von $A$ und $B$ übereinstimmen.
+
+
+\subsection{Beweis des Satzes „Going up“}
+
+Der Beweis des Satzes „Going up“ ist nicht kompliziert, aber ein mühsam.  Um den
+Beweis lesbarer zu machen, habe ich ihn in eine Reihe relativ unabhängiger
+Aussagen eingeteilt, die einzeln bewiesen werden.
+
+\begin{satz}\label{satz:12-2-5}%
+  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung.  Dann gilt Folgendes.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{il:12-2-4-1} Es sei $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ Ideal, wobei $q$ über $p$
+    liegt.  Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische Einbettung
+    \[
+      \factor{A}{p} \rightarrow \factor{B}{q}.
+    \]
+    Dies ist wieder eine ganze Ringerweiterung.
+    
+  \item\label{il:12-2-4-2} Falls $S ⊂ A$ ein multiplikatives System ist, dann
+    ist $S^{-1}A \rightarrow S^{-1}B$ eine ganze Ringerweiterung.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{14-1}
+\end{proof}
+
+\begin{notation}[Schlechte Notation]
+  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Ringerweiterung, es sei $p ⊂ A$ ein Primideal und es
+  sei $S := A∖p$.  In der Literatur wird die Abbildung $S^{-1}A \rightarrow
+  S^{-1}B$ häufig auch als $A_p \rightarrow B_p$ notiert, obwohl $p$ im
+  Allgemeinen kein Primideal in $B$ ist.
+\end{notation}
+
+\begin{beobachtung}
+  Es seien $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter seien
+  Primideale $q ⊂ B$ und $p ⊂ A$ gegeben, wobei $q$ über $p$ liegt.  Dann gelten
+  folgende Äquivalenzen.
+  \begin{align*}
+    \text{Das Ideal $q$ ist maximal.} & ⇔ B/q \text{ ist ein Körper} \\
+                                      & ⇔ A/p \text{ ist ein Körper} & \text{\ref{il:12-2-4-1} und Blatt 2, Aufgabe 3} \\
+                                      & ⇔ \text{Das Ideal $p$ ist maximal.}
+  \end{align*}
+\end{beobachtung}
+
+\begin{satz}[Existenz von Primidealen über einem vorgegebenen Ideal]\label{satz:12-2-8}%
+  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter sei $p ⊂
+  A$ ein Primideal.  Dann existiert ein Primideal $q ⊂ B$ über $A$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{14-2}
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Primideale über gegebenen Ideal sind nicht ineinander enthalten]
+  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter sei $p ⊂
+  A$ Primideal und es seien $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ Primideale über $p$.  Dann ist $q_1
+  = q_2$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+Betrachte die Lokalisierung $A_p → B_p$.  Dann gilt Folgendes,
+\begin{itemize}
+\item $p·A_p$ ist eindeutiges maximales Ideal in $A_p$,
+  
+\item $q_1·B_p$ ist Primideal in $B_p$,
+  
+\item $q_2·B_p$ ist Primideal in $B_p$, und
+  
+\item $q_1·B_p ⊂ q_2·B_p$ und $(q_1·B_p) ∩ A_p = (q_2·B_p) ∩ A_p = p·A_p$.
+\end{itemize}
+Da $q_1·B_p$ und $q_2·B_p$ über $p·A_p$ liegen, sind sie maximal.  Deshalb sind
+die Ideale gleich.  Daraus folgt, dass $q_1 = q_2$ ist.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Going up]\label{satz:goingUp}%
+  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter seien
+  $p_1 ⊊ p_2 ⊂ A$ Primideale in $A$ und es sei $q_1 ⊂ B$ ein Primideal über
+  $p_1$.  Dann gibt es ein Primideal $q_2 ⊂ B$ über $p_2$ welches $q_1$ enthält.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  \video{14-3}
+\end{proof}
+
+
+\subsection{Anwendungen und geometrische Konsequenzen}
+
+Zurück zum eigentlichen Ziel: mithilfe des Satzes „Going up“ können wir jetzt
+sehr schnell den Satz~\ref{satz:12-2-2} über die Invarianz der Dimension unter
+ganzen Ringerweiterungen beweisen.
+
+\begin{proof}[Beweis des Satzes~\ref{satz:12-2-2}]
+  \video{14-4}
+\end{proof}
+
+\begin{beobachtung}[Ganze Ringerweiterungen gehören zu surjektiven Morphismen]\label{beo:12-2-11}%
+  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f : X → Y$ ein
+  Morphismus von algebraischen Varietäten über $k$, sodass die Bildmenge $f(X)$
+  dicht in $Y$ liegt.  In Proposition~\vref{prop:7-3-4} hatten wir gesehen, dass
+  die zugeordnete Abbildung zwischen den Koordinatenringen, $f^* : k[Y] → k[X]$,
+  dann injektiv ist.  Wir können $k[Y]$ also als Unterring von $k[X]$ auffassen.
+  Was bedeutet es, wenn wir annehmen, dass diese Ringerweiterung ganz ist?  Wir
+  können diese Frage nicht vollständig beantworten, aber eines ist klar: gegeben
+  ein Punkt $y ∈ Y$, also ein maximales Ideal $m_y ⊂ k[Y]$, dann existiert nach
+  Satz~\ref{satz:12-2-8} ein Primideal $p ⊂ k[X]$ über $m_Y$.  Insbesondere gibt
+  es ein maximales Ideal $m_x ⊂ k[X]$ über $m_Y$.  Überlegen Sie sich, was das
+  geometrisch bedeutet: Es gibt einen Punkt $x ∈ X$, der auf $y ∈ Y$ abgebildet
+  wird. Die Abbildung $f$ muss also surjektiv sein!
+\end{beobachtung}
+
+\begin{fakt}
+  Es sei $f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Varietäten über $ℂ$,
+  sodass die Bildmenge $f(X)$ dicht in $Y$ liegt.  Dann gilt: Die Abbildung $f^*
+  : k[Y] → k[X]$ ist genau dann eine ganze Ringerweiterung, wenn $f$ surjektiv
+  ist, alle Fasern endlich sind und $f$ eigentlich ist.  Erinnern Sie sich, was
+  das Wort „eigentlich“ in der Topologie bedeutet: Urbilder kompakter Mengen
+  sind wieder kompakt.
+\end{fakt}
+
+
+\section{Going down}
+
+\sideremark{Vorlesung 15}Die Umkehrung von Satz~\ref{satz:goingUp} („Going up“)
+ist im Allgemeinen falsch, aber mit Zusatzannahmen richtig.  Das Zauberwort
+heißt „Normalität“.
+
+\begin{defn}\label{def:12-3-1}%
+  Ein Integritätsring $A$ heißt \emph{normal}\index{normaler Ring}, wenn $A$
+  ganz abgeschlossen im Quotientenkörper $Q(A)$ liegt.  Mit anderen Worten: $A$
+  ist normal, wenn die folgende Gleichheit gilt:
+  \[
+    \left\{ \frac{a}{b} ∈ Q(A) \::\: \frac{a}{b} \text{ ist ganz über } A
+    \right\} = A.
+  \]
+\end{defn}
+
+\begin{satz}[Going down]\label{satz:goingDown}%
+  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter seien
+  Primideale $p_1 ⊂ p_2 ⊂ A$ und $q_2 ⊂ B$ gegeben, wobei $q_2$ über $p_2$
+  liegt.  Falls $A$ normal ist, dann gibt es ein Primideal $q_1 ⊂ q_2 ⊂ B$ mit
+  $q_1 ∩ A = p_1$.  \qed
+\end{satz}
+
+Anwendungen des Satzes „Going down“ kommen in den Übungen.  Obwohl der Beweis
+nicht kompliziert ist, möchte ich den Satz „Going down“ in dieser Vorlesung
+nicht vertiefen und auch nicht beweisen.
+
+
+\subsection{Normale Ringe}
+
+Stattdessen interessiere ich mich für den Begriff des „normalen Ringes“.  Zum
+einen ist der Satz „Going down“ natürlich nur dann interessant, wenn wir in
+relevante Situationen die Normalität tatsächlich entscheiden können.  Zum
+anderen ist Normalität eine ausgesprochen interessante Eigenschaft, auch wenn
+ich die geometrischen Konsequenzen in dieser Vorlesung nicht wirklich
+diskutieren kann.
+
+\begin{satz}[Normalität ist lokal]\label{satz:12-3-3}%
+  Es sei $A$ ein Integritätsring.  Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{12-3-3-1} Der Ring $A$ ist normal.
+    
+  \item\label{12-3-3-2} Für alle Primideale $p ⊂ A$ gilt: Der Ring $A_p$ ist
+    normal.
+
+  \item Für maximalen Ideale $m ⊊ A$ gilt: Der Ring $A_m$ ist normal.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+Der Beweis folgt nach einem kurzen Lemma.
+
+\begin{lem}[Lokalisierung und ganzer Abschluss]\label{lem:12-3-4}%
+  Es $A ⊂ B$ eine Erweiterung von Integritätsringen und es sei $C ⊂ B$ der ganze
+  Abschluss von $A$ in $B$.  Gegeben ein multiplikatives System $S ⊂ A$, dann
+  ist $S^{-1}C$ der ganze Abschluss von $S^{-1}A$ in $S^{-1}B$.
+\end{lem}
+\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{lem:12-3-4}]
+  Wir wissen aus Satz~\vref{satz:12-2-5}, dass $S^{-1}A ⊂ S^{-1}C$ eine ganze
+  Ringerweiterung ist.  Es bleibt also noch zu zeigen, dass jedes Element in
+  $S^{-1}B$, welches ganz über $S^{-1}A$ ist, schon in $S^{-1}C$ liegt.
+  
+  Sei also ein Element $\frac{b}{s} ∈ S^{-1}B$ gegeben, welches ganz über
+  $S^{-1}A$ ist.  Wir finden also eine Ganzheitsgleichung der Form
+  \begin{equation}\label{eq:12-3-4-0}
+    \Bigl(\frac{b}{s}\Bigr)^n +
+    \frac{a_{n-1}}{s_{n-1}}·\Bigl(\frac{b}{s}\Bigr)^{n-1} + ⋯ +
+    \frac{a_0}{s_0} = 0,
+  \end{equation}
+  wobei die Elemente $\frac{a_i}{s_i} ∈ S^{-1}A$ sind.  Setze $t := s_0 ⋯
+  s_{n-1} ∈ S$, multipliziere die Gleichung~\eqref{eq:12-3-4-0} mit dem Element
+  $s·t ∈ S$ und erhalte
+  \[
+    \Bigl(b·t \Bigr)^n + a_{n-1}\frac{st}{s_1} \Bigl(b·t \Bigr)^{n-1} + ⋯ +
+    a_0 \frac{s^n t^n}{s_0} = 0.
+  \]
+  Dies ist eine Ganzheitsgleichung für das Element $b·t ∈ B$ über $A$.  Also ist
+  $b·t ∈ C$ und es folgt die gewünschte Aussage $\frac{b}{s} = \frac{bt}{st} ∈
+  S^{-1}C$.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:12-3-3}]
+  In der Situation von Satz~\ref{satz:12-3-3} bezeichne den Quotientenkörper von
+  $A$ mit $B := Q(A)$.  Weiter sei $C$ der ganze Abschluss von $A$ in $B$.  Wenn
+  wir die Inklusion mit $ι : A → C$ bezeichnen, dann gilt gemäß
+  Definition~\ref{def:12-3-1} die folgende Äquivalenz.
+  \[
+    A\text{ ist normal} \iff ι : A → C \text{ ist surjektiv.}
+  \]
+  Jetzt sei $p ⊂ A$ ein Primideal.  Dann ist $B_p$ der Quotientenkörper von
+  $A_p$ und nach Lemma~\ref{lem:12-3-4} ist $C_p$ der ganze Abschluss von $A_p$
+  in $B_p$.  Also gilt ganz analog
+  \[
+    A_p\text{ ist normal} \iff i_p : A_p → C_p \text{ ist surjektiv.}
+  \]
+  Da Surjektivität nach Korollar~\ref{kor:10-5-3} eine lokale Eigenschaft ist,
+  folgt die Äquivalenz von \ref{12-3-3-1} und \ref{12-3-3-2}.  Der Beweis für
+  maximale Ideal folgt natürlich analog.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+  Faktorielle Ringe sind normal.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Es sei $A$ ein faktorieller Ring und $x ∈ Q(A)$ sei ganz über A.  Wir müssen
+  zeigen, dass $x ∈ A$ ist.  Weil $A$ faktoriell ist, finden wir eine
+  Darstellung von $x$ als Bruch der Form $x = \frac{p}{q}$, wobei entweder $q$
+  eine Einheit ist oder $p$ und $q$ teilerfremd sind.  Per Annahme erfüllt $x$
+  eine Ganzheitsgleichung über $A$.  Es gibt also $a_i ∈ A$, sodass in $Q(A)$
+  die Gleichung
+  \begin{equation}\label{eq:12-3-5-1}
+    \Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^n + a_{n-1}·\Bigl( \frac{p}{q} \Bigr)^{n-1} +
+    ⋯ + a_0 = 0
+  \end{equation}
+  gilt.  Multipliziere \eqref{eq:12-3-5-1} mit $q^n$ und erhalte die folgende
+  Gleichung von Elementen in $A$,
+  \[
+    p^n + a_{n-1}q·p^{n-1} + ⋯ + a_0·q^n = 0.
+  \]
+  Also gilt $q \mid p^n$.  Weil $A$ per Annahme ein faktorieller Ring ist, gilt
+  $q \mid p$ und deshalb ist $q ∈ A^*$, also $x ∈ A$.
+\end{proof}
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "21-KA"
+%%% End: