Clean up text for first week

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -18,3 +18,26 @@ Einspolynom
 reduzibel
 Clebsch
 Hammurabi-Dynastie
+Plimpton
+Clebsche
+Parametrisierbarkeit
+Beaumont-de-Lomagne
+Castres
+Département
+Tarn-et-Garonne
+Wiles
+FRS
+Taniyama-Shimura-Vermutung
+Fermatsche
+Singh
+Faltings
+adischen
+Quotientenringe
+Einsetzungsmorphismus
+Syzygien
+Syzygienmodul
+wegheben
+Endlichkeitseigenschaften
+Bagnols-sur-Cèze
+Ganzheitsgleichung
+Erzeugendensystem

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -1,3 +1,5 @@
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen sollen, dass ein gegebenes Polynom \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q irreduzibel ist, dann werden wir den Output von „isIrreducible(\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q)“ aber nicht akzeptieren.\\E$"}
 {"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWorum geht es in dieser Vorlesung?.\\E$"}
 {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWikipedia schreibt: Rationale Parametrisierung des Kreises Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v. Chr.).\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWikipedia schreibt: Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische Episoden dieser Geschichte haben [den Großen Satz von Fermat] weit über den Kreis der Mathematiker hinaus populär gemacht.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDer Beweis von Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q verwendet die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, die sie aus der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennen (sollten).\\E$"}

02.tex

@@ -316,7 +316,7 @@ vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Bézier-Kurven]
-  Bézier-Kurven sind durch ihre Parametrisierung definiert.
+  Bézierkurven sind durch ihre Parametrisierung definiert.
 \end{bsp}
 
 
@@ -338,30 +338,29 @@ $f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$.
 Das sind im Allgemeinen schwierige Fragen.  Um den Grad der Schwierigkeit zu
 illustrieren, erinnere ich an den berühmten
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gro\%C3\%9Fer_Fermatscher_Satz}{Großen Satz
-  von
+von
-  Fermat}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat}{Pierre
+Fermat}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat}{Pierre de
-    de Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne,
+Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne, heute
-  heute im Département Tarn-et-Garonne; † 12.  Januar 1665 in Castres) war ein
+im Département Tarn-et-Garonne; † 12.~Januar 1665 in Castres) war ein
-  französischer Mathematiker und Jurist.}, der erst 350 Jahre nach seiner
+französischer Mathematiker und Jurist.}, der erst 350 Jahre nach seiner
 Formulierung von
 Wiles\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Andrew_Wiles}{Sir Andrew John
-    Wiles} KBE, FRS (* 11.  April 1953 in Cambridge) ist ein britischer
+Wiles} KBE, FRS (* 11.~April 1953 in Cambridge) ist ein britischer Mathematiker.
-  Mathematiker.  Berühmt wurde er durch seinen Beweis der
+Berühmt wurde er durch seinen Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung für
-  Taniyama-Shimura-Vermutung für semistabile elliptische Kurven, woraus sich
+semistabile elliptische Kurven, woraus sich der Große Fermatsche Satz ergibt.}
-  der Große Fermatsche Satz ergibt.} bewiesen wurde.  Wikipedia schreibt:
+bewiesen wurde.  Wikipedia schreibt:
 \begin{quote}
-  Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische
+  Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische Episoden
-  Episoden dieser Geschichte haben [den Großen Satz von Fermat] weit über den
+  dieser Geschichte haben [den großen Satz von Fermat] weit über den Kreis der
-  Kreis der Mathematiker hinaus populär gemacht.
+  Mathematiker hinaus populär gemacht.
 \end{quote}
 Kennen Sie das Buch
 \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat\%27s_Last_Theorem_(book)}{Fermat's
-  Last Theorem} von Simon Singh?  Weihnachten ist zwar schon vorbei…
+Last Theorem} von Simon Singh?  Weihnachten ist zwar schon vorbei…
 
 \begin{satz}[Fermat's großer Satz]
-  Gegeben sei eine natürliche Zahl $n > 2$.  Dann erfüllt kein Tripel
+  Gegeben sei eine natürliche Zahl $n > 2$.  Dann erfüllt kein Tripel $(a, b,
-  $(a, b, c)$ von positiven natürlichen Zahlen die Gleichung
+  c)$ von positiven natürlichen Zahlen die Gleichung $a^{n}+b^{n}=c^{n}$.  \qed
-  $a^{n}+b^{n}=c^{n}$.  \qed
 \end{satz}
 
 \begin{beobachtung}[Zusammenhang zu algebraischen Mengen]
@@ -377,19 +376,19 @@ Kennen Sie das Buch
   ganzzahlige Lösung $(ad,cb,bd)$ der Fermat'schen Gleichung.
 \end{beobachtung}
 
-Als Ergebnis halten wir fest: zumindest über dem Körper $ℚ$ kann die Fragen
+Als Ergebnis halten wir fest: zumindest über dem Körper $ℚ$ kann die Fragen nach
-nach der Existenz von Lösung kann nicht einfach sein.  Auch die Frage nach der
+der Existenz von Lösung kann nicht einfach sein.  Auch die Frage nach der Anzahl
-Anzahl von Lösungen ist nicht einfach – googeln Sie nach den Worten
+von Lösungen ist nicht einfach – googeln Sie nach den Worten
 Faltings\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerd_Faltings}{Gerd
-    Faltings} (* 28.  Juli 1954 in Gelsenkirchen) ist ein deutscher Mathematiker
+Faltings} (* 28.~Juli 1954 in Gelsenkirchen) ist ein deutscher Mathematiker und
-  und Träger der Fields-Medaille.  Er ist Direktor am Max-Planck-Institut für
+Träger der Fields-Medaille.  Er ist Direktor am Max-Planck-Institut für
-  Mathematik und beschäftigt sich hauptsächlich mit diophantischen Gleichungen,
+Mathematik und beschäftigt sich hauptsächlich mit diophantischen Gleichungen,
-  Modulräumen und $p$-adischen Galois-Darstellungen.} und
+Modulräumen und $p$-adischen Galois-Darstellungen.} und
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Vermutung_von_Mordell}{Mordell-Vermutung}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Louis_Mordell}{Louis
-    Joel Mordell} (* 28.  Januar 1888 in Philadelphia, USA; † 12.  März 1972 in
+Joel Mordell} (* 28.~Januar 1888 in Philadelphia, USA; † 12.~März 1972 in
-  Cambridge, England) war ein amerikanisch-britischer Mathematiker, der vor
+Cambridge, England) war ein amerikanisch-britischer Mathematiker, der vor allem
-  allem in der Zahlentheorie, speziell der Theorie diophantischer Gleichungen
+in der Zahlentheorie, speziell der Theorie diophantischer Gleichungen
-  arbeitete.}.
+arbeitete.}.
 
 
 \section{Der Hilbertsche Nullstellensatz}
@@ -397,8 +396,8 @@ Faltings\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerd_Faltings}{Gerd
 Ich möchte den Punkt machen, dass die Frage nach der Lösbarkeit von
 algebraischen Gleichungssystemen sehr viel einfacher wird, wenn wir uns auf
 algebraisch abgeschlossene Körper beschränken.  Unter dieser Annahme beantwortet
-der Hilbertsche Nullstellensatz die Frage, ob eine algebraische Menge
+der Hilbertsche Nullstellensatz die Frage, ob eine algebraische Menge $V
-$V \bigl(f_1, …, f_n \bigr)$ leer ist, in Termen des von den $f_•$ erzeugten
+\bigl(f_1, …, f_n \bigr)$ leer ist, in Termen des von den $f_•$ erzeugten
 Ideals.
 
 \begin{erinnerung}[Ideale]
@@ -413,26 +412,26 @@ Ideals.
   $I(f_1, …, f_n)$ üblich.
 \end{erinnerung}
 
-\begin{beobachtung}\label{beob:2-4-2}
+\begin{beobachtung}\label{beob:2-4-2}%
   Es sei $k$ ein Körper (der vielleicht nicht algebraisch abgeschlossen ist) und
-  es seien $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$.  Falls
+  es seien $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$.  Falls $V \bigl(f_1, …, f_n \bigr) ≠
-  $V \bigl(f_1, …, f_n \bigr) ≠ ∅$ ist, dann ist $1 \notin (f_1, …, f_m)$.  Wäre
+  ∅$ ist, dann ist $1 \notin (f_1, …, f_m)$.  Wäre nämlich die 1 in dem Ideal
-  nämlich die 1 in dem Ideal enthalten, dann gäbe es eine Linearkombination
+  enthalten, dann gäbe es eine Linearkombination
   \[
     1 = a_1·f_1 + ⋯ + a_n·f_n
   \]
-  und demnach wäre
+  und demnach wäre $1 = a_1(\vec{x})·f_1(\vec{x}) + ⋯ a_n(\vec{x})·f_n(\vec{x})
-  $1 = a_1(\vec{x})·f_1(\vec{x}) + ⋯ a_n(\vec{x})·f_n(\vec{x}) = 0$,
+  = 0$, Widerspruch!
-  Widerspruch!
 \end{beobachtung}
 
-Für algebraisch abgeschlossene Körper zeigt die folgende ``schwache Version''
+Für algebraisch abgeschlossene Körper zeigt die folgende „schwache Version“ des
-des Hilbertschen Nullstellensatz, dass die Frage, ob $1 ∈ (f_1, …, f_m)$ ist,
+Hilbertschen Nullstellensatz, dass die Frage, ob $1 ∈ (f_1, …, f_m)$ ist, die
-die Frage nach der Existenz von Lösungen bereits entscheidet.
+Frage nach der Existenz von Lösungen bereits entscheidet.
 
-\begin{satz}[Schwacher Hilbertscher Nullstellensatz – Vorabversion]\label{satz:shn}
+\begin{satz}[Schwacher Hilbertscher Nullstellensatz – Vorabversion]\label{satz:shn}%
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien Polynome
+  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien Polynome $f_1,
-  $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gegeben.  Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
+  …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gegeben.  Dann sind die folgenden Aussagen
+  äquivalent.
   \begin{enumerate}
   \item\label{il:2-4-3-1} Das Gleichungssystem $f_1 = ⋯ = f_n = 0$ hat eine
     Lösung in $k^m$.
@@ -443,23 +442,17 @@ die Frage nach der Existenz von Lösungen bereits entscheidet.
 
 Wir werden den Hilbertschen Nullstellensatz im ersten Teil dieser Vorlesung
 beweisen.  Wir müssen uns vielleicht auch Gedanken darüber machen, wie man für
-gegebene Polynome $f_•$ eigentlich entscheidet, ob die $1$ im Ideal
+gegebene Polynome $f_•$ eigentlich entscheidet, ob die $1$ im Ideal $(f_1, …,
-$(f_1, …, f_n)$ liegt.
+f_n)$ liegt.
 
 \begin{bemerkung}
-  Die Aussage ``die $1$ liegt im Ideal $(f_1, …, f_n)$'' kann man auch anders
+  Die Aussage „die $1$ liegt im Ideal $(f_1, …, f_n)$“ kann man auch anders
-  formulieren.  Überlegen Sie sich, dass die $1$ genau dann im Ideal
+  formulieren.  Überlegen Sie sich, dass die $1$ genau dann im Ideal $(f_1, …,
-  $(f_1, …, f_n)$ liegt, wenn das Ideal bereits der ganz Ring ist.
+  f_n)$ liegt, wenn das Ideal bereits der ganz Ring ist.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{aufgabe}
   Zeigen Sie an einem Beispiel, dass die Folgerung des Hilbertschen
-  Nullstellensatzes ohne die Annahme ``algebraisch abgeschlossen'' grässlich
+  Nullstellensatzes ohne die Annahme „algebraisch abgeschlossen“ grässlich
   falsch ist.
 \end{aufgabe}
-
-
-%%% Local Variables:
-%%% mode: latex
-%%% TeX-master: "21-KA"
-%%% End:

03.tex

@@ -18,7 +18,7 @@ Multiplikation.
 
 \begin{notation}
   In dieser Vorlesung ist mit dem Wort ``Ring'' immer ein kommutativer Ring mit
-  1 gemeint.  Ein Ringmorphisums $\varphi: A \rightarrow B$ erfüllt per Annahme
+  1 gemeint.  Ein Ringmorphiums $\varphi: A \rightarrow B$ erfüllt per Annahme
   die Bedingung $\varphi(1_A) = 1_B$.  Sind $A$ und $B$ Ringe und $A ⊆ B$, so
   nennen wir das eine \emph{Ringerweiterung}\index{Ringerweiterung}.
 \end{notation}
@@ -26,11 +26,11 @@ Multiplikation.
 
 \section{Elementare Definitionen}
 
-Der erste Begriff beim Studium von Körpererweiterungen war ``algebraisch'':
+Der erste Begriff beim Studium von Körpererweiterungen war „algebraisch“:
 gegeben eine Körpererweiterung $L/K$ und ein Element $z ∈ L$, dann nennen wir
 $z$ algebraisch über $K$, wenn es ein Polynom $f ∈ K[x]$ gibt, welches $z$ als
 Nullstelle hat.  Das Polynom $f$ kann man dann minimal wählen und normieren und
-erhält somit den Begriff des ``Minimalpolynoms von $z$''.
+erhält somit den Begriff des „Minimalpolynoms von $z$“.
 
 Das wollen wir auch für Ringe machen.  Bei Ringerweiterungen muss man aber
 aufpassen, denn man kann ein Polynom nicht immer normieren, indem man durch den
@@ -42,16 +42,16 @@ Polynoms.
   Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung.
   \begin{enumerate}
   \item Ein Element $b ∈ B$ heißt \emph{ganz über $A$}\index{ganz!Element},
-    falls es ein normiertes Polynom $f ∈ A[x]$ gibt, sodass in $B$ die
+    falls es ein normiertes Polynom $f ∈ A[x]$ gibt, sodass in $B$ die Gleichung
-    Gleichung $f(b) = 0$ gilt.
+    $f(b) = 0$ gilt.
     
-  \item Die Ringerweiterung heißt \emph{ganz}\index{ganz!Ringerweiterungen},
+  \item Die Ringerweiterung heißt \emph{ganz}\index{ganz!Ringerweiterung}, wenn
-    wenn alle $b ∈ B$ ganz über A sind.
+    alle $b ∈ B$ ganz über A sind.
   \end{enumerate}
 \end{defn}
 
-\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:rad}
+\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:rad}%
-  Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung.  Weiter sei eine Teilmenge $M ⊂ B$
+  Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung. Weiter sei eine Teilmenge $M ⊂ B$
   gegeben.  Definiere dann den Unterring
   \[
     A[M] := \bigcap_{R ∈ א} R,
@@ -63,42 +63,41 @@ Polynoms.
 \end{defn}
 
 \begin{bemerkung}
-  Genau wie in der Vorlesung ``Algebra'' beweist man, dass $A[M]$ wieder ein
+  Genau wie in der Vorlesung „Algebra“ beweist man, dass $A[M]$ wieder ein Ring
-  Ring ist (= kommutativer Ring mit 1).  Genau wie in der Vorlesung ``Algebra''
+  ist (= kommutativer Ring mit 1).  Genau wie in der Vorlesung „Algebra“ zeigt
-  zeigt man, dass $A[M]$ der kleinste Unterring von $B$ ist, der $A$ und $M$
+  man, dass $A[M]$ der kleinste Unterring von $B$ ist, der $A$ und $M$ enthält.
-  enthält.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bemerkung}
-  Wenn die Menge $M$ aus Definition~\ref{def:rad} endlich ist,
+  Wenn die Menge $M$ aus Definition~\ref{def:rad} endlich ist, $M = \{ b_1, …,
-  $M = \{ b_1, …, b_n\}$, dann kann man $A[M]$ auch anders beschreiben.  Man
+  b_n\}$, dann kann man $A[M]$ auch anders beschreiben.  Man betrachte nämlich
-  betrachte nämlich den Einsetzungsmorphismus
+  den Einsetzungsmorphismus
   \[
     φ : A[x_1, …, x_n] → B, \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(b_1, …, b_n).
   \]
-  Überlegen Sie sich, dass dies ein Ringmorphismus ist, und dass
+  Überlegen Sie sich, dass dies ein Ringmorphismus ist, und dass $A[M] = \Image
-  $A[M] = \Image φ$ ist.  Die Elemente $f ∈ \ker φ$ heißen \emph{Relationen der
+  φ$ ist.  Die Elemente $f ∈ \ker φ$ heißen \emph{Relationen der $b_1, …,
-    $b_1, …, b_n$}\index{Relationen!@see Syzygien} oder
+  b_n$}\index{Relationen!@see Syzygien} oder \emph{Syzygien}\index{Syzygien}.
-  \emph{Syzygien}\index{Syzygien}.  Manchmal nennt man $\ker φ$ auch den
+  Manchmal nennt man $\ker φ$ auch den
   \emph{Syzygienmodul}\index{Syzygienmodul}.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bemerkung}[Syzygien]
-  Etwas vereinfachend bezeichnet das Wort ``Syzygie'' in der Astronomie eine
+  Etwas vereinfachend bezeichnet das Wort „Syzygie“ in der Astronomie eine
   Konstellation von Himmelskörpern, bei der mehrere Körper in einer Reihe stehen
   ($→$
   \href{https://static.rogerebert.com/uploads/blog_post/primary_image/roger-ebert/2001-the-monolith-and-the-message/EB19680421COMMENTARY40312115AR.jpg}{2001:
-    A Space Odyssey}).  Die einfachsten Syzygien sind Sonnen- und
+  A Space Odyssey}).  Die einfachsten Syzygien sind Sonnen- und
   Mondfinsternisse; eine genauere Erklärung finden Sie
   \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Syzygie_(Astronomie)}{hier}.  Vielleicht
   kommt die Verwendung des Wortes in der Mathematik daher, dass die Terme in
-  einer Relation, die sich ja gegenseitig wegheben, in irgendeinem Sinne ``in
+  einer Relation, die sich ja gegenseitig wegheben, in irgendeinem Sinne „in
-  einer Reihe stehen''.
+  einer Reihe stehen“.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bemerkung}[Syzygien]
-  Unter allen englischen Worten ist ``syzygy'' das Wort mit dem größten Anteil
+  Unter allen englischen Worten ist „\foreignlanguage{english}{syzygy}“ das Wort
-  von Ypsilonen.
+  mit dem größten Anteil von Ypsilons.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{defn}[Endlich und endlicher Typ]
@@ -129,8 +128,8 @@ dass die Umkehrung nicht unbedingt gilt.
 \begin{bsp}[Endlicher Typ, nicht endlich]
   Es sei $k$ Körper.  Setze $A := k$ und $B := k[x]$.  Dann ist als $A$-Algebra
   durch das Element $x$ erzeugt.  Aber $B$ ist kein endlich erzeugtes $A$-Modul,
-  denn ein $A$-Modul ist dasselbe wie ein $k$-Vektorraum und es ist aber
+  denn ein $A$-Modul ist dasselbe wie ein $k$-Vektorraum und es ist aber $\dim_k
-  $\dim_k B = ∞$.
+  B = ∞$.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Endlich und vom endlichen Typ]
@@ -142,11 +141,11 @@ dass die Umkehrung nicht unbedingt gilt.
 
 \section{Charakterisierung von Ganzheit}
 
-In der Vorlesung ``Algebra'' hatten wir algebraische Elemente von
+In der Vorlesung „Algebra“ hatten wir algebraische Elemente von
 Körpererweiterungen durch Endlichkeitseigenschaften charakterisiert.  Das geht
 mit ganzen Elementen in Ringerweiterungen auch.
 
-\begin{satz}[Charakterisierung von Ganzheit]\label{satz:3-2-9}
+\begin{satz}[Charakterisierung von Ganzheit]\label{satz:3-2-9}%
   Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung.  Weiter sei ein Element $b ∈ B$ gegeben.
   Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
   \begin{enumerate}
@@ -155,24 +154,24 @@ mit ganzen Elementen in Ringerweiterungen auch.
   \item\label{il:3-2-9-2} Der Ring $A[b]$ ist als $A$-Modul endlich erzeugt.
   
   \item\label{il:3-2-9-3} Es gibt einen Zwischenring $A[b] ⊆ M ⊆ B$, der als
-    $A$-Modul endlich erzeugt ist und die zusätzliche Eigenschaft hat, dass
+    $A$-Modul endlich erzeugt ist und die zusätzliche Eigenschaft hat, dass $\{
-    $\{ b·m \::\: m ∈ M \} = M$ ist.
+    b·m \::\: m ∈ M \} = M$ ist.
   \end{enumerate}
 \end{satz}
 
 Der Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9} verwendet die
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Cramersche_Regel}{Cramersche
-  Regel}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gabriel_Cramer}{Gabriel
+Regel}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gabriel_Cramer}{Gabriel
-    Cramer} (* 31.  Juli 1704 in Genf; † 4.  Januar 1752 in Bagnols-sur-Cèze,
+Cramer} (* 31.~Juli 1704 in Genf; † 4.~Januar 1752 in Bagnols-sur-Cèze,
-  Frankreich) war ein Genfer Mathematiker.}, die sie aus der Vorlesung ``Lineare
+Frankreich) war ein Genfer Mathematiker.}, die sie aus der Vorlesung „Lineare
-Algebra'' kennen (sollten).  Dort wurde der folgende Satz vermutlich nur für
+Algebra“ kennen (sollten).  Dort wurde der folgende Satz vermutlich nur für
 Matrizen mit Einträgen in einem Körper bewiesen.  Man prüfe, dass der Beweis
 auch für Matrizen über Ringen gilt.
 
-\begin{satz}[Cramersche Regel]\label{satz:creg}
+\begin{satz}[Cramersche Regel]\label{satz:creg}%
   Es sei $R$ ein Ring und es sei $Δ ∈ \operatorname{Mat}(n⨯n; R)$ eine
-  $(n⨯n)$-Matrix mit Einträgen in $R$.  Dann gibt es eine Matrix
+  $(n⨯n)$-Matrix mit Einträgen in $R$.  Dann gibt es eine Matrix $Δ^* ∈
-  $Δ^* ∈ \operatorname{Mat}(n⨯n; R)$, sodass die Gleichung
+  \operatorname{Mat}(n⨯n; R)$, sodass die Gleichung
   \[
     Δ^*·Δ = \det(Δ)· E
   \]
@@ -180,16 +179,16 @@ auch für Matrizen über Ringen gilt.
 \end{satz}
 
 \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9}]
-  \video{2-1}.  Hinweis: im Erklärvideo schreibe ich versehentlich
+  \video{2-1}.  Hinweis: im Erklärvideo schreibe ich versehentlich $\{ b·m \::\:
-  $\{ b·m \::\: m ∈ M \} ⊆ M$ statt $\{ b·m \::\: m ∈ M \} = M$.  Ich
+  m ∈ M \} ⊆ M$ statt $\{ b·m \::\: m ∈ M \} = M$.  Ich bitte, diese Panne zu
-  bitte, diese Panne zu entschuldigen.
+  entschuldigen.
 \end{proof}
 
 \sideremark{Vorlesung 3}Die Charakterisierung von Ganzheit aus
 Satz~\ref{satz:3-2-9} hat einige Korollare, die sie in ähnlicher Form aus der
-Vorlesung ``Algebra'' schon kennen (sollten).
+Vorlesung „Algebra“ schon kennen (sollten).
 
-\begin{kor}[Ganzheit und Endlichkeit]\label{kor:3-3-3}
+\begin{kor}[Ganzheit und Endlichkeit]\label{kor:3-3-3}%
   Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung.  Wenn $B$ als $A$-Modul endlich erzeugt
   ist, dann ist die Erweiterung sie ganz.
 \end{kor}
@@ -198,7 +197,7 @@ Vorlesung ``Algebra'' schon kennen (sollten).
   \ref{il:3-2-9-3} $⇒$ \ref{il:3-2-9-1} aus Satz~\ref{satz:3-2-9} an.
 \end{proof}
 
-\begin{kor}[Adjunktion ganzer Elemente]\label{kor:3-3-4}
+\begin{kor}[Adjunktion ganzer Elemente]\label{kor:3-3-4}%
   Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung und es $b_1, …, b_n$ Elemente von $B$, die
   ganz über $A$ sind.  Dann ist $A[b_1, …, b_n]$ endlich über $A$, also nach
   Korollar~\ref{kor:3-3-3} insbesondere ganz.
@@ -215,11 +214,11 @@ Vorlesung ``Algebra'' schon kennen (sollten).
   erzeugt.
 \end{proof}
 
-Auch das folgende Korollar (sollten) sie schon aus der Vorlesung ``Algebra''
+Auch das folgende Korollar (sollten) sie schon aus der Vorlesung „Algebra“
 kennen.  Der Beweis ist mit dem bekannten Beweis identisch und deshalb hier nur
 knapp wiedergegeben.
 
-\begin{kor}[Transitivität der Ganzheit]\label{kor:3-3-5}
+\begin{kor}[Transitivität der Ganzheit]\label{kor:3-3-5}%
   Es seien $A ⊆ B$ und $B ⊆ C$ ganze Ringerweiterungen.  Dann ist auch die
   Ringerweiterung $A ⊆ C$ ganz.
 \end{kor}
@@ -227,7 +226,7 @@ knapp wiedergegeben.
   Sei ein Element $c ∈ C$ gegeben.  Nach Annahme erfüllt $c$ eine
   Ganzheitsgleichung über $B$,
   \[
-    c^n + b_{n-1}·c^{n-1} + ⋯ + b_1c + b_0 = 0
+    c^n + b_{n-1}·c^{n-1} + ⋯ + b_1c + b_0 = 0.
   \]
   Die Koeffizienten $b_1, …, b_n ∈ B$ sind nach Annahme ganz über $A$.  Also ist
   $A[b_1, …, b_n]$ nach Korollar~\ref{kor:3-3-4} ein endlich erzeugter
@@ -252,21 +251,21 @@ knapp wiedergegeben.
 
 \section{Der ganze Abschluss}
 
-Ganz analog zum ``algebraischen Abschluss eines Unterkörpers'', den Sie aus der
+Ganz analog zum „algebraischen Abschluss eines Unterkörpers“, den Sie aus der
-Vorlesung ``Algebra'' kennen (sollten), definieren wir den ``ganzen Abschluss
+Vorlesung „Algebra“ kennen (sollten), definieren wir den „ganzen Abschluss eines
-eines Unterringes''.
+Unterringes“.
 
-\begin{defn}[Ganzer Abschluss]\label{def:3-4-1}
+\begin{defn}[Ganzer Abschluss]\label{def:3-4-1}%
   Es sei $A ⊆ B$.  Die Menge
   \[
     \overline{A}= \bigl\{ b ∈ B \::\: b \text{ ganz über } A \bigr\} ⊆ B
   \]
-  wird der \emph{ganze Abschluss von $A$ in $B$}\index{ganz!Abschluss}
+  wird der \emph{ganze Abschluss von $A$ in $B$}\index{ganz!Abschluss} genannt.
-  genannt.  Falls $\overline{A} = A$ ist, so nennen wir die Ringerweiterung
+  Falls $\overline{A} = A$ ist, so nennen wir die Ringerweiterung $A ⊆ B$
-  $A ⊆ B$ \emph{ganz abgeschlossen}\index{ganz!abgeschlossene Ringerweiterung}.
+  \emph{ganz abgeschlossen}\index{ganz!abgeschlossene Ringerweiterung}.
 \end{defn}
 
-\begin{prop}[Ganzer Abschluss]\label{kor:3-4-2}
+\begin{prop}[Ganzer Abschluss]\label{kor:3-4-2}%
   In der Situation von Definition~\ref{def:3-4-1} ist $\overline{A}$ ein
   Unterring von $B$.
 \end{prop}
@@ -282,17 +281,17 @@ eines Unterringes''.
   Unterring von $B$.  Also können wir den ganzen Abschluss
   $\overline{\overline{A}}$ von $\overline{A}$ in $B$ betrachten.
   Glücklicherweise müssen wir das nicht, denn Korollar~\ref{kor:3-3-5} über die
-  Transitivität der Ganzheit garantiert, dass
+  Transitivität der Ganzheit garantiert, dass $\overline{A} =
-  $\overline{A} = \overline{\overline{A}}$ ist.  Merke: ``Der ganze Abschluss
+  \overline{\overline{A}}$ ist.  Merke: „Der ganze Abschluss von $A$ in $B$ ist
-  von $A$ in $B$ ist ganz abgeschlossen in $B$.''
+  ganz abgeschlossen in $B$.“
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bsp}
   Wir erinnern uns: ein Zahlkörper\index{Zahlkörper} ist eine algebraische
   Körpererweiterung $K/ℚ$.  Den ganzen Abschluss von $ℤ$ in $K$ nennt man den
   \emph{Ring der ganzen Zahlen des Zahlkörpers $K$}\index{ganz!Zahlen eines
-    Zahlkörpers}.  Dieser Ring wird meist mit $𝒪_K$ bezeichnet.  Das Studium des
+  Zahlkörpers}.  Dieser Ring wird meist mit $𝒪_K$ bezeichnet.  Das Studium des
-  Ringes $𝒪_K$ ist Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie
+  Ringes $𝒪_K$ ist Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie.
   \begin{itemize}
   \item Für $K = ℚ[i]$ ist $𝒪_K = ℤ[i]$.
     
@@ -308,9 +307,3 @@ eines Unterringes''.
       algebraischen Zahlen}.
   \end{itemize}
 \end{bsp}
-
-
-%%% Local Variables:
-%%% mode: latex
-%%% TeX-master: "21-KA"
-%%% End:

KommutativeAlgebra.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\documentclass[enabledeprecatedfontcommands, german]{scrreprt}
+\documentclass[enabledeprecatedfontcommands, german, DIV=12]{scrreprt}
 \KOMAoptions{paper=a4}
 
 %