From 543b5b514b2d29a22f9285184e36a5e3b05eb2dd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Thu, 30 Mar 2023 13:12:10 +0200 Subject: [PATCH] Clean up text for first week --- .vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt | 23 ++++ .vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt | 2 + 02.tex | 103 ++++++++-------- 03.tex | 127 +++++++++----------- KommutativeAlgebra.tex | 2 +- 5 files changed, 134 insertions(+), 123 deletions(-) diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index dc1abb3..a972be5 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -18,3 +18,26 @@ Einspolynom reduzibel Clebsch Hammurabi-Dynastie +Plimpton +Clebsche +Parametrisierbarkeit +Beaumont-de-Lomagne +Castres +Département +Tarn-et-Garonne +Wiles +FRS +Taniyama-Shimura-Vermutung +Fermatsche +Singh +Faltings +adischen +Quotientenringe +Einsetzungsmorphismus +Syzygien +Syzygienmodul +wegheben +Endlichkeitseigenschaften +Bagnols-sur-Cèze +Ganzheitsgleichung +Erzeugendensystem diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index ff3d879..68ccfd7 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -1,3 +1,5 @@ {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen sollen, dass ein gegebenes Polynom \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q irreduzibel ist, dann werden wir den Output von „isIrreducible(\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q)“ aber nicht akzeptieren.\\E$"} {"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWorum geht es in dieser Vorlesung?.\\E$"} {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWikipedia schreibt: Rationale Parametrisierung des Kreises Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v. Chr.).\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWikipedia schreibt: Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische Episoden dieser Geschichte haben [den Großen Satz von Fermat] weit über den Kreis der Mathematiker hinaus populär gemacht.\\E$"} +{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDer Beweis von Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q verwendet die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, die sie aus der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennen (sollten).\\E$"} diff --git a/02.tex b/02.tex index 1883117..564c642 100644 --- a/02.tex +++ b/02.tex @@ -316,7 +316,7 @@ vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt. \end{bsp} \begin{bsp}[Bézier-Kurven] - Bézier-Kurven sind durch ihre Parametrisierung definiert. + Bézierkurven sind durch ihre Parametrisierung definiert. \end{bsp} @@ -338,30 +338,29 @@ $f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$. Das sind im Allgemeinen schwierige Fragen. Um den Grad der Schwierigkeit zu illustrieren, erinnere ich an den berühmten \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gro\%C3\%9Fer_Fermatscher_Satz}{Großen Satz - von - Fermat}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat}{Pierre - de Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne, - heute im Département Tarn-et-Garonne; † 12. Januar 1665 in Castres) war ein - französischer Mathematiker und Jurist.}, der erst 350 Jahre nach seiner +von +Fermat}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat}{Pierre de +Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne, heute +im Département Tarn-et-Garonne; † 12.~Januar 1665 in Castres) war ein +französischer Mathematiker und Jurist.}, der erst 350 Jahre nach seiner Formulierung von Wiles\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Andrew_Wiles}{Sir Andrew John - Wiles} KBE, FRS (* 11. April 1953 in Cambridge) ist ein britischer - Mathematiker. Berühmt wurde er durch seinen Beweis der - Taniyama-Shimura-Vermutung für semistabile elliptische Kurven, woraus sich - der Große Fermatsche Satz ergibt.} bewiesen wurde. Wikipedia schreibt: +Wiles} KBE, FRS (* 11.~April 1953 in Cambridge) ist ein britischer Mathematiker. +Berühmt wurde er durch seinen Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung für +semistabile elliptische Kurven, woraus sich der Große Fermatsche Satz ergibt.} +bewiesen wurde. Wikipedia schreibt: \begin{quote} - Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische - Episoden dieser Geschichte haben [den Großen Satz von Fermat] weit über den - Kreis der Mathematiker hinaus populär gemacht. + Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische Episoden + dieser Geschichte haben [den großen Satz von Fermat] weit über den Kreis der + Mathematiker hinaus populär gemacht. \end{quote} Kennen Sie das Buch \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat\%27s_Last_Theorem_(book)}{Fermat's - Last Theorem} von Simon Singh? Weihnachten ist zwar schon vorbei… +Last Theorem} von Simon Singh? Weihnachten ist zwar schon vorbei… \begin{satz}[Fermat's großer Satz] - Gegeben sei eine natürliche Zahl $n > 2$. Dann erfüllt kein Tripel - $(a, b, c)$ von positiven natürlichen Zahlen die Gleichung - $a^{n}+b^{n}=c^{n}$. \qed + Gegeben sei eine natürliche Zahl $n > 2$. Dann erfüllt kein Tripel $(a, b, + c)$ von positiven natürlichen Zahlen die Gleichung $a^{n}+b^{n}=c^{n}$. \qed \end{satz} \begin{beobachtung}[Zusammenhang zu algebraischen Mengen] @@ -377,19 +376,19 @@ Kennen Sie das Buch ganzzahlige Lösung $(ad,cb,bd)$ der Fermat'schen Gleichung. \end{beobachtung} -Als Ergebnis halten wir fest: zumindest über dem Körper $ℚ$ kann die Fragen -nach der Existenz von Lösung kann nicht einfach sein. Auch die Frage nach der -Anzahl von Lösungen ist nicht einfach – googeln Sie nach den Worten +Als Ergebnis halten wir fest: zumindest über dem Körper $ℚ$ kann die Fragen nach +der Existenz von Lösung kann nicht einfach sein. Auch die Frage nach der Anzahl +von Lösungen ist nicht einfach – googeln Sie nach den Worten Faltings\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerd_Faltings}{Gerd - Faltings} (* 28. Juli 1954 in Gelsenkirchen) ist ein deutscher Mathematiker - und Träger der Fields-Medaille. Er ist Direktor am Max-Planck-Institut für - Mathematik und beschäftigt sich hauptsächlich mit diophantischen Gleichungen, - Modulräumen und $p$-adischen Galois-Darstellungen.} und +Faltings} (* 28.~Juli 1954 in Gelsenkirchen) ist ein deutscher Mathematiker und +Träger der Fields-Medaille. Er ist Direktor am Max-Planck-Institut für +Mathematik und beschäftigt sich hauptsächlich mit diophantischen Gleichungen, +Modulräumen und $p$-adischen Galois-Darstellungen.} und \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Vermutung_von_Mordell}{Mordell-Vermutung}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Louis_Mordell}{Louis - Joel Mordell} (* 28. Januar 1888 in Philadelphia, USA; † 12. März 1972 in - Cambridge, England) war ein amerikanisch-britischer Mathematiker, der vor - allem in der Zahlentheorie, speziell der Theorie diophantischer Gleichungen - arbeitete.}. +Joel Mordell} (* 28.~Januar 1888 in Philadelphia, USA; † 12.~März 1972 in +Cambridge, England) war ein amerikanisch-britischer Mathematiker, der vor allem +in der Zahlentheorie, speziell der Theorie diophantischer Gleichungen +arbeitete.}. \section{Der Hilbertsche Nullstellensatz} @@ -397,8 +396,8 @@ Faltings\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerd_Faltings}{Gerd Ich möchte den Punkt machen, dass die Frage nach der Lösbarkeit von algebraischen Gleichungssystemen sehr viel einfacher wird, wenn wir uns auf algebraisch abgeschlossene Körper beschränken. Unter dieser Annahme beantwortet -der Hilbertsche Nullstellensatz die Frage, ob eine algebraische Menge -$V \bigl(f_1, …, f_n \bigr)$ leer ist, in Termen des von den $f_•$ erzeugten +der Hilbertsche Nullstellensatz die Frage, ob eine algebraische Menge $V +\bigl(f_1, …, f_n \bigr)$ leer ist, in Termen des von den $f_•$ erzeugten Ideals. \begin{erinnerung}[Ideale] @@ -413,26 +412,26 @@ Ideals. $I(f_1, …, f_n)$ üblich. \end{erinnerung} -\begin{beobachtung}\label{beob:2-4-2} +\begin{beobachtung}\label{beob:2-4-2}% Es sei $k$ ein Körper (der vielleicht nicht algebraisch abgeschlossen ist) und - es seien $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$. Falls - $V \bigl(f_1, …, f_n \bigr) ≠ ∅$ ist, dann ist $1 \notin (f_1, …, f_m)$. Wäre - nämlich die 1 in dem Ideal enthalten, dann gäbe es eine Linearkombination + es seien $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$. Falls $V \bigl(f_1, …, f_n \bigr) ≠ + ∅$ ist, dann ist $1 \notin (f_1, …, f_m)$. Wäre nämlich die 1 in dem Ideal + enthalten, dann gäbe es eine Linearkombination \[ 1 = a_1·f_1 + ⋯ + a_n·f_n \] - und demnach wäre - $1 = a_1(\vec{x})·f_1(\vec{x}) + ⋯ a_n(\vec{x})·f_n(\vec{x}) = 0$, - Widerspruch! + und demnach wäre $1 = a_1(\vec{x})·f_1(\vec{x}) + ⋯ a_n(\vec{x})·f_n(\vec{x}) + = 0$, Widerspruch! \end{beobachtung} -Für algebraisch abgeschlossene Körper zeigt die folgende ``schwache Version'' -des Hilbertschen Nullstellensatz, dass die Frage, ob $1 ∈ (f_1, …, f_m)$ ist, -die Frage nach der Existenz von Lösungen bereits entscheidet. +Für algebraisch abgeschlossene Körper zeigt die folgende „schwache Version“ des +Hilbertschen Nullstellensatz, dass die Frage, ob $1 ∈ (f_1, …, f_m)$ ist, die +Frage nach der Existenz von Lösungen bereits entscheidet. -\begin{satz}[Schwacher Hilbertscher Nullstellensatz – Vorabversion]\label{satz:shn} - Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien Polynome - $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gegeben. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. +\begin{satz}[Schwacher Hilbertscher Nullstellensatz – Vorabversion]\label{satz:shn}% + Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien Polynome $f_1, + …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gegeben. Dann sind die folgenden Aussagen + äquivalent. \begin{enumerate} \item\label{il:2-4-3-1} Das Gleichungssystem $f_1 = ⋯ = f_n = 0$ hat eine Lösung in $k^m$. @@ -443,23 +442,17 @@ die Frage nach der Existenz von Lösungen bereits entscheidet. Wir werden den Hilbertschen Nullstellensatz im ersten Teil dieser Vorlesung beweisen. Wir müssen uns vielleicht auch Gedanken darüber machen, wie man für -gegebene Polynome $f_•$ eigentlich entscheidet, ob die $1$ im Ideal -$(f_1, …, f_n)$ liegt. +gegebene Polynome $f_•$ eigentlich entscheidet, ob die $1$ im Ideal $(f_1, …, +f_n)$ liegt. \begin{bemerkung} - Die Aussage ``die $1$ liegt im Ideal $(f_1, …, f_n)$'' kann man auch anders - formulieren. Überlegen Sie sich, dass die $1$ genau dann im Ideal - $(f_1, …, f_n)$ liegt, wenn das Ideal bereits der ganz Ring ist. + Die Aussage „die $1$ liegt im Ideal $(f_1, …, f_n)$“ kann man auch anders + formulieren. Überlegen Sie sich, dass die $1$ genau dann im Ideal $(f_1, …, + f_n)$ liegt, wenn das Ideal bereits der ganz Ring ist. \end{bemerkung} \begin{aufgabe} Zeigen Sie an einem Beispiel, dass die Folgerung des Hilbertschen - Nullstellensatzes ohne die Annahme ``algebraisch abgeschlossen'' grässlich + Nullstellensatzes ohne die Annahme „algebraisch abgeschlossen“ grässlich falsch ist. \end{aufgabe} - - -%%% Local Variables: -%%% mode: latex -%%% TeX-master: "21-KA" -%%% End: diff --git a/03.tex b/03.tex index d5fea61..dddc814 100644 --- a/03.tex +++ b/03.tex @@ -18,7 +18,7 @@ Multiplikation. \begin{notation} In dieser Vorlesung ist mit dem Wort ``Ring'' immer ein kommutativer Ring mit - 1 gemeint. Ein Ringmorphisums $\varphi: A \rightarrow B$ erfüllt per Annahme + 1 gemeint. Ein Ringmorphiums $\varphi: A \rightarrow B$ erfüllt per Annahme die Bedingung $\varphi(1_A) = 1_B$. Sind $A$ und $B$ Ringe und $A ⊆ B$, so nennen wir das eine \emph{Ringerweiterung}\index{Ringerweiterung}. \end{notation} @@ -26,11 +26,11 @@ Multiplikation. \section{Elementare Definitionen} -Der erste Begriff beim Studium von Körpererweiterungen war ``algebraisch'': +Der erste Begriff beim Studium von Körpererweiterungen war „algebraisch“: gegeben eine Körpererweiterung $L/K$ und ein Element $z ∈ L$, dann nennen wir $z$ algebraisch über $K$, wenn es ein Polynom $f ∈ K[x]$ gibt, welches $z$ als Nullstelle hat. Das Polynom $f$ kann man dann minimal wählen und normieren und -erhält somit den Begriff des ``Minimalpolynoms von $z$''. +erhält somit den Begriff des „Minimalpolynoms von $z$“. Das wollen wir auch für Ringe machen. Bei Ringerweiterungen muss man aber aufpassen, denn man kann ein Polynom nicht immer normieren, indem man durch den @@ -42,16 +42,16 @@ Polynoms. Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung. \begin{enumerate} \item Ein Element $b ∈ B$ heißt \emph{ganz über $A$}\index{ganz!Element}, - falls es ein normiertes Polynom $f ∈ A[x]$ gibt, sodass in $B$ die - Gleichung $f(b) = 0$ gilt. + falls es ein normiertes Polynom $f ∈ A[x]$ gibt, sodass in $B$ die Gleichung + $f(b) = 0$ gilt. - \item Die Ringerweiterung heißt \emph{ganz}\index{ganz!Ringerweiterungen}, - wenn alle $b ∈ B$ ganz über A sind. + \item Die Ringerweiterung heißt \emph{ganz}\index{ganz!Ringerweiterung}, wenn + alle $b ∈ B$ ganz über A sind. \end{enumerate} \end{defn} -\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:rad} - Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung. Weiter sei eine Teilmenge $M ⊂ B$ +\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:rad}% + Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung. Weiter sei eine Teilmenge $M ⊂ B$ gegeben. Definiere dann den Unterring \[ A[M] := \bigcap_{R ∈ א} R, @@ -63,42 +63,41 @@ Polynoms. \end{defn} \begin{bemerkung} - Genau wie in der Vorlesung ``Algebra'' beweist man, dass $A[M]$ wieder ein - Ring ist (= kommutativer Ring mit 1). Genau wie in der Vorlesung ``Algebra'' - zeigt man, dass $A[M]$ der kleinste Unterring von $B$ ist, der $A$ und $M$ - enthält. + Genau wie in der Vorlesung „Algebra“ beweist man, dass $A[M]$ wieder ein Ring + ist (= kommutativer Ring mit 1). Genau wie in der Vorlesung „Algebra“ zeigt + man, dass $A[M]$ der kleinste Unterring von $B$ ist, der $A$ und $M$ enthält. \end{bemerkung} \begin{bemerkung} - Wenn die Menge $M$ aus Definition~\ref{def:rad} endlich ist, - $M = \{ b_1, …, b_n\}$, dann kann man $A[M]$ auch anders beschreiben. Man - betrachte nämlich den Einsetzungsmorphismus + Wenn die Menge $M$ aus Definition~\ref{def:rad} endlich ist, $M = \{ b_1, …, + b_n\}$, dann kann man $A[M]$ auch anders beschreiben. Man betrachte nämlich + den Einsetzungsmorphismus \[ φ : A[x_1, …, x_n] → B, \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(b_1, …, b_n). \] - Überlegen Sie sich, dass dies ein Ringmorphismus ist, und dass - $A[M] = \Image φ$ ist. Die Elemente $f ∈ \ker φ$ heißen \emph{Relationen der - $b_1, …, b_n$}\index{Relationen!@see Syzygien} oder - \emph{Syzygien}\index{Syzygien}. Manchmal nennt man $\ker φ$ auch den + Überlegen Sie sich, dass dies ein Ringmorphismus ist, und dass $A[M] = \Image + φ$ ist. Die Elemente $f ∈ \ker φ$ heißen \emph{Relationen der $b_1, …, + b_n$}\index{Relationen!@see Syzygien} oder \emph{Syzygien}\index{Syzygien}. + Manchmal nennt man $\ker φ$ auch den \emph{Syzygienmodul}\index{Syzygienmodul}. \end{bemerkung} \begin{bemerkung}[Syzygien] - Etwas vereinfachend bezeichnet das Wort ``Syzygie'' in der Astronomie eine + Etwas vereinfachend bezeichnet das Wort „Syzygie“ in der Astronomie eine Konstellation von Himmelskörpern, bei der mehrere Körper in einer Reihe stehen ($→$ \href{https://static.rogerebert.com/uploads/blog_post/primary_image/roger-ebert/2001-the-monolith-and-the-message/EB19680421COMMENTARY40312115AR.jpg}{2001: - A Space Odyssey}). Die einfachsten Syzygien sind Sonnen- und + A Space Odyssey}). Die einfachsten Syzygien sind Sonnen- und Mondfinsternisse; eine genauere Erklärung finden Sie \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Syzygie_(Astronomie)}{hier}. Vielleicht kommt die Verwendung des Wortes in der Mathematik daher, dass die Terme in - einer Relation, die sich ja gegenseitig wegheben, in irgendeinem Sinne ``in - einer Reihe stehen''. + einer Relation, die sich ja gegenseitig wegheben, in irgendeinem Sinne „in + einer Reihe stehen“. \end{bemerkung} \begin{bemerkung}[Syzygien] - Unter allen englischen Worten ist ``syzygy'' das Wort mit dem größten Anteil - von Ypsilonen. + Unter allen englischen Worten ist „\foreignlanguage{english}{syzygy}“ das Wort + mit dem größten Anteil von Ypsilons. \end{bemerkung} \begin{defn}[Endlich und endlicher Typ] @@ -129,8 +128,8 @@ dass die Umkehrung nicht unbedingt gilt. \begin{bsp}[Endlicher Typ, nicht endlich] Es sei $k$ Körper. Setze $A := k$ und $B := k[x]$. Dann ist als $A$-Algebra durch das Element $x$ erzeugt. Aber $B$ ist kein endlich erzeugtes $A$-Modul, - denn ein $A$-Modul ist dasselbe wie ein $k$-Vektorraum und es ist aber - $\dim_k B = ∞$. + denn ein $A$-Modul ist dasselbe wie ein $k$-Vektorraum und es ist aber $\dim_k + B = ∞$. \end{bsp} \begin{bsp}[Endlich und vom endlichen Typ] @@ -142,11 +141,11 @@ dass die Umkehrung nicht unbedingt gilt. \section{Charakterisierung von Ganzheit} -In der Vorlesung ``Algebra'' hatten wir algebraische Elemente von +In der Vorlesung „Algebra“ hatten wir algebraische Elemente von Körpererweiterungen durch Endlichkeitseigenschaften charakterisiert. Das geht mit ganzen Elementen in Ringerweiterungen auch. -\begin{satz}[Charakterisierung von Ganzheit]\label{satz:3-2-9} +\begin{satz}[Charakterisierung von Ganzheit]\label{satz:3-2-9}% Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung. Weiter sei ein Element $b ∈ B$ gegeben. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. \begin{enumerate} @@ -155,24 +154,24 @@ mit ganzen Elementen in Ringerweiterungen auch. \item\label{il:3-2-9-2} Der Ring $A[b]$ ist als $A$-Modul endlich erzeugt. \item\label{il:3-2-9-3} Es gibt einen Zwischenring $A[b] ⊆ M ⊆ B$, der als - $A$-Modul endlich erzeugt ist und die zusätzliche Eigenschaft hat, dass - $\{ b·m \::\: m ∈ M \} = M$ ist. + $A$-Modul endlich erzeugt ist und die zusätzliche Eigenschaft hat, dass $\{ + b·m \::\: m ∈ M \} = M$ ist. \end{enumerate} \end{satz} Der Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9} verwendet die \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Cramersche_Regel}{Cramersche - Regel}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gabriel_Cramer}{Gabriel - Cramer} (* 31. Juli 1704 in Genf; † 4. Januar 1752 in Bagnols-sur-Cèze, - Frankreich) war ein Genfer Mathematiker.}, die sie aus der Vorlesung ``Lineare -Algebra'' kennen (sollten). Dort wurde der folgende Satz vermutlich nur für +Regel}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gabriel_Cramer}{Gabriel +Cramer} (* 31.~Juli 1704 in Genf; † 4.~Januar 1752 in Bagnols-sur-Cèze, +Frankreich) war ein Genfer Mathematiker.}, die sie aus der Vorlesung „Lineare +Algebra“ kennen (sollten). Dort wurde der folgende Satz vermutlich nur für Matrizen mit Einträgen in einem Körper bewiesen. Man prüfe, dass der Beweis auch für Matrizen über Ringen gilt. -\begin{satz}[Cramersche Regel]\label{satz:creg} +\begin{satz}[Cramersche Regel]\label{satz:creg}% Es sei $R$ ein Ring und es sei $Δ ∈ \operatorname{Mat}(n⨯n; R)$ eine - $(n⨯n)$-Matrix mit Einträgen in $R$. Dann gibt es eine Matrix - $Δ^* ∈ \operatorname{Mat}(n⨯n; R)$, sodass die Gleichung + $(n⨯n)$-Matrix mit Einträgen in $R$. Dann gibt es eine Matrix $Δ^* ∈ + \operatorname{Mat}(n⨯n; R)$, sodass die Gleichung \[ Δ^*·Δ = \det(Δ)· E \] @@ -180,16 +179,16 @@ auch für Matrizen über Ringen gilt. \end{satz} \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9}] - \video{2-1}. Hinweis: im Erklärvideo schreibe ich versehentlich - $\{ b·m \::\: m ∈ M \} ⊆ M$ statt $\{ b·m \::\: m ∈ M \} = M$. Ich - bitte, diese Panne zu entschuldigen. + \video{2-1}. Hinweis: im Erklärvideo schreibe ich versehentlich $\{ b·m \::\: + m ∈ M \} ⊆ M$ statt $\{ b·m \::\: m ∈ M \} = M$. Ich bitte, diese Panne zu + entschuldigen. \end{proof} \sideremark{Vorlesung 3}Die Charakterisierung von Ganzheit aus Satz~\ref{satz:3-2-9} hat einige Korollare, die sie in ähnlicher Form aus der -Vorlesung ``Algebra'' schon kennen (sollten). +Vorlesung „Algebra“ schon kennen (sollten). -\begin{kor}[Ganzheit und Endlichkeit]\label{kor:3-3-3} +\begin{kor}[Ganzheit und Endlichkeit]\label{kor:3-3-3}% Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung. Wenn $B$ als $A$-Modul endlich erzeugt ist, dann ist die Erweiterung sie ganz. \end{kor} @@ -198,7 +197,7 @@ Vorlesung ``Algebra'' schon kennen (sollten). \ref{il:3-2-9-3} $⇒$ \ref{il:3-2-9-1} aus Satz~\ref{satz:3-2-9} an. \end{proof} -\begin{kor}[Adjunktion ganzer Elemente]\label{kor:3-3-4} +\begin{kor}[Adjunktion ganzer Elemente]\label{kor:3-3-4}% Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung und es $b_1, …, b_n$ Elemente von $B$, die ganz über $A$ sind. Dann ist $A[b_1, …, b_n]$ endlich über $A$, also nach Korollar~\ref{kor:3-3-3} insbesondere ganz. @@ -215,11 +214,11 @@ Vorlesung ``Algebra'' schon kennen (sollten). erzeugt. \end{proof} -Auch das folgende Korollar (sollten) sie schon aus der Vorlesung ``Algebra'' +Auch das folgende Korollar (sollten) sie schon aus der Vorlesung „Algebra“ kennen. Der Beweis ist mit dem bekannten Beweis identisch und deshalb hier nur knapp wiedergegeben. -\begin{kor}[Transitivität der Ganzheit]\label{kor:3-3-5} +\begin{kor}[Transitivität der Ganzheit]\label{kor:3-3-5}% Es seien $A ⊆ B$ und $B ⊆ C$ ganze Ringerweiterungen. Dann ist auch die Ringerweiterung $A ⊆ C$ ganz. \end{kor} @@ -227,7 +226,7 @@ knapp wiedergegeben. Sei ein Element $c ∈ C$ gegeben. Nach Annahme erfüllt $c$ eine Ganzheitsgleichung über $B$, \[ - c^n + b_{n-1}·c^{n-1} + ⋯ + b_1c + b_0 = 0 + c^n + b_{n-1}·c^{n-1} + ⋯ + b_1c + b_0 = 0. \] Die Koeffizienten $b_1, …, b_n ∈ B$ sind nach Annahme ganz über $A$. Also ist $A[b_1, …, b_n]$ nach Korollar~\ref{kor:3-3-4} ein endlich erzeugter @@ -252,21 +251,21 @@ knapp wiedergegeben. \section{Der ganze Abschluss} -Ganz analog zum ``algebraischen Abschluss eines Unterkörpers'', den Sie aus der -Vorlesung ``Algebra'' kennen (sollten), definieren wir den ``ganzen Abschluss -eines Unterringes''. +Ganz analog zum „algebraischen Abschluss eines Unterkörpers“, den Sie aus der +Vorlesung „Algebra“ kennen (sollten), definieren wir den „ganzen Abschluss eines +Unterringes“. -\begin{defn}[Ganzer Abschluss]\label{def:3-4-1} +\begin{defn}[Ganzer Abschluss]\label{def:3-4-1}% Es sei $A ⊆ B$. Die Menge \[ \overline{A}= \bigl\{ b ∈ B \::\: b \text{ ganz über } A \bigr\} ⊆ B \] - wird der \emph{ganze Abschluss von $A$ in $B$}\index{ganz!Abschluss} - genannt. Falls $\overline{A} = A$ ist, so nennen wir die Ringerweiterung - $A ⊆ B$ \emph{ganz abgeschlossen}\index{ganz!abgeschlossene Ringerweiterung}. + wird der \emph{ganze Abschluss von $A$ in $B$}\index{ganz!Abschluss} genannt. + Falls $\overline{A} = A$ ist, so nennen wir die Ringerweiterung $A ⊆ B$ + \emph{ganz abgeschlossen}\index{ganz!abgeschlossene Ringerweiterung}. \end{defn} -\begin{prop}[Ganzer Abschluss]\label{kor:3-4-2} +\begin{prop}[Ganzer Abschluss]\label{kor:3-4-2}% In der Situation von Definition~\ref{def:3-4-1} ist $\overline{A}$ ein Unterring von $B$. \end{prop} @@ -282,17 +281,17 @@ eines Unterringes''. Unterring von $B$. Also können wir den ganzen Abschluss $\overline{\overline{A}}$ von $\overline{A}$ in $B$ betrachten. Glücklicherweise müssen wir das nicht, denn Korollar~\ref{kor:3-3-5} über die - Transitivität der Ganzheit garantiert, dass - $\overline{A} = \overline{\overline{A}}$ ist. Merke: ``Der ganze Abschluss - von $A$ in $B$ ist ganz abgeschlossen in $B$.'' + Transitivität der Ganzheit garantiert, dass $\overline{A} = + \overline{\overline{A}}$ ist. Merke: „Der ganze Abschluss von $A$ in $B$ ist + ganz abgeschlossen in $B$.“ \end{bemerkung} \begin{bsp} Wir erinnern uns: ein Zahlkörper\index{Zahlkörper} ist eine algebraische Körpererweiterung $K/ℚ$. Den ganzen Abschluss von $ℤ$ in $K$ nennt man den \emph{Ring der ganzen Zahlen des Zahlkörpers $K$}\index{ganz!Zahlen eines - Zahlkörpers}. Dieser Ring wird meist mit $𝒪_K$ bezeichnet. Das Studium des - Ringes $𝒪_K$ ist Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie + Zahlkörpers}. Dieser Ring wird meist mit $𝒪_K$ bezeichnet. Das Studium des + Ringes $𝒪_K$ ist Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie. \begin{itemize} \item Für $K = ℚ[i]$ ist $𝒪_K = ℤ[i]$. @@ -308,9 +307,3 @@ eines Unterringes''. algebraischen Zahlen}. \end{itemize} \end{bsp} - - -%%% Local Variables: -%%% mode: latex -%%% TeX-master: "21-KA" -%%% End: diff --git a/KommutativeAlgebra.tex b/KommutativeAlgebra.tex index 451f37b..aa42b8b 100644 --- a/KommutativeAlgebra.tex +++ b/KommutativeAlgebra.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\documentclass[enabledeprecatedfontcommands, german]{scrreprt} +\documentclass[enabledeprecatedfontcommands, german, DIV=12]{scrreprt} \KOMAoptions{paper=a4} %