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Stefan Kebekus 2023-03-30 13:12:10 +02:00
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@ -18,3 +18,26 @@ Einspolynom
reduzibel
Clebsch
Hammurabi-Dynastie
Plimpton
Clebsche
Parametrisierbarkeit
Beaumont-de-Lomagne
Castres
Département
Tarn-et-Garonne
Wiles
FRS
Taniyama-Shimura-Vermutung
Fermatsche
Singh
Faltings
adischen
Quotientenringe
Einsetzungsmorphismus
Syzygien
Syzygienmodul
wegheben
Endlichkeitseigenschaften
Bagnols-sur-Cèze
Ganzheitsgleichung
Erzeugendensystem

2
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt vendored
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@ -1,3 +1,5 @@
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen sollen, dass ein gegebenes Polynom \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q irreduzibel ist, dann werden wir den Output von „isIrreducible(\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q)“ aber nicht akzeptieren.\\E$"}
{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWorum geht es in dieser Vorlesung?.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWikipedia schreibt: Rationale Parametrisierung des Kreises Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v. Chr.).\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWikipedia schreibt: Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische Episoden dieser Geschichte haben [den Großen Satz von Fermat] weit über den Kreis der Mathematiker hinaus populär gemacht.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDer Beweis von Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q verwendet die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, die sie aus der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennen (sollten).\\E$"}

103
02.tex
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@ -316,7 +316,7 @@ vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Bézier-Kurven]
Bézier-Kurven sind durch ihre Parametrisierung definiert.
Bézierkurven sind durch ihre Parametrisierung definiert.
\end{bsp}
@ -338,30 +338,29 @@ $f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$.
Das sind im Allgemeinen schwierige Fragen. Um den Grad der Schwierigkeit zu
illustrieren, erinnere ich an den berühmten
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gro\%C3\%9Fer_Fermatscher_Satz}{Großen Satz
von
Fermat}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat}{Pierre
de Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne,
heute im Département Tarn-et-Garonne; † 12. Januar 1665 in Castres) war ein
französischer Mathematiker und Jurist.}, der erst 350 Jahre nach seiner
von
Fermat}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat}{Pierre de
Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne, heute
im Département Tarn-et-Garonne; † 12.~Januar 1665 in Castres) war ein
französischer Mathematiker und Jurist.}, der erst 350 Jahre nach seiner
Formulierung von
Wiles\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Andrew_Wiles}{Sir Andrew John
Wiles} KBE, FRS (* 11. April 1953 in Cambridge) ist ein britischer
Mathematiker. Berühmt wurde er durch seinen Beweis der
Taniyama-Shimura-Vermutung für semistabile elliptische Kurven, woraus sich
der Große Fermatsche Satz ergibt.} bewiesen wurde. Wikipedia schreibt:
Wiles} KBE, FRS (* 11.~April 1953 in Cambridge) ist ein britischer Mathematiker.
Berühmt wurde er durch seinen Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung für
semistabile elliptische Kurven, woraus sich der Große Fermatsche Satz ergibt.}
bewiesen wurde. Wikipedia schreibt:
\begin{quote}
Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische
Episoden dieser Geschichte haben [den Großen Satz von Fermat] weit über den
Kreis der Mathematiker hinaus populär gemacht.
Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische Episoden
dieser Geschichte haben [den großen Satz von Fermat] weit über den Kreis der
Mathematiker hinaus populär gemacht.
\end{quote}
Kennen Sie das Buch
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat\%27s_Last_Theorem_(book)}{Fermat's
Last Theorem} von Simon Singh? Weihnachten ist zwar schon vorbei…
Last Theorem} von Simon Singh? Weihnachten ist zwar schon vorbei…
\begin{satz}[Fermat's großer Satz]
Gegeben sei eine natürliche Zahl $n > 2$. Dann erfüllt kein Tripel
$(a, b, c)$ von positiven natürlichen Zahlen die Gleichung
$a^{n}+b^{n}=c^{n}$. \qed
Gegeben sei eine natürliche Zahl $n > 2$. Dann erfüllt kein Tripel $(a, b,
c)$ von positiven natürlichen Zahlen die Gleichung $a^{n}+b^{n}=c^{n}$. \qed
\end{satz}
\begin{beobachtung}[Zusammenhang zu algebraischen Mengen]
@ -377,19 +376,19 @@ Kennen Sie das Buch
ganzzahlige Lösung $(ad,cb,bd)$ der Fermat'schen Gleichung.
\end{beobachtung}
Als Ergebnis halten wir fest: zumindest über dem Körper $ℚ$ kann die Fragen
nach der Existenz von Lösung kann nicht einfach sein. Auch die Frage nach der
Anzahl von Lösungen ist nicht einfach – googeln Sie nach den Worten
Als Ergebnis halten wir fest: zumindest über dem Körper $ℚ$ kann die Fragen nach
der Existenz von Lösung kann nicht einfach sein. Auch die Frage nach der Anzahl
von Lösungen ist nicht einfach – googeln Sie nach den Worten
Faltings\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerd_Faltings}{Gerd
Faltings} (* 28. Juli 1954 in Gelsenkirchen) ist ein deutscher Mathematiker
und Träger der Fields-Medaille. Er ist Direktor am Max-Planck-Institut für
Mathematik und beschäftigt sich hauptsächlich mit diophantischen Gleichungen,
Modulräumen und $p$-adischen Galois-Darstellungen.} und
Faltings} (* 28.~Juli 1954 in Gelsenkirchen) ist ein deutscher Mathematiker und
Träger der Fields-Medaille. Er ist Direktor am Max-Planck-Institut für
Mathematik und beschäftigt sich hauptsächlich mit diophantischen Gleichungen,
Modulräumen und $p$-adischen Galois-Darstellungen.} und
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Vermutung_von_Mordell}{Mordell-Vermutung}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Louis_Mordell}{Louis
Joel Mordell} (* 28. Januar 1888 in Philadelphia, USA; † 12. März 1972 in
Cambridge, England) war ein amerikanisch-britischer Mathematiker, der vor
allem in der Zahlentheorie, speziell der Theorie diophantischer Gleichungen
arbeitete.}.
Joel Mordell} (* 28.~Januar 1888 in Philadelphia, USA; † 12.~März 1972 in
Cambridge, England) war ein amerikanisch-britischer Mathematiker, der vor allem
in der Zahlentheorie, speziell der Theorie diophantischer Gleichungen
arbeitete.}.
\section{Der Hilbertsche Nullstellensatz}
@ -397,8 +396,8 @@ Faltings\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerd_Faltings}{Gerd
Ich möchte den Punkt machen, dass die Frage nach der Lösbarkeit von
algebraischen Gleichungssystemen sehr viel einfacher wird, wenn wir uns auf
algebraisch abgeschlossene Körper beschränken. Unter dieser Annahme beantwortet
der Hilbertsche Nullstellensatz die Frage, ob eine algebraische Menge
$V \bigl(f_1, …, f_n \bigr)$ leer ist, in Termen des von den $f_•$ erzeugten
der Hilbertsche Nullstellensatz die Frage, ob eine algebraische Menge $V
\bigl(f_1, …, f_n \bigr)$ leer ist, in Termen des von den $f_•$ erzeugten
Ideals.
\begin{erinnerung}[Ideale]
@ -413,26 +412,26 @@ Ideals.
$I(f_1, …, f_n)$ üblich.
\end{erinnerung}
\begin{beobachtung}\label{beob:2-4-2}
\begin{beobachtung}\label{beob:2-4-2}%
Es sei $k$ ein Körper (der vielleicht nicht algebraisch abgeschlossen ist) und
es seien $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$. Falls
$V \bigl(f_1, …, f_n \bigr) ≠ ∅$ ist, dann ist $1 \notin (f_1, …, f_m)$. Wäre
nämlich die 1 in dem Ideal enthalten, dann gäbe es eine Linearkombination
es seien $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$. Falls $V \bigl(f_1, …, f_n \bigr) ≠
∅$ ist, dann ist $1 \notin (f_1, …, f_m)$. Wäre nämlich die 1 in dem Ideal
enthalten, dann gäbe es eine Linearkombination
\[
1 = a_1·f_1 + ⋯ + a_n·f_n
\]
und demnach wäre
$1 = a_1(\vec{x})·f_1(\vec{x}) + ⋯ a_n(\vec{x})·f_n(\vec{x}) = 0$,
Widerspruch!
und demnach wäre $1 = a_1(\vec{x})·f_1(\vec{x}) + ⋯ a_n(\vec{x})·f_n(\vec{x})
= 0$, Widerspruch!
\end{beobachtung}
Für algebraisch abgeschlossene Körper zeigt die folgende ``schwache Version''
des Hilbertschen Nullstellensatz, dass die Frage, ob $1 ∈ (f_1, …, f_m)$ ist,
die Frage nach der Existenz von Lösungen bereits entscheidet.
Für algebraisch abgeschlossene Körper zeigt die folgende „schwache Version“ des
Hilbertschen Nullstellensatz, dass die Frage, ob $1 ∈ (f_1, …, f_m)$ ist, die
Frage nach der Existenz von Lösungen bereits entscheidet.
\begin{satz}[Schwacher Hilbertscher Nullstellensatz – Vorabversion]\label{satz:shn}
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien Polynome
$f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gegeben. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
\begin{satz}[Schwacher Hilbertscher Nullstellensatz – Vorabversion]\label{satz:shn}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien Polynome $f_1,
…, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gegeben. Dann sind die folgenden Aussagen
äquivalent.
\begin{enumerate}
\item\label{il:2-4-3-1} Das Gleichungssystem $f_1 = ⋯ = f_n = 0$ hat eine
Lösung in $k^m$.
@ -443,23 +442,17 @@ die Frage nach der Existenz von Lösungen bereits entscheidet.
Wir werden den Hilbertschen Nullstellensatz im ersten Teil dieser Vorlesung
beweisen. Wir müssen uns vielleicht auch Gedanken darüber machen, wie man für
gegebene Polynome $f_•$ eigentlich entscheidet, ob die $1$ im Ideal
$(f_1, …, f_n)$ liegt.
gegebene Polynome $f_•$ eigentlich entscheidet, ob die $1$ im Ideal $(f_1, …,
f_n)$ liegt.
\begin{bemerkung}
Die Aussage ``die $1$ liegt im Ideal $(f_1, …, f_n)$'' kann man auch anders
formulieren. Überlegen Sie sich, dass die $1$ genau dann im Ideal
$(f_1, …, f_n)$ liegt, wenn das Ideal bereits der ganz Ring ist.
Die Aussage „die $1$ liegt im Ideal $(f_1, …, f_n)$“ kann man auch anders
formulieren. Überlegen Sie sich, dass die $1$ genau dann im Ideal $(f_1, …,
f_n)$ liegt, wenn das Ideal bereits der ganz Ring ist.
\end{bemerkung}
\begin{aufgabe}
Zeigen Sie an einem Beispiel, dass die Folgerung des Hilbertschen
Nullstellensatzes ohne die Annahme ``algebraisch abgeschlossen'' grässlich
Nullstellensatzes ohne die Annahme „algebraisch abgeschlossen“ grässlich
falsch ist.
\end{aufgabe}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "21-KA"
%%% End:

127
03.tex
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@ -18,7 +18,7 @@ Multiplikation.
\begin{notation}
In dieser Vorlesung ist mit dem Wort ``Ring'' immer ein kommutativer Ring mit
1 gemeint. Ein Ringmorphisums $\varphi: A \rightarrow B$ erfüllt per Annahme
1 gemeint. Ein Ringmorphiums $\varphi: A \rightarrow B$ erfüllt per Annahme
die Bedingung $\varphi(1_A) = 1_B$. Sind $A$ und $B$ Ringe und $A ⊆ B$, so
nennen wir das eine \emph{Ringerweiterung}\index{Ringerweiterung}.
\end{notation}
@ -26,11 +26,11 @@ Multiplikation.
\section{Elementare Definitionen}
Der erste Begriff beim Studium von Körpererweiterungen war ``algebraisch'':
Der erste Begriff beim Studium von Körpererweiterungen war „algebraisch“:
gegeben eine Körpererweiterung $L/K$ und ein Element $z ∈ L$, dann nennen wir
$z$ algebraisch über $K$, wenn es ein Polynom $f ∈ K[x]$ gibt, welches $z$ als
Nullstelle hat. Das Polynom $f$ kann man dann minimal wählen und normieren und
erhält somit den Begriff des ``Minimalpolynoms von $z$''.
erhält somit den Begriff des „Minimalpolynoms von $z$“.
Das wollen wir auch für Ringe machen. Bei Ringerweiterungen muss man aber
aufpassen, denn man kann ein Polynom nicht immer normieren, indem man durch den
@ -42,16 +42,16 @@ Polynoms.
Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung.
\begin{enumerate}
\item Ein Element $b ∈ B$ heißt \emph{ganz über $A$}\index{ganz!Element},
falls es ein normiertes Polynom $f ∈ A[x]$ gibt, sodass in $B$ die
Gleichung $f(b) = 0$ gilt.
falls es ein normiertes Polynom $f ∈ A[x]$ gibt, sodass in $B$ die Gleichung
$f(b) = 0$ gilt.
\item Die Ringerweiterung heißt \emph{ganz}\index{ganz!Ringerweiterungen},
wenn alle $b ∈ B$ ganz über A sind.
\item Die Ringerweiterung heißt \emph{ganz}\index{ganz!Ringerweiterung}, wenn
alle $b ∈ B$ ganz über A sind.
\end{enumerate}
\end{defn}
\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:rad}
Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung. Weiter sei eine Teilmenge $M ⊂ B$
\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:rad}%
Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung. Weiter sei eine Teilmenge $M ⊂ B$
gegeben. Definiere dann den Unterring
\[
A[M] := \bigcap_{R ∈ א} R,
@ -63,42 +63,41 @@ Polynoms.
\end{defn}
\begin{bemerkung}
Genau wie in der Vorlesung ``Algebra'' beweist man, dass $A[M]$ wieder ein
Ring ist (= kommutativer Ring mit 1). Genau wie in der Vorlesung ``Algebra''
zeigt man, dass $A[M]$ der kleinste Unterring von $B$ ist, der $A$ und $M$
enthält.
Genau wie in der Vorlesung „Algebra“ beweist man, dass $A[M]$ wieder ein Ring
ist (= kommutativer Ring mit 1). Genau wie in der Vorlesung „Algebra“ zeigt
man, dass $A[M]$ der kleinste Unterring von $B$ ist, der $A$ und $M$ enthält.
\end{bemerkung}
\begin{bemerkung}
Wenn die Menge $M$ aus Definition~\ref{def:rad} endlich ist,
$M = \{ b_1, …, b_n\}$, dann kann man $A[M]$ auch anders beschreiben. Man
betrachte nämlich den Einsetzungsmorphismus
Wenn die Menge $M$ aus Definition~\ref{def:rad} endlich ist, $M = \{ b_1, …,
b_n\}$, dann kann man $A[M]$ auch anders beschreiben. Man betrachte nämlich
den Einsetzungsmorphismus
\[
φ : A[x_1, …, x_n] → B, \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(b_1, …, b_n).
\]
Überlegen Sie sich, dass dies ein Ringmorphismus ist, und dass
$A[M] = \Image φ$ ist. Die Elemente $f ∈ \ker φ$ heißen \emph{Relationen der
$b_1, …, b_n$}\index{Relationen!@see Syzygien} oder
\emph{Syzygien}\index{Syzygien}. Manchmal nennt man $\ker φ$ auch den
Überlegen Sie sich, dass dies ein Ringmorphismus ist, und dass $A[M] = \Image
φ$ ist. Die Elemente $f ∈ \ker φ$ heißen \emph{Relationen der $b_1, …,
b_n$}\index{Relationen!@see Syzygien} oder \emph{Syzygien}\index{Syzygien}.
Manchmal nennt man $\ker φ$ auch den
\emph{Syzygienmodul}\index{Syzygienmodul}.
\end{bemerkung}
\begin{bemerkung}[Syzygien]
Etwas vereinfachend bezeichnet das Wort ``Syzygie'' in der Astronomie eine
Etwas vereinfachend bezeichnet das Wort „Syzygie“ in der Astronomie eine
Konstellation von Himmelskörpern, bei der mehrere Körper in einer Reihe stehen
($→$
\href{https://static.rogerebert.com/uploads/blog_post/primary_image/roger-ebert/2001-the-monolith-and-the-message/EB19680421COMMENTARY40312115AR.jpg}{2001:
A Space Odyssey}). Die einfachsten Syzygien sind Sonnen- und
A Space Odyssey}). Die einfachsten Syzygien sind Sonnen- und
Mondfinsternisse; eine genauere Erklärung finden Sie
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Syzygie_(Astronomie)}{hier}. Vielleicht
kommt die Verwendung des Wortes in der Mathematik daher, dass die Terme in
einer Relation, die sich ja gegenseitig wegheben, in irgendeinem Sinne ``in
einer Reihe stehen''.
einer Relation, die sich ja gegenseitig wegheben, in irgendeinem Sinne „in
einer Reihe stehen“.
\end{bemerkung}
\begin{bemerkung}[Syzygien]
Unter allen englischen Worten ist ``syzygy'' das Wort mit dem größten Anteil
von Ypsilonen.
Unter allen englischen Worten ist „\foreignlanguage{english}{syzygy}“ das Wort
mit dem größten Anteil von Ypsilons.
\end{bemerkung}
\begin{defn}[Endlich und endlicher Typ]
@ -129,8 +128,8 @@ dass die Umkehrung nicht unbedingt gilt.
\begin{bsp}[Endlicher Typ, nicht endlich]
Es sei $k$ Körper. Setze $A := k$ und $B := k[x]$. Dann ist als $A$-Algebra
durch das Element $x$ erzeugt. Aber $B$ ist kein endlich erzeugtes $A$-Modul,
denn ein $A$-Modul ist dasselbe wie ein $k$-Vektorraum und es ist aber
$\dim_k B = ∞$.
denn ein $A$-Modul ist dasselbe wie ein $k$-Vektorraum und es ist aber $\dim_k
B = ∞$.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Endlich und vom endlichen Typ]
@ -142,11 +141,11 @@ dass die Umkehrung nicht unbedingt gilt.
\section{Charakterisierung von Ganzheit}
In der Vorlesung ``Algebra'' hatten wir algebraische Elemente von
In der Vorlesung „Algebra“ hatten wir algebraische Elemente von
Körpererweiterungen durch Endlichkeitseigenschaften charakterisiert. Das geht
mit ganzen Elementen in Ringerweiterungen auch.
\begin{satz}[Charakterisierung von Ganzheit]\label{satz:3-2-9}
\begin{satz}[Charakterisierung von Ganzheit]\label{satz:3-2-9}%
Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung. Weiter sei ein Element $b ∈ B$ gegeben.
Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
\begin{enumerate}
@ -155,24 +154,24 @@ mit ganzen Elementen in Ringerweiterungen auch.
\item\label{il:3-2-9-2} Der Ring $A[b]$ ist als $A$-Modul endlich erzeugt.
\item\label{il:3-2-9-3} Es gibt einen Zwischenring $A[b] ⊆ M ⊆ B$, der als
$A$-Modul endlich erzeugt ist und die zusätzliche Eigenschaft hat, dass
$\{ b·m \::\: m ∈ M \} = M$ ist.
$A$-Modul endlich erzeugt ist und die zusätzliche Eigenschaft hat, dass $\{
b·m \::\: m ∈ M \} = M$ ist.
\end{enumerate}
\end{satz}
Der Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9} verwendet die
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Cramersche_Regel}{Cramersche
Regel}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gabriel_Cramer}{Gabriel
Cramer} (* 31. Juli 1704 in Genf; † 4. Januar 1752 in Bagnols-sur-Cèze,
Frankreich) war ein Genfer Mathematiker.}, die sie aus der Vorlesung ``Lineare
Algebra'' kennen (sollten). Dort wurde der folgende Satz vermutlich nur für
Regel}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gabriel_Cramer}{Gabriel
Cramer} (* 31.~Juli 1704 in Genf; † 4.~Januar 1752 in Bagnols-sur-Cèze,
Frankreich) war ein Genfer Mathematiker.}, die sie aus der Vorlesung „Lineare
Algebra“ kennen (sollten). Dort wurde der folgende Satz vermutlich nur für
Matrizen mit Einträgen in einem Körper bewiesen. Man prüfe, dass der Beweis
auch für Matrizen über Ringen gilt.
\begin{satz}[Cramersche Regel]\label{satz:creg}
\begin{satz}[Cramersche Regel]\label{satz:creg}%
Es sei $R$ ein Ring und es sei $Δ ∈ \operatorname{Mat}(n⨯n; R)$ eine
$(n⨯n)$-Matrix mit Einträgen in $R$. Dann gibt es eine Matrix
$Δ^* ∈ \operatorname{Mat}(n⨯n; R)$, sodass die Gleichung
$(n⨯n)$-Matrix mit Einträgen in $R$. Dann gibt es eine Matrix $Δ^* ∈
\operatorname{Mat}(n⨯n; R)$, sodass die Gleichung
\[
Δ^*·Δ = \det(Δ)· E
\]
@ -180,16 +179,16 @@ auch für Matrizen über Ringen gilt.
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9}]
\video{2-1}. Hinweis: im Erklärvideo schreibe ich versehentlich
$\{ b·m \::\: m ∈ M \} ⊆ M$ statt $\{ b·m \::\: m ∈ M \} = M$. Ich
bitte, diese Panne zu entschuldigen.
\video{2-1}. Hinweis: im Erklärvideo schreibe ich versehentlich $\{ b·m \::\:
m ∈ M \} ⊆ M$ statt $\{ b·m \::\: m ∈ M \} = M$. Ich bitte, diese Panne zu
entschuldigen.
\end{proof}
\sideremark{Vorlesung 3}Die Charakterisierung von Ganzheit aus
Satz~\ref{satz:3-2-9} hat einige Korollare, die sie in ähnlicher Form aus der
Vorlesung ``Algebra'' schon kennen (sollten).
Vorlesung „Algebra“ schon kennen (sollten).
\begin{kor}[Ganzheit und Endlichkeit]\label{kor:3-3-3}
\begin{kor}[Ganzheit und Endlichkeit]\label{kor:3-3-3}%
Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung. Wenn $B$ als $A$-Modul endlich erzeugt
ist, dann ist die Erweiterung sie ganz.
\end{kor}
@ -198,7 +197,7 @@ Vorlesung ``Algebra'' schon kennen (sollten).
\ref{il:3-2-9-3} $⇒$ \ref{il:3-2-9-1} aus Satz~\ref{satz:3-2-9} an.
\end{proof}
\begin{kor}[Adjunktion ganzer Elemente]\label{kor:3-3-4}
\begin{kor}[Adjunktion ganzer Elemente]\label{kor:3-3-4}%
Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung und es $b_1, …, b_n$ Elemente von $B$, die
ganz über $A$ sind. Dann ist $A[b_1, …, b_n]$ endlich über $A$, also nach
Korollar~\ref{kor:3-3-3} insbesondere ganz.
@ -215,11 +214,11 @@ Vorlesung ``Algebra'' schon kennen (sollten).
erzeugt.
\end{proof}
Auch das folgende Korollar (sollten) sie schon aus der Vorlesung ``Algebra''
Auch das folgende Korollar (sollten) sie schon aus der Vorlesung „Algebra“
kennen. Der Beweis ist mit dem bekannten Beweis identisch und deshalb hier nur
knapp wiedergegeben.
\begin{kor}[Transitivität der Ganzheit]\label{kor:3-3-5}
\begin{kor}[Transitivität der Ganzheit]\label{kor:3-3-5}%
Es seien $A ⊆ B$ und $B ⊆ C$ ganze Ringerweiterungen. Dann ist auch die
Ringerweiterung $A ⊆ C$ ganz.
\end{kor}
@ -227,7 +226,7 @@ knapp wiedergegeben.
Sei ein Element $c ∈ C$ gegeben. Nach Annahme erfüllt $c$ eine
Ganzheitsgleichung über $B$,
\[
c^n + b_{n-1}·c^{n-1} + ⋯ + b_1c + b_0 = 0
c^n + b_{n-1}·c^{n-1} + ⋯ + b_1c + b_0 = 0.
\]
Die Koeffizienten $b_1, …, b_n ∈ B$ sind nach Annahme ganz über $A$. Also ist
$A[b_1, …, b_n]$ nach Korollar~\ref{kor:3-3-4} ein endlich erzeugter
@ -252,21 +251,21 @@ knapp wiedergegeben.
\section{Der ganze Abschluss}
Ganz analog zum ``algebraischen Abschluss eines Unterkörpers'', den Sie aus der
Vorlesung ``Algebra'' kennen (sollten), definieren wir den ``ganzen Abschluss
eines Unterringes''.
Ganz analog zum „algebraischen Abschluss eines Unterkörpers“, den Sie aus der
Vorlesung „Algebra“ kennen (sollten), definieren wir den „ganzen Abschluss eines
Unterringes“.
\begin{defn}[Ganzer Abschluss]\label{def:3-4-1}
\begin{defn}[Ganzer Abschluss]\label{def:3-4-1}%
Es sei $A ⊆ B$. Die Menge
\[
\overline{A}= \bigl\{ b ∈ B \::\: b \text{ ganz über } A \bigr\} ⊆ B
\]
wird der \emph{ganze Abschluss von $A$ in $B$}\index{ganz!Abschluss}
genannt. Falls $\overline{A} = A$ ist, so nennen wir die Ringerweiterung
$A ⊆ B$ \emph{ganz abgeschlossen}\index{ganz!abgeschlossene Ringerweiterung}.
wird der \emph{ganze Abschluss von $A$ in $B$}\index{ganz!Abschluss} genannt.
Falls $\overline{A} = A$ ist, so nennen wir die Ringerweiterung $A ⊆ B$
\emph{ganz abgeschlossen}\index{ganz!abgeschlossene Ringerweiterung}.
\end{defn}
\begin{prop}[Ganzer Abschluss]\label{kor:3-4-2}
\begin{prop}[Ganzer Abschluss]\label{kor:3-4-2}%
In der Situation von Definition~\ref{def:3-4-1} ist $\overline{A}$ ein
Unterring von $B$.
\end{prop}
@ -282,17 +281,17 @@ eines Unterringes''.
Unterring von $B$. Also können wir den ganzen Abschluss
$\overline{\overline{A}}$ von $\overline{A}$ in $B$ betrachten.
Glücklicherweise müssen wir das nicht, denn Korollar~\ref{kor:3-3-5} über die
Transitivität der Ganzheit garantiert, dass
$\overline{A} = \overline{\overline{A}}$ ist. Merke: ``Der ganze Abschluss
von $A$ in $B$ ist ganz abgeschlossen in $B$.''
Transitivität der Ganzheit garantiert, dass $\overline{A} =
\overline{\overline{A}}$ ist. Merke: „Der ganze Abschluss von $A$ in $B$ ist
ganz abgeschlossen in $B$.“
\end{bemerkung}
\begin{bsp}
Wir erinnern uns: ein Zahlkörper\index{Zahlkörper} ist eine algebraische
Körpererweiterung $K/ℚ$. Den ganzen Abschluss von $ℤ$ in $K$ nennt man den
\emph{Ring der ganzen Zahlen des Zahlkörpers $K$}\index{ganz!Zahlen eines
Zahlkörpers}. Dieser Ring wird meist mit $𝒪_K$ bezeichnet. Das Studium des
Ringes $𝒪_K$ ist Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie
Zahlkörpers}. Dieser Ring wird meist mit $𝒪_K$ bezeichnet. Das Studium des
Ringes $𝒪_K$ ist Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie.
\begin{itemize}
\item Für $K = ℚ[i]$ ist $𝒪_K = ℤ[i]$.
@ -308,9 +307,3 @@ eines Unterringes''.
algebraischen Zahlen}.
\end{itemize}
\end{bsp}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "21-KA"
%%% End:

2
KommutativeAlgebra.tex
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