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% spell checker language
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\selectlanguage{german}
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\section*{Vorbemerkung}
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Dieses Skript zur Vorlesung ``Kommutative Algebra und Einführung in die
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Algebraische Geometrie'' baut auf einer sehr ausführlichen Vorlesungsmitschrift
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auf, die Christoph Stappen vor einigen Jahren in meiner Vorlesung angefertigt
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hat. Das Skript wird im Laufe des Sommersemesters 2021 ständig weiter
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geschrieben; sie finden die neueste Version stets auf der
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\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/HgKt6MctE3Hfmix}{Nextcloud}.
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Um schnell zu erkennen, ob der Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde
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finden Sie am Anfang eines jeden Kapitels die aktuelle Revisionsnummer und das
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Datum der letzten Änderung. Vermutlich lohnt es sich gar nicht, diese PDF-Datei
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auf Ihrem Computer zu speichern: holen Sie sich einfach immer die neueste
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Version aus der Cloud, dann sind sie stets auf dem aktuellen Stand.
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Der Stoff ist in 24 Vorlesungen eingeteilt; sie finden das Datum für jede
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Vorlesung auf unserem
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\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/apps/calendar/p/jB4GC5kJ5SYfNKcX}{Kalender}.
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Die Übungsaufgaben werden sich an diesen Daten orientieren; sie selbst können
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aber gern vorarbeiten, wenn Sie das möchten.
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Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen. Falls Sie
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ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen
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Mitarbeiter an oder melden Sie sich bitte direkt per E-Mail bei
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\href{mailto:stefan.kebekus@math.uni-freiburg.de}{Stefan Kebekus} oder
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\href{mailto:andreas.demleitner@math.uni-freiburg.de}{Andreas Demleitner}. Wir
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korrigieren schnellstmöglich! Wir bedanken uns besonders bei Paul Meffle und
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Julian Wiedermann, die mit ihren Fehlermeldungen zur Qualität des Skripts
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beigetragen haben.
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Schließlich: es gibt im Internet eine große Zahl von guten Quellen, Erklärvideos
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und anderem. Wenn Sie eine gute Quelle finden, melden Sie sich bitte. Wir
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fügen gern einen Link in den Text ein!
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\textbf{Wir wünschen Ihnen viel Erfolg -- und auch ein wenig Spaß}
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\subsection*{Literatur}
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Algebraische Geometrie ist ein sehr großes sehr altes Teilgebiet der reinen
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Mathematik. Entsprechend gibt es eine \emph{riesige} Sammlung an guten
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Einführungsbüchern, Skripten und Web-Seiten, die jeweils unterschiedliche
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Schwerpunkte setzen. Ich nenne hier nur einige derjenigen Skripte, die dem
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Aufbau dieser Vorlesung inhaltlich nahestehen. Das Internet ist voll von
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weiteren Materialien!
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Wie immer rate ich Ihnen, möglichst viele Quellen gleichzeitig zu
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verwenden. Wikipedia ist auch noch da.
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\begin{itemize}
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\item Der Kollege Andreas Gathmann aus Kaiserslautern hat eine Reihe von
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hervorragenden
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\href{https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/de/alggeom.php}{Skripten zur
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Algebraischen Geometrie}, die diese Vorlesung perfekt ergänzen.
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\item Der Kollege \href{http://math.stanford.edu/~vakil/}{Ravi Vakil} aus
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Stanford gibt regelmäßig Kurse zu
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\href{https://math216.wordpress.com/}{Foundations of Algebraic Geometry}.
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Sein Skript \href{http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/}{The Rising Sea:
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Foundations Of Algebraic Geometry Notes} ist ein bischen lang, aber ein
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absolutes Muss. Es gibt auch jede Menge anderes Material, wie einen
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Youtube-Kanal
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\href{https://www.youtube.com/channel/UCy3u23mZE4TyW88yr6JLx9A}{Algebraic
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Geometry In The Time Of COVID} mit sehr hörenswerten ``Pseudo-Vorlesungen''.
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\item Teile dieser Vorlesung orientieren sich an dem Einführungstext
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\cite{MR1042981} von William Fulton, das kostenlos auf
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\href{http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/}{Fulton's Homepage}
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heruntergeladen werden kann.
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\item Das Buch \cite{MR0242802} ist ein Klassiker, der das wichtigste zur
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kommutativen Algebra knapp, aber sehr klar darstellt. Das Gegenteil ist
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Eisenbud's massives Werk \cite{E95}, mit dem man einen LKW vor dem Wegrollen
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sichern kann. Eisenbud's Buch ist ebenfalls
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\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5350-1}{im Uni-Netz verfügbar}. Es
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ist umfassend und gut lesbar, variiert aber stark im Schwierigkeitsgrad.
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\item Das Buch \cite{Ha77}, das Sie sich
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\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3849-0}{aus dem Universitätsnetz
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kostenlos herunterladen} können, ist der Klassiker unter den
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Einführungstexten in die Algebraische Geometrie. Das Buch behandelt viel, viel
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mehr Material als wir in diesem Kurs diskutieren werden. Aber schon allein
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das erste Kapitel lohnt sich…
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\item Das Buch \cite{Harris95}, das Sie sich ebenfalls
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\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2189-8}{kostenlos aus dem
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Universitätsnetz} herunterladen können, ist eher eine sehr durchdachte
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Beispielsammlung zur Algebraischen Geometrie als ein Lehrbuch. Hier finden
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Sie Beispiele für ALLES, was in dieser Vorlesung passiert.
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\item Das elementare Einführungsbuch \cite{MR982494} von Miles Reid enthält
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ebenfalls jede Menge sorgfältig ausgewählte Beispiele, aber relativ wenig
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Theorie.
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\item Im Gegensatz zu den anderen Büchern legt das Buch \cite{MR3330490}, das
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Sie sich \href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-16721-3}{aus dem
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Universitätsnetz kostenlos herunterladen können}, den Schwerpunkt auf den
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algorithmischen Aspekten der Algebraischen Geometrie. Hier wird mit Computern
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gerechnet!
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\item Der Kollege \href{http://www.math.columbia.edu/~dejong/}{Aise Johan de
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Jong} betreibt das \href{https://stacks.math.columbia.edu/}{Stacks project}
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--- eine enzyklopädische Open-Source Sammlung aller technischen Grundlagen der
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Algebraischen Geometrie. Die Seite ist zwar ziemlich technisch, ist aber in
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den letzten Jahren zu \emph{der} Referenz des Fachgebietes geworden. Hier
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findet sich ALLES, was man jemals braucht.
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\end{itemize}
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\subsection*{Computer-Programme}
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Sie müssen nicht programmieren können, um an dieser Vorlesung teilzunehmen.
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Computer können Ihnen aber oft helfen, komplizierte Rechnungen zu überprüfen,
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ausserdem kann man schöne Bilder malen. Wir akzeptieren für Hausaufgaben
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Rechnungen mit Computer-Algebra-Systemen, wenn diese nachvollziehbar und gut
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dokumentiert sind. Das kann zum Beispiel beim Ausmultiplizieren und
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vereinfachen von Polynomen hilfreich sein. Wenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen
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sollen, dass ein gegebenes Polynom $f$ irreduzibel ist, dann werden wir den
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Output von ``\texttt{isIrreducible($f$)}'' aber nicht akzeptieren.
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\subsubsection*{Sage}
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Sage ist ein Computer-Algebra-System, mit dem man jede Art von Rechnungen
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durchführen kann; auf \url{http://www.sagemath.org} können Sie das Programm
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herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc
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etc. Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren,
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oder den Service CoCals verwenden.
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\subsubsection*{CoCalc}
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CoCalc, im Internet unter \url{https://cocalc.com} zu finden, ist eine
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Web-Seite, auf der Sie Rechnungen mit Sage durchführen können. Leider ist der
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kostenlose Dienst manchmal etwas langsam.
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Wir stellen Ihnen Beispielrechnung auf unserem
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\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} vor. Sie
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können sich die Beispiele auf unserem Server ansehen, aber nicht selbst auf dem
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Server rechnen.
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\subsubsection*{Macaulay2}
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Das Standard-Computer-Algebra-System der Algebraischen Geometrie ist
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\href{http://www2.macaulay2.com/Macaulay2/}{Macaulay2}, das Sie sich kostenlos
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herunterladen können. Macaulay2 kann alles, was wir hier machen, ist aber nicht
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leicht zu benutzen. Ich werde vielleicht hin und wieder ein Beispiel bringen.
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\selectlanguage{german}
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\chapter{Worum geht es in dieser Vorlesung?}
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\subversionInfo
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\sideremark{Vorlesung 1}In der Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' haben wir
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im Wesentlichen einen Körper $k$ und ein Polynom in einer Variable mit
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\usepackage{libertine}
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%\usepackage[libertine]{newtxmath}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[mark]{gitinfo2}
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\usepackage{amsfonts, amsthm, amssymb}
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\usepackage{graphicx}
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\input{gfx/stdPreamble}
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\title{Kommutative Algebra und Einführung in die Algebraische Geometrie}
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\date{\today}
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%\date{Version \gitAbbrevHash, \gitAuthorDate}
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\makeatletter
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\hypersetup{
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@ -121,158 +122,7 @@
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\section*{Vorbemerkung}
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Dieses Skript zur Vorlesung ``Kommutative Algebra und Einführung in die
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Algebraische Geometrie'' baut auf einer sehr ausführlichen Vorlesungsmitschrift
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auf, die Christoph Stappen vor einigen Jahren in meiner Vorlesung angefertigt
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hat. Das Skript wird im Laufe des Sommersemesters 2021 ständig weiter
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geschrieben; sie finden die neueste Version stets auf der
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\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/HgKt6MctE3Hfmix}{Nextcloud}.
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Um schnell zu erkennen, ob der Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde
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finden Sie am Anfang eines jeden Kapitels die aktuelle Revisionsnummer und das
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Datum der letzten Änderung. Vermutlich lohnt es sich gar nicht, diese PDF-Datei
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auf Ihrem Computer zu speichern: holen Sie sich einfach immer die neueste
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Version aus der Cloud, dann sind sie stets auf dem aktuellen Stand.
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Der Stoff ist in 24 Vorlesungen eingeteilt; sie finden das Datum für jede
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Vorlesung auf unserem
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\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/apps/calendar/p/jB4GC5kJ5SYfNKcX}{Kalender}.
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Die Übungsaufgaben werden sich an diesen Daten orientieren; sie selbst können
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aber gern vorarbeiten, wenn Sie das möchten.
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Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen. Falls Sie
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ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen
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Mitarbeiter an oder melden Sie sich bitte direkt per E-Mail bei
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\href{mailto:stefan.kebekus@math.uni-freiburg.de}{Stefan Kebekus} oder
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\href{mailto:andreas.demleitner@math.uni-freiburg.de}{Andreas Demleitner}. Wir
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korrigieren schnellstmöglich! Wir bedanken uns besonders bei Paul Meffle und
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Julian Wiedermann, die mit ihren Fehlermeldungen zur Qualität des Skripts
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beigetragen haben.
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Schließlich: es gibt im Internet eine große Zahl von guten Quellen, Erklärvideos
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und anderem. Wenn Sie eine gute Quelle finden, melden Sie sich bitte. Wir
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fügen gern einen Link in den Text ein!
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\textbf{Wir wünschen Ihnen viel Erfolg -- und auch ein wenig Spaß}
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\subsection*{Literatur}
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Algebraische Geometrie ist ein sehr großes sehr altes Teilgebiet der reinen
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Mathematik. Entsprechend gibt es eine \emph{riesige} Sammlung an guten
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Einführungsbüchern, Skripten und Web-Seiten, die jeweils unterschiedliche
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Schwerpunkte setzen. Ich nenne hier nur einige derjenigen Skripte, die dem
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Aufbau dieser Vorlesung inhaltlich nahestehen. Das Internet ist voll von
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weiteren Materialien!
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Wie immer rate ich Ihnen, möglichst viele Quellen gleichzeitig zu
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verwenden. Wikipedia ist auch noch da.
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\begin{itemize}
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\item Der Kollege Andreas Gathmann aus Kaiserslautern hat eine Reihe von
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hervorragenden
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\href{https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/de/alggeom.php}{Skripten zur
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Algebraischen Geometrie}, die diese Vorlesung perfekt ergänzen.
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\item Der Kollege \href{http://math.stanford.edu/~vakil/}{Ravi Vakil} aus
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Stanford gibt regelmäßig Kurse zu
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\href{https://math216.wordpress.com/}{Foundations of Algebraic Geometry}.
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Sein Skript \href{http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/}{The Rising Sea:
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Foundations Of Algebraic Geometry Notes} ist ein bischen lang, aber ein
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absolutes Muss. Es gibt auch jede Menge anderes Material, wie einen
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Youtube-Kanal
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\href{https://www.youtube.com/channel/UCy3u23mZE4TyW88yr6JLx9A}{Algebraic
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Geometry In The Time Of COVID} mit sehr hörenswerten ``Pseudo-Vorlesungen''.
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\item Teile dieser Vorlesung orientieren sich an dem Einführungstext
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\cite{MR1042981} von William Fulton, das kostenlos auf
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\href{http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/}{Fulton's Homepage}
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heruntergeladen werden kann.
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\item Das Buch \cite{MR0242802} ist ein Klassiker, der das wichtigste zur
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kommutativen Algebra knapp, aber sehr klar darstellt. Das Gegenteil ist
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Eisenbud's massives Werk \cite{E95}, mit dem man einen LKW vor dem Wegrollen
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sichern kann. Eisenbud's Buch ist ebenfalls
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\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5350-1}{im Uni-Netz verfügbar}. Es
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ist umfassend und gut lesbar, variiert aber stark im Schwierigkeitsgrad.
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\item Das Buch \cite{Ha77}, das Sie sich
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\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3849-0}{aus dem Universitätsnetz
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kostenlos herunterladen} können, ist der Klassiker unter den
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Einführungstexten in die Algebraische Geometrie. Das Buch behandelt viel, viel
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mehr Material als wir in diesem Kurs diskutieren werden. Aber schon allein
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das erste Kapitel lohnt sich…
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\item Das Buch \cite{Harris95}, das Sie sich ebenfalls
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\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2189-8}{kostenlos aus dem
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Universitätsnetz} herunterladen können, ist eher eine sehr durchdachte
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Beispielsammlung zur Algebraischen Geometrie als ein Lehrbuch. Hier finden
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Sie Beispiele für ALLES, was in dieser Vorlesung passiert.
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\item Das elementare Einführungsbuch \cite{MR982494} von Miles Reid enthält
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ebenfalls jede Menge sorgfältig ausgewählte Beispiele, aber relativ wenig
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Theorie.
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\item Im Gegensatz zu den anderen Büchern legt das Buch \cite{MR3330490}, das
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Sie sich \href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-16721-3}{aus dem
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Universitätsnetz kostenlos herunterladen können}, den Schwerpunkt auf den
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algorithmischen Aspekten der Algebraischen Geometrie. Hier wird mit Computern
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gerechnet!
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\item Der Kollege \href{http://www.math.columbia.edu/~dejong/}{Aise Johan de
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Jong} betreibt das \href{https://stacks.math.columbia.edu/}{Stacks project}
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--- eine enzyklopädische Open-Source Sammlung aller technischen Grundlagen der
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Algebraischen Geometrie. Die Seite ist zwar ziemlich technisch, ist aber in
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den letzten Jahren zu \emph{der} Referenz des Fachgebietes geworden. Hier
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findet sich ALLES, was man jemals braucht.
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\subsection*{Computer-Programme}
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Sie müssen nicht programmieren können, um an dieser Vorlesung teilzunehmen.
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Computer können Ihnen aber oft helfen, komplizierte Rechnungen zu überprüfen,
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ausserdem kann man schöne Bilder malen. Wir akzeptieren für Hausaufgaben
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Rechnungen mit Computer-Algebra-Systemen, wenn diese nachvollziehbar und gut
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dokumentiert sind. Das kann zum Beispiel beim Ausmultiplizieren und
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vereinfachen von Polynomen hilfreich sein. Wenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen
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sollen, dass ein gegebenes Polynom $f$ irreduzibel ist, dann werden wir den
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Output von ``\texttt{isIrreducible($f$)}'' aber nicht akzeptieren.
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\subsubsection*{Sage}
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Sage ist ein Computer-Algebra-System, mit dem man jede Art von Rechnungen
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durchführen kann; auf \url{http://www.sagemath.org} können Sie das Programm
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herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc
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etc. Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren,
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oder den Service CoCals verwenden.
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\subsubsection*{CoCalc}
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CoCalc, im Internet unter \url{https://cocalc.com} zu finden, ist eine
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Web-Seite, auf der Sie Rechnungen mit Sage durchführen können. Leider ist der
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kostenlose Dienst manchmal etwas langsam.
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Wir stellen Ihnen Beispielrechnung auf unserem
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\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} vor. Sie
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können sich die Beispiele auf unserem Server ansehen, aber nicht selbst auf dem
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Server rechnen.
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\subsubsection*{Macaulay2}
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Das Standard-Computer-Algebra-System der Algebraischen Geometrie ist
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\href{http://www2.macaulay2.com/Macaulay2/}{Macaulay2}, das Sie sich kostenlos
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herunterladen können. Macaulay2 kann alles, was wir hier machen, ist aber nicht
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leicht zu benutzen. Ich werde vielleicht hin und wieder ein Beispiel bringen.
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\input{00}
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\input{01}
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\input{02}
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% DEBUGGING MACROS
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%
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\usepackage{svn-multi}
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\newcommand\sideremark[1]{\marginpar
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[
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@ -107,19 +104,3 @@
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%
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\newcommand{\Preprint}[1]{\marginpar{\color{blue}\tiny\sf Preprint only}\begin{color}{blue}#1\end{color}}
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\newcommand{\Publication}[1]{\marginpar{\color{teal}\tiny\sf Publication only}\begin{color}{teal}#1\end{color}}
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%
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% Subversion Support
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%
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\newcommand{\subversionInfo}{%
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\marginpar{\scriptsize \sf
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\begin{tabular}{ll}
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\rowcolor{gray} \multicolumn{2}{l}{\color{white}\bf \vphantom{\large S}Chapter Info}\\
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\rowcolor{lightgray} \vphantom{\large S}Rev.: & \# \svnfilerev\\
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\rowcolor{lightgray} \vphantom{\large S}Date: & \svnfileday.\svnfilemonth.\svnfileyear\\
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||||
\rowcolor{lightgray} \vphantom{\large S}Time: & \svnfilehour:\svnfileminute\\
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||||
\rowcolor{lightgray} By: & \svnfileauthor
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\end{tabular}
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}
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}
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