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\chapter{Lokale Struktur holomorpher Funktionen}
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Ich beginne mit einer Erinnerung.
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\begin{lem}
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ \sO(U)$. Weiter sei ein Punkt $ρ ∈ U$ gegeben,
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sodass $f'(ρ) ≠ 0$ ist. Dann gibt es eine offene Umgebung $V = V(ρ) ⊂ U$,
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sodass Folgendes gilt.
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\begin{enumerate}
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\item Das Bild $W := f(V) ⊂ ℂ$ ist offen.
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\item Die eingeschränkte Abbildung $f|_V: V → W$ ist bijektiv und die
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Umkehrfunktion ist holomorph.
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\end{enumerate}
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\end{lem}
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\begin{proof}
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Das haben wir schon oft gemacht. Wir wissen, dass $f$ unendlich oft komplex
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differenzierbar ist. Insbesondere ist $f'$ stetig und es gibt Umgebung von $ρ$
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wo $f' ≠ 0$ ist. Aus der Vorlesung „Analysis II“ kennen wir den Satz über die
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lokale Umkehrbarkeit: es gibt eine offene Umgebung $V = V(ρ) \subseteq U$,
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sodass $W := f(V)$ offen und $f|_V: V → W$ bijektiv ist. Außerdem gilt: für
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jedes $z ∈ V$ ist $f'(z) ≠ 0$. Nach Proposition~\vref{prop:2-4-4} ist die
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Umkehrfunktion $(f|_V)^{-1}$ wieder holomorph.
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\end{proof}
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Wir haben diese Argumente schon benutzt, um zu zeigen, dass jeder Punkt aus
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$ℂ^*$ eine Umgebung hat, auf der eine Wurzelfunktion existiert.
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