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\chapter{Lokale Struktur holomorpher Funktionen}

Ich beginne mit einer Erinnerung.

\begin{lem}
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ \sO(U)$.  Weiter sei ein Punkt $ρ ∈ U$ gegeben,
  sodass $f'(ρ) ≠ 0$ ist. Dann gibt es eine offene Umgebung $V = V(ρ) ⊂ U$,
  sodass Folgendes gilt.
  \begin{enumerate}
  \item Das Bild $W := f(V) ⊂ ℂ$ ist offen.
  \item Die eingeschränkte Abbildung $f|_V: V → W$ ist bijektiv und die
    Umkehrfunktion ist holomorph.
  \end{enumerate}
\end{lem}
\begin{proof}
  Das haben wir schon oft gemacht. Wir wissen, dass $f$ unendlich oft  komplex
  differenzierbar ist. Insbesondere ist $f'$ stetig und es gibt Umgebung von $ρ$
  wo $f' ≠ 0$ ist. Aus der Vorlesung „Analysis II“ kennen wir den Satz über die
  lokale Umkehrbarkeit: es gibt eine offene Umgebung $V = V(ρ) \subseteq U$,
  sodass $W := f(V)$ offen und $f|_V: V → W$ bijektiv ist. Außerdem gilt: für
  jedes $z ∈ V$ ist $f'(z) ≠ 0$.  Nach Proposition~\vref{prop:2-4-4} ist  die
  Umkehrfunktion $(f|_V)^{-1}$ wieder holomorph.
\end{proof}

Wir haben diese Argumente schon benutzt, um zu zeigen, dass jeder Punkt aus
$ℂ^*$ eine Umgebung hat, auf der eine Wurzelfunktion existiert.

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