Working…

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@@ -55,3 +55,7 @@ Casteggio
 Hebbarkeitsatz
 Laurentreihe
 .te
+Laurentreihen
+Laurentreihenentwicklung
+Alphonse
+funktionentheoretischen

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -27,3 +27,7 @@
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QInsbesondere gibt es offene Umgebung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass auf \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzelfunktion existiert, also eine Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sodass für jedes \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWegen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gibt es eine offene Umgebung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q auf der eine \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzelfunktion existiert, also eine Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sodass für jedes \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"}
 {"rule":"UNPAIRED_BRACKETS","sentence":"^\\QDie Funktionen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q stimmen demnach auf \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q überein, sind nach Korollar\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (“Identitätssatz für holomorphe Funktionen”) also gleich!\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDer Punkt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist genau dann eine wesentliche Singularität von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, wenn der Hauptteil unendlich viele viele Summanden hat.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWege im Kreisring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Als erstes werde ich kann den Funktionswert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q als Integral über den Weg \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ausdrücken.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWege im Kreisring \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Als Erstes werde ich kann den Funktionswert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q als Integral über den Weg \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ausdrücken.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDer Punkt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist genau dann eine wesentliche Singularität von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, wenn der Hauptteil unendlich viele Summanden hat.\\E$"}

07-nullstelle.tex

@@ -139,7 +139,8 @@ abgeschlossen, also eine ganze Zusammenhangskomponente von $U$!
 \end{proof}
 
 
-\section*{Beispielanwendung: Selbstabbildungen der Kreisscheibe}
+\section{Beispielanwendung: Automorphismen der Kreisscheibe}
+\label{sec:7-3}%
 \sideremark{Vorlesung: 11}
 
 Im Folgenden bezeichnen wir mit $Δ := B_1(0)$ die offene Einheitskreisscheibe in

09-singularities.tex

@@ -4,6 +4,7 @@
 \chapter{Singuläre Stellen holomorpher Funktionen}
 
 \section{Isolierte Singularitäten}
+\label{sec:9-1}%
 
 Wir interessieren uns für die folgende Situation: Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet, sei $ρ
 ∈ U$ ein Punkt.  Gegeben eine holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(U ∖ ρ)$.  Was kann ich
@@ -214,90 +215,22 @@ Kreisringen.
   Kreisring $K_{r,R}(0)$ gegeben, $f ∈ 𝒪(K_{r,R}(0))$.
 \end{situation}
 
-\begin{konstruktion}[Potenzreihenentwicklung auf Kreisring]
+\begin{konstruktion}[Potenzreihenentwicklung auf Kreisring]\label{kons:9-2-4}%
   In Situation~\ref{situation:9-2-2} sei ein Punkt $w ∈ K_{r,R}(0)$ gegeben.
   Dann wähle reelle Zahlen $a$ und $A$ mit
   \[
     r < a < |w| < A < R.
   \]
-  und betrachte den folgenden Weg $γ$ in $K_{r,R}(0)$:
+  und betrachte den in Abbildung~\ref{fig:9-2-1} gezeigten Weg $γ$ in $K_{r,R}(0)$.
+  \begin{figure}
     \begin{center}
-    \begin{tikzpicture}[scale=2]
-
-% Radii
-\def\r{0.6}
-\def\a{1.0}
-\def\R{1.8}
-
-% Outer and inner circles of the annulus
-\draw[thick] (0,0) circle (\R);
-\draw[thick] (0,0) circle (\a);
-
-% Coordinate axes (optional, remove if not needed)
-\draw[->] (-2,0)--(2,0);
-\draw[->] (0,-2)--(0,2);
-
-% Labels for radii on x-axis
-\draw (\a,0) node[below] {$a$};
-\draw (\R,0) node[below] {$R$};
-
-% Point w
-\coordinate (w) at (0.65,0.55);
-\fill (w) circle (0.03) node[above right] {$w$};
-
-% small epsilon circle around w
-\draw[dashed] (w) circle (0.25) node[right] {$B_\varepsilon(w)$};
-
-% Path γ (stylized as a wiggly circle between a and R)
-\begin{scope}
-  \draw[thick,->,domain=0:360,smooth,variable=\t]
-    plot ({1.45*cos(\t) +0.12*cos(5*\t)},
-          {1.45*sin(\t) +0.12*sin(5*\t)});
-\end{scope}
-
-% Label γ
-\node at (1.2,-0.2) {$\gamma$};
-
-\end{tikzpicture}
-
-    \begin{tikzpicture}[scale=1.2]
-      % Koordinatenachsen
-      \draw[->] (-2.5,0) -- (2.5,0);
-      \draw[->] (0,-2.5) -- (0,2.5);
-      
-      % Äußerer Kreis (Radius A)
-      \draw[thick, ->] (1.8,0) arc (0:45:1.8);
-      \draw[thick] (1.8,0) arc (0:360:1.8);
-      \draw[thick, ->] (1.8,0) arc (360:315:1.8);
-      \draw[thick, ->] (-1.8,0) arc (180:225:1.8);
-      \draw[thick, ->] (0,-1.8) arc (270:315:1.8);
-      
-      % Innerer Kreis (Radius a)
-      \draw[thick, <-] (1.0,0) arc (0:45:1.0);
-      \draw[thick] (1.0,0) arc (0:360:1.0);
-      \draw[thick, <-] (1.0,0) arc (360:315:1.0);
-      \draw[thick, <-] (-1.0,0) arc (180:225:1.0);
-      \draw[thick, <-] (0,-1.0) arc (270:315:1.0);
-      
-      % Kleiner Kreis um w (mit gestrichelter Linie)
-      \draw[dashed] (0.5,0.8) circle (0.3);
-      \draw[thick, ->] (0.5,0.8) + (135:0.3) arc (135:225:0.3);
-      
-      % Verbindungslinien (gestrichelt)
-      \draw[dashed] (0.5,0.5) -- (1.0,0);
-      \draw[dashed] (0.5,1.1) -- (0,1.8);
-      
-      % Beschriftungen
-      \node at (2.0,0) [below right] {$R$};
-      \node at (1.1,0) [below right] {$a$};
-      \node at (1.8,0) [below left] {$A$};
-      \node at (0.5,0.8) [above right] {$\gamma$};
-    \end{tikzpicture}
+      \includegraphics[width=10cm]{09-annulus.png}
     \end{center}
-  \begin{center}
-    \textit{[Hier würde Ihre Skizze mit den Kreisen und Wegen eingefügt.]}
-  \end{center}
-  Als erstes werde ich kann den Funktionswert $f(w)$ als Integral über den Weg
+
+    \caption{Wege im Kreisring $K_{r,R}(0)$}
+    \label{fig:9-2-1}
+  \end{figure}
+  Als Erstes werde ich kann den Funktionswert $f(w)$ als Integral über den Weg
   $γ$ ausdrücken.  Dazu wähle eine Zahl $ε > 0$, sodass die abgeschlossene
   Kreisscheibe $\overline{B_ε(w)}$ ganz in $K_{a,A}(0)$ liegt.  Dann gilt nach
   der Cauchy Integralformel die Gleichung
@@ -350,18 +283,22 @@ Kreisringen.
 
 Die Darstellung von $f$ als „Potenzreihe mit negativen Exponenten“ ist natürlich
 schrecklich wichtig.  Sie wird als
-\emph{Laurentreihenentwicklung}\footnote{Pierre Alphonse Laurent (* 18.~Juli 1813
-in Paris; † 2.~September 1854 ebenda) war ein französischer Mathematiker.}
+\emph{Laurentreihenentwicklung}\footnote{Pierre Alphonse Laurent (* 18.~Juli
+1813 in Paris; † 2.~September 1854 ebenda) war ein französischer Mathematiker.}
 bezeichnet.
 
-\begin{definition}[Laurentreihen]
+\begin{definition}[Laurentreihen]\label{def:9-2-5}%
   Eine \emph{Laurentreihe}\index{Laurentreihe} mit Entwicklungspunkt $ρ$ ist ein
   Ausdruck der Form
   \[
     \sum_{i ∈ ℤ} c_i \, (z - ρ)ⁱ.
   \]
-  Dabei sind die $c_i$ und $ρ$ komplexe Zahlen.  Gegeben eine natürliche Zahl
-  $n$, so bezeichnet man den Ausdruck
+  Dabei sind die $c_i$ und $ρ$ komplexe Zahlen.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Konvergenz von Laurentreihen]
+  Gegeben eine Laurentreihe wie in Definition~\ref{def:9-2-5} und eine
+  natürliche Zahl $n$, so bezeichnet man den Ausdruck
   \[
     \sum_{i=-n}^n c_i \, (z - ρ)ⁱ
   \]
@@ -373,4 +310,191 @@ bezeichnet.
   konvergiert.
 \end{definition}
 
+\begin{definition}[Haupt- und Nebenteil von Laurentreihen]
+  Gegeben eine Laurentreihe wie in Definition~\ref{def:9-2-5}, so nennt man die
+  Teilreihen
+  \[
+    \sum_{i=1}^{∞} c_i (z - p)^{-i}
+    \quad\text{und}\quad
+    \sum_{i=0}^{∞} c_i (z - p)ⁱ
+  \]
+  den \emph{Hauptteil}\index{Hauptteil einer Laurentreihe} und den
+  \emph{Nebenteil}\index{Nebenteil einer Laurentreihe} der Laurentreihe.
+\end{definition}
+
+Konstruktion~\ref{kons:9-2-4} arbeitet mit Kreisringen um den Nullpunkt.  Wie
+immer gelten dieselben Aussagen für Kreisringe mit beliebigem Mittelpunkt.  Am
+Ende des Tages haben wir Folgendes bewiesen.
+
+\begin{satz}[Laurentreihenentwicklung]\label{satz:9-2-8}%
+  Es sei $ρ ∈ ℂ$ ein Punkt und es seien reelle Zahlen $0 < r < R$
+  gegeben.  Weiter sei $f ∈ 𝒪(K_{r,R}(p))$ eine auf dem Kreisring
+  $K_{r,R}(p)$ holomorphe Funktion.  Dann existiert eine auf ganz $K_{r,R}(p)$
+  lokal gleichmäßig konvergierende Laurentreihe deren Grenzfunktion mit $f$
+  übereinstimmt.  Zusätzlich gilt: Haupt- und Nebenteil Laurentreihe konvergieren
+  auf $K_{r,R}(p)$ ebenfalls jeweils lokal gleichmäßig.  \qed
+\end{satz}
+
+\begin{kor}[Eindeutigkeit der Laurentreihenentwicklung]
+  In der Situation von Satz~\ref{satz:9-2-8} ist die Darstellung von $f$ als
+  Laurentreihe eindeutig.
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Nach Satz~\ref{satz:9-2-8} gibt es eine Laurentreihe
+  \[
+    f(z) = \sum_{i ∈ ℤ} c_i (z - ρ)ⁱ
+  \]
+  die auf $K_{r,R}(ρ)$ lokal gleichmäßig gegen $f$ konvergiert.  Wir wollen
+  zeigen, dass die Koeffizienten $c_i$ eindeutig bestimmt sind.  Sei dazu eine
+  Zahl $n ∈ ℤ$ gegeben.  Wir wollen $c_n$ bestimmen.  Dazu wähle eine Zahl $r <
+  a < R$ und betrachte die folgenden Integrale,
+  \begin{multline*}
+    \int_{∂ B_a(ρ)} f(z) · (z - ρ)^n \, dz \\
+    \begin{aligned}
+       & = \int_{∂ B_a(ρ)} \left(\lim_{k → ∞} \sum_{i=-k}^k c_i (z - ρ)ⁱ \right) (z - ρ)^n \, dz && \text{Laurentreihe von } f \\
+      & = \lim_{k → ∞} \sum_{i=-k}^k \int_{∂ B_a(ρ)} c_i (z - ρ)^{i+n} \, dz && \text{lokal gleichmäßige Konvergenz} \\
+      & = 2π i · c_{-1-n} && \text{Beispiel~\vref{bsp:3-2-2}.}
+    \end{aligned}
+  \end{multline*}
+  Also sind die Koeffizienten der Laurentreihe durch eine Formel gegeben, in der
+  nur die Funktion $f$ vorkommt.  Also sind die Koeffizienten der Laurentreihe
+  eindeutig bestimmt.
+\end{proof}
+
+Wir haben im Abschnitt~\ref{sec:9-1} drei Typen von isolierten Singularitäten
+definiert.  Mithilfe der Laurentreihenentwicklung können wir diese Typen jetzt
+charakterisieren.
+
+\begin{beobachtung}[Holomorphe Funktionen mit Singularitäten]\label{beo:9-2-10}%
+  Es sei $U ⊆ ℂ$ offen und es sei $f$ eine holomorphe Funktion mit isolierten
+  Singularitäten auf $U$.  Es sei $T ⊂ U$ die Menge der Singularitäten und sei
+  $ρ ∈ T$ sei eine der isolierte Singularitäten.  Um das Verhalten von $f$ bei
+  $ρ$ zu verstehen, entwickle $f$ bei $ρ$ in eine Laurentreihe.  Genauer: wähle
+  eine Zahl $ε > 0$, sodass $ρ$ die einzige Singularität von $f$ in der
+  Kreisscheibe $B_{ε}(ρ)$ ist, also
+  \[
+    B_{ε}(p) ∩ T = \{ρ\}.
+  \]
+  Betrachte dann den Kreisring
+  \[
+    K_{\frac{ε}{2},ε}(ρ) = \{ z ∈ ℂ \::\: \frac{ε}{2} < |z - ρ| < ε \}.
+  \]
+  Nach Satz~\ref{satz:9-2-8} („Laurentreihenentwicklung“) gibt es eine auf
+  $K_{\frac{ε}{2},ε}(ρ)$ lokal gleichmäßig konvergierende Laurentreihe $\sum c_i
+  (z - p)ⁱ$, deren Grenzfunktion auf $K_{\frac{ε}{2},ε}(ρ)$ mit $f$
+  übereinstimmt.  Dann gilt Folgendes.
+  \begin{enumerate}
+    \item Der Punkt $ρ$ ist genau dann eine hebbare Singularität von $f$, wenn
+      der Hauptteil gleich null ist.
+    \item Der Punkt $ρ$ ist genau dann eine Polstelle von $f$, wenn der
+      Hauptteil nur endlich viele Summanden hat.
+    \item Der Punkt $ρ$ ist genau dann eine wesentliche Singularität von $f$,
+      wenn der Hauptteil unendlich viele Summanden hat.
+  \end{enumerate}
+\end{beobachtung}
+
+
+\section{Automorphismen der komplexen Ebene}
+
+Ähnlich wie im Abschnitt~\ref{sec:7-3} möchte ich die Stärke der
+funktionentheoretischen Methoden demonstrieren, indem ich die Automorphismen der
+komplexen Ebene bestimme.
+
+\begin{frage}
+  Was sind die biholomorphen Selbstabbildungen $ℂ → ℂ$?
+\end{frage}
+
+Einige Beispiele und Nicht-Beispiele sind und bereits bekannt.
+
+\begin{bsp}[Affin-lineare Abbildungen]
+  Für alle $a,b ∈ ℂ$ mit $a ≠ 0$ ist die Abbildung
+  \[
+    f : ℂ → ℂ, \quad z ↦ az + b
+  \]
+  biholomorph.
+\end{bsp}
+
+\begin{beobachtung}[Komposition mit Translationen]\label{beob:9-3-3}%
+  Gegeben irgendeine biholomorphe Abbildung $f : ℂ → ℂ$, so ist die Abbildung
+  \[
+    f - f(0) : ℂ → ℂ
+  \]
+  ebenfalls biholomorph und bildet die Null auf null ab.
+\end{beobachtung}
+
+\begin{bsp}[Polynome höheren Grades]
+  Polynome vom Grad $≥ 2$ sind ganz bestimmt keine Automorphismen, denn jedes
+  Polynom $f ∈ ℂ[z]$ zerfällt in Linearfaktoren
+  \[
+    f(z) = λ (z - a_1)(z - a_2) ⋯ (z - a_n).
+  \]
+  \begin{itemize}
+    \item Wenn zwei der $a_•$ gleich sind, dann hat $f$ eine mehrfache
+      Nullstelle.  Die Ableitung $f'$ verschwindet dort.  Aber biholomorphe
+      Abbildungen haben nach dem Satz über die lokale Umkehrbarkeit nirgends
+      eine verschwindende Ableitung.
+
+    \item Wenn alle $a_•$ verschieden sind, dann hat $f$ mindestens zwei
+      verschiedene Nullstellen.  Also ist $f$ nicht injektiv.
+  \end{itemize}
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Potenzreihen mit unendlich vielen Summanden]\label{bsp:9-3-5}%
+  Ich behaupte, dass Potenzreihen mit unendlich vielen Summanden ebenfalls
+  \emph{keine} Automorphismen der komplexen Ebene sind.  Dazu führe ich einen
+  Widerspruchsbeweis. Angenommen, es gäbe einen Automorphismus $f : ℂ → ℂ$ der
+  durch eine Potenzreihe
+  \[
+    f(z) = \sum a_i zⁱ
+  \]
+  mit unendlich vielen Summanden gegeben ist.  Nach Beobachtung~\ref{beob:9-3-3}
+  können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $a_0 = 0$ ist, also $f(0) = 0$.
+  Insbesondere bildet $f$ die Menge $ℂ^*$ biholomorph auf sich selbst ab.
+
+  Aber: die Menge $ℂ^*$ hat einen interessanten Automorphismus, nämlich
+  \[
+    j : ℂ^* → ℂ^*, \quad z ↦ z^{-1}.
+  \]
+  Die Abbildung $f ◦ j : ℂ^* → ℂ^*$ ist dann auch holomorph und bijektiv, und
+  kann als holomorphe Funktion mit Pol bei $0$ aufgefasst werden. Die
+  Laurentreihe von $f ◦ j$ ergibt sich sehr einfach aus der Laurentreihe von
+  $f$,
+  \[
+    f ◦ j = \sum a_i z^{-i}.
+  \]
+  Ich stelle fest: Der Hauptteil dieser Laurentreihe hat unendlich viele
+  Summanden.  Wie ist in Beobachtung~\ref{beo:9-2-10} gesehen haben, bedeutet
+  das Folgendes: wenn ich $f ◦ j$ als Funktion mit isolierter Singularität
+  auffasse, dann hat $f ◦ j$ hat bei $0$ eine wesentliche Singularität.
+
+  Ich behaupte, dass $f ◦ j$ dann aber nicht bijektiv sein kann.  Betrachte dazu
+  die Kreisscheibe $B_{1/2}(1) ⊂ ℂ^*$.  Wir wissen, dass die Bildmenge $(f ◦ j)
+  \left(B_{1/2}(0)\right)$ eine offene Teilmenge von $ℂ^*$ ist.
+  
+  Es gilt aber auch noch Satz~\ref{satz:9-1-casorati-weierstrass}
+  („Casorati-Weierstraß“).  Demnach ist die Bildmenge
+  \[
+    (f ◦ j) \left(B_{1/2}(0) ∖ \{0\}\right) ⊆ ℂ
+  \]
+  dicht, schneidet also $(f ◦ j) \left(B_{1/2}(0)\right)$ in mindestens einem
+  Punkt.  Dieser Punkt hat demnach zwei Urbilder, nämlich eines in $B_{1/2}(1)$
+  und eines $B_{1/2}(0) ∖ \{0\}$.  Also ist $f ◦ j$ tatsächlich nicht injektiv!
+\end{bsp}
+
+\begin{bemerkung}
+  Die Argumentation aus Beispiel~\ref{bsp:9-3-5} zeigt in Wirklichkeit, dass
+  holomorphe Funktionen mit essenziellen Singularitäten niemals injektiv sind.
+\end{bemerkung}
+
+In der Summe haben wir folgenden Satz bewiesen.
+
+\begin{satz}[Automorphismen der komplexen Ebene]\label{satz:9-3-6}%
+  Jede biholomorphe Abbildung $f : ℂ → ℂ$ ist von der Form
+  \[
+    f(z) = az + b
+  \]
+  für gewisse $a,b ∈ ℂ$ mit $a ≠ 0$.  \qed
+\end{satz}
+
+
 % !TEX root = Funktionentheorie