Working…

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -92,3 +92,10 @@ Integralformeldarstellung
 prim
 Lejeune
 Primteiler-Zerlegung
+Fortsetzbarkeit
+Abrundungsfunktion
+Pforta
+Primzahlquadrat
+Mangoldt-Funktion
+Mangoldt
+Danzig-Langfuhr

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -47,3 +47,4 @@
 {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qkonvergiert bei allen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q!\\E$"}
 {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QGilt also vielleicht eine Gleichung der Form \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Die Antwort ist vermutlich nein, denn wir wissen aus Erfahrung, dass Primzahlen immer seltener werden, je größer die Zahlen werden.\\E$"}
 {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qdie Folge aller Primzahlen, nach Größe sortiert.\\E$"}
+{"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QNun gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, also \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}

15-RiemannMapping.tex

@@ -3,6 +3,8 @@
 
 \chapter{Der Riemannsche Abbildungssatz}
 
+\sideremark{Vorlesung 20}
+
 \begin{satz}[Riemannscher Abbildungssatz]\label{satz:14-5-1}%
   \index{Riemannscher Abbildungssatz}Es sei $U ⊊ ℂ$ offen, zusammenhängend und
   einfach zusammenhängend.  Dann ist $U$ biholomorph zur Kreisscheibe $B_1(0)$.

16-Zahlentheorie.tex

@@ -55,7 +55,7 @@ Der Hauptakteur in diesem Kapitel ist die Riemannsche $ζ$-Funktion.
   Grenzfunktion der folgenden Reihe (deren Konvergenz wir später noch zeigen
   werden)
   \begin{equation}\label{eq:16-zeta-def}
-    ζ: U → ℂ, \quad z ↦ \sum_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^z}.
+    ζ: U → ℂ, \quad z ↦ \sum_{k=1}^∞ \frac{1}{k^z}.
   \end{equation}
 \end{defn}
 
@@ -110,10 +110,10 @@ Hier eine erste Antwort.
 
 \begin{rem}[Eulersche Produktdarstellung]
   Gleichung \eqref{eq:16-euler-prod} wird auch \emph{Eulersche
-  Produktdarstellung}\index{Eulersche Produktdarstellung}\index{Leonhard Euler
-  (* 15.~April 1707 in Basel; † 18.~September 1783 in Sankt Petersburg) war ein
-  Schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom, Geograph, Logiker und Ingenieur.}
-  der Riemann'schen $ζ$-Funktion genannt.
+  Produktdarstellung}\index{Eulersche Produktdarstellung}\footnote{Leonhard
+  Euler (* 15.~April 1707 in Basel; † 18.~September 1783 in Sankt Petersburg)
+  war ein Schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom, Geograf, Logiker und
+  Ingenieur.} der Riemann'schen $ζ$-Funktion genannt.
 \end{rem}
 
 Bevor wir überhaupt an einen Beweis des Satzes~\ref{beh:16-euler-prod} denken,
@@ -258,4 +258,285 @@ Beobachtungen.
   konvergiert gegen $ζ(z)$.
 \end{beobachtung}
 
+
+\section{Fortsetzbarkeit von $ζ$}
+
+\sideremark{Vorlesung}
+
+\begin{satz}[Fortsetzbarkeit von $ζ$]\label{satz:16-2-1}%
+  Die Funktion $ζ(s) - \frac{s}{s-1}$ besitzt eine holomorphe Fortsetzung auf
+  $\{ s \mid \mathfrak{Re}(s) > 0 \}$.  Insbesondere besitzt $ζ(s)$ eine
+  holomorphe Fortsetzung auf $\{ s \mid \mathfrak{Re}(s) > 0, s \ne 1 \}$ und
+  hat in $1$ einen Pol erster Ordnung mit $\Res_1(ζ) = 1$.
+\end{satz}
+
+\begin{rem}[Notation][Abrunden]
+  Für $x ∈ ℝ$ schreiben wir
+  \[
+    ⌊ x ⌋ := \max\{ k ∈ ℤ \mid k \le x \}.
+  \]
+  Die Funktion $x ↦ ⌊x⌋$ heißt
+  \emph{Abrundungsfunktion}\index{Abrundungsfunktion} oder
+  \emph{Floor-Funktion}\index{Floor-Funktion}.
+\end{rem}
+
+\begin{rem}
+  Für jedes $x ∈ ℝ$ gilt $|x - ⌊x⌋| < 1$.
+\end{rem}
+
+\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:16-2-1}]
+  Für jede komplexe Zahl mit $\mathfrak{Re}(s) > 1$ gilt folgendes:
+  \begin{align*}
+    ζ(s) = \sum_{n=1}^∞ \frac{1}{n^s} & = \sum_{n=1}^∞ \frac{n - (n-1)}{n^s} \\
+    &= \sum_{n=1}^∞ n·\frac{1}{n^s} - \sum_{n=0}^∞ n·\frac{1}{(n+1)^s} \\
+    &= \sum_{n=1}^∞ n·\frac{1}{n^s} - \sum_{n=1}^∞ n·\frac{1}{(n+1)^s} \\
+    &= \sum_{n=1}^∞ n·\left( \frac{1}{n^s} - \frac{1}{(n+1)^s} \right) \\
+    &= \sum_{n=1}^∞ n·\int_n^{n+1} \frac{s}{x^{s+1}} \, dx \\
+    &= s · \sum_{n=1}^∞ \int_n^{n+1} \frac{⌊x⌋}{x^{s+1}} \, dx && \text{für $x ∈ [n, n+1)$ ist $⌊x⌋ = n$} \\
+    &= s · \int_1^∞ \frac{⌊x⌋}{x^{s+1}} \, dx.
+  \intertext{Nun gilt: $s · \int_1^∞ \frac{x}{x^{s+1}} \, dx = \frac{s}{s-1}$, also}
+    ζ(s) - \frac{s}{s-1} & = s · \int_1^∞ \frac{⌊ x ⌋ - x}{x^{s+1}} \, dx.
+  \end{align*}
+  Es genügt also zu zeigen, dass die Funktion
+  \[
+    s ↦ \int_1^∞ \frac{⌊x⌋ - x} {x^{s+1}} \, dx
+  \]
+  auf der offenen Menge
+  \[
+    \{ s ∈ ℂ \::\: \mathfrak{Re}(s) > 0 \}
+  \]
+  lokal gleichmäßig konvergiert.  Dies folgt aus der Abschätzung
+  \[
+    \left| \int_1^∞ \frac{⌊x⌋ - x}{x^{s+1}} \, dx \right|
+    ≤ \int_1^∞ \frac{|⌊x⌋ - x|}{x^{\mathfrak{Re}(s)+1}} \, dx
+    ≤ \int_1^∞ \frac{1}{x^{\mathfrak{Re}(s)+1}} \, dx
+    = \frac{1}{\mathfrak{Re}(s)}.
+  \]
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung}
+  Mit mehr Arbeit lässt sich $ζ(s)$ sogar holomorph auf $ℂ ∖ \{1\}$ fortsetzen.
+  Bezeichnet $Γ$ die Gamma-Funktion, so gilt
+  \[
+    ζ(s) = 2^s π^{s-1} · \sin\left(\frac{π s}{2}\right) ·
+    Γ(1-s) · ζ(1-s).
+  \]
+  Insbesondere gilt $ζ(-2k) = 0$ für $k ∈ ℤ_{>0}$, denn es ist $Γ(k) = (k-1)!$
+  wenn $k ∈ ℤ_{>0}$.  Diese Nullstellen heißen die \emph{trivialen Nullstellen}
+  der Riemannschen $ζ$-Funktion.  Für $k ∈ ℤ_{\le 0}$ hat $Γ$ einfache Pole.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bemerkung}
+  Die holomorphe Fortsetzung von $ζ$ auf $\{s \mid \mathfrak{Re}(s) > 0, s \ne
+  1\}$ und $ℂ ∖ \{1\}$ ist mysteriös!  Es ist sehr wenig über diese Funktion
+  bekannt.  Das wenige was bekannt ist, ist recht schwer zu beweisen.
+\end{bemerkung}
+
+
+\section{Nullstellen der $ζ$-Funktion}
+
+Wir zeigen in diesem Abschnitt, dass die $ζ$-Funktion keine Nullstelle $s$ mit
+$\mathfrak{Re}(s) \ge 1$ besitzt.
+
+
+\subsection{Einschub über Faltungen}
+
+Faltungen sind ein wichtiges Werkzeug beim Umgang mit Dirichlet-Reihen.
+
+\begin{konstruktion}[Faltungen]
+  Betrachte die Menge
+  \[
+    \mathcal{A} = \{ f: ℕ⁺ → ℂ \}.
+  \]
+  Gegeben $f, g ∈ \mathcal{A}$ definiere $(f \ast g) ∈ \mathcal{A}$ durch
+  \[
+    (f \ast g)(n) := \sum_{d \mid n} f(d) · g\left(\frac{n}{d}\right).
+  \]
+  Dabei läuft die Summe läuft Teiler $d$ von $n$ mit $d \ge 1$.  Man nennt $f
+  \ast g$ die \emph{Faltung von $f$ und $g$}\index{Faltung}.
+\end{konstruktion}
+
+\begin{fakt}[Ringstruktur mit Faltungen]
+  Die Menge $\mathcal{A}$ wird durch die Operationen „$+$“ und „$\ast$“ zu einem
+  kommutativen Ring mit Einselement, wobei das Einselement die Funktion
+  \[
+    η : ℕ → ℂ, \quad n ↦
+    \begin{cases}
+      1, & \text{falls } n = 1 \\
+      0, & \text{sonst}
+    \end{cases}
+  \]
+  ist.  Ist $f ∈ \mathcal{A}$, so existiert ein genau dann ein multiplikativ
+  Inverses, also ein $g ∈ \mathcal{A}$ mit $f \ast g = η$, wenn $f(1) \ne 0$
+  ist.
+\end{fakt}
+
+\begin{rem}[Warum Faltungen?]
+  Gegeben ein $f ∈ \mathcal{A}$, so kann man formal eine Dirichlet-Reihe
+  \[
+    F(s) = \sum_{n=1}^∞ \frac{f(n)}{n^s}
+  \]
+  definieren.
+\end{rem}
+
+\begin{fakt}[Faltungen und Dirichlet-Reihen]
+  Sind $F, G$ Dirichlet-Reihen zu $f, g ∈ \mathcal{A}$, so gilt
+  \[
+    F(s) · G(s) = \sum_{n=1}^∞ \frac{(f \ast g)(n)}{n^s}.  \eqno\qed
+  \]
+\end{fakt}
+
+\begin{bemerkung}[Möbius-Funktion]
+  Im Spezialfall mit $f \equiv 1$ erhalten wir so die Riemannsche $ζ$-Funktion.
+  Das multiplikative Inverse von $f$, also die Funktion $μ ∈ \mathcal{A}$ mit $f
+  \ast μ = 1$, heißt die \emph{Möbius-Funktion}\footnote{August Ferdinand Möbius
+  (* 17.~November 1790 in Pforta; † 26.~September 1868 in Leipzig) war ein
+  deutscher Mathematiker und Astronom an der Universität Leipzig.}.  Diese
+  beschreibt die Dirichlet-Reihe von $\frac{1}{ζ(s)}$. Die Möbius-Funktion kann
+  explizit durch folgende Formel beschrieben werden
+  \[
+    μ(n) = \begin{cases}
+      1, & n = 1 \\
+      0, & \text{wenn $n$ durch ein Primzahlquadrat teilbar ist} \\
+      (-1)^r, & \text{wenn $n$ das Produkt von $r$ verschiedenen Primzahlen ist}
+    \end{cases}
+  \]
+  Beispielsweise ist $μ(1) = 1$, $μ(12) = 0$, $μ(6) = 1$, $μ(30) = -1$. Für uns
+  ist nur wichtig: Die Möbius-Funktion $μ$ ist betragsmäßig durch 1 beschränkt!
+\end{bemerkung}
+
+Damit können wir einen Teil der Behauptung zeigen.
+
+\begin{lemma}[Nullstellen von $ζ$ für $\mathfrak{Re}(s) > 1$]
+  Sei $s ∈ ℂ$.  Falls $\mathfrak{Re}(s) > 1$ ist, so ist $ζ(s) \ne 0$.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+  Vorüberlegung: gegeben eine komplexe Zahl $s$ mit $ζ(s) \ne 0$ und Realteil $σ
+  = \mathfrak{Re}(s)$.  Dann gilt:
+  \[
+    \left| \frac{1}{ζ(s)} \right| \le \sum_{n=1}^∞ \frac{|μ(n)|}{n^s}
+    \le \sum_{n=1}^∞ \frac{1}{n^σ} = ζ(σ).
+  \]
+  Anders formuliert:
+  \begin{equation}\label{eq:16-3-6-1}
+    |ζ(s)| \ge \frac{1}{ζ(σ)} > 0.
+  \end{equation}
+  Wir argumentieren jetzt mit Widerspruch und nehmen an, dass eine komplexe Zahl
+  $s_0 = σ_0 + it_0$ mit $σ_0 > 1$ und $ζ(s_0) = 0$ gegeben ist.  Beachte, dass
+  die Menge der Nullstellen von $ζ$, die den Realteil $σ_0$ haben, nach dem
+  Identitätssatz eine diskrete Menge ist.  Dann gilt für alle $s$ mit
+  $\mathfrak{Re}(s) = σ_0$, die nicht in dieser diskreten Menge liegen und für
+  die also $ζ(s) \ne 0$ ist, die Abschätzung~\ref{eq:16-3-6-1}.  Dann kann $|ζ|$
+  aber nicht stetig sein.
+\end{proof}
+
+Um Nullstellen $s$ mit $\mathfrak{Re}(s) = 1$ auszuschließen, müssen wir noch
+etwas arbeiten.
+
+\begin{defn}[Mangoldt-Funktion]
+  Definiere die von Mangoldt-Funktion\footnote{Hans Karl Friedrich von Mangoldt
+  (* 18.~Mai 1854 in Weimar, Sachsen-Weimar-Eisenach; † 27.~Oktober 1925 in
+  Danzig-Langfuhr) war ein deutscher Mathematiker und königlich preußischer
+  Geheimer Regierungsrat.}\index{Mangoldt-Funktion} $Λ ∈ \mathcal{A}$ durch
+  \[
+    Λ(n) := \begin{cases}
+      \ln p & \text{wenn } n = p^k \text{ für } p \text{ prim} \\
+      0 & \text{sonst.}
+    \end{cases}
+  \]
+\end{defn}
+
+\begin{lemma}[Die Mangoldt-Funktion und die logarithmische Ableitung von $ζ$]
+  Für komplexe Zahlen $s$ mit $\mathfrak{Re}(s) > 1$ ist
+  \[
+    -\frac{ζ'(s)}{ζ(s)} = \sum_{n=1}^∞ \frac{Λ(n)}{n^s}.
+  \]
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+  Es sei $ε ∈ \mathcal{A}$ die konstante Funktion mit Wert $1$.  Dann ist $ζ$
+  durch die zu $ε$ gehörende Dirichlet-Reihe gegeben. Gegeben eine Zahl $n ∈
+  ℕ⁺$, so gilt:
+  \[
+    \log n = \sum_{d \mid n} Λ(d) = (ε \ast Λ)(n).
+  \]
+  Das bedeutet:
+  \[
+    -ζ'(s) = \sum_{n=1}^∞ \frac{\ln(n)}{n^s}
+    = \sum_{n=1}^∞ \frac{(ε \ast Λ)(n)}{n^s}
+    = ζ(s) · \sum_{n=1}^∞ \frac{Λ(n)}{n^s}.
+  \]
+\end{proof}
+
+Damit können wir den letzten Schritt machen.
+
+\begin{satz}[Nullstellenfreiheit von $ζ$ für $\mathfrak{Re}(s) \ge 1$]
+  Es sei $s$ eine komplexe Zahl mit $\mathfrak{Re}(s) \ge 1$.  Dann ist $ζ(s)
+  \ne 0$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Es ist „nur“ noch der Fall $\mathfrak{Re}(s) = 1$ zu erledigen.  Gegeben $s_0$
+  mit $\mathfrak{Re}(s_0) = 1$, so hat $ζ$ in $s_0$ vielleicht eine Polstelle,
+  aber sicher keine wesentliche Singularität.  Man kann also in einer Umgebung
+  von $s_0$ also schreiben
+  \[
+    ζ(s) = (s - s_0)^r · h(s),
+  \]
+  wobei $r ∈ ℤ$ die Null/Polstellenordnung von $ζ$ in $s_0$ ist und $h$
+  holomorph mit $h(s_0) \ne 0$.  Dort ist dann
+  \[
+    (s - s_0) · \frac{ζ'(s)}{ζ(s)} = \frac{r · h(s) + (s - s_0) · h'(s)}{h(s)}.  \qquad (\star)
+  \]
+  und wegen $\Res_{s_0}\left(\frac{ζ'}{ζ}\right) = r$ ist dann
+  \begin{equation}\label{eq:16-3-9-1}
+    \lim_{s → s_0} (s - s_0) · \frac{ζ'(s)}{ζ(s)} = r.
+  \end{equation}
+  Das kann man auch so ausdrücken: schreiben wir $F(s) = -\frac{ζ'(s)}{ζ(s)}$,
+  dann gilt nach \eqref{eq:16-3-9-1} die Gleichung:
+  \begin{equation}\label{eq:16-3-9-2}
+    \lim_{ε → 0} ε · F(s_0 + rε) = -r.
+  \end{equation}
+  
+  Sei nun $s = 1 + i t$ irgendeine Zahl mit $t \ne 0$ und $μ \ge 0$ die Ordnung
+  von $ζ$ in $s$.  Wir müssen zeigen, dass $μ = 0$ ist, denn das bedeutet, dass
+  $ζ$ bei $s$ nicht verschwindet.  Sei $ν \ge 0$ die Ordnung von $ζ$ im Punkt $1
+  + 2it$.  Gleichung~\eqref{eq:16-3-9-2} liefert jetzt die Gleichungen
+  \begin{align*}
+    -1 & = \lim_{ε → 0} ε · F(1 + ε) \\
+    -μ & = \lim_{ε → 0} ε · F(s + ε) \\
+    -ν & = \lim_{ε → 0} ε · F(1 + 2it + ε)
+  \end{align*}
+  Beachte auch, dass die Funktion $ζ$ mit komplexer Konjugation kommutiert: für
+  jedes $z ∈ ℂ$ ist $\overline{ζ(z)} = ζ(\overline{z})$.  Damit ist dann
+  \begin{align*}
+    -μ & = \lim_{ε → 0} ε · F(\overline{s} + ε) \\
+    -ν & = \lim_{ε → 0} ε · F(1 - 2it + ε).
+  \end{align*}
+  Jetzt rechne man nach
+  \begin{align*}
+    ε \sum_{r=-2}² \binom{4}{r+2} · F(1 + itr + ε) & = ε \sum_{r=-2}² \binom{4}{r+2} \sum_{n=1}^∞ \frac{Λ(n)}{n^{1+iε+tr}} \\
+    &= ε \sum_{n=1}^∞ \frac{Λ(n)}{n^{1+ε}} \sum_{r=-2}² \binom{4}{r+2} \frac{1}{n^{itr}} \\
+    &= ε \sum_{n=1}^∞ \frac{Λ(n)}{n^{1+ε}} \Biggl( \underbrace{\frac{i\sqrt{t}}{n} + \frac{-i\sqrt{t}}{n}}_{∈ ℝ} \Biggr)⁴ \ge 0.
+  \end{align*}
+  Grenzübergang $ε → 0$ liefert jetzt $-ν - 4μ + 6 - 4μ - ν \ge 0$, also
+  \[
+    8μ \le 6 - 2ν \le 6.
+  \]
+  Weil $μ \ge 0$ und ganzzahlig ist, folgt daraus $μ = 0$.
+\end{proof}
+
+\begin{konsequenz}
+  Für $\mathfrak{Re}(s) > 0$ liegen die Nullstellen von $ζ$ also im Streifen
+  \[
+    \{ z \mid 0 < \mathfrak{Re}(z) < 1 \}.
+  \]
+\end{konsequenz}
+
+\begin{rem}
+  Die berühmte \emph{Riemannsche Vermutung}\index{Riemannsche Vermutung}
+  behauptet: Ist $s_0$ mit $0 < \mathfrak{Re}(s_0) < 1$ eine Nullstelle von $ζ$,
+  so gilt $\mathfrak{Re}(s_0) = \frac{1}{2}$.  Es ist eines der größten offenen
+  Probleme der Mathematik, diese Vermutung zu beweisen oder zu widerlegen.
+\end{rem}
+
+
 % !TEX root = Funktionentheorie