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04-wegintegraleStetig.tex

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+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Integration über stetige Wege}
+
+\section{Wegintegrale}
+
+In Definition~\ref{def:3-2-1} haben wir Wegintegrale nur für stetig
+differenzierbare Wege definiert.  In vielen Situationen ist es aber nützlich,
+Wegintegrale auch für stetige Wege zu definieren.  Als Vorbereitung erinnern wir
+uns an zwei elementare Fakten der Analysis und Topologie.
+
+\begin{erinnerung}[Bilder von kompakten Mengen unter stetigen Abbildungen]\label{eri:3-4-1}%
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $K ⊂ ℝ^n$ kompakt und es sei $γ : K → U$ stetig.
+  Dann gilt Folgendes.
+  \begin{enumerate}
+    \item Die Bildmenge $γ(K) ⊂ U$ ist kompakt.
+
+    \item Es gibt endlich viele Kreisscheiben $Δ_1, …, Δ_n$ in $U$,
+    die die Bildmenge $γ(K)$ überdecken.  In Formelsprache:
+    \[
+      γ(K) ⊆ ∪_{j=1}^n Δ_j ⊆ U.
+    \]
+
+    \item\label{il:3-4-1-3} Es gibt eine reelle Zahl $δ > 0$, sodass es für jede
+    Teilmenge $A ⊆ K$ mit Durchmesser $d(A) ≤ δ$ einen Index $i$ gibt mit $γ(A)
+    ⊆ Δ_i$.
+  \end{enumerate}
+  Die Zahl $δ$ aus \ref{il:3-4-1-3} ist Ihnen vielleicht als
+  \emph{Lebesgue-Zahl}\index{Lebesgue-Zahl} der Überdeckung $\{Δ_1, …, Δ_n\}$
+  bekannt.  Details finden Sie unter anderem bei
+  \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue's_number_lemma}{Wikipedia}.
+\end{erinnerung}
+
+\begin{konstruktion}[Wegintegrale: Integration über stetige Wege]\label{kons:3-4-2}%
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph.  Weiter sei $γ: [a,b] → U$ ein
+  stetig differenzierbarer Weg.  Nach Erinnerung~\ref{eri:3-4-1} gibt es eine
+  Überdeckung von $γ([a,b])$ durch endlich viele Kreisscheiben $Δ_1, …, Δ_n$,
+  die ganz in $U$ liegen.  Nach Satz~\ref{satz:3-3-11} finden wir auf jeder
+  dieser Kreisscheiben eine Stammfunktion $F_i: Δ_i → ℂ$ von $f$.
+
+  Nach Punkt~\ref{il:3-4-1-3} der Erinnerung~\ref{eri:3-4-1} gibt es eine
+  endliche Unterteilung des Intervalls $[a,b]$,
+  \[
+    a = t_0 < t_1 < t_2 < … < t_m = b,
+  \]
+  sodass für jeden Index $0 \le j < m$ der Wertebereich $γ([t_j, t_{j+1}])$ ganz
+  in einer der Kreisscheiben $Δ_1, …, Δ_n$ liegt.  Genauer: für jeden Index $0
+  \le j < m$ gibt es einen Index $i_j ∈ \{1, …, n\}$ mit
+  \[
+    γ([t_{j-1}, t_j]) ⊂ Δ_{i_j}.
+  \]
+  Wir betrachten dann die Zahl
+  \[
+    I_{γ} := \sum_{j=0}^{m-1} \left( F_{i_j}(γ(t_{j+1})) - F_{i_j}(γ(t_j)) \right).
+  \]
+  Konstruktion~\ref{kons:3-4-2} endet hier.
+\end{konstruktion}
+
+Der Beweis des folgenden Fakts ist elementar, aber etwas langwierig.  Ich lass
+ihn deshalb lieber weg.
+
+\begin{fakt}[Wegintegrale: Unabhängigkeit von der Wahl der Überdeckung]\label{fakt:3-4-3}%
+  Die Zahl $I_γ$ aus der obigen Konstruktion hängt nicht von der Wahl der
+  Überdeckung durch Kreisscheiben, der Wahl der Stammfunktionen und der Wahl der
+  Unterteilung des Intervalls $[a,b]$ ab.  \qed
+\end{fakt}
+
+\begin{beobachtung}
+  Wenn der Weg $γ$ aus Konstruktion~\ref{kons:3-4-2} stetig differenzierbar ist,
+  dann gilt
+  \[
+    I_γ = \int_γ f(z) \, dz.
+  \]
+\end{beobachtung}
+
+\begin{definition}[Wegintegrale: Integration über stetige Wege]\label{def:3-4-5}%
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph.  Weiter sei $γ: [a,b] → U$ ein
+  stetiger Weg.  Dann definiert man das \emph{Wegintegral}\index{Wegintegral!für
+  stetige Wege} als
+  \[
+    \int_γ f(z) \, dz := I_{γ}.
+  \]
+\end{definition}
+
+
+\section{Homotopie von Wegen}
+
+Gegeben eine offene Menge $U ⊂ ℂ$ und Punkte $z_0, z_1 ∈ U$, so betrachten wir
+Wege, die $z_0$ und $z_1$ verbinden.  Anschaulich ist klar, dass manche dieser
+Wege stetig ineinander übergeführt werden können und andere nicht.
+
+\begin{definition}[Homotopie von Wegen]\label{def:3-4-1}%
+  Es sei $U$ ein topologischer Raum, und $[a, b] ⊂ ℝ$ ein kompaktes Intervall.
+  Zwei stetige Wege
+  \[
+    γ_0: [a, b] → U, \quad γ_1: [a, b] → U
+    \quad\text{mit}\quad
+    γ_0(a) = γ_1(a), \quad γ_0(b) = γ_1(b)
+  \]
+  heißen \emph{homotop}\index{homotope Wege}, wenn es stetige Abbildung
+  \[
+    Γ: [a, b] ⨯ [0, 1] \longrightarrow U
+  \]
+  gibt, sodass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
+  \begin{itemize}
+    \item $\forall s ∈ [0, 1] : Γ(a, s) = γ_0(a) \text{ und } Γ(b, s) = γ_0(b)$
+    \item $\forall t ∈ [a, b] : Γ(t, 0) = γ_0(t) \text{ und } Γ(t, 1) = γ_1(t)$.
+  \end{itemize}
+  Eine Abbildung $Γ$ mit diesen Eigenschaften heißt
+  \emph{Homotopie}\index{Homotopie von Wegen} zwischen den Wegen $γ_0$ und
+  $γ_1$.
+\end{definition}
+
+In der Situation von Definition~\ref{def:3-4-1} kann man die Homotopie als
+Familie von Wegen auffassen, $γ_s := Γ(•, s)$, die stetig zwischen den Wegen
+$γ_0$ und $γ_1$ interpoliert.
+
+\begin{definition}[Zusammenziehbare Wege und einfach zusammenhängende Räume]\label{def:3-4-2}%
+  Es sei $U$ ein topologischer Raum, und $[a, b] ⊂ ℝ$ ein kompaktes Intervall.
+  Ein \emph{geschlossener Weg}\index{geschlossener Weg} in $U$ ist ein stetiger
+  Weg
+  \[
+    γ: [a, b] → U \quad\text{mit}\quad γ(a) = γ(b).
+  \]
+  Ein geschlossener Weg heißt \emph{zusammenziehbar}\index{zusammenziehbare
+  Wege} oder \emph{kontrahierbar}\index{kontrahierbare Wege}, wenn er homotop zu
+  einem konstanten Weg ist.  Der Raum $U$ heißt \emph{wegweise einfach
+  zusammenhängend}\index{wegweise einfach zusammenhängend}, wenn jeder
+  geschlossener Weg zusammenziehbar ist.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}[Zentrierte geschlossene Wege in der Kreisscheibe]
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ die Einheits-Kreisscheibe und es sei $γ_0: [a, b] → U$ ein Weg
+  mit $γ_0(a) = γ_0(b) = 0$.  Dann ist
+  \[
+    Γ: [a, b] ⨯ [0, 1] → U, \quad (t, s) ↦ (1 - t) · γ_0(t)
+  \]
+  eine Homotopie zwischen dem Weg $γ_0$ und dem konstanten Weg $γ_1 \equiv 0$.
+  Also ist $γ_0$ zusammenziehbar.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Allgemeine geschlossene Wege in der Kreisscheibe]\label{bsp:3-4-4}%
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ die Einheits-Kreisscheibe und es sei $γ_0: [a, b] → U$
+  irgendein geschlossener Weg mit $γ_0(a) = γ_0(b) =: z$.  Dann ist
+  \[
+    Γ: [a, b] ⨯ [0, 1] → U, \quad (t, s) ↦ (1 - s) · (γ_0(t) - z) + z
+  \]
+  eine Homotopie zwischen $γ_0$ und dem konstanten Weg $γ_1 \equiv z$.  Also ist
+  die Kreisscheibe einfach zusammenhängend.
+\end{bsp}
+
+\begin{bemerkung}[Konvexe Mengen sind einfach zusammenhängend]
+  Der wesentliche Punkt in Beispiel~\ref{bsp:3-4-4} ist, dass die Bildmenge von
+  $Γ$ ganz in der Kreisscheibe enthalten ist.  Die zum Beweis notwendige
+  Rechnung verwendet allerdings nur, dass die Kreisscheibe konvex ist.
+  Tatsächlich sind alle konvexen Mengen wegweise einfach zusammenhängend.  In
+  nicht-konvexen Mengen können geschlossene Wege durchaus nicht zusammenziehbar
+  sein.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bemerkung}
+  Homotopie ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Wege mit festen
+  Anfangs- und Endpunkten.  Insbesondere ist Homotopie reflexiv, symmetrisch und
+  transitiv.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bemerkung}
+  Wir haben noch kein Kriterium dafür, dass eine Menge \emph{nicht} einfach
+  zusammenhängend ist.  Der Integralsatz von Cauchy wird uns aber bald ein
+  solches Kriterium liefern.
+\end{bemerkung}
+
+% !TEX root = Funktionentheorie