Working…

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -69,3 +69,11 @@ Sommières
 Hérault
 Lunel
 Vielfachheit
+Leffler
+Harmonizität
+Siméon
+Pithiviers
+Loiret
+Baptiste
+Auxerre
+Beaumont-en-Auge

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -39,3 +39,7 @@
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWähle eine reelle Zahl \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und schreibe \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Korollar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Annahme \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q lokal glm.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QAlso ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, weil Stammfkt.\\E$"}
 {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qexistiert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hat auf \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q keine Nullstelle, weil die Exponentialfunktion keine Nullstelle hat.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QGenauer: Wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine Stammfunktion von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist, dann sind alle Lösungen der Differenzialgleichung auf \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gegeben durch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qconst \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWir beweisen Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q auf Seite pf:14-3-2.\\E$"}
+{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\QWir beweisen Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q auf Seite pf:14-3-2.\\E$"}

04-wegintegraleStetig.tex

@@ -265,7 +265,7 @@ dies präzise dar.
 
 \sideremark{Vorlesung 7}
 
-\begin{kor}[Existenz von Stammfunktionen in einfach zusammenhängenden Mengen]%
+\begin{kor}[Existenz von Stammfunktionen in einfach zusammenhängenden Mengen]\label{kor:4-3-4}%
   Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und wegweise einfach zusammenhängend, und es sei $f : U →
   ℂ$ holomorph.  Dann gibt es eine Stammfunktion $F: U → ℂ$ von $f$.
 \end{kor}

11-applications.tex

@@ -155,6 +155,7 @@ In der Summe haben wir folgenden Satz bewiesen.
 
 
 \section{Funktionen mit vorgeschriebenen Singularitäten}
+\sideremark{Vorlesung 15}
 
 \begin{frage}[Funktionen mit vorgeschriebenen Singularitäten, vereinfachte Fragestellung]\label{fr:11-3-1}%
   Sei $P ⊂ ℂ$ eine abgeschlossene und diskrete Teilmenge.  Gibt es eine Funktion

13-applResiduum.tex

@@ -59,8 +59,8 @@
     Sommières, Département Hérault; † 19.~August 1910 in Lunel) war ein
     französischer Mathematiker.  }]\label{kor:12-5-2}%
   \index{Satz von Rouché}Sei $U ⊂ ℂ$ offen, $f ∈ 𝒪(U)$ und $K ⊂ U$ eine
-  abgeschlossene Kreisscheibe. Sei außerdem eine holomorphe Funktion $g ∈ 𝒪(U)$
+  abgeschlossene Kreisscheibe.  Sei außerdem eine holomorphe Funktion $g ∈
-  gegeben, sodass für jedes $z ∈ δ K$ die Ungleichung
+  𝒪(U)$ gegeben, sodass für jedes $z ∈ δ K$ die Ungleichung
   \begin{equation}\label{eq:12-5-5}%
     |f(z)| > |g(z)|
   \end{equation}
@@ -112,13 +112,13 @@
 \section{Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen}
 
 \begin{satz}[Weierstraß]
-  \index{Satz von Weierstraß}Sei $P \subset \bC$ eine diskrete und
+  \index{Satz von Weierstraß}Sei $P ⊂ ℂ$ eine diskrete und abgeschlossene Menge
-  abgeschlossene Menge und $n : P \to \bN$ eine beliebige Abbildung. Dann
+  und $n : P → ℕ$ eine beliebige Abbildung.  Dann existiert eine Funktion $f ∈
-  existiert eine Funktion $f \in \sO(\bC)$, sodass folgendes gilt.
+  𝒪(ℂ)$, sodass folgendes gilt.
   \begin{enumerate}
     \item Die Nullstellenmenge von $f$ ist exakt $P$.
 
-    \item Für jedes $p \in P$ gilt: Die Funktion $f$ hat bei $p$ eine Nullstelle
+    \item Für jedes $p ∈ P$ gilt: Die Funktion $f$ hat bei $p$ eine Nullstelle
       der Ordnung $n(p)$.
   \end{enumerate}
 \end{satz}
@@ -126,13 +126,13 @@
 
 \subsection{Vorüberlegung zum Beweis des Satzes von Weierstraß}
 
-Es sei $f \in \sO(\bC)$ eine holomorphe Funktion, die am Punkt $p \in \bC$ eine
+Es sei $f ∈ 𝒪(ℂ)$ eine holomorphe Funktion, die am Punkt $p ∈ ℂ$ eine
 Nullstelle der Ordnung $n$ besitzt.  Entwickle $f$ bei $p$ in eine Potenzreihe,
 sodass für $z$ in einer Umgebung von $p$ folgendes gilt.
 \begin{align}
-  f(z) & = \sum_{i = n}^{\infty} a_i (z-p)^i \\
+  f(z) & = \sum_{i = n}^{∞} a_i (z-p)ⁱ \\
-  f'(z) & = \sum_{i = n}^{\infty} a_i·i·(z-p)^{i-1} \\
+  f'(z) & = \sum_{i = n}^{∞} a_i·i·(z-p)^{i-1} \\
-  f^{-1}(z) & = a^{-1}_n·(z-p)^{-n} + \sum_{i = -n+1}^{\infty} \cdots \\
+  f^{-1}(z) & = a^{-1}_n·(z-p)^{-n} + \sum_{i = -n+1}^{∞} ⋯ \\
   \label{il:13-2-1-6} (f'/f)(z) & = \underbrace{n·(z-p)^{-1}}_{\text{Hauptteil}} + \underbrace{(\text{Potenzreihe})}_{\text{Nebenteil}}.
 \end{align}
 
@@ -140,69 +140,65 @@ sodass für $z$ in einer Umgebung von $p$ folgendes gilt.
 \subsection{Beweis des Satzes von Weierstraß}
 
 Die Vorüberlegung legt nahe, den Satz von Mittag–Leffler zu verwenden.  Sei also
-$g \in \sO(\bC \setminus P)$ eine Funktion, deren Hauptteil an jeder Stelle $p
+$g ∈ 𝒪(ℂ ∖ P)$ eine Funktion, deren Hauptteil an jeder Stelle $p ∈ P$ exakt
-\in P$ exakt gleich $\frac{n(p)}{z-p}$ ist.  Das Ziel ist jetzt, aus der
+gleich $\frac{n(p)}{z-p}$ ist.  Das Ziel ist jetzt, aus der Funktion $g$ die
-Funktion $g$ die gesuchte Funktion $f$ zu konstruieren.
+gesuchte Funktion $f$ zu konstruieren.
 
 \begin{erinnerung}
-  Der Residuensatz besagt, dass für jede geschlossene Kurve $\gamma$ in $\bC
+  Der Residuensatz besagt, dass für jede geschlossene Kurve $γ$ in $ℂ ∖ P$ gilt:
-  \setminus P$ gilt:
   \[
-    \int_\gamma g(z) \, dz = 2\pi i \sum_{p \in P} \Um(\gamma, p) · n(p).
+    \int_{γ} g(z) \, dz = 2π i \sum_{p ∈ P} \Um(γ, p) · n(p).
   \]
-  Da $n(p) \in \bZ$ für alle $p \in P$ gilt, ist das Integral auf der linken
+  Da $n(p) ∈ ℤ$ für alle $p ∈ P$ gilt, ist das Integral auf der linken Seite
-  Seite also stets ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi i$, liegt also im Kern
+  also stets ein ganzzahliges Vielfaches von $2π i$, liegt also im Kern der
-  der Exponentialfunktion $\exp : \bC \to \bC^*$.
+  Exponentialfunktion $\exp : ℂ → ℂ^*$.
 \end{erinnerung}
 
-Die Erinnerung erlaubt folgende Konstruktion: Wähle einen Punkt $q \in \bC
+Die Erinnerung erlaubt folgende Konstruktion: Wähle einen Punkt $q ∈ ℂ ∖ P$ und
-\setminus P$ und wähle für jedes $w \in \bC \setminus P$ einen Weg $\gamma_w$
+wähle für jedes $w ∈ ℂ ∖ P$ einen Weg $γ_w$ von $q$ nach $w$.  Dann definiere
-von $q$ nach $w$.  Dann definiere die Funktion
+die Funktion
 \[
-  f : \bC \setminus P \to \bC^*, \quad w \mapsto \exp \left(\int_{\gamma_w} g(z) \, dz\right).
+  f : ℂ ∖ P → ℂ^*, \quad w ↦ \exp \left(\int_{γ_w} g(z) \, dz\right).
 \]
 Die Erinnerung zeigt, dass die Funktion $f$ unabhängig von der Wahl der Wege
-$\gamma_w$ ist.
+$γ_w$ ist.
 
 \begin{beobachtung}
-  Die Funktion $f$ ist auf $\bC \setminus P$ holomorph, weil $g$ holomorph ist.
+  Die Funktion $f$ ist auf $ℂ ∖ P$ holomorph, weil $g$ holomorph ist.  \qed
-  \qed
 \end{beobachtung}
 
 \begin{beobachtung}
-  Die Funktion $f$ hat auf $\bC \setminus P$ keine Nullstelle, weil die
+  Die Funktion $f$ hat auf $ℂ ∖ P$ keine Nullstelle, weil die
   Exponentialfunktion keine Nullstelle hat.  \qed
 \end{beobachtung}
 
 \begin{beobachtung}\label{beo:13-2-1}%
-  Auf $\bC \setminus P$ gilt die Gleichung $f'/f = g$. \qed
+  Auf $ℂ ∖ P$ gilt die Gleichung $f'/f = g$.  \qed
 \end{beobachtung}
 
-Jetzt fehlt nur noch zu zeigen, dass $f$ an jedem Punkt $p \in P$ eine hebbare
+Jetzt fehlt nur noch zu zeigen, dass $f$ an jedem Punkt $p ∈ P$ eine hebbare
 Singularität hat und dass die fortgesetzte Funktion eine Nullstelle der Ordnung
-$n(p)$ besitzt.  Sei also ein Punkt $p \in P$ gegeben. Wähle eine kleine
+$n(p)$ besitzt.  Sei also ein Punkt $p ∈ P$ gegeben.  Wähle eine kleine
-Kreisscheibe $B_\varepsilon(p)$ um $p$, die keine weiteren Punkte aus $P$
+Kreisscheibe $B_{ε}(p)$ um $p$, die keine weiteren Punkte aus $P$ enthält.  Nach
-enthält.  Nach Beobachtung~\ref{beo:13-2-1} und der Wahl von $g$ gilt auf
+Beobachtung~\ref{beo:13-2-1} und der Wahl von $g$ gilt auf $B_{ε}(p) ∖ \{p\}$
-$B_\varepsilon(p) \setminus \{p\}$ die Gleichung
+die Gleichung
 \[
   \frac{f'(z)}{f(z)} = g(z) = \frac{n(p)}{z-p} + h(z),
 \]
-wobei $h \in \sO(B_\varepsilon(p))$ eine holomorphe Funktion ist.  Äquivalent:
+wobei $h ∈ 𝒪(B_{ε}(p))$ eine holomorphe Funktion ist.  Äquivalent: Die Funktion
-Die Funktion $f$ erfüllt auf $B_\varepsilon(p) \setminus \{p\}$ die
+$f$ erfüllt auf $B_{ε}(p) ∖ \{p\}$ die Differenzialgleichung
-Differentialgleichung
 \[
   f'(z) = \left[\frac{n(p)}{z-p} + h(z) \right]·f(z).
 \]
-Diese Differentialgleichung lässt sich durch Trennung der Variablen lösen.
+Diese Differenzialgleichung lässt sich durch Trennung der Variablen lösen.
-Genauer: Wenn $H \in \sO(B_\varepsilon(p))$ eine Stammfunktion von $h$ ist, dann
+Genauer: Wenn $H ∈ 𝒪(B_{ε}(p))$ eine Stammfunktion von $h$ ist, dann sind alle
-sind alle Lösungen der Differentialgleichung auf $B_\varepsilon(p) \setminus \{p\}$
+Lösungen der Differenzialgleichung auf $B_{ε}(p) ∖ \{p\}$ gegeben durch
-gegeben durch
 \[
   \text{const}^{\ne 0} · \exp\left( H(z) \right)·(z-p)^{n(p)}.
 \]
-Die Funktion $f|_{B_\varepsilon(p)}$ ist aber eine dieser Lösungen, hat also bei
+Die Funktion $f|_{B_{ε}(p)}$ ist aber eine dieser Lösungen, hat also bei $p$
-$p$ eine hebbare Singularität und eine Nullstelle der Ordnung $n(p)$. Damit ist
+eine hebbare Singularität und eine Nullstelle der Ordnung $n(p)$.  Damit ist der
-der Satz von Weierstraß bewiesen. \qed
+Satz von Weierstraß bewiesen.  \qed
 
 
 \section{Integration}
@@ -210,78 +206,62 @@ der Satz von Weierstraß bewiesen. \qed
 \subsection{Uneigentliche Integrale rationaler Funktionen}
 
 Der Residuensatz erlaubt die Berechnung gewisser uneigentlichen Integrale.  Ich
-skizziere das Vorgehen am Beispiel rationaler Funktionen. 
+skizziere das Vorgehen am Beispiel rationaler Funktionen.  Sei $f(z) =
-Sei $f(z) = \frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale Funktion, wobei folgendes gilt.
+\frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale Funktion, wobei folgendes gilt.
 \begin{enumerate}
   \item Die Funktion $f$ habe auf der reellen Achse keine Polstellen.
+
   \item Die Grade der Polynome $a(z)$ und $b(z)$ erfüllen die Ungleichung $\deg
     b \ge \deg a + 2$.
 \end{enumerate}
 und $f$ habe auf der reellen Achse keine Pole.  Dann kann man den Residuensatz
 anwenden, um das uneigentliche Integral
 \[
-  \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx
+  \int_{-∞}^{∞} f(x) \, dx
 \]
-zu berechnen. Beachte dazu folgendes: Wenn $r \in \bR⁺$ hinreichend groß ist,
+zu berechnen.  Beachte dazu folgendes: Wenn $r ∈ ℝ⁺$ hinreichend groß ist, dann
-dann liegen alle Polstellen von $f$ im Inneren der Kreisscheibe $B_r(0)$.  Sei
+liegen alle Polstellen von $f$ im Inneren der Kreisscheibe $B_r(0)$.  Sei $γ_r$
-$\gamma_r$ der folgende geschlossene Weg:
+der folgende geschlossene Weg:
 \begin{itemize}
   \item Gehe entlang der reellen Achse von $-r$ nach $r$.
-  \item Gehe entlang des Halbkreises $\{r·exp(i·t) \::\: 0 \leq t \leq \pi\}$ von
+
-    $r$ nach $-r$ zurück.
+  \item Gehe entlang des Halbkreises $\{r·exp(i·t) \::\: 0 ≤ t ≤ π\}$ von $r$
+    nach $-r$ zurück.
 \end{itemize}
-Dann hängt das Integral über $\gamma_r$  nicht von $r$ ab, und es gilt nach dem Residuensatz
+Dann hängt das Integral über $γ_r$ nicht von $r$ ab, und es gilt nach dem
+Residuensatz
 \[
-  \int_{-r}^{r} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{\Im z > 0} \Res(f,z),
+  \int_{-r}^{r} f(z) \, dz = 2π i \sum_{\Im z > 0} \Res(f,z),
 \]
-da das Integral über den oberen Halbkreis für $r \to \infty$ verschwindet.
+da das Integral über den oberen Halbkreis für $r → ∞$ verschwindet.
 
 \begin{rem}[Variante]
-Sei $f(z) = \dfrac{a(z)}{b(z)}$ rational ohne Pole auf der reellen Achse und mit $\deg b > \deg a$.  
+  Sei $f(z) = \dfrac{a(z)}{b(z)}$ rational ohne Pole auf der reellen Achse und
-Dann existieren die Grenzwerte
+  mit $\deg b > \deg a$.  Dann existieren die Grenzwerte
-\[
+  \[
-  \lim_{r \to \infty} \int_0^r f(x)e^{ix}\,dx, \qquad
+    \lim_{r → ∞} \int_0^r f(x)e^{ix}\,dx, \qquad
-  \lim_{r \to \infty} \int_{-r}^0 f(x)e^{ix}\,dx,
+    \lim_{r → ∞} \int_{-r}⁰ f(x)e^{ix}\,dx,
-\]
+  \]
-und
+  und
-\[
+  \[
-  \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{ix}\,dx = 2\pi i \sum_{\Im z > 0} \Res(f(z)e^{iz},z).
+    \int_{-∞}^{∞} f(x)e^{ix}\,dx = 2π i \sum_{\Im z > 0} \Res(f(z)e^{iz},z).
-\]
+  \]
 \end{rem}
 
 \begin{rem}[Fourier-Transformierte]
-Sei $f(z) = \frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale reelle Funktion ohne Pole auf der reellen Achse und $\deg b \ge 2 + \deg a$.  
+  Sei $f(z) = \frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale reelle Funktion ohne Pole auf
-Dann existiert für alle $y \in \bR$ das Integral
+  der reellen Achse und $\deg b \ge 2 + \deg a$.  Dann existiert für alle $y ∈ ℝ$
-\[
+  das Integral
-  \widehat{f}(y) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ixy}\,dx,
+  \[
-\]
+    \widehat{f}(y) := \int_{-∞}^{∞} f(x)e^{-ixy}\,dx,
-die \emph{Fourier-Transformierte} von $f$.  
+  \]
-Mit der Substitution $u = x y$ ergibt sich
+  die \emph{Fourier-Transformierte} von $f$.  Mit der Substitution $u = x y$
-\[
+  ergibt sich
-  \widehat{f}(y) = \frac{1}{y}\int_{-\infty}^{\infty} f\!\left(\frac{u}{y}\right)e^{-iu}\,du.
+  \[
-\]
+    \widehat{f}(y) = \frac{1}{y}\int_{-∞}^{∞} f\!\left(\frac{u}{y}\right)e^{-iu}\,du.
-Dieses Integral lässt sich mit Hilfe des Residuensatzes berechnen, sofern die Partialbruchzerlegung von $f$ bekannt ist.
+  \]
+  Dieses Integral lässt sich mithilfe des Residuensatzes berechnen, sofern die
+  Partialbruchzerlegung von $f$ bekannt ist.
 \end{rem}
 
-
-\part{Weiterführende Themen}
-
-\chapter{Harmonische Funktionen}
-
-In der angewandten Mathematik, Physik und Stochastik treten häufig \emph{harmonische Funktionen} auf.
-
-\begin{definition}
-Sei $U \subset \bR^2$ offen.  
-Eine stetige Funktion $f : U \to \bR$ heißt \emph{harmonisch}, wenn für jede Kreisscheibe $B_r(p) \subset U$ gilt:
-\[
-  f(p) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(p + e^{it})\,dt.
-\]
-Der Funktionswert im Mittelpunkt $p$ ist also das Mittel der Funktionswerte am Rand der Kreisscheibe.
-\end{definition}
-
-\begin{bsp}
-Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen sind harmonisch 
-\emph{(vgl. Mittelwertsatz der Funktionentheorie)}.
-\end{bsp}
-
 % !TEX root = Funktionentheorie

14-harmonic.tex

@@ -1,287 +1,269 @@
 % spell checker language
 \selectlanguage{german}
 
-\chapter{Anwendungen des Residuensatzes}
-
-\section{Zählen von Null- und Polstellen}
-
-\begin{situation}\label{sit:12-5-1}%
-  ---
-  \begin{itemize}
-    \item Es sei $U ⊂ ℂ$ Gebiet und es sei $P ⊂ U$ eine abgeschlossene und
-      diskrete Teilmenge.
-    
-    \item Es sei $f ∈ 𝒪(U ∖ P)$ eine holomorphe Funktion mit isolierten
-      Singularitäten.  Wir nehmen an, dass $f$ nicht die Nullfunktion ist und
-      keine essenziellen Singularitäten hat.  Für jeden Punkt $z ∈ U$ sei
-      $ν_z(f)$ die Polstellenordnung von $f$ in $z$; diese ist positiv, wenn $f$
-      bei $z$ eine Polstelle hat und negativ bei Nullstellen.
-
-    \item Es sei $N = \{z ∈ U \mid f(z) = 0\}$ die Menge der Nullstellen von
-      $f$.
-
-    \item Es sei $γ: [a,b] → U ∖ (N ∪ P)$ sei ein in $U$ zusammenziehbarer Weg.
-  \end{itemize}
-\end{situation}
-
-\begin{bemerkung}
-  In Situation~\ref{sit:12-5-1} sind die Zahlen $ν_z(f)$ für fast alle $z ∈ U$
-  gleich null, und höchstens für $z ∈ P$ positiv.
-\end{bemerkung}
-
-\begin{bemerkung}\label{bem:12-5-3}%
-  In Situation~\ref{sit:12-5-1} sagt die „Goldene Regel 2“, dass die
-  Umlaufzahlen $\Um(γ, p)$ höchstens auf einer kompakten Teilmenge von $U$
-  ungleich null sind.  Da der Schnitt einer diskreten Menge mit einer kompakten
-  Menge endlich ist, gibt es nur endlich viele Punkte $z ∈ U$, für die das
-  Produkt $\Um(γ, p) · ν_p(f)$ ungleich null ist.
-\end{bemerkung}
-
-\begin{satz}[Zählen von Null- und Polstellen]\label{satz:12-5-1}%
-  In Situation~\ref{sit:12-5-1} betrachte den Weg $f ◦ γ : [a,b] → ℂ$. Dann gilt
-  \[
-    \Um(f ◦ γ, 0) = \sum_{p ∈ U} \Um(γ, p) · ν_p(f).
-  \]
-  Beachte, dass nach Bemerkung~\ref{bem:12-5-3} nur endlich viele der Summanden
-  auf der rechten Seite ungleich null sind.
-\end{satz}
-\begin{proof}
-  Es gilt
-  \begin{align*}
-    \Um(f ◦ γ, 0) & = \frac{1}{2π i} \int_{f◦ γ} \frac{1}{z} \, dz && \text{Definition Umlaufzahl} \\
-    & = \frac{1}{2π i} \int_γ \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz && \text{Definition Wegintegral, Kettenregel} \\
-    & = \sum_{p ∈ U} \Um(γ, p) · ν_p(f) && \text{Residuensatz, Bemerkung~\ref{bem:12-4-2}.}
-  \end{align*}
-  Damit ist Satz~\ref{satz:12-5-1} bewiesen.
-\end{proof}
-
-\begin{kor}[Satz von Rouché\footnote{Eugène Rouché (* 18.~August 1832 in
-    Sommières, Département Hérault; † 19.~August 1910 in Lunel) war ein
-    französischer Mathematiker.  }]\label{kor:12-5-2}%
-  \index{Satz von Rouché}Sei $U ⊂ ℂ$ offen, $f ∈ 𝒪(U)$ und $K ⊂ U$ eine
-  abgeschlossene Kreisscheibe. Sei außerdem eine holomorphe Funktion $g ∈ 𝒪(U)$
-  gegeben, sodass für jedes $z ∈ δ K$ die Ungleichung
-  \begin{equation}\label{eq:12-5-5}%
-    |f(z)| > |g(z)|
-  \end{equation}
-  gilt.  Dann gilt Folgendes.
-  \begin{enumerate}
-    \item\label{il:12-5-5-1} Alle Nullstellen von $f$ und $f+g$ auf $K$ liegen
-      im Inneren von $K$.
-
-    \item\label{il:12-5-5-2} Mit Vielfachheit gezählt haben $f$ und $f+g$ die
-      gleiche Anzahl an Nullstellen auf $K$.
-  \end{enumerate}
-\end{kor}
-\begin{proof}
-  Für $t ∈ [0,1]$ betrachte die Familie von Funktionen $h_t(z) := f(z) +
-  t·g(z)$.  Ungleichung~\eqref{eq:12-5-5} zeigt sofort, dass für jedes $t ∈
-  [0,1]$ und jedes $z ∈ ∂K$ die Ungleichung
-  \[
-    h_t(z)
-  \]
-  gilt.  Damit ist~\ref{il:12-5-5-1} bewiesen.  Als Nächstes betrachte
-  \[
-    N : [0,1] → ℂ, \quad t ↦ \frac{1}{2π i} \int_{∂K} \frac{h_t'(z)}{h_t(z)} \, dz.
-  \]
-  Auf der einen Seite sagt der Satz über parameterabhängige Integrale, dass $N$
-  stetig ist.  Auf der anderen Seite gilt nach Satz~\ref{satz:12-5-1} für jedes
-  $t ∈ [0,1]$ die Gleichung
-  \[
-    N(t) = \text{Anzahl der Nullstellen von $h_t$ in $K$}.
-  \]
-  Da $N(t)$ also ganzzahlig ist, ist $N$ konstant.  Somit gilt insbesondere
-  $N(0) = N(1)$.
-\end{proof}
-
-\begin{bsp}\label{bsp:12-5-3}%
-  Wir behaupten, dass die Funktion
-  \[
-    \frac{1}{10} z⁷ + 1 + 5 z²
-  \]
-  in $B_1(0)$ genau $2$ Nullstellen hat.  Schreibe dazu $f(z) = 5z²$, $g(z) =
-  \frac{1}{10} z⁷ + 1$ und beobachte, dass für jedes $z$ mit $|z| = 1$ die
-  Ungleichung
-  \[
-    |f(z)| = 5 > 1 + \frac{1}{10} ≥ |g(z)|
-  \]
-  gilt.  Der Satz von Rouché zeigt nun die Behauptung.
-\end{bsp}
-
-
-\section{Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen}
-
-\begin{satz}[Weierstraß]
-  \index{Satz von Weierstraß}Sei $P \subset \bC$ eine diskrete und
-  abgeschlossene Menge und $n : P \to \bN$ eine beliebige Abbildung. Dann
-  existiert eine Funktion $f \in \sO(\bC)$, sodass folgendes gilt.
-  \begin{enumerate}
-    \item Die Nullstellenmenge von $f$ ist exakt $P$.
-
-    \item Für jedes $p \in P$ gilt: Die Funktion $f$ hat bei $p$ eine Nullstelle
-      der Ordnung $n(p)$.
-  \end{enumerate}
-\end{satz}
-
-
-\subsection{Vorüberlegung zum Beweis des Satzes von Weierstraß}
-
-Es sei $f \in \sO(\bC)$ eine holomorphe Funktion, die am Punkt $p \in \bC$ eine
-Nullstelle der Ordnung $n$ besitzt.  Entwickle $f$ bei $p$ in eine Potenzreihe,
-sodass für $z$ in einer Umgebung von $p$ folgendes gilt.
-\begin{align}
-  f(z) & = \sum_{i = n}^{\infty} a_i (z-p)^i \\
-  f'(z) & = \sum_{i = n}^{\infty} a_i·i·(z-p)^{i-1} \\
-  f^{-1}(z) & = a^{-1}_n·(z-p)^{-n} + \sum_{i = -n+1}^{\infty} \cdots \\
-  \label{il:13-2-1-6} (f'/f)(z) & = \underbrace{n·(z-p)^{-1}}_{\text{Hauptteil}} + \underbrace{(\text{Potenzreihe})}_{\text{Nebenteil}}.
-\end{align}
-
-
-\subsection{Beweis des Satzes von Weierstraß}
-
-Die Vorüberlegung legt nahe, den Satz von Mittag–Leffler zu verwenden. Sei also
-$g \in \sO(\bC \setminus P)$ eine Funktion, deren Hauptteil an jeder Stelle $p
-\in P$ exakt gleich $\frac{n(p)}{z-p}$ ist.  Das Ziel ist jetzt, aus der
-Funktion $g$ die gesuchte Funktion $f$ zu konstruieren.
-
-\begin{erinnerung}
-  Der Residuensatz besagt, dass für jede geschlossene Kurve $\gamma$ in $\bC
-  \setminus P$ gilt:
-  \[
-    \int_\gamma g(z) \, dz = 2\pi i \sum_{p \in P} \Um(\gamma, p) · n(p).
-  \]
-  Da $n(p) \in \bZ$ für alle $p \in P$ gilt, ist das Integral auf der linken
-  Seite also stets ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi i$, liegt also im Kern
-  der Exponentialfunktion $\exp : \bC \to \bC^*$.
-\end{erinnerung}
-
-Die Erinnerung erlaubt folgende Konstruktion: Wähle einen Punkt $q \in \bC
-\setminus P$ und wähle für jedes $w \in \bC \setminus P$ einen Weg $\gamma_w$
-von $q$ nach $w$.  Dann definiere die Funktion
-\[
-  f : \bC \setminus P \to \bC^*, \quad w \mapsto \exp \left(\int_{\gamma_w} g(z) \, dz\right).
-\]
-Die Erinnerung zeigt, dass die Funktion $f$ unabhängig von der Wahl der Wege
-$\gamma_w$ ist.
-
-\begin{beobachtung}
-  Die Funktion $f$ ist auf $\bC \setminus P$ holomorph, weil $g$ holomorph ist.
-  \qed
-\end{beobachtung}
-
-\begin{beobachtung}
-  Die Funktion $f$ hat auf $\bC \setminus P$ keine Nullstelle, weil die
-  Exponentialfunktion keine Nullstelle hat. \qed
-\end{beobachtung}
-
-\begin{beobachtung}\label{beo:13-2-1}%
-  Auf $\bC \setminus P$ gilt die Gleichung $f'/f = g$. \qed
-\end{beobachtung}
-
-Jetzt fehlt nur noch zu zeigen, dass $f$ an jedem Punkt $p \in P$ eine hebbare
-Singularität hat und dass die fortgesetzte Funktion eine Nullstelle der Ordnung
-$n(p)$ besitzt.  Sei also ein Punkt $p \in P$ gegeben. Wähle eine kleine
-Kreisscheibe $B_\varepsilon(p)$ um $p$, die keine weiteren Punkte aus $P$
-enthält.  Nach Beobachtung~\ref{beo:13-2-1} und der Wahl von $g$ gilt auf
-$B_\varepsilon(p) \setminus \{p\}$ die Gleichung
-\[
-  \frac{f'(z)}{f(z)} = g(z) = \frac{n(p)}{z-p} + h(z),
-\]
-wobei $h \in \sO(B_\varepsilon(p))$ eine holomorphe Funktion ist.  Äquivalent:
-Die Funktion $f$ erfüllt auf $B_\varepsilon(p) \setminus \{p\}$ die
-Differentialgleichung
-\[
-  f'(z) = \left[\frac{n(p)}{z-p} + h(z) \right]·f(z).
-\]
-Diese Differentialgleichung lässt sich durch Trennung der Variablen lösen.
-Genauer: Wenn $H \in \sO(B_\varepsilon(p))$ eine Stammfunktion von $h$ ist, dann
-sind alle Lösungen der Differentialgleichung auf $B_\varepsilon(p) \setminus \{p\}$
-gegeben durch
-\[
-  \text{const}^{\ne 0} · \exp\left( H(z) \right)·(z-p)^{n(p)}.
-\]
-Die Funktion $f|_{B_\varepsilon(p)}$ ist aber eine dieser Lösungen, hat also bei
-$p$ eine hebbare Singularität und eine Nullstelle der Ordnung $n(p)$. Damit ist
-der Satz von Weierstraß bewiesen. \qed
-
-
-\section{Integration}
-
-\subsection{Uneigentliche Integrale rationaler Funktionen}
-
-Der Residuensatz erlaubt die Berechnung gewisser uneigentlichen Integrale. Ich
-skizziere das Vorgehen am Beispiel rationaler Funktionen. 
-Sei $f(z) = \frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale Funktion, wobei folgendes gilt.
-\begin{enumerate}
-  \item Die Funktion $f$ habe auf der reellen Achse keine Polstellen.
-  \item Die Grade der Polynome $a(z)$ und $b(z)$ erfüllen die Ungleichung $\deg
-    b \ge \deg a + 2$.
-\end{enumerate}
-und $f$ habe auf der reellen Achse keine Pole.  Dann kann man den Residuensatz
-anwenden, um das uneigentliche Integral
-\[
-  \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx
-\]
-zu berechnen. Beachte dazu folgendes: Wenn $r \in \bR⁺$ hinreichend groß ist,
-dann liegen alle Polstellen von $f$ im Inneren der Kreisscheibe $B_r(0)$.  Sei
-$\gamma_r$ der folgende geschlossene Weg:
-\begin{itemize}
-  \item Gehe entlang der reellen Achse von $-r$ nach $r$.
-  \item Gehe entlang des Halbkreises $\{r·exp(i·t) \::\: 0 \leq t \leq \pi\}$ von
-    $r$ nach $-r$ zurück.
-\end{itemize}
-Dann hängt das Integral über $\gamma_r$  nicht von $r$ ab, und es gilt nach dem Residuensatz
-\[
-  \int_{-r}^{r} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{\Im z > 0} \Res(f,z),
-\]
-da das Integral über den oberen Halbkreis für $r \to \infty$ verschwindet.
-
-\begin{rem}[Variante]
-Sei $f(z) = \dfrac{a(z)}{b(z)}$ rational ohne Pole auf der reellen Achse und mit $\deg b > \deg a$.  
-Dann existieren die Grenzwerte
-\[
-  \lim_{r \to \infty} \int_0^r f(x)e^{ix}\,dx, \qquad
-  \lim_{r \to \infty} \int_{-r}^0 f(x)e^{ix}\,dx,
-\]
-und
-\[
-  \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{ix}\,dx = 2\pi i \sum_{\Im z > 0} \Res(f(z)e^{iz},z).
-\]
-\end{rem}
-
-\begin{rem}[Fourier-Transformierte]
-Sei $f(z) = \frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale reelle Funktion ohne Pole auf der reellen Achse und $\deg b \ge 2 + \deg a$.  
-Dann existiert für alle $y \in \bR$ das Integral
-\[
-  \widehat{f}(y) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ixy}\,dx,
-\]
-die \emph{Fourier-Transformierte} von $f$.  
-Mit der Substitution $u = x y$ ergibt sich
-\[
-  \widehat{f}(y) = \frac{1}{y}\int_{-\infty}^{\infty} f\!\left(\frac{u}{y}\right)e^{-iu}\,du.
-\]
-Dieses Integral lässt sich mit Hilfe des Residuensatzes berechnen, sofern die Partialbruchzerlegung von $f$ bekannt ist.
-\end{rem}
-
-
-\part{Weiterführende Themen}
-
 \chapter{Harmonische Funktionen}
 
-In der angewandten Mathematik, Physik und Stochastik treten häufig \emph{harmonische Funktionen} auf.
+In der angewandten Mathematik, Physik und Stochastik treten häufig
+\emph{harmonische Funktionen} auf.  Das sind Funktionen, die die
+Mittelwert-Eigenschaft per Definition erfüllen.
 
 \begin{definition}
-Sei $U \subset \bR^2$ offen.  
+  Sei $U ⊂ ℝ²$ offen.  Eine stetige Funktion $f : U → ℝ$ heißt
-Eine stetige Funktion $f : U \to \bR$ heißt \emph{harmonisch}, wenn für jede Kreisscheibe $B_r(p) \subset U$ gilt:
+  \emph{harmonisch}\index{harmonische Funktion}, wenn für jede Kreisscheibe
-\[
+  $B_r(p) ⊂ U$ gilt:
-  f(p) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(p + e^{it})\,dt.
+  \[
-\]
+    f(p) = \frac{1}{2π} \int_0^{2π} f(p + e^{it})\,dt.
-Der Funktionswert im Mittelpunkt $p$ ist also das Mittel der Funktionswerte am Rand der Kreisscheibe.
+  \]
+  Der Funktionswert im Mittelpunkt $p$ ist also das Mittel der Funktionswerte am
+  Rand der Kreisscheibe.
 \end{definition}
 
-\begin{bsp}
+\begin{bsp}[Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen]
-Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen sind harmonisch 
+  Proposition~\ref{satz:5-2-1} („Mittelwertsatz“) besagt unter anderem, dass
-\emph{(vgl. Mittelwertsatz der Funktionentheorie)}.
+  Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen harmonisch sind.
 \end{bsp}
 
+
+\section{Konsequenzen von Harmonizität}
+
+\begin{prop}[Maximumprinzip für harmonische Funktionen]\label{prop:14-1-1}%
+  \index{Maximumprinzip für harmonische Funktionen}Es sei $U ⊂ ℝ²$
+  zusammenhängend und offen und es sei $f : U → ℝ$ harmonisch.  Wenn $f$ auf $U$
+  ein Maximum oder Minimum erreicht, dann ist $f$ konstant.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+  Angenommen, ein Maximum
+  \[
+    M := \max\{ f(z) \mid z ∈ U \}
+  \]
+  existiert und es sei $p$ ein Punkt aus $U$ mit $f(p) = M$.  Wenn $ε ≪ 1$
+  ausreichend klein ist, dann ist $B_ε(p) ⊂ U$ und es gilt für jeden Punkt $z ∈
+  ∂B_ε(p)$ die Ungleichung $f(z) ≤ f(p)$.  Die Gleichung
+  \[
+    f(p) = \frac{1}{2π} \int_0^{2π} f(p + ε · e^{it})\,dt
+  \]
+  zeigt dann, dass für jeden Punkt $z ∈ ∂B_ε(p)$ bereits die Gleichung $f(z) =
+  f(p)$ gelten muss.  Es folgt, dass $f$ auf $B_ε(p)$ konstant ist.  In der
+  Summe sehen wir, dass die Menge
+  \[
+    \{z ∈ U \::\: f(z) = M\} ⊆ U
+  \]
+  offen ist.  Da diese Menge offensichtlich auch abgeschlossen ist, folgt die
+  Behauptung.
+\end{proof}
+
+\begin{prop}
+  Es sei $p ∈ ℝ²$ und $r > 0$.  Weiter seien $f_1, f_2 : \overline{\bar{B}_r(p)}
+  → ℝ$ zwei stetige Funktionen, die auf $B_r(p)$ harmonisch sind und auf dem
+  Rand $∂\bar{B}_r(p)$ übereinstimmen.  Dann ist $f_1 = f_2$.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+  Die Funktion $f := f_1 - f_2$ ist stetig auf $B_r(p)$ harmonisch und auf dem
+  Rand $∂\bar{B}_r(p)$ gleich null.  Als stetige Funktion auf der kompakten
+  Menge $\overline{\bar{B}_r(p)}$ nimmt $f_1 - f_2$ ein Maximum und Minimum an.
+  Sollten diese ungleich Null sein, so würden diese an einem Punkt im Innern von
+  $B_r(p)$ angenommen.  Dann ist $f_1 - f_2$ aber nach Satz~\ref{prop:14-1-1}
+  konstant.
+\end{proof}
+
+
+\section{Konstruktion von harmonischen Funktionen}
+
+\begin{konstruktion}[Funktionen vom Rand der Kreisscheibe in das Innere Fortsetzen]\label{konst:14-2-1}%
+  Es sei $S¹ ⊂ ℂ$ der Einheitskreis und $h : S¹ → ℝ$ sei stetig. Dann betrachte
+  \[
+    \bar{h} : \overline{B_1(0)} → ℝ,
+    \quad
+    z ↦
+    \begin{cases}
+      h(z) & \text{falls } |z| = 1 \\
+      \frac{1}{2π} \int_0^{2π} h(e^{it}) · \operatorname{Realteil}\left(\frac{e^{it} + z}{e^{it} - z}\right)\,dt & \text{sonst}.
+    \end{cases}
+  \]
+  Eine mühsame Rechnung, die ich mir spare, zeigt Folgendes.
+  \begin{itemize}
+    \item Die Funktion $\bar{h}$ ist auf der abgeschlossenen
+      Einheitskreisscheibe stetig.
+
+    \item Die Funktion $\bar{h}$ ist auf der offenen Einheitskreisscheibe
+      harmonisch.
+  \end{itemize}
+\end{konstruktion}
+
+\begin{rem}[Poisson\footnote{Siméon Denis Poisson (* 21.~Juni 1781 in Pithiviers
+    (Département Loiret); † 25.~April 1840 in Paris) war ein französischer
+    Physiker und Mathematiker.}-Transformation und Fourier\footnote{Baron Jean
+    Baptiste Joseph Fourier (* 21.  März 1768 bei Auxerre; † 16.  Mai 1830 in
+    Paris) war ein französischer Mathematiker und Physiker.}-Transformation]%
+  Der Integralausdruck aus Konstruktion~\ref{konst:14-2-1} ist in der Analysis
+  wichtig und wird als „Poisson-Transformation“\index{Poisson-Transformation}
+  der Funktion $h$ bezeichnet.  Die Poisson-Transformation ist eng mit der
+  Fourier-Transformation von $h$ verwandt!  Um den Zusammenhang zu sehen,
+  betrachte die Fourier-Entwicklung der periodischen Funktion
+  \[
+    h' : ℝ → ℝ, \quad t ↦ h(\exp(it)),
+    \quad
+    t ↦ \sum_{k ∈ ℤ} a_k \exp(ikt).
+  \]
+  Setze jeden Term ein in die Formel aus Konstruktion~\ref{konst:14-2-1} ein
+  schaue, was passiert.
+\end{rem}
+
+\begin{kons}[Holographieprinzip für harmonische Funktionen]
+  Gegeben eine Kreisscheibe $B_r(p) ⊂ ℂ$ und eine stetige Funktion $h : ∂B_r(p)
+  → ℝ$, so gibt es genau eine stetige Funktion $\bar{h} : \overline{B_r(p)} →
+  ℝ$, die auf dem Rand mit $h$ übereinstimmt und im Innern harmonisch ist.  \qed
+\end{kons}
+
+\begin{kons}[Harmonische Funktionen als Realteile holomorpher Funktionen]
+  Gegeben eine Kreisscheibe $B_r(p) ⊂ ℂ$ und eine harmonische Funktion $h :
+  B_r(p) → ℝ$.  Dann ist $h$ der Realteil einer holomorphen Funktion.
+\end{kons}
+\begin{proof}
+  Wir wissen aus Satz~\vref{satz:3-1-12} („Ableiten unter dem Integral“), dass
+  die Abbildung
+  \[
+    B_r(ρ) → ℂ, \qquad z ↦ \frac{1}{2π} \int_0^{2π} h(e^{it}) ·
+    \frac{e^{it} + z}{e^{it} - z}\,dt
+  \]
+  holomorph ist.
+\end{proof}
+
+
+\section{Harmonische Funktionen als Realteile holomorpher Funktionen}
+
+\begin{bsp}[Harmonische Funktionen sind nicht immer Realteile holomorpher Funktionen]
+  Im Allgemeinen sind harmonische Funktionen nicht unbedingt Realteile von
+  holomorphen Funktionen.  Betrachte zum Beispiel den Hauptzweig des Logarithmus
+  \[
+    \log : ℂ^* → ℂ, \quad z ↦ \log|z| + i · \arg(z).
+  \]
+  Wir wissen schon: diese Funktion ist nicht stetig, weil $\arg$ nicht stetig
+  ist.  Der Realteil, die Funktion $h : z ↦ \log|z|$, ist aber auf ganz $ℂ^*$
+  harmonisch.  Die Funktion $h$ ist aber nicht der Realteil einer holomorphen
+  Funktion auf $ℂ^*$.  Falls $h$ nämlich der Realteil einer holomorphen Funktion
+  $φ ∈ 𝒪(ℂ^*)$ wäre, dann wäre
+  \[
+    \operatorname{Realteil}(φ ◦ \exp - \Id) = 0.
+  \]
+  Nach dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen, Korollar~\vref{kor:7-2-2},
+  ist dann auch $φ ◦ \exp - \Id = 0$.  Also wäre $φ$ eine Logarithmus-Funktion.
+  Eine solche Funktion existiert aber nicht einmal als stetige Funktion, wie wir
+  spätestens seit Lemma~\ref{lem:1-2-15} wissen.
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Harmonische Funktionen als Realteile holomorpher Funktionen]\label{satz:14-3-2}%
+  Sei $U ⊂ ℂ$ einfach zusammenhängend, $f : U → ℝ$.  Dann sind folgende Aussagen
+  äquivalent.
+  \begin{enumerate}
+    \item Die Funktion $f$ ist harmonisch.
+
+    \item\label{il:14-3-2-2} Die Funktion $f$ ist Realteil einer holomorphen
+    Funktion.
+  \end{enumerate}
+  Insbesondere gilt: Die holomorphe Funktion $f$ aus \ref{il:14-3-2-2} ist
+  eindeutig bis auf Addition mit einer rein imaginären Zahl.
+\end{satz}
+
+Wir beweisen Satz~\ref{satz:14-3-2} auf Seite~\vpageref{pf:14-3-2}.
+
+
+\section{Infinitesimale Beschreibung harmonischer Funktionen}
+
+\begin{satz}[Infinitesimale Beschreibung harmonischer Funktionen]\label{satz:14-4-1}%
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f : U → ℝ$ harmonisch.  Dann sind folgende Aussagen
+  äquivalent.
+  \begin{enumerate}
+    \item\label{il:14-4-1-1} Die Funktion $f$ ist harmonisch.
+
+    \item\label{il:14-4-1-2} Die Funktion $f$ ist zweimal stetig differenzierbar
+      und es ist
+      \[
+        Δf = \left(\frac{∂²}{∂x²} + \frac{∂²}{∂y²}\right) f = 0.
+      \]
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{notation}[Laplace\footnote{Pierre-Simon Laplace, seit 1817 Marquis de
+    Laplace (* 23.~März 1749 in Beaumont-en-Auge in der Normandie; † 5.~März
+    1827 in Paris) war ein französischer Mathematiker, Physiker und Astronom. Er
+    beschäftigte sich unter anderem mit der Wahrscheinlichkeitstheorie und mit
+    Differenzialgleichungen.}-Operator]%
+  Statt $\left(\frac{∂²}{∂x²} + \frac{∂²}{∂y²}\right) f$ schreibt man oft $Δf$.
+  Der Differenzialoperator $Δ = \frac{∂²}{∂x²} + \frac{∂²}{∂y²}$ wird auch als
+  \emph{Laplace-Operator}\index{Laplace-Operator} bezeichnet.
+\end{notation}
+
+\begin{rem}[Differenzialoperatoren, Vorüberlegung zum Beweis von Satz~\ref{satz:14-4-1}]
+  Wenn eine Funktion $g : U → ℝ$ oder $g : U → ℂ$ zweimal differenzierbar ist,
+  dann ist
+  \begin{align*}
+    \frac{∂}{∂\bar{z}} \frac{∂}{∂z} g & = \frac{∂}{∂\bar{z}} \left(\frac{1}{2}\left(\frac{∂g}{∂x} + i\frac{∂g}{∂y}\right)\right) \\
+    & = \frac{1}{4} \left(\frac{∂²g}{∂x²} - i\frac{∂²g}{∂x∂y} + i\left(\frac{∂²g}{∂y∂y} - i\frac{∂²g}{∂y²}\right)\right) \\
+    & = \frac{1}{4} \, Δg.
+  \end{align*}
+\end{rem}
+  
+\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:14-4-1}, Implikation \ref{il:14-4-1-1} $⇒$ \ref{il:14-4-1-2}]
+  Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $U$ eine
+  Kreisscheibe ist.  Dort kann ich $f$ mithilfe der Poisson-Transformation als
+  Realteil einer holomorphen Funktion $f' ∈ 𝒪(U)$ schreiben.  Dann ist
+  $\frac{∂f'}{∂z}$ holomorph.  Also gilt
+  \[
+    Δ(\text{Realteil} f') + iΔ(\text{Imaginärteil} f') = Δf' = \const⁺·\frac{∂}{∂\bar{z}} \frac{∂}{∂z} f' = 0.
+  \]
+  Also ist $Δf = 0$.
+\end{proof}
+  
+\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:14-4-1}, Implikation \ref{il:14-4-1-2} $⇒$ \ref{il:14-4-1-1}]
+  Per Annahme ist
+  \[
+    0 = Δf = \frac{∂}{∂\bar{z}} \frac{∂}{∂z} f.
+  \]
+  Also ist die Funktion
+  \[
+    \frac{∂f}{∂z} = \frac{∂f}{∂x} - i\frac{∂f}{∂y}
+  \]
+  bereits holomorph!  Jetzt müssen wir testen, ob $f$ harmonisch ist.  Sei also
+  eine beliebige Kreisscheibe $B_r(p) ⊂ U$ gegeben.  Dann ist für $ε ≪ 1$ auch
+  $B_{r+ε}(p) ⊂ U$ und dort hat die holomorphe Funktion $\frac{∂f}{∂z}$ eine
+  Stammfunktion $F ∈ 𝒪(B_{r+ε}(p))$.  Es ist aber
+  \[
+    \begin{matrix}
+      \frac{∂F}{∂x} & = \frac{∂f}{∂z} & = \frac{∂f}{∂x} - i\frac{∂f}{∂y} \\
+      \frac{∂F}{∂y} & = i\frac{∂F}{∂x} & = \frac{∂f}{∂y} + i\frac{∂f}{∂x}.
+    \end{matrix}
+  \]
+  Also ist
+  \[
+    \operatorname{grad} \operatorname{Realteil}(F) = \operatorname{grad} f.
+  \]
+  Die Funktionen $\operatorname{Realteil}(F)$ und $f$ unterscheiden sich also
+  nur um eine additive Konstante.  Daher ist $f = \operatorname{Realteil}(F) +
+  \const$ auf $B_{r+ε}(p)$ Realteil einer holomorphen Funktion, also harmonisch!
+\end{proof}
+
+Der gerade geführte Beweis liefert fast wörtlich auch einen Beweis von
+Satz~\ref{satz:14-3-2}.
+
+\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:14-3-2}]\label{pf:14-3-2}%
+  Per Annahme ist $0 = Δf = \frac{∂}{∂\bar{z}} \frac{∂}{∂z} f$.  Also ist die
+  Funktion
+  \[
+    \frac{∂f}{∂z} = \frac{∂f}{∂x} - i\frac{∂f}{∂y}
+  \]
+  bereits holomorph!  Jetzt müssen wir testen, ob $f$ harmonisch ist.  Weil $U$
+  per Annahme einfach zusammenhängend ist, gibt es nach Korollar~\ref{kor:4-3-4}
+  eine Stammfunktion $F ∈ 𝒪(B_{r+ε}(p))$.  Es ist aber
+  \[
+    \begin{matrix}
+      \frac{∂F}{∂x} & = \frac{∂f}{∂z} & = \frac{∂f}{∂x} - i\frac{∂f}{∂y} \\
+      \frac{∂F}{∂y} & = i\frac{∂F}{∂x} & = \frac{∂f}{∂y} + i\frac{∂f}{∂x}.
+    \end{matrix}
+  \]
+  Die Funktionen $\operatorname{Realteil}(F)$ und $f$ unterscheiden sich also
+  nur um eine additive Konstante.  Daher ist $f = \operatorname{Realteil}(F) +
+  \const$ auf $B_{r+ε}(p)$ Realteil einer holomorphen Funktion, also harmonisch!
+\end{proof}
+
 % !TEX root = Funktionentheorie

Funktionentheorie.tex

@@ -160,6 +160,11 @@ Link in den Text ein.
 \input{12-residuum}
 \input{13-applResiduum}
 
+
+\part{Weiterführende Themen}
+
+\input{14-harmonic}
+
 \addchap{Lizenz}
 
 Dieser Text ist unter der Lizenz