Vorlesung 3

03-wegintegrale.tex

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+\selectlanguage{german}
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+\chapter{Wegintegrale}
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+\section{Integration von vektorwertigen Funktionen}
+
+In diesem Abschnitt ist $[a,b] \subset \mathbb{R}$ stets ein nicht leeres,
+kompaktes Intervall. Weiter sei $V$ ein reeller, endlich-dimensionaler
+Vektorraum.
+
+\begin{definition}[Integration von Funktionen mit Werten im $\bR^n$]\label{def:3-1-1}%
+  Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] \to \mathbb{R}^n$, dann definiert man
+  \[
+    \int_a^b f(t) \, dt \in \bR^n
+  \]
+  durch komponentenweise Integration.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Integration von vektorwertigen Funktionen]
+  Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] \to V$, dann wählt man eine Basis von
+  $V$ mit $\mathbb{R}^n$ zu identifizieren, definiert $\int_a^b f(t) \, dt$
+  mithilfe von Definition~\ref{def:3-1-1} und rechnet nach, dass das Ergebnis
+  nicht von der Wahl der Basis abhängt.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+  Es ist
+  \[
+    \int_0^{2\pi} \exp(i \cdot t) \, dt = \begin{pmatrix} \int_0^{2\pi} \cos(t) \, dt \\ \int_0^{2\pi} \sin(t) \, dt \end{pmatrix} = 0 \in \mathbb{C}.
+  \]
+\end{bsp}
+
+Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein.
+
+\begin{prop}
+  Sei $f: [a,b] \to V$ stetig.  Dann gilt Folgendes.
+  \begin{enumerate}
+  \item Für jedes $c \in (a,b)$ gilt $\int_a^b f(t) \, dt = \int_a^c f(t) \, dt + \int_c^b f(t) \, dt$.
+
+  \item Wenn $W$ reell-dimensionaler $\mathbb{R}$-Vektorraum ist und $\phi: V \to W$ linear, dann ist
+  \[
+    \int_a^b (\phi \circ f)(t) \, dt = \phi \left( \int_a^b f(t) \, dt \right).
+  \]
+
+  \item Wenn $f \equiv \vec{v}$ konstant ist, dann ist $\int_a^b f(t) \, dt =
+  (b-a) \cdot \vec{v}$
+
+  \item Für jede Norm auf $V$ gilt $\left\| \int_a^b f(t) \, dt \right\| \leq
+  \int_a^b \|f(t)\| \, dt.$ \qed
+  \end{enumerate}
+\end{prop}
+
+\begin{definition}[Stammfunktionen]
+  Sei $f: [a,b] \to V$ stetig. Eine Abbildung $F: [a,b] \to V$ heißt
+  Stammfunktion\index{Stammfunktion} von $f$, falls $F$ differenzierbar ist und
+  die Gleichung $F' = f$ gilt.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]
+  Sei $f: [a,b] \to V$ stetig. Dann ist
+  \[
+    F: [a,b] \to V, \quad t \mapsto \int_a^t f(u) \, du
+  \]
+  eine Stammfunktion \qed
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[Eindeutigkeit von Stammfunktionen]
+  Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante \qed
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[Integrale und Stammfunktionen]
+  Sei $f: [a,b] \to V$ stetig und $F$ eine Stammfunktion. Dann ist
+\[
+  \int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a). \qed
+\]
+\end{satz}
+
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