kebekus/Funktionentheorie
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Stefan Kebekus
2025-10-21 13:56:14 +02:00
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02-diffbarkeit.tex
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@@ -302,7 +302,7 @@ zwischen Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit wissen.
\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
Es ist lediglich die Implikation \ref{il:2-3-5-4} $\Leftrightarrow$
Es ist lediglich die Implikation \ref{il:2-3-5-4} $⇔$
\ref{il:2-3-5-2} interessant. Betrachte dazu die Ableitungsmatrix von $f$ wie
in Erinnerung~\ref{eri:2-2-1} und vergleiche die Cauchy-Riemann Gleichungen
\eqref{eq:2-2-2-1} mit Erinnerung~\ref{eri:2-3-2}.

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03-wegintegraleDiffbar.tex
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@@ -58,16 +58,16 @@ Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein.
\end{prop}
Wir erinnern uns an Analysis I: Integration ist einfach, wenn ich eine
Stammfunktion habe.
Stammfunktion habe.
\begin{definition}[Stammfunktionen]\label{def:3-1-5}%
Sei $f: [a,b] → V$ stetig. Eine Abbildung $F: [a,b] → V$ heißt
Stammfunktion\index{Stammfunktion!von Funktion auf $\bR$} von $f$, falls $F$
Stammfunktion\index{Stammfunktion!von Funktion auf $ℝ$} von $f$, falls $F$
differenzierbar ist und die Gleichung $F' = f$ gilt.
\end{definition}
Achtung! Wir werden im Abschnitt~\vref{sec:3-3} noch einen weiteren Begriff von
Stammfunktion einführen, für komplexe Ableitungen von Funktionen auf $ℂ$. Bitte
Achtung! Wir werden im Abschnitt~\vref{sec:3-3} noch einen weiteren Begriff von
Stammfunktion einführen, für komplexe Ableitungen von Funktionen auf $ℂ$. Bitte
diese Begriffe nicht verwechseln!
\begin{satz}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]
@@ -246,7 +246,7 @@ diese Begriffe nicht verwechseln!
\begin{definition}[Stammfunktion]\label{def:3-3-1}%
Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f: U → ℂ$ stetig. Eine holomorphe Funktion $F: U → ℂ$
heißt \emph{komplexe Stammfunktion}\index{Stammfunktion!von Abbildung auf
$\bC$} von $f$, wenn $F' = f$ ist.
$ℂ$} von $f$, wenn $F' = f$ ist.
\end{definition}
Wir haben zwei Begriffe von Stammfunktionen: Definition~\ref{def:3-1-5} für
@@ -261,8 +261,8 @@ Die Begriffe hängen offenbar zusammen.
(F ◦ γ)' & = (F' ◦ γ) · γ' && \text{reell-komplexe Kettenregel} \\
& = (f ◦ γ) · γ'
\end{align*}
Zusammenfassung: Im Sinne von Definition~\ref{def:3-1-5} ist $F◦γ$ eine
Stammfunktion von $(f◦γ)·γ'$. Also gilt nach dem Hauptsatz der Differenzial-
Zusammenfassung: Im Sinne von Definition~\ref{def:3-1-5} ist $F◦γ$ eine
Stammfunktion von $(f◦γ)·γ'$. Also gilt nach dem Hauptsatz der Differenzial-
und Integralrechnung die Gleichung
\[
\int_γ f(z) \, dz = \int_a^b [f ◦ γ(t)] · γ'(t) \, dt = [F ◦ γ](b) - [F ◦ γ](a).

62
04-wegintegraleStetig.tex
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@@ -16,8 +16,8 @@ uns an zwei elementare Fakten der Analysis und Topologie.
\begin{enumerate}
\item Die Bildmenge $γ(K) ⊂ U$ ist kompakt.
\item Es gibt endlich viele Kreisscheiben $Δ_1, …, Δ_n$ in $U$,
die die Bildmenge $γ(K)$ überdecken. In Formelsprache:
\item Es gibt endlich viele Kreisscheiben $Δ_1, …, Δ_n$ in $U$, die die
Bildmenge $γ(K)$ überdecken. In Formelsprache:
\[
γ(K) ⊆ ∪_{j=1}^n Δ_j ⊆ U.
\]
@@ -174,10 +174,10 @@ $γ_0$ und $γ_1$ interpoliert.
\begin{bemerkung}
Wir haben noch kein Kriterium dafür, dass eine Menge \emph{nicht} einfach
zusammenhängend ist. Halten Sie durch! Der Integralsatz von Cauchy wird uns
zusammenhängend ist. Halten Sie durch! Der Integralsatz von Cauchy wird uns
aber bald ein solches Kriterium liefern und wir werden in
Beispiel~\vref{bsp:4-3-3} die (anschaulich vielleicht völlig einsichtige)
Behauptung zeigen, dass $\bC^*$ nicht einfach zusammenhängend ist.
Behauptung zeigen, dass $ℂ^*$ nicht einfach zusammenhängend ist.
\end{bemerkung}
@@ -186,76 +186,76 @@ $γ_0$ und $γ_1$ interpoliert.
\sideremark{Vorlesung 6}
Nach den vorhergehenden Abschnitten werden Sie sich schon denken, was jetzt
kommt: Wegintegrale über homotope Wege sind gleich. Der folgende Satz stellt
kommt: Wegintegrale über homotope Wege sind gleich. Der folgende Satz stellt
dies präzise dar.
\begin{satz}[Homotopieinvarianz von Wegintegralen]
Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f : U → ℂ$ holomorph. Weiter seien $γ_0, γ_1
: [a, b] → U$ zwei stetige Wege mit $γ_0(a) = γ_1(a)$ und $γ_0(b) = γ_1(b)$.
Wenn $\gamma_0$ und $\gamma_1$ zueinander homotop sind, dann gilt die
Gleichheit
Wenn $γ_0$ und $γ_1$ zueinander homotop sind, dann gilt die Gleichheit
\begin{equation}\label{eq:4-3-1-1}
\int_{γ_0} f(z) \, dz = \int_{γ_1} f(z) \, dz.
\int_{γ_0} f(z) \, dz = \int_{γ_1} f(z) \, dz.
\end{equation}
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis durch Bild]
Wie in Definition~\ref{def:3-4-1} sei
\[
Γ: [a, b] ⨯ [0, 1] \longrightarrow U
\]
eine Homotopie zwischen den Wegen $γ_0$ und $γ_1$. Weil die Menge $[a, b] ⨯
\]
eine Homotopie zwischen den Wegen $γ_0$ und $γ_1$. Weil die Menge $[a, b] ⨯
[0, 1]$ kompakt ist, können wir nach Erinnerung~\ref{eri:3-4-1} die Bildmenge
$γ([a, b] ⨯ [0, 1]) ⊂ U$ ist kompakt mit endlich viele Kreisscheiben $Δ_1, …,
$γ\bigl([a, b] ⨯ [0, 1]\bigr) ⊂ U$ ist kompakt mit endlich viele Kreisscheiben $Δ_1, …,
Δ_n$ aus $U$ überdecken. Weiter können wir eine Unterteilung der Intervalle
finden,
\begin{align*}
a & = t_0 < t_1 < t_2 < … < t_m = b && \text{von } [a, b], \\
0 & = s_0 < s_1 < s_2 < … < s_k = 1 && \text{von } [0, 1],
\end{align*}
sodass für alle Indizes $0 ≤ j < m$ und $0 ≤ l < k$ die Bildmenge $Γ([t_j,
t_{j+1}] ⨯ [s_l, s_{l+1}])$ ganz in einer der Kreisscheiben $Δ_1, …, Δ_n$
liegt. Als Nächstes wenden wir Satz~\ref{satz:3-3-11} an und wählen für jede
Kreisscheibe $Δ_i$ eine Stammfunktion $F_i: Δ_i → ℂ$ von $f|_{\Delta_i}$. Nach
Konsequenz~\ref{kons:3-3-3} gilt dann für jeden der in
Abbildung~\ref{fig:4-3-1-1} eingezeichneten (geschlossenen!) Wege
$\beta_{i,j}$ die Gleichung
sodass für alle Indizes $0 ≤ j < m$ und $0 ≤ l < k$ die Bildmenge
$Γ\bigl([t_j, t_{j+1}] ⨯ [s_l, s_{l+1}]\bigr)$ ganz in einer der Kreisscheiben
$Δ_1, …, Δ_n$ liegt. Als Nächstes wenden wir Satz~\ref{satz:3-3-11} an und
wählen für jede Kreisscheibe $Δ_i$ eine Stammfunktion $F_i: Δ_i → ℂ$ von
$f|_{Δ_i}$. Nach Konsequenz~\ref{kons:3-3-3} gilt dann für jeden der in
Abbildung~\ref{fig:4-3-1-1} eingezeichneten (geschlossenen!) Wege $β_{i,j}$
die Gleichung
\[
\int_{\beta_{j,l}} f(z) \, dz = 0.
\int_{β_{j,l}} f(z) \, dz = 0.
\]
Gleichung~\eqref{eq:4-3-1-1} folgt nun durch Addition über alle Indizes $i$
und $j$.
und $j$. Man beachte dabei, dass sich Wegeintegrale über entgegengesetzt
orientierte Wege aufheben.
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=13cm]{04-homotopie-2.png}
\includegraphics[width=13cm]{04-homotopie-2.png}
\end{center}
\caption{Die geschlossenen Wege $\beta_{j,l}$ in der Homotopie
$Γ: [a,b] ⨯ [0,1] → U$.}
\caption{Die geschlossenen Wege $β_{j,l}$ in der Homotopie $Γ: [a,b] ⨯ [0,1] → U$.}
\label{fig:4-3-1-1}
\end{figure}
\end{proof}
\begin{kor}[Integralsatz von Cauchy]
Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f : U → ℂ$ holomorph. Weiter seien $γ : [a,
b] → U$ ein zusammenziehbarer, stetiger Weg. Dann ist
b] → U$ ein zusammenziehbarer, stetiger Weg. Dann ist
\[
\int_{\gamma} f(z) \, dz = 0.
\int_{γ} f(z) \, dz = 0.
\]
\end{kor}
\begin{bsp}[Die Menge $\bC^*$ ist nicht einfach zusammenhängend]\label{bsp:4-3-3}%
Wir betrachten die offene Menge $U := \bC^* = \bC \setminus \{0\}$ und die
holomorphe Funktion $f: U → \bC$, $f(z) := 1/z$. Weiter betrachten wir den
geschlossenen Weg
\begin{bsp}[Die Menge $ℂ^*$ ist nicht einfach zusammenhängend]\label{bsp:4-3-3}%
Wir betrachten die offene Menge $U := ℂ^* = ℂ ∖ \{0\}$ und die
holomorphe Funktion $f: U → ℂ$, $z ↦ 1/z$. Weiter betrachten wir den
geschlossenen Kreisweg
\[
γ: [0, 1] → U, \quad t ↦ e^{2πi t}.
\]
Wir haben haben in Beispiel~\vref{bsp:3-2-2} aber bereits ausgerechnet, dass
das Wegintegral gleich
\[
\int_γ \frac{1}{z} \, dz = 2πi
\]
ist. Nach dem Integralsatz von Cauchy ist der Weg $γ$ also nicht
zusammenziehbar. Wir haben damit gezeigt, dass die Menge $\bC^*$ nicht einfach
ist. Nach dem Integralsatz von Cauchy ist der Weg $γ$ also nicht
zusammenziehbar. Wir haben damit gezeigt, dass die Menge $ℂ^*$ nicht einfach
zusammenhängend ist.
\end{bsp}