diff --git a/02-diffbarkeit.tex b/02-diffbarkeit.tex index e35c817..26355c1 100644 --- a/02-diffbarkeit.tex +++ b/02-diffbarkeit.tex @@ -302,7 +302,7 @@ zwischen Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit wissen. \end{enumerate} \end{satz} \begin{proof} - Es ist lediglich die Implikation \ref{il:2-3-5-4} $\Leftrightarrow$ + Es ist lediglich die Implikation \ref{il:2-3-5-4} $⇔$ \ref{il:2-3-5-2} interessant. Betrachte dazu die Ableitungsmatrix von $f$ wie in Erinnerung~\ref{eri:2-2-1} und vergleiche die Cauchy-Riemann Gleichungen \eqref{eq:2-2-2-1} mit Erinnerung~\ref{eri:2-3-2}. diff --git a/03-wegintegraleDiffbar.tex b/03-wegintegraleDiffbar.tex index 1c8628a..c12a73d 100644 --- a/03-wegintegraleDiffbar.tex +++ b/03-wegintegraleDiffbar.tex @@ -58,16 +58,16 @@ Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein. \end{prop} Wir erinnern uns an Analysis I: Integration ist einfach, wenn ich eine -Stammfunktion habe. +Stammfunktion habe. \begin{definition}[Stammfunktionen]\label{def:3-1-5}% Sei $f: [a,b] → V$ stetig. Eine Abbildung $F: [a,b] → V$ heißt - Stammfunktion\index{Stammfunktion!von Funktion auf $\bR$} von $f$, falls $F$ + Stammfunktion\index{Stammfunktion!von Funktion auf $ℝ$} von $f$, falls $F$ differenzierbar ist und die Gleichung $F' = f$ gilt. \end{definition} -Achtung! Wir werden im Abschnitt~\vref{sec:3-3} noch einen weiteren Begriff von -Stammfunktion einführen, für komplexe Ableitungen von Funktionen auf $ℂ$. Bitte +Achtung! Wir werden im Abschnitt~\vref{sec:3-3} noch einen weiteren Begriff von +Stammfunktion einführen, für komplexe Ableitungen von Funktionen auf $ℂ$. Bitte diese Begriffe nicht verwechseln! \begin{satz}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung] @@ -246,7 +246,7 @@ diese Begriffe nicht verwechseln! \begin{definition}[Stammfunktion]\label{def:3-3-1}% Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f: U → ℂ$ stetig. Eine holomorphe Funktion $F: U → ℂ$ heißt \emph{komplexe Stammfunktion}\index{Stammfunktion!von Abbildung auf - $\bC$} von $f$, wenn $F' = f$ ist. + $ℂ$} von $f$, wenn $F' = f$ ist. \end{definition} Wir haben zwei Begriffe von Stammfunktionen: Definition~\ref{def:3-1-5} für @@ -261,8 +261,8 @@ Die Begriffe hängen offenbar zusammen. (F ◦ γ)' & = (F' ◦ γ) · γ' && \text{reell-komplexe Kettenregel} \\ & = (f ◦ γ) · γ' \end{align*} - Zusammenfassung: Im Sinne von Definition~\ref{def:3-1-5} ist $F◦γ$ eine - Stammfunktion von $(f◦γ)·γ'$. Also gilt nach dem Hauptsatz der Differenzial- + Zusammenfassung: Im Sinne von Definition~\ref{def:3-1-5} ist $F◦γ$ eine + Stammfunktion von $(f◦γ)·γ'$. Also gilt nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung die Gleichung \[ \int_γ f(z) \, dz = \int_a^b [f ◦ γ(t)] · γ'(t) \, dt = [F ◦ γ](b) - [F ◦ γ](a). diff --git a/04-wegintegraleStetig.tex b/04-wegintegraleStetig.tex index b38cd30..9186392 100644 --- a/04-wegintegraleStetig.tex +++ b/04-wegintegraleStetig.tex @@ -16,8 +16,8 @@ uns an zwei elementare Fakten der Analysis und Topologie. \begin{enumerate} \item Die Bildmenge $γ(K) ⊂ U$ ist kompakt. - \item Es gibt endlich viele Kreisscheiben $Δ_1, …, Δ_n$ in $U$, - die die Bildmenge $γ(K)$ überdecken. In Formelsprache: + \item Es gibt endlich viele Kreisscheiben $Δ_1, …, Δ_n$ in $U$, die die + Bildmenge $γ(K)$ überdecken. In Formelsprache: \[ γ(K) ⊆ ∪_{j=1}^n Δ_j ⊆ U. \] @@ -174,10 +174,10 @@ $γ_0$ und $γ_1$ interpoliert. \begin{bemerkung} Wir haben noch kein Kriterium dafür, dass eine Menge \emph{nicht} einfach - zusammenhängend ist. Halten Sie durch! Der Integralsatz von Cauchy wird uns + zusammenhängend ist. Halten Sie durch! Der Integralsatz von Cauchy wird uns aber bald ein solches Kriterium liefern und wir werden in Beispiel~\vref{bsp:4-3-3} die (anschaulich vielleicht völlig einsichtige) - Behauptung zeigen, dass $\bC^*$ nicht einfach zusammenhängend ist. + Behauptung zeigen, dass $ℂ^*$ nicht einfach zusammenhängend ist. \end{bemerkung} @@ -186,76 +186,76 @@ $γ_0$ und $γ_1$ interpoliert. \sideremark{Vorlesung 6} Nach den vorhergehenden Abschnitten werden Sie sich schon denken, was jetzt -kommt: Wegintegrale über homotope Wege sind gleich. Der folgende Satz stellt +kommt: Wegintegrale über homotope Wege sind gleich. Der folgende Satz stellt dies präzise dar. \begin{satz}[Homotopieinvarianz von Wegintegralen] Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f : U → ℂ$ holomorph. Weiter seien $γ_0, γ_1 : [a, b] → U$ zwei stetige Wege mit $γ_0(a) = γ_1(a)$ und $γ_0(b) = γ_1(b)$. - Wenn $\gamma_0$ und $\gamma_1$ zueinander homotop sind, dann gilt die - Gleichheit + Wenn $γ_0$ und $γ_1$ zueinander homotop sind, dann gilt die Gleichheit \begin{equation}\label{eq:4-3-1-1} - \int_{γ_0} f(z) \, dz = \int_{γ_1} f(z) \, dz. + \int_{γ_0} f(z) \, dz = \int_{γ_1} f(z) \, dz. \end{equation} \end{satz} \begin{proof}[Beweis durch Bild] Wie in Definition~\ref{def:3-4-1} sei \[ Γ: [a, b] ⨯ [0, 1] \longrightarrow U - \] - eine Homotopie zwischen den Wegen $γ_0$ und $γ_1$. Weil die Menge $[a, b] ⨯ + \] + eine Homotopie zwischen den Wegen $γ_0$ und $γ_1$. Weil die Menge $[a, b] ⨯ [0, 1]$ kompakt ist, können wir nach Erinnerung~\ref{eri:3-4-1} die Bildmenge - $γ([a, b] ⨯ [0, 1]) ⊂ U$ ist kompakt mit endlich viele Kreisscheiben $Δ_1, …, + $γ\bigl([a, b] ⨯ [0, 1]\bigr) ⊂ U$ ist kompakt mit endlich viele Kreisscheiben $Δ_1, …, Δ_n$ aus $U$ überdecken. Weiter können wir eine Unterteilung der Intervalle finden, \begin{align*} a & = t_0 < t_1 < t_2 < … < t_m = b && \text{von } [a, b], \\ 0 & = s_0 < s_1 < s_2 < … < s_k = 1 && \text{von } [0, 1], \end{align*} - sodass für alle Indizes $0 ≤ j < m$ und $0 ≤ l < k$ die Bildmenge $Γ([t_j, - t_{j+1}] ⨯ [s_l, s_{l+1}])$ ganz in einer der Kreisscheiben $Δ_1, …, Δ_n$ - liegt. Als Nächstes wenden wir Satz~\ref{satz:3-3-11} an und wählen für jede - Kreisscheibe $Δ_i$ eine Stammfunktion $F_i: Δ_i → ℂ$ von $f|_{\Delta_i}$. Nach - Konsequenz~\ref{kons:3-3-3} gilt dann für jeden der in - Abbildung~\ref{fig:4-3-1-1} eingezeichneten (geschlossenen!) Wege - $\beta_{i,j}$ die Gleichung + sodass für alle Indizes $0 ≤ j < m$ und $0 ≤ l < k$ die Bildmenge + $Γ\bigl([t_j, t_{j+1}] ⨯ [s_l, s_{l+1}]\bigr)$ ganz in einer der Kreisscheiben + $Δ_1, …, Δ_n$ liegt. Als Nächstes wenden wir Satz~\ref{satz:3-3-11} an und + wählen für jede Kreisscheibe $Δ_i$ eine Stammfunktion $F_i: Δ_i → ℂ$ von + $f|_{Δ_i}$. Nach Konsequenz~\ref{kons:3-3-3} gilt dann für jeden der in + Abbildung~\ref{fig:4-3-1-1} eingezeichneten (geschlossenen!) Wege $β_{i,j}$ + die Gleichung \[ - \int_{\beta_{j,l}} f(z) \, dz = 0. + \int_{β_{j,l}} f(z) \, dz = 0. \] Gleichung~\eqref{eq:4-3-1-1} folgt nun durch Addition über alle Indizes $i$ - und $j$. + und $j$. Man beachte dabei, dass sich Wegeintegrale über entgegengesetzt + orientierte Wege aufheben. \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=13cm]{04-homotopie-2.png} + \includegraphics[width=13cm]{04-homotopie-2.png} \end{center} - \caption{Die geschlossenen Wege $\beta_{j,l}$ in der Homotopie - $Γ: [a,b] ⨯ [0,1] → U$.} + \caption{Die geschlossenen Wege $β_{j,l}$ in der Homotopie $Γ: [a,b] ⨯ [0,1] → U$.} \label{fig:4-3-1-1} \end{figure} \end{proof} \begin{kor}[Integralsatz von Cauchy] Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f : U → ℂ$ holomorph. Weiter seien $γ : [a, - b] → U$ ein zusammenziehbarer, stetiger Weg. Dann ist + b] → U$ ein zusammenziehbarer, stetiger Weg. Dann ist \[ - \int_{\gamma} f(z) \, dz = 0. + \int_{γ} f(z) \, dz = 0. \] \end{kor} -\begin{bsp}[Die Menge $\bC^*$ ist nicht einfach zusammenhängend]\label{bsp:4-3-3}% - Wir betrachten die offene Menge $U := \bC^* = \bC \setminus \{0\}$ und die - holomorphe Funktion $f: U → \bC$, $f(z) := 1/z$. Weiter betrachten wir den - geschlossenen Weg +\begin{bsp}[Die Menge $ℂ^*$ ist nicht einfach zusammenhängend]\label{bsp:4-3-3}% + Wir betrachten die offene Menge $U := ℂ^* = ℂ ∖ \{0\}$ und die + holomorphe Funktion $f: U → ℂ$, $z ↦ 1/z$. Weiter betrachten wir den + geschlossenen Kreisweg \[ γ: [0, 1] → U, \quad t ↦ e^{2πi t}. \] Wir haben haben in Beispiel~\vref{bsp:3-2-2} aber bereits ausgerechnet, dass + das Wegintegral gleich \[ \int_γ \frac{1}{z} \, dz = 2πi \] - ist. Nach dem Integralsatz von Cauchy ist der Weg $γ$ also nicht - zusammenziehbar. Wir haben damit gezeigt, dass die Menge $\bC^*$ nicht einfach + ist. Nach dem Integralsatz von Cauchy ist der Weg $γ$ also nicht + zusammenziehbar. Wir haben damit gezeigt, dass die Menge $ℂ^*$ nicht einfach zusammenhängend ist. \end{bsp}