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@@ -11,3 +11,6 @@ Quotientengruppe
 homotop
 zusammenziehbar
 Lebesgue-Zahl
+homotope
+Homotopieinvarianz
+zusammenziehbarer

03-wegintegraleDiffbar.tex

@@ -9,18 +9,23 @@ In diesem Abschnitt ist $[a,b] ⊂ ℝ$ stets ein nicht leeres, kompaktes Interv
 Weiter sei $V$ ein reeller, endlich-dimensionaler Vektorraum.
 
 \begin{definition}[Integration von Funktionen mit Werten im $ℝ^n$]\label{def:3-1-1}%
-  Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] → ℝ^n$, dann definiert man
+  Gegeben eine stetige Abbildung $f : [a,b] → ℝ^n$, dann definiert man
   \[
     \int_a^b f(t) \, dt ∈ ℝ^n
   \]
-  durch komponentenweise Integration.
+  durch komponentenweise Integration.  Wenn $f$ differenzierbar ist, dann
+  definiert man
+  \[
+    f' : [a,b] → ℝ^n
+  \]
+  durch komponentenweise Differentiation.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[Integration von vektorwertigen Funktionen]
   Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] → V$, dann wählt man eine Basis von
-  $V$, um $V$ mit $ℝ^n$ zu identifizieren, definiert $\int_a^b f(t) \, dt$
-  mithilfe von Definition~\ref{def:3-1-1} und rechnet nach, dass das Ergebnis
-  nicht von der Wahl der Basis abhängt.
+  $V$, um $V$ mit $ℝ^n$ zu identifizieren, definiert $\int_a^b f(t) \, dt$ und
+  $f'$ mithilfe von Definition~\ref{def:3-1-1} und rechnet nach, dass das
+  Ergebnis jeweils nicht von der Wahl der Basis abhängt.
 \end{definition}
 
 \begin{bsp}
@@ -52,12 +57,19 @@ Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein.
   \end{enumerate}
 \end{prop}
 
-\begin{definition}[Stammfunktionen]
+Wir erinnern uns an Analysis I: Integration ist einfach, wenn ich eine
+Stammfunktion habe. 
+
+\begin{definition}[Stammfunktionen]\label{def:3-1-5}%
   Sei $f: [a,b] → V$ stetig.  Eine Abbildung $F: [a,b] → V$ heißt
-  Stammfunktion\index{Stammfunktion} von $f$, falls $F$ differenzierbar ist und
-  die Gleichung $F' = f$ gilt.
+  Stammfunktion\index{Stammfunktion!von Funktion auf $\bR$} von $f$, falls $F$
+  differenzierbar ist und die Gleichung $F' = f$ gilt.
 \end{definition}
 
+Achtung! Wir werden im Abschnitt~\vref{sec:3-3} noch einen weiteren Begriff von
+Stammfunktion einführen, für komplexe Ableitungen von Funktionen auf $ℂ$. Bitte
+diese Begriffe nicht verwechseln!
+
 \begin{satz}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]
   Sei $f: [a,b] → V$ stetig.  Dann ist
   \[
@@ -154,7 +166,7 @@ Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein.
   bitte ich um Geduld.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{bsp}[Wegintegral]\label{bsp:3-2-2}%
+\begin{bsp}[Integration von $z^n$ über den Rand des Einheitskreises]\label{bsp:3-2-2}%
   Es sei $U = ℂ^*$ und es sei $f(z) = z^n$.  Weiter betrachten wir den Weg
   \[
     γ: [0,2π] → ℂ^*, \quad t ↦ r\exp(it),
@@ -228,25 +240,30 @@ Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein.
 \end{beobachtung}
 
 
-\section{Stammfunktionen}
+\section{Komplexe Stammfunktionen}
+\label{sec:3-3}
 
-\begin{definition}[Stammfunktion]
+\begin{definition}[Stammfunktion]\label{def:3-3-1}%
   Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f: U → ℂ$ stetig.  Eine holomorphe Funktion $F: U → ℂ$
-  heißt \emph{Stammfunktion}\index{Stammfunktion} von $f$, wenn $F' = f$ ist.
+  heißt \emph{komplexe Stammfunktion}\index{Stammfunktion!von Abbildung auf
+  $\bC$} von $f$, wenn $F' = f$ ist.
 \end{definition}
 
-Wir haben zwei Begriffe von Stammfunktionen: einmal für Funktionen auf reellen
-Intervallen $φ: [a,b] → ℂ$, einmal für Funktionen $φ: U → ℂ$ auf offenen Mengen
-von $ℂ$.  Die Begriffe hängen offenbar zusammen.
+Wir haben zwei Begriffe von Stammfunktionen: Definition~\ref{def:3-1-5} für
+Funktionen auf reellen Intervallen $φ: [a,b] → ℂ$, und
+Definition~\ref{def:3-3-1} für Funktionen $φ: U → ℂ$ auf offenen Mengen von $ℂ$.
+Die Begriffe hängen offenbar zusammen.
 
-\begin{beobachtung}
+\begin{beobachtung}[Reelle und komplexe Stammfunktionen]
   Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $f: U → ℂ$ stetig mit Stammfunktion $F: U → ℂ$.
   Weiter sei $γ: [a,b] → U$ stetig differenzierbar.  Dann ist
   \begin{align*}
     (F ◦ γ)' & = (F' ◦ γ) · γ' && \text{reell-komplexe Kettenregel} \\
-    & = (f ◦ γ) · γ' && F ◦ γ \text{ ist Stammfunktion auf } [a,b] \text{ von } (f ◦ γ) · γ'.
+    & = (f ◦ γ) · γ'
   \end{align*}
-  Also gilt nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
+  Zusammenfassung: Im Sinne von Definition~\ref{def:3-1-5} ist  $F◦γ$ eine
+  Stammfunktion von $(f◦γ)·γ'$. Also gilt nach dem Hauptsatz der Differenzial-
+  und Integralrechnung die Gleichung
   \[
     \int_γ f(z) \, dz = \int_a^b [f ◦ γ(t)] · γ'(t) \, dt = [F ◦ γ](b) - [F ◦ γ](a).
   \]
@@ -255,7 +272,7 @@ von $ℂ$.  Die Begriffe hängen offenbar zusammen.
 
 \subsection{Berechnung von Wegintegralen mithilfe von Stammfunktionen}
 
-\begin{kons}[Wegintegrale bei Existenz von Stammfunktionen]
+\begin{kons}[Wegintegrale bei Existenz von Stammfunktionen]\label{kons:3-3-3}%
   Wenn in der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} eine Stammfunktion von
   $f$ existiert, dann hängt das Wegintegral $\int_γ f(z) \, dz$ nur vom Start-
   und Endpunkt des Weges ab, aber nicht vom Weg selbst.  Insbesondere gilt: Wenn
@@ -317,8 +334,8 @@ Fakten der Analysis und Topologie.
 
 Wir erinnern uns an die Ergebnisse des letzten Abschnitts: Es sei $U ⊂ ℂ$ offen
 und es sei $f: U → ℂ$ stetig.  Wenn $f$ eine Stammfunktion $F: U → ℂ$ besitzt,
-dann gilt für jeden (stückweise) stetig differenzierbaren Weg $γ: [a,b] → U$ die
-Gleichung
+dann gilt nach Konsequenz~\ref{kons:3-3-3} für jeden (stückweise) stetig
+differenzierbaren Weg $γ: [a,b] → U$ die Gleichung
 \[
 \int_γ f(z)\, dz = F(γ(b)) - F(γ(a)).
 \]

04-wegintegraleStetig.tex

@@ -174,8 +174,89 @@ $γ_0$ und $γ_1$ interpoliert.
 
 \begin{bemerkung}
   Wir haben noch kein Kriterium dafür, dass eine Menge \emph{nicht} einfach
-  zusammenhängend ist.  Der Integralsatz von Cauchy wird uns aber bald ein
-  solches Kriterium liefern.
+  zusammenhängend ist.  Halten Sie durch! Der Integralsatz von Cauchy wird uns
+  aber bald ein solches Kriterium liefern und wir werden in
+  Beispiel~\vref{bsp:4-3-3} die (anschaulich vielleicht völlig einsichtige)
+  Behauptung zeigen, dass $\bC^*$ nicht einfach zusammenhängend ist.
 \end{bemerkung}
 
+
+\section{Homotopieinvarianz von Wegintegralen und der Integralsatz von Cauchy}
+
+\sideremark{Vorlesung 6}
+
+Nach den vorhergehenden Abschnitten werden Sie sich schon denken, was jetzt
+kommt: Wegintegrale über homotope Wege sind gleich. Der folgende Satz stellt
+dies präzise dar.
+
+\begin{satz}[Homotopieinvarianz von Wegintegralen]
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f : U → ℂ$ holomorph.  Weiter seien $γ_0, γ_1
+  : [a, b] → U$ zwei stetige Wege mit $γ_0(a) = γ_1(a)$ und $γ_0(b) = γ_1(b)$.
+  Wenn $\gamma_0$ und $\gamma_1$ zueinander homotop sind, dann gilt die
+  Gleichheit
+  \begin{equation}\label{eq:4-3-1-1}
+    \int_{γ_0} f(z) \, dz = \int_{γ_1} f(z) \, dz.    
+  \end{equation}
+\end{satz}
+\begin{proof}[Beweis durch Bild]
+  Wie in Definition~\ref{def:3-4-1} sei
+  \[
+    Γ: [a, b] ⨯ [0, 1] \longrightarrow U
+  \]  
+  eine Homotopie zwischen den Wegen $γ_0$ und $γ_1$. Weil die Menge $[a, b] ⨯
+  [0, 1]$ kompakt ist, können wir nach Erinnerung~\ref{eri:3-4-1} die Bildmenge
+  $γ([a, b] ⨯ [0, 1]) ⊂ U$ ist kompakt mit endlich viele Kreisscheiben $Δ_1, …,
+  Δ_n$ aus $U$ überdecken.  Weiter können wir eine Unterteilung der Intervalle
+  finden,
+  \begin{align*}
+    a & = t_0 < t_1 < t_2 < … < t_m = b && \text{von } [a, b], \\
+    0 & = s_0 < s_1 < s_2 < … < s_k = 1 && \text{von } [0, 1],
+  \end{align*}
+  sodass für alle Indizes $0 ≤ j < m$ und $0 ≤ l < k$ die Bildmenge $Γ([t_j,
+  t_{j+1}] ⨯ [s_l, s_{l+1}])$ ganz in einer der Kreisscheiben $Δ_1, …, Δ_n$
+  liegt.  Als Nächstes wenden wir Satz~\ref{satz:3-3-11} an und wählen für jede
+  Kreisscheibe $Δ_i$ eine Stammfunktion $F_i: Δ_i → ℂ$ von $f|_{\Delta_i}$. Nach
+  Konsequenz~\ref{kons:3-3-3} gilt dann für jeden der in
+  Abbildung~\ref{fig:4-3-1-1} eingezeichneten (geschlossenen!) Wege
+  $\beta_{i,j}$ die Gleichung
+  \[
+    \int_{\beta_{j,l}} f(z) \, dz = 0.
+  \]
+  Gleichung~\eqref{eq:4-3-1-1} folgt nun durch Addition über alle Indizes $i$
+  und $j$.  
+  \begin{figure}
+    \begin{center}
+      \includegraphics[width=13cm]{04-homotopie-2.png}      
+    \end{center}
+
+    \caption{Die geschlossenen Wege $\beta_{j,l}$ in der Homotopie
+    $Γ: [a,b] ⨯ [0,1] → U$.}
+    \label{fig:4-3-1-1}
+  \end{figure}
+\end{proof}
+
+\begin{kor}[Integralsatz von Cauchy]
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f : U → ℂ$ holomorph.  Weiter seien $γ : [a,
+  b] → U$ ein zusammenziehbarer, stetiger Weg.  Dann ist 
+  \[
+    \int_{\gamma} f(z) \, dz = 0.    
+  \]
+\end{kor}
+
+\begin{bsp}[Die Menge $\bC^*$ ist nicht einfach zusammenhängend]\label{bsp:4-3-3}%
+  Wir betrachten die offene Menge $U := \bC^* = \bC \setminus \{0\}$ und die
+  holomorphe Funktion $f: U → \bC$, $f(z) := 1/z$.  Weiter betrachten wir den
+  geschlossenen Weg
+  \[
+    γ: [0, 1] → U, \quad t ↦ e^{2πi t}.
+  \]
+  Wir haben haben in Beispiel~\vref{bsp:3-2-2} aber bereits ausgerechnet, dass
+  \[
+    \int_γ \frac{1}{z} \, dz = 2πi
+  \]
+  ist. Nach dem Integralsatz von Cauchy ist der Weg $γ$ also nicht
+  zusammenziehbar. Wir haben damit gezeigt, dass die Menge $\bC^*$ nicht einfach
+  zusammenhängend ist.
+\end{bsp}
+
 % !TEX root = Funktionentheorie