Trivia

02-diffbarkeit.tex

@@ -302,7 +302,7 @@ zwischen Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit wissen.
   \end{enumerate}
 \end{satz}
 \begin{proof}
-  Es ist lediglich die Implikation \ref{il:2-3-5-4} $\Leftrightarrow$
+  Es ist lediglich die Implikation \ref{il:2-3-5-4} $⇔$
   \ref{il:2-3-5-2} interessant.  Betrachte dazu die Ableitungsmatrix von $f$ wie
   in Erinnerung~\ref{eri:2-2-1} und vergleiche die Cauchy-Riemann Gleichungen
   \eqref{eq:2-2-2-1} mit Erinnerung~\ref{eri:2-3-2}.

03-wegintegraleDiffbar.tex

@@ -58,16 +58,16 @@ Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein.
 \end{prop}
 
 Wir erinnern uns an Analysis I: Integration ist einfach, wenn ich eine
-Stammfunktion habe. 
+Stammfunktion habe.
 
 \begin{definition}[Stammfunktionen]\label{def:3-1-5}%
   Sei $f: [a,b] → V$ stetig.  Eine Abbildung $F: [a,b] → V$ heißt
-  Stammfunktion\index{Stammfunktion!von Funktion auf $\bR$} von $f$, falls $F$
+  Stammfunktion\index{Stammfunktion!von Funktion auf $ℝ$} von $f$, falls $F$
   differenzierbar ist und die Gleichung $F' = f$ gilt.
 \end{definition}
 
-Achtung! Wir werden im Abschnitt~\vref{sec:3-3} noch einen weiteren Begriff von
+Achtung!  Wir werden im Abschnitt~\vref{sec:3-3} noch einen weiteren Begriff von
-Stammfunktion einführen, für komplexe Ableitungen von Funktionen auf $ℂ$. Bitte
+Stammfunktion einführen, für komplexe Ableitungen von Funktionen auf $ℂ$.  Bitte
 diese Begriffe nicht verwechseln!
 
 \begin{satz}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]
@@ -246,7 +246,7 @@ diese Begriffe nicht verwechseln!
 \begin{definition}[Stammfunktion]\label{def:3-3-1}%
   Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f: U → ℂ$ stetig.  Eine holomorphe Funktion $F: U → ℂ$
   heißt \emph{komplexe Stammfunktion}\index{Stammfunktion!von Abbildung auf
-  $\bC$} von $f$, wenn $F' = f$ ist.
+  $ℂ$} von $f$, wenn $F' = f$ ist.
 \end{definition}
 
 Wir haben zwei Begriffe von Stammfunktionen: Definition~\ref{def:3-1-5} für
@@ -261,8 +261,8 @@ Die Begriffe hängen offenbar zusammen.
     (F ◦ γ)' & = (F' ◦ γ) · γ' && \text{reell-komplexe Kettenregel} \\
     & = (f ◦ γ) · γ'
   \end{align*}
-  Zusammenfassung: Im Sinne von Definition~\ref{def:3-1-5} ist  $F◦γ$ eine
+  Zusammenfassung: Im Sinne von Definition~\ref{def:3-1-5} ist $F◦γ$ eine
-  Stammfunktion von $(f◦γ)·γ'$. Also gilt nach dem Hauptsatz der Differenzial-
+  Stammfunktion von $(f◦γ)·γ'$.  Also gilt nach dem Hauptsatz der Differenzial-
   und Integralrechnung die Gleichung
   \[
     \int_γ f(z) \, dz = \int_a^b [f ◦ γ(t)] · γ'(t) \, dt = [F ◦ γ](b) - [F ◦ γ](a).

04-wegintegraleStetig.tex

@@ -16,8 +16,8 @@ uns an zwei elementare Fakten der Analysis und Topologie.
   \begin{enumerate}
     \item Die Bildmenge $γ(K) ⊂ U$ ist kompakt.
 
-    \item Es gibt endlich viele Kreisscheiben $Δ_1, …, Δ_n$ in $U$,
+    \item Es gibt endlich viele Kreisscheiben $Δ_1, …, Δ_n$ in $U$, die die
-    die die Bildmenge $γ(K)$ überdecken.  In Formelsprache:
+    Bildmenge $γ(K)$ überdecken.  In Formelsprache:
     \[
       γ(K) ⊆ ∪_{j=1}^n Δ_j ⊆ U.
     \]
@@ -174,10 +174,10 @@ $γ_0$ und $γ_1$ interpoliert.
 
 \begin{bemerkung}
   Wir haben noch kein Kriterium dafür, dass eine Menge \emph{nicht} einfach
-  zusammenhängend ist.  Halten Sie durch! Der Integralsatz von Cauchy wird uns
+  zusammenhängend ist.  Halten Sie durch!  Der Integralsatz von Cauchy wird uns
   aber bald ein solches Kriterium liefern und wir werden in
   Beispiel~\vref{bsp:4-3-3} die (anschaulich vielleicht völlig einsichtige)
-  Behauptung zeigen, dass $\bC^*$ nicht einfach zusammenhängend ist.
+  Behauptung zeigen, dass $ℂ^*$ nicht einfach zusammenhängend ist.
 \end{bemerkung}
 
 
@@ -186,76 +186,76 @@ $γ_0$ und $γ_1$ interpoliert.
 \sideremark{Vorlesung 6}
 
 Nach den vorhergehenden Abschnitten werden Sie sich schon denken, was jetzt
-kommt: Wegintegrale über homotope Wege sind gleich. Der folgende Satz stellt
+kommt: Wegintegrale über homotope Wege sind gleich.  Der folgende Satz stellt
 dies präzise dar.
 
 \begin{satz}[Homotopieinvarianz von Wegintegralen]
   Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f : U → ℂ$ holomorph.  Weiter seien $γ_0, γ_1
   : [a, b] → U$ zwei stetige Wege mit $γ_0(a) = γ_1(a)$ und $γ_0(b) = γ_1(b)$.
-  Wenn $\gamma_0$ und $\gamma_1$ zueinander homotop sind, dann gilt die
+  Wenn $γ_0$ und $γ_1$ zueinander homotop sind, dann gilt die Gleichheit
-  Gleichheit
   \begin{equation}\label{eq:4-3-1-1}
-    \int_{γ_0} f(z) \, dz = \int_{γ_1} f(z) \, dz.    
+    \int_{γ_0} f(z) \, dz = \int_{γ_1} f(z) \, dz.
   \end{equation}
 \end{satz}
 \begin{proof}[Beweis durch Bild]
   Wie in Definition~\ref{def:3-4-1} sei
   \[
     Γ: [a, b] ⨯ [0, 1] \longrightarrow U
-  \]  
+  \]
-  eine Homotopie zwischen den Wegen $γ_0$ und $γ_1$. Weil die Menge $[a, b] ⨯
+  eine Homotopie zwischen den Wegen $γ_0$ und $γ_1$.  Weil die Menge $[a, b] ⨯
   [0, 1]$ kompakt ist, können wir nach Erinnerung~\ref{eri:3-4-1} die Bildmenge
-  $γ([a, b] ⨯ [0, 1]) ⊂ U$ ist kompakt mit endlich viele Kreisscheiben $Δ_1, …,
+  $γ\bigl([a, b] ⨯ [0, 1]\bigr) ⊂ U$ ist kompakt mit endlich viele Kreisscheiben $Δ_1, …,
   Δ_n$ aus $U$ überdecken.  Weiter können wir eine Unterteilung der Intervalle
   finden,
   \begin{align*}
     a & = t_0 < t_1 < t_2 < … < t_m = b && \text{von } [a, b], \\
     0 & = s_0 < s_1 < s_2 < … < s_k = 1 && \text{von } [0, 1],
   \end{align*}
-  sodass für alle Indizes $0 ≤ j < m$ und $0 ≤ l < k$ die Bildmenge $Γ([t_j,
+  sodass für alle Indizes $0 ≤ j < m$ und $0 ≤ l < k$ die Bildmenge
-  t_{j+1}] ⨯ [s_l, s_{l+1}])$ ganz in einer der Kreisscheiben $Δ_1, …, Δ_n$
+  $Γ\bigl([t_j, t_{j+1}] ⨯ [s_l, s_{l+1}]\bigr)$ ganz in einer der Kreisscheiben
-  liegt.  Als Nächstes wenden wir Satz~\ref{satz:3-3-11} an und wählen für jede
+  $Δ_1, …, Δ_n$ liegt.  Als Nächstes wenden wir Satz~\ref{satz:3-3-11} an und
-  Kreisscheibe $Δ_i$ eine Stammfunktion $F_i: Δ_i → ℂ$ von $f|_{\Delta_i}$. Nach
+  wählen für jede Kreisscheibe $Δ_i$ eine Stammfunktion $F_i: Δ_i → ℂ$ von
-  Konsequenz~\ref{kons:3-3-3} gilt dann für jeden der in
+  $f|_{Δ_i}$.  Nach Konsequenz~\ref{kons:3-3-3} gilt dann für jeden der in
-  Abbildung~\ref{fig:4-3-1-1} eingezeichneten (geschlossenen!) Wege
+  Abbildung~\ref{fig:4-3-1-1} eingezeichneten (geschlossenen!) Wege $β_{i,j}$
-  $\beta_{i,j}$ die Gleichung
+  die Gleichung
   \[
-    \int_{\beta_{j,l}} f(z) \, dz = 0.
+    \int_{β_{j,l}} f(z) \, dz = 0.
   \]
   Gleichung~\eqref{eq:4-3-1-1} folgt nun durch Addition über alle Indizes $i$
-  und $j$.  
+  und $j$.  Man beachte dabei, dass sich Wegeintegrale über entgegengesetzt
+  orientierte Wege aufheben.
   \begin{figure}
     \begin{center}
-      \includegraphics[width=13cm]{04-homotopie-2.png}      
+      \includegraphics[width=13cm]{04-homotopie-2.png}
     \end{center}
 
-    \caption{Die geschlossenen Wege $\beta_{j,l}$ in der Homotopie
+    \caption{Die geschlossenen Wege $β_{j,l}$ in der Homotopie $Γ: [a,b] ⨯ [0,1] → U$.}
-    $Γ: [a,b] ⨯ [0,1] → U$.}
     \label{fig:4-3-1-1}
   \end{figure}
 \end{proof}
 
 \begin{kor}[Integralsatz von Cauchy]
   Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f : U → ℂ$ holomorph.  Weiter seien $γ : [a,
-  b] → U$ ein zusammenziehbarer, stetiger Weg.  Dann ist 
+  b] → U$ ein zusammenziehbarer, stetiger Weg.  Dann ist
   \[
-    \int_{\gamma} f(z) \, dz = 0.    
+    \int_{γ} f(z) \, dz = 0.
   \]
 \end{kor}
 
-\begin{bsp}[Die Menge $\bC^*$ ist nicht einfach zusammenhängend]\label{bsp:4-3-3}%
+\begin{bsp}[Die Menge $ℂ^*$ ist nicht einfach zusammenhängend]\label{bsp:4-3-3}%
-  Wir betrachten die offene Menge $U := \bC^* = \bC \setminus \{0\}$ und die
+  Wir betrachten die offene Menge $U := ℂ^* = ℂ ∖ \{0\}$ und die
-  holomorphe Funktion $f: U → \bC$, $f(z) := 1/z$.  Weiter betrachten wir den
+  holomorphe Funktion $f: U → ℂ$, $z ↦ 1/z$.  Weiter betrachten wir den
-  geschlossenen Weg
+  geschlossenen Kreisweg
   \[
     γ: [0, 1] → U, \quad t ↦ e^{2πi t}.
   \]
   Wir haben haben in Beispiel~\vref{bsp:3-2-2} aber bereits ausgerechnet, dass
+  das Wegintegral gleich
   \[
     \int_γ \frac{1}{z} \, dz = 2πi
   \]
-  ist. Nach dem Integralsatz von Cauchy ist der Weg $γ$ also nicht
+  ist.  Nach dem Integralsatz von Cauchy ist der Weg $γ$ also nicht
-  zusammenziehbar. Wir haben damit gezeigt, dass die Menge $\bC^*$ nicht einfach
+  zusammenziehbar.  Wir haben damit gezeigt, dass die Menge $ℂ^*$ nicht einfach
   zusammenhängend ist.
 \end{bsp}